(完整版)第三章晶格振动与晶体的热学性质
第3章 晶格振动与晶体的热学性质
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能 起主要贡献。
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
系统有N个原胞
第2n+1个M原子的方程
第2n个m原子的方程 —— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
—— 两种原子振 动的振幅A和B一 般来说是不同的
第2n+1个M原子
第2n个m原子
方程的解
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波
—— 光学波
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
dU f d
—— 恢复力常数
原子的运动方程:
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
1
声子:晶格振动中格波的能量量子 声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也 是一种简谐振动）。声子与光子都代表简谐振 动能量的量子。所不同的是光子可存在于介质 或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有 当晶体中的点阵由于热激发而振动时才会有声 子，在绝对零度下，即在OK时，所有的简正模 式都没有被激发，这时晶体中没有声子，称之 为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即 寄居区不同。
第三章 晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)
3. 波数q： μ nq = Ae i (ωt − naq ) (3-22)
格波波数q具有2π/λ格式，量纲为[L]-1。aq改变2π的
整数倍，即aq→ n2π + aq 时所有原子振动没有不
同。如：
q1
格= 波24πa1（红相色位）差：aq1
=
π 2
格波2（绿色）：
q2
=
2π
/
4a 5
=
5π 2a
按一般小振动近似能保留到δ2，得到相邻原子间的 作用力为：
F
=
− dV dδ
≈
−βδ
(3 - 20)
这说明了相邻原子间的力是正比于相对位移的弹性 恢复力。
1、建立运动方程和求解：
a) 建立方程（考查图中第n个原子的运动方程）：
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
β：力常数
β
β
μn-2
μn-1
μn
μn+1
4、分析力学得到的哈密顿量:
∑ H
=
1 2
3N
(
Q&
2 i
i=1
+
ω
2 i
Q
2 i
)
（3-7） （3-9）
1
5、正则方程及解形式 :
在简正坐标下的简谐振动就是简正振动，它的正则
方程(简正坐标下的运动方程)：
Q&&i
+
ω
2 i
Qi
=0
i=1,2,…,3N （3-10）
这是3N个相互无关的方程，表明在简正坐标下的振 动是独立的简谐振动，其中的任意解为:
¾ 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
第三章晶格振动与晶体的热学性质
第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波波动方程22220u ux Y tρ??-=??对足够长的介质，求行波的解：s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。
3.2 一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似，近邻近似和简谐近似。
绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++相邻原子间的作用力02222,r Ud U d U f dr dr δβδβδ=-=-=-= ? ??????一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=-- 11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=--- 2112(2)n n n n d uf ma m u u u dtβ+-===---试探解以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用：222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=，/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称，在0/q a π<<的区间内，频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。
晶格振动与晶体的热学性质
格波： 连续介质弹性波：
Ae
i t naq
i t xq
Ae
将 µ nq
Ae i t qna
i t naq
代入运动方程得
m 2 Ae
Ae
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解 得
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内 原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶 体中形成各种模式的波，称为格波。只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是 简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。由于晶体的平 移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。通常用一系列独立的简谐振子 来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
