函数模型PPT教学课件
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（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t， 由计算器可得t≈38.76。所以按上表的增长 趋202势0/12/0，9 那么大约在1950年后的第39年 12
（即1989年）我国的人口就已达到13亿。 由此可以看到，如果不实行计划生育，而 是让人口自然增长，今天我国将面临难以 承受的人口压力。
2020/12/09
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函数模型应用实例
我们过一次、二次、指数、对数及幂 函数，它们都与现实世界有着紧密的联系， 有着广泛的应用。下面我们通过一些实例， 来感受它们的广泛应用，体会解决实际问 题中建立函数模型的过程。
例3、P102例3
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例4、人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯 （T.R.Malthus，1766～1834）就提出了 自然状态下的人口增长模型：
我们观察y=2x、y=log2x、y=x2的图 象并比较的增长速度。
结论：在区间 (0,)上，尽管函数y=ax
（a>1），y=logax（a>1）和y=xn（n>0） 都是增函数，但它们的增长速度不同，而
且一在同一个档次上，随着x的增大，
y2=020a/12x/09（a>1）的增长速度越来越
5
快，会超过并远远大于y=xn（n>0）的增 长速度，而y=logax（a>1）的增长速度则 会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当 x>x0时，就有logax<xn<ax。
r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221。
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令y0=55196，则我国在1950～1959年期 间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t，t∈N。
根据上表的数据作出散点图，并作出函数 y=55196e0.0221t（ t∈N）的图象（P116） 由图可以看出，所得模型与1950～1959年 的实际人口数据基本吻合。
请问，你会选择哪一种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对 应的函数模型，再通过比较它们的增长情 况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可
以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可
以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三
可以用函数y=0.4·2x-1(x∈N*)进行描述。
我们从P96图3.2-1看到，底为2的指数 函数模型比线性函数模型增长速度要快得 多。从中你可以感受到“指数爆炸”的含 义！
上述例子只是一种假想情况，但从中 我们可以体会到，不同的函数增长模型， 增长变化存在很大差异。
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练习：P110练习1、2。
二、指数函数、对数函数、幂函数增长情 况比较：
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我们先用计算器或计算机计算一下三种方 案所得回报的增长情况（见P107表和图 3.2-1）
方案一的函数是常数函数，方案二、 三的函数都是增函数，但方案二、方案三 的函数都是增函数，但方案三是指数增长 的，其增长量是成倍增加的。
从计算可得P108的回报表，从表中可 知，投资1～6天，应选择方案一；投资7 天应选择方案一或二；投资8～10天，应 选202择0/12/0方9 案二；11天及以上，应选择方案三3.
应注意的是，用已知的函数模型刻画 实际问题时，由于实际问题的条件与得出 已知模型的条件会有所不同，因此往往需 要对模型进行修正。
练习：P117练习1、2。
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练习、某公司拟投资100万元，有两种获利
的可能可供选择：一种是年利率10%，按
单利计算，5年后收回本金和利息；另一种
是年利率9%，按每年复利一次计算， 5年
（1）如果以各年人口增长率的平均值作 为我国这一时期的人口增长率（精确到 0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立 我国在这一时期的具体人口增长模型，并 检202验0/12/0所9 得模型与实际人口数据是否相符；9
（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪 一年我国的人口达到13亿？
解（1）设1951～1959年的人口增长率分 别是r1、r2、…、r9。由
函数模型及其应用
一、几例不同增长的函数模型
Leabharlann Baidu
下面我们先来看两个具体问题
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有 三种投资方案供你选择，这三种方案的的 回报如下：
方案一：每天回报40
方案二：第一天回报10元，以后每天比前
一天多回报10 2020/12/09
1
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 回报比前一天翻一番。
55196(1+r1)=56300， 可得1951年的人口增长率r1≈0.0200。 同理可得，
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r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250， r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276， r8≈0.0222， r9≈0.0184。 于是， 1951年～1959年期间，我国人口 的年均增长率为
yy0ert
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人
口数，r表示人口的年平均增长率。
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下表是1950年～1959年我国的人口数 据资料：
年 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 份 万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 人
后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5
年后这种投资比另一种投资可多得利息多
少元？（注：单利是指当年的本金转为下
一年初的本金，复利是指当年的本金和利
息20转20/12为/09 下一年的本金）。
