第八章 内压薄壁容器的应力

①环向应力或周向应力， 用 表示，单位 MPa， 方向为垂直于纵向截面； ②轴向应力或经向应力， 用 m表示，单位 MPa，方 向为垂直于横向截面； ③由于厚度δ 很小，认为 并把它们称为薄膜应力。
m
4
都是沿壁厚均匀分布的， 、 m
二、基本概念与基本假设 1、回转壳体中的基本的几何概念

在 x= a处 m
在 x=a处
pa 2

pa

图3-12 椭圆形封头的应力分布
m
pa pa a2 , (2 2 ) 2 2 b
(1)在椭圆形封头的中心(x=0处),经向应力与环向应力相等。 (2)经向应力恒为正值，是拉应力。 (3)周向应力最大值在x=0处，最小值在x=a处。
1 sin =Sdl1 dl 2 ，整理得 代入式（3-8） ，并对各项均除以 2 R2 2 d d 2 2 dl 2 sin 2 = 代入式（3-8） ，并对各项均除以 1 dl 2 ，整理得 2 R2 2 2 Sdl
Nn 2 Sdl1 均除以 Sdl1 dl 2 整理得 代入式（3-8） ，并对各项均除以 ，整理得
图8-5 确定环向应力微元体的取法
15
环向截面：
微元体受力放大图
图8-6 微小单元体的应力及几何参数
16
2、回转壳体的经向环向应力分析
根据法线n方向上力的平衡条 件，得到
Pn
N mn
N n = 0
图8-7 回转壳体的环向应力分析
内压力p在微体abcd上所产生的外力 的合力在法线n上的投影为Pn 在 bc与ad截面上经向应力 的合力 m 在法线n上的投影为Nmn 在ab与cd截面上环向应力 的合力 在法线n 上的投影为 Nn
图8-14 锥壳的应力分析
讨论：对相同的内压，球壳应力比同直径、 同 厚度的圆筒壳的应力有何不同呢？ 结论：对相同的内压，球壳的环向应力要比同 直径、 同厚度的圆筒壳的环向应力小一半，这 是球壳显著的优点。
23
m
pr 2 cos

pr
cos
24
4
四、受气体内压的椭球壳 锥形壳体环向应力是经向 应力两倍，随半锥角a的增 大而增大 1、第一曲率半径R1
2、回转壳体的经向应力分析
⒈ Z轴上的合力为Pz
Pz
pR m 2 2
p ——工作压力，MPa R2 ——第二曲率半径，mm

4
D2 p
图8-4 回转壳体上的径向应力分析
1、截面法

——壁厚，mm
⒉作用在截面上应力的合力 在 Z轴上的投影为Nz ⒊在Z 方向的平衡方程

4 D p mD sin 0
m
R1


R2

p
18

3
三、薄膜理论的适用条件 无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩 的作用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又 称薄膜理论。
• 回转壳体曲面在几何上是轴对称,壳体厚度无突变；曲 率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能 （主要是E和μ）应当是相同的 • 载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的 • 壳体边界的固定形式应该是自由支承的 • 壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界 上无横剪力和弯矩 • δ/Di≤0.1
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第三节 典型回转壳体的应力分析
区域平衡方程式
m
m
R1
pR2 2