nj Aje
i jt naqj
频率为 j 的特解：
方程的一般解：
n
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
Ae
j j
i jt naqj
Q q, t einaq Nm
q
1
1 N
＝N＝晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数=N· 1 =晶体链的自由度数 三、格波的简谐性、声子概念
1 2 n m 2 n 2 1 U n 晶体链的势能： n 1 2 n
晶体链的动能：T
系 统 的总 机械 能 即 体系的哈密顿量为：
H
：
2 1 1 2 n m n n 1 2 n 2 n
1 d2V dV V a V a 2 2 d x a d x
第3章 晶格振动与晶体热学性
晶格周期性使晶格振动具有波的形式——格波。 格波研究 首先，考虑一维，计算原子间相互作用力； 写出原子运动方程，最后求解方程。 推广到三维情况 本章重点： 一维单/双原子链模型及其色散关系的推导； 晶格比热(爱因斯坦模型/德拜模型)； 运用非简谐振动解释热膨胀/热传导；
2/70
§3.1 一维原子链的振动
首先，简谐振子运动方程：
ma f m d 2x kx dt 2
2
一维简单晶格运动方程
2
k m
一维原子链/布喇菲格子每个原子质量 布喇菲格子每个原子质量m，平衡时原子 间距a。第n个原子平衡位置rn=na，相对平衡位置位移 xn(n=1, (n=1, 2, …N)。相邻原子相对位移: xn-xn-1, xn-xn+1
n n+1 n+2
E总 E动 E势
p 1 kx 2 2m 2
2
k
d E势 dx
3/70
n-2
n-1
2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
第一个近似
4/70
力常数==势函数二阶导数
n-2
n-1
n
n+1
n+2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
设方程组有下列形式解(行波解)： 比较行波A A0ei ( kxt ) i ( qna t )
1
纵格波波形
色散关系讨论
(1) 两个特点： 两个特点：
2
m
sin(
qa ) 2
第三章_晶格振动与晶体的热学性质
第三章 晶格振动与晶体的热学性质1.什么是简谐近似？解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。
这个近似即称为简谐近似。
2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。
解：由一维单原子链的色散关系2sin2qamβω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为22s i nqa qa m aq v p βω== (1)2cos qam a dq d v g βω==。
由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。
但当0→q 时，mav p β=为一常数。
这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。
由（2）式及结合上图3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。
但当0→q ，mav v p g β==，体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上，即aq π=时，0=g v ，而ma v p βπ2=，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上它是一种驻波。
3.周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。
考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。
其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。
如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。
第三章_晶格振动与热学性质
fn ＝fnR － fnL ＝ (un+1－un) － (un－un-1)
＝ (un+1＋un-1－2un)
n-1 n n+1 n-1 n n+1 fnL fnR un-1 un un+1
10
第n个原子在平衡位置的运动方程为：
d un m 2 ( un 1 un 1 2un ) dt
得到：
M 2 A 1( B A ) ( A Be
)
m 2 B 2 ( Aeiqa B) 1 ( B A)
整理，得：
(1 2 M 2 ) A (1 2e iqa ) B 0 (1 2e ) A (1 2 m ) B 0
a 一维单原子链
6
在t时刻，第n个原子偏离平衡位置的位移为un
n-2 n-1 n n+1 n+2
a
un-2
un-1
un
r un+1
un+2
一维简单晶格振动
r － a = un+1 －un的意义 表示相邻格点的相对位移： > 0：伸长；< 0：缩短
r = un+1 + a －un
7
序号n和n+1的两个原子在t时刻的距离为：
e
iqNa
un Ae
i ( qnat )
1
a
q
2l q Na
a
l 是整数
N N l 2 2
允许的波矢数目等于N （原胞数）
21
二、一维复式格子
一维复式格子的格波解：
力常数 晶格常数
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
0301第三章晶格振动与晶体的热学性质
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