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（即1989年）我国的人口就已达到13亿。 由此可以看到，如果不实行计划生育，而 是让人口自然增长，今天我国将面临难以 承受的人口压力。
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函数模型应用实例
我们过一次、二次、指数、对数及幂 函数，它们都与现实世界有着紧密的联系， 有着广泛的应用。下面我们通过一些实例， 来感受它们的广泛应用，体会解决实际问 题中建立函数模型的过程。
例3、P102例3
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例4、人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯 （T.R.Malthus，1766～1834）就提出了 自然状态下的人口增长模型：
我们观察y=2x、y=log2x、y=x2的图 象并比较的增长速度。
结论：在区间 (0,)上，尽管函数y=ax
（a>1），y=logax（a>1）和y=xn（n>0） 都是增函数，但它们的增长速度不同，而
且一在同一个档次上，随着x的增大，
y2=020a/12x/09（a>1）的增长速度越来越
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快，会超过并远远大于y=xn（n>0）的增 长速度，而y=logax（a>1）的增长速度则 会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当 x>x0时，就有logax<xn<ax。
r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221。
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令y0=55196，则我国在1950～1959年期 间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t，t∈N。
根据上表的数据作出散点图，并作出函数 y=55196e0.0221t（ t∈N）的图象（P116） 由图可以看出，所得模型与1950～1959年 的实际人口数据基本吻合。
请问，你会选择哪一种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对 应的函数模型，再通过比较它们的增长情 况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可
以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可
以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三
可以用函数y=0.4·2x-1(x∈N*)进行描述。
我们从P96图3.2-1看到，底为2的指数 函数模型比线性函数模型增长速度要快得 多。从中你可以感受到“指数爆炸”的含 义！
上述例子只是一种假想情况，但从中 我们可以体会到，不同的函数增长模型， 增长变化存在很大差异。
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练习：P110练习1、2。
二、指数函数、对数函数、幂函数增长情 况比较：
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我们先用计算器或计算机计算一下三种方 案所得回报的增长情况（见P107表和图 3.2-1）
方案一的函数是常数函数，方案二、 三的函数都是增函数，但方案二、方案三 的函数都是增函数，但方案三是指数增长 的，其增长量是成倍增加的。
从计算可得P108的回报表，从表中可 知，投资1～6天，应选择方案一；投资7 天应选择方案一或二；投资8～10天，应 选202择0/12/0方9 案二；11天及以上，应选择方案三3.
应注意的是，用已知的函数模型刻画 实际问题时，由于实际问题的条件与得出 已知模型的条件会有所不同，因此往往需 要对模型进行修正。
练习：P117练习1、2。
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练习、某公司拟投资100万元，有两种获利
的可能可供选择：一种是年利率10%，按
单利计算，5年后收回本金和利息；另一种
是年利率9%，按每年复利一次计算， 5年
（1）如果以各年人口增长率的平均值作 为我国这一时期的人口增长率（精确到 0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立 我国在这一时期的具体人口增长模型，并 检202验0/12/0所9 得模型与实际人口数据是否相符；9
（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪 一年我国的人口达到13亿？
解（1）设1951～1959年的人口增长率分 别是r1、r2、…、r9。由
函数模型及其应用
一、几例不同增长的函数模型
Leabharlann Baidu
下面我们先来看两个具体问题
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有 三种投资方案供你选择，这三种方案的的 回报如下：
方案一：每天回报40
方案二：第一天回报10元，以后每天比前
一天多回报10 2020/12/09
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方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 回报比前一天翻一番。
55196(1+r1)=56300， 可得1951年的人口增长率r1≈0.0200。 同理可得，
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r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250， r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276， r8≈0.0222， r9≈0.0184。 于是， 1951年～1959年期间，我国人口 的年均增长率为
yy0ert
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人
口数，r表示人口的年平均增长率。
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下表是1950年～1959年我国的人口数 据资料：
年 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 份 万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 人
后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5
年后这种投资比另一种投资可多得利息多
少元？（注：单利是指当年的本金转为下
一年初的本金，复利是指当年的本金和利
息20转20/12为/09 下一年的本金）。
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