R2 p
微体平衡方程式

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一、受气体内压的圆筒形壳体
讨论1：薄壁圆筒上开孔的有利形状 ① 环向应力是经向应力 的2倍，所以环向承受应 力更大，环向上就要少削 弱面积，故开设椭圆孔时， 椭圆孔之短轴平行于筒体 轴线，见图
椭圆壳经线为一椭 圆，a、b分别为椭 圆的长短轴半径， 其曲线方程
x2 y2 1 a 2 b2
3 2
α角要选择合适，不宜太大
图8-14 锥形封头的应力分布
R1
1 y
2
y
y 2 b2
b2 2 x a2
在锥形壳体大端r=R时，应力最大，在锥顶处，应力为零。因 此，一般在锥顶开孔。 锥底各点应力 锥顶
Pn pdl1 dl 2
N mn 2 m Sdl 2 sin d 1 2
d 1 d 2 即 即 pdl1 dl 2 - 2 m Sdl 2 sin - 2 Sdl1 sin =0 （式 （3-8 ） 1） 2 2 d d 1 2 d 21 因为微体的夹角 与 很小，因此取 即 pdl1 dl 2 2 m Sdl 2 sin -1 2 d Sdl sin =0 （3-8） 2 2 d d 1 dl1 d 1 d 2 d1 和 d 微元体的夹角 很小，可取 2 1 = d 因为微体的夹角 即 pdl - 2 Sdl =0 sin （3-8 ） 2 很小，因此取 1 dl 2 - 2 m Sdl 2 sin d 1 与 1 sin 2 2 2 R1 2 2 d 1 d 1 dl1 因为微体的夹角 d 1 与 d 2 很小，因此取 sin = dl 2 d 2 d 2 sin = 2 2 2 R 1 d d 1 dl1 2 R2 2 2 sin 1 = dl 2 2 2 d 22 R d 2
图8-3 回转壳体的几何特性
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第一曲率半径R1
中间面上任一点M 处经线的曲率 半径为该点的“第一曲率半径”
R1 MK1 R2 MK 2
2、无力矩理论基本假设 假定材料具有连续性、均匀性和 各向同性，即壳体是完全弹性的
小位移假设
R1
1 y
2
3 2
y
壳体受力后，壳体中各点的位移远 小于壁厚 ，利用变形前尺寸代替 变形后尺寸 壳体在变形前垂直于中间面的直线 段，在变形后仍保持为直线段，并 且垂直于变形后的中间面。 壳体各层纤维变形前后均互不挤压
2
N z mD sin
用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径 D 处有垂直于经线的法向圆锥面截开，取下部作脱离体， 建立静力平衡方程式。
Pz N z 0
思考：为什么不能用横截面？
13
D 2 sin D 2 R2 sin R2
m
pR2 2
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第八章 内压薄壁容器设计基础
薄壁容器
第一节 回转壳体的几何特性

0.1 或 K D0 1.2
Di
Di
教学重点：
薄膜理论及其应用
教学难点：
对容器的基本感性认识
容器的厚度与其最大截面圆的内径之 比小于0.1的容器称为薄壁容器。 （超出这一范围的称为厚壁容器）
应力分析是强度设计中首先要解决的问题
R1 ， R2 r
D 图8-8 受气体内压的圆筒形壳体 R ，R r
1
2
讨论2：介质与压力一定，壁厚越大，是否应力就越小
PD P PD P = ， = = ， 4 4 / D 2 2 / D 所以应力与 δ/D 成反比，不能只看壁厚大小。
② m =
=
29

顶点应力最大，经向应力与环向应力是相等的拉应力。 顶点的经向应力比边缘处的经向应力大一倍。 顶点处的环向应力和边缘处相等但符号相反。 应力值连续变化。
30
5
五、受气体内压的碟形壳体 1．碟形壳体的组成
【例8-1】有一外径为219的氧气瓶，最小壁厚为 =6.5mm,材质为40Mn2A,工作压力为15MPa,试求氧气瓶 筒壁内的应力。 解：
二、环向应力计算公式——微体平衡方程式
m
R1


R2

p
m ——经向应力,MPa
——环向应力，MPa
微元体abcd 的受力

p ——工作压力.MPa
R1 ——第一曲率半径，mm
R2 ——第二曲率半径,mm
——壁厚，mm
m 上下面：
内表面：p
1、截取微元体 截面1 截面2 截面3 壳体的内外表面 两个相邻的，通过壳 体轴线的 经线平面 两个相邻的，与壳体 正交的园锥法截面
a,b——分别为椭球壳的长、短半径，mm ; x ——椭球壳上任意点距椭球壳中心轴的距离mm 其它符号意义与单位同前。
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4、椭圆形封头的应力分布 由 m和 的公式可知：
在 x=0处
标准椭圆形封头a/b=2 在x=0处 m
pa
m
pa a ( ) 2 b
y/
b2 x a2 y b4 1 a2 y3
26
m
pD 4 cos

pD 2 cos
25
R1
[a 4 x 2 (a 2 b 2 )]3 / 2 a 4b
y //
2、第二曲率半径R2 如图，自任意点A（x,y） 作经线的垂线，交回转轴 于O点，则OA即为R2 ，根 据几何关系，可得
12
第二曲率半径R2
直法线假设
通过经线上一点M 的法线作垂直于经线的平面与中 间面相割形成的曲线MEF，此曲线在M 点处的曲率 半径称为该点的第二曲率半径R2 ，第二曲率半径的 中心落在回转轴上，其长度等于法线段MK2 。 11
不挤压假设
2
第二节 回转壳体的薄膜应力分析 一、经向应力计算公式——区域平衡方程式 经向应力，MPa —— m
5
均对称于回转轴
回转曲面
回转壳体
6
1
几个典型回转壳体
母线
形成回转壳体中间面的 那条直线或平面曲线。 如图所示的回转壳体即 由平面曲线AB绕OA轴旋 转一周形成，平面曲线 AB为该回转体的母线。 注意：母线形状不同 或与回转轴的相对位 置不同时，所形成的 回转壳体形状不同。