3N
假设存在线性变换 mi i aijQj
j1
系统的哈密顿量
H123iN1Q i2123iN1
Q 2 2
ii
拉格朗日函数
LTV1 23 i N 1Q i21 23 i N 1
Q 2 2
ii
正则动量
pi
—— 谐振子方程
本征态函数 ni(Qi) i exp(22)Hni()
Qi i /
Hni () — 厄密多项式
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质 10 / 11
N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程
[3 i N 11 2 ( 2 Q 2 i2 3 i N 1i2 Q i2 )] (Q 1 , Q 3 N ) E(Q 1 , Q 3 N )
取 V0 0
平衡位置
( V
i
)0
0
—— 不计高阶项
系统的势能函数
V
1 3N ( 2V
2i, j1 ij
)0ij
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质 05 / 11
系统的势能函数
V1
3N
(
2V
2i, j1 ij
)0ij
[3 i N 11 2 ( 2 Q 2 i2 3 i N 1i2 Q i2 )] (Q 1 , Q 3 N ) E(Q 1 , Q 3 N )
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
杜隆—珀替定律
模型处理方法：把固体中的原子看成一组互相独立 的振子来处理，应用能量均分定理。设固体中有N个 原子，则晶体平均能量为： E = 3 Nk BT 则由热学知识可得：
⎛ ∂E ⎞ ⎟ = 3 Nk B CV = ⎜ ⎜ ∂T ⎟ ⎠V ⎝
N＝6.023×1023，则摩尔比热CV＝24.9J/k•mol
即 h 只取N个不同的值。因此，由一维单原子组成的一维 晶格，q只能取N个不同的值。 格波数：一维单原子晶体，一个q只对应一个格波。q取N 个不同的值，对应N个
ω，因此，独立自由度数。
28
• 色散关系
把u n
••
= Ae
− i ( qna − ω t
miμi =
∑
3N
j =1
a ij Q
j
1 3N •2 T = ∑ Qi 2 i =1
1 3N 2 2 V = ∑ ω i Qi 2 i =1
15
由分析力学的一般办法，由动能和势能可以直接写出拉 格朗日函数
L = T −V
∂ Qi
Pi = ∂L
•
得到正则动量 : 哈密顿量可写成 :
可取之处：获得低温段CV～T3的规律。
6
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所 以固体实际上是由电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之 间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂 的多体总量是不可能的。但注意到电子与离子的质量相差很大， 离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子 的运动分开来考虑，这种近似方法称为绝热近似，即：
第三章 晶格振动与晶体热学性质 lattice vibration and heat property
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质
事实上：
晶格动力学的发展是在研究热学性质中建立起来的。 晶格动力学是固体物理学中的重要组成部分。晶格动力学 的前身就是比热理论。 从固体比热的发展阶段看： * 从Einstein模型 ，Debye模型，——格波模型，最后形成 晶格动力学，并用来进一步处理其它问题。 * 关于固体比热的研究，不单是解决固体比热的问题。而 是具有更重要的意义。 * 为使比热理论值与实验值相符合，能对固体晶格运动方 式有比较正确的认识，提出一些模型，而这些认识模型成 为固体许多领域的重要基础。 比如：声子的概念，元激发 概念等。在固体物理学的其他领域有更广泛的应用。 结论：晶格振动与固体的力、热、声、光、电、磁等各种性 质有着密切的关系。
2
格波与连续介质波的区别： （1）连续介质中x表示空间任意一点，而格波中空间位置只能取 X=na的格点位置。格点（na）呈周期排列，原子都在作频率为ω的 振动，相邻原子间的振动位相差为qa。 i (t naq ) （2）格波q取值范围的限制. 将 nq Ae 中的qa改变
2π的整数倍，所有原子的振动没有没有什么不同，为使μnq和q一 一对应，qa可以限制在一定范围内： （- π， π]，即： q a a 这与连续介质不同. q取该范围以外的q并不代表新的波。 例如：a: λ=4a，q= π/2a 和 b: λ=4a/5，q= π/2a+2 π a中相邻原子位相差π/2，b中 相邻原子位相差：5π/2，对 格点来说, a和b代表相同的振动。 因为原子有相同的运动。
3. 每一种简正坐标对应的是一种独立振动
由分析力学的一般方法, 由动能和势能公式可以写出拉格朗日函数:
L Pi Qi 正则动量为： Qi
L=T-V
1 3N 2 代入H： H T V ( Pi i2Qi2 ) 根据正则方程： 2 i 1 H 2Q 即： Q P H Pi Qi i i i i Qi Pi
第三章 晶格振动和晶体的热力学性质
晶格中原子振动是以角频率为 的平面波形式存在， 这种波称为格波.
波长
格波方程 格波的意义
xn Aeit naq
连续介质中的机械波
晶体中的格波
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
3.1.3 晶格振动的色散关系 将 得
xn
d 2 xn i t naq Ae 代入 m dt 2 xn1 xn1 2 xn
波的形式在晶体中传播,形成所谓的格波.
y A cos(t 0 )
类比于绳波
x y A cos[ (t ) 0 ] u
晶格振动 --- 晶体可视为一个相互耦合的振动系统，这种运动就称
为
晶格振动.
晶格振动是原子的热运动, 对晶体热学性能起主要贡献.
与比热、热膨胀和热传导等
晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动 都会涉及到大量原子的运动.
目录
第一章 晶体结构
第二章 晶体的结合
第三章 晶格振动和晶体的热学性质 第四章 晶体缺陷 第五章 金属电子论 第六章 能带理论
第三章 晶格振动和晶体的热学性质 在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为固定不动. 实际晶体中的原子、分子都在其平衡位臵做微振动.
0 K下仍有振动, 零点能.
格波 --- 由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,而是以
牵一发而动全身
所以,在处理过程中只能采取一些近似模型. ---简谐近似 先考虑一维情况，再推广到三维情况。
§3.1 一维单原子链
3.1.1 运动方程
考虑由 N 个相同的原子组成的一维晶格,原子间距(晶格常 量)为a，原子质量为m.
第n-2个原子 第n-1个原子 第n个原子 第n+1个原子 第n+2个原子
第三晶体振动与晶体的热学性质
xn
(q
2 a
)
i
) Ae
(
(q) (q 2
q 2 )nait a
a
)
Aei
( qnat
)
ei
2n
Aei(qnat) x(q)
(q
2 )
a
max
| sin
a (q 2 ) |
2
a
max
| sin(
a 2
q
) |
(q)
（6）求状态密度
3.2.3一维双原子链的振动
2n-2
2n-1
2a
2n
2n+1
2n+2
2n+3
{m
d
2 x2 n1 dt2
(
x2
n2
x2
n
x2
n1
)
M
d 2x2n dt2
( x2n3
x2 n1 x2 n2
)
设M>m
{x2 n1 Aei[ q ( 2n1) at ] x2 n Bei[ q ( 2 n2) at ]
2 4 sin 2 qa
m
2
2 | sin qa |
m2
0
a
a
性质：(1) 长波 q 0 时,格波成为弹性波
sin
qa 2
qa 2
1
1
2
2
qa
2 qa
m 2 m
1
v相
v群
第三章-晶格振动和晶体热学性质
第三章 晶格振动与晶体热学性质1． 原子质量为m,间距为a,恢复力常数为β的一维简单晶格，频率为ω的格波)cos(qna t A u n -=ω，求（1） 该波的总能量，（2） 每个原子的时间平均总能量。
[解答]（1） 格波的总能量为各原子能量的总和。
其中第n 个原子的动能为,)(212tu m n ∂∂ 而该原子与第n+1个原子之间的势能为21)(21--n n u u β 若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为,)(21)(21212--+∂∂=∑∑n n n n n u u t um E β将)cos(pna t A u n -=ω 代入上式得,2sin ])12(21[sin 421)(sin22222221qaqa n t A qna t A m E ⋅+-+-=∑∑ωβωϖϖ 设T 为原子振动周期，利用21)(sin 102=-⎰dt t T T ϕω 可得()dtqa n t T A dt qna t T A qaT nT n 2221022210222sin ]12([sin 14)(sin 121⋅+-+-=E ⎰∑⎰∑ωβωω =241ωm A 2N +2sin 22qa N A β. 式中N 为原子总数。
（2） 每个原子的时间平均总能量为2sin A A 412222qam N E βω+=-再利用色散关系2sin 4)cos 1(222qam qa m ββϖ=-=便得到每个原子的时间平均能量2221A m N E ϖ=-2． 一维复式格子，原子质量都为m ，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同,力常数不同,分别为1β和2β，晶格常数为a,求原子的运动方程及色散关系. [解答]图3.2 一维双原子分子链此题实际是一双原子分子链.设相邻分子间两原子的力常数为2β，间距为b ;一个分子内两原子力常数1β;晶格常数为a;第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为211,,,++-n n n n u u u u .第n-1与第n+1个原子属于同一原子,第n 与n+1第个原子属于同一个原子,于是第n 和第n+1个原子受的力分别为)()(1112-+---=n n n n n u u u u f ββ， )()(121211n n n n n u u u u f ---=++++ββ.其运动方程分别为)()(111222-+---=n n n n nu u u u dtu d m ββ)()(12121212n n n n n u u u u dt u d m ---=++++ββ设格波的解分别为[][]t qna i t a q i n AeAeu n ϖϖ--==212)([][]t qna i t qb a q i n BeAeB u n ϖϖ--++==212)('1.代入运动方程，得)()(122iqa Be A A B A m ----=-ββϖ.)()(212A B B AeB m iqa---=-ββϖ整理得)()(,0)()(22122221=-++-=--+-B m A e B e A m iqaiqa ϖββββββϖββ由于A 和B 不可能同时为零。
第三章晶格振动和热学性质
第n个原子和第n＋1个原子间的距离 a n 1 n
平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U (a ) 发生相对位移
n 1 n
后，相互作用势能
U (r ) U (a )
1 d 2U 1 d 3U dU 2 U (r ) U (a ) (r a ) dr 2 ( r a ) 6 dr 3 2 dr a a
对于吸收声子过程，有
' ' k q k
' ' 对于产生(又称发射)声子过程，有 k k q
将常数ħ去掉，以上四式可化为以下两式
' k k q
'
当入射光的频率Ω及波矢κ一定．在不同方向(κ́的
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 声学波 —— 光学波
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
当波矢q增加一个 关系不变。
2 a
的整数倍，原子的位移和色散
为了保持这些解的单值性，限制 q
二、 一维复式格子
1.一维复式格子的格波解 两种原子m和M ( M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… m原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 同种原子间的距离a-晶格常数
两不同原子平衡位置的距离为b,力常数β1
只考虑最近邻原子的相互作用，容易列出第2n个原子 和2n+1个原子的运动方程
§3.4 晶格振动谱的实验测定方法 晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类：一类 是光子散射方法，一类是中子散射方法．它们的原 理是相同的。 一、光子散射 格波与光波相互作用、相互交换能量的过程， 可理解为光子与声子的碰撞过程．设入射光子的频 率和波矢分别为Ω和κ，与频率为ω波矢为q的声子 碰撞后，光子的频率和波矢分别变成Ω ́及κ́．碰撞 过程中，能量守恒和准动量守恒。 对于吸收声子过程，有
固体物理：第三章 晶格振动和晶体的热学性质
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
6. 长波极限:
q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
x
格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为 此时相邻原子的振动位相相反，
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1 cos qa 2 M12 q
长 振波 动极方限向下相，同， B代A 表 了1 原表胞明质原心胞的中振两动个原子
长声学波代表了原胞质心的运动
当波长比晶格常数大很多时，qa = 1
2
q
a2q2
2M1 M2
色散关系与连续介质中的弹性波类似， 这也是声学波的名称来由
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原 子固定在格点上不动。其实，不管是气体、 液体或是固体，在一定温度下，原子（或 分子）都在做不停的热运动。 静止晶格的模型在解释金属主要由导电 电子决定的平衡态性质和输运性质方面相 当成功，但是对金属进一步的了解以及对 绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子 实的运动加以考虑。
讨论: q 2 l
Na
(1)为了保持位移和频率的单值性，波矢仍
然被限制在 p q ；利用波恩-卡
门边界条件，可a 以得到a晶格振动的波矢数
目等于晶体的原胞数 (2)在复式格子中，一个波矢对应两个频率，
所以其格波模式是2N，2N也是原子的自由 度数。因此晶格振动的模式数目等于原子 的自由度数之和。
上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1
2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2
2
2
2
-----两种波矢下 ，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
(8)短波极限，q 波长 2 2a
a
q
说明相邻两原子的位相相反
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＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数＝N·1 ＝晶体链的自由度数
四、格波的简谐性、声子概念
晶体链的动能：
T
1 2
n
m&n2
晶体链的势能：
U
1
2
n
n n1 2
系统的总机械能：
H
1 2
n
m&n2
1 2
n
n n1 2
频率为j的特解：nj Ajeijtnaqj
方程的一般解： n Ajeijtnaqj
原胞的质心基本保持不动 。
当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。
n n
q0
m M
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。
对于单声子过程（一级近
(q) =c0q
似），电磁波只与波数相同的格 +(0) 波相互作用。如果它们具有相同
B
2
cos
1 2
aq
ei
1 2
aq
2 M2
M
2m
cos
1 2
aq
ei
1 2
aq
m M 2 m2 2Mmcosaq
R ei
R：大于零的实数，反映原胞中P、Q两原子的振幅比 ：原胞内P、Q两原子的振动位相差
1. 光学波（optical branch）
n n
M
m
2m cos
1 2
aq
动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则
晶格振动状态不同。
若 q q 2 l (ℓ＝整数) 则 q 与 q描述同一晶格
振动状态 a
例：
1 4a
2
4 5
a
q1
2 1
2a
q2
2 2
5
2a
q2
q1
2
a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3.1 一维单原子链的振动
一、运动方程及其解
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
n-2
n-1
n
n+1
n+2
：力常数
只考虑最近邻原子间的相互作用：
fn n n1 n n1 n1 n1 2n
第n个原子的运动方程：
m&&n n1 n1 2n
j
1
Q q,t einaq
Nm q
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
1
N
einaqq q,q
n
H
1 2
Q&* q
q, t Q& q, t
2
qQ*
q,tQ q,t
Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某 个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运 动的坐标，称为简正坐标。
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
2 2
L＝Na ——晶体链的长度
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
+
的频率，就会发生共振。
q 0
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
2. 声学波（acoustic branch）
ei
1 2
aq
M 2 m2 2Mmcosaq
M
2m cos m M2
1 2
aq
m2
ei
1 2
aq
2Mmcosaq
R ei
Q q
a
a
cos
1 2
aq
0
1 aq
2
2
3
2
＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反位相型
物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，
即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而
m2
(q)
—— 色散关系
q —— 简约区
a
a
q
- - 2 0 2
aa
aa
连续介质弹性波： Aeitxq
格波： Aeitnaq
➢ 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 ➢ 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相 q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单
位距离两点间的振动位相差。 格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区： q
a
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中
找到唯一一个q，使之满足：
q q
2
a
l
Gl
Gl 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象
第n个原ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中P、Q两种原子的位移之比
n n
A
ei
1 2
aq
{ Bei
t
n
1 2
aq
n
(设M > m)
{ 代入方程:
2
M
2
A
2
cos
1 2
aq
B
0
2
cos
1 2
aq
A
2
m
2
B
0
2 M2
久期方程：
2
cos
1 2
aq
0
2 cos
1 2
aq
2 m 2
2
Mm
M
m
M
2
m2
2Mmcosaq
＝
M Mm
m
1
1
4Mm
M m2
sin2
1 2
aq
运动方程： Q&&j q,t j2 qQj q,t 0
晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。
能量本征值： 声子的概念：
Ej
n
j
1 2
h
j
nj 0,1, 2,L
声子是晶格振动的能量量子 h j
一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原 子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子, nj：声子数
试解 n Aeitnaq —— 格波方程
m2 Aeitnaq Aeitnaqiaq Aeitnaqiaq 2Aeitnaq
m2 eiaq eiaq 2 2 cosaq 1
解得
2 sin 1 aq —— 色散关系
m2
二、格波的简约性质、简约区
2 sin 1 aq
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 hj 为
单元交换能量 r
声子具有能量 h j ，也具有准动量 hq ，但声子只是反映
晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而
单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子
声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒
由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：
E
N j=1
n
j
1 2
h
j
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a Mm
{
n-1 n n n+1
只考虑近邻原子间的弹性相互作用
{ 运动方程： M &&n n n1 2n
m&&n n n1 2n
试解：
it naq
Ae n