各种情形下奇点(z0) 处留数res f(z0) 的求法
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z0 点为 g(z),f (z) 的同阶零点
g(z0) ̸= 0, f (z0) = 0,f ′(z0) ̸= 0
z0 点为 g(z) 的 m 阶零点
f (z) 的 m + 1 阶零点
g(z0)
̸=
0,f (z0)
=
′
f (z0)
=
0,
′′
f (z0) ̸= 0
g(z0) ̸= 0
z0 点为 f (z) 的 m 阶零点, 且 g(z0) ̸= 0
−
g(z) z0)f (z)
=
g(z0) f ′(z0)
zl→imz0(z
−
g(z) z0)f (z)
=
g(z0) f ′(z0)
zl→imz0
d dz
(z
−
z0)2
g(z)
f (z)
zl→imz0
d dz
[g(z)]
lim
z→z0
(m
1 −
1)!
dm−1 dzm−1
(z
−
z0)m
g(z) f (z)
zl→imz0
(n
1 −
1)!
dn−1 dzn−1
(z
−
z0)n
Biblioteka Baidu
g(z) f (z)
z0 点为 g(z) 的 m 阶零点, f (z) 的 m + n 阶零点
可去奇点 一阶极点 k 阶极点 可去奇点 一阶极点 一阶极点 二阶极点 二阶极点 m 阶极点 n 阶极点
0
zl→imz0(z − z0)f (z)
zl→imz0
(k
1 −
1)!
dk−1 dzk−1
[
(z
−
z0)kf
(z
]
)
0
zl→imz0(z
函数
各种情形下奇点 (z0) 处留数 resf (z0) 的求法
给定条件
奇点类型
留数
f (z)
f (z)
f (z)
g(z) f (z) g(z) f (z)
g(z) f (z)
g(z) f (z) g(z) (z − z0)2 g(z) f (z)
g(z) f (z)
zl→imz0(z − z0)f (z) = 0 zl→imz0(z − z0)f (z) ̸= 0 zl→imz0(z − z0)k−1f (z) = ∞ zl→imz0(z − z0)kf (z) ̸= 0
g(z0) ̸= 0, f (z0) = 0,f ′(z0) ̸= 0
z0 点为 g(z) 的 m 阶零点
f (z) 的 m + 1 阶零点
g(z0)
̸=
0,f (z0)
=
′
f (z0)
=
0,
′′
f (z0) ̸= 0
g(z0) ̸= 0
z0 点为 f (z) 的 m 阶零点, 且 g(z0) ̸= 0
−
g(z) z0)f (z)
=
g(z0) f ′(z0)
zl→imz0(z
−
g(z) z0)f (z)
=
g(z0) f ′(z0)
zl→imz0
d dz
(z
−
z0)2
g(z)
f (z)
zl→imz0
d dz
[g(z)]
lim
z→z0
(m
1 −
1)!
dm−1 dzm−1
(z
−
z0)m
g(z) f (z)
zl→imz0
(n
1 −
1)!
dn−1 dzn−1
(z
−
z0)n
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g(z) f (z)
z0 点为 g(z) 的 m 阶零点, f (z) 的 m + n 阶零点
可去奇点 一阶极点 k 阶极点 可去奇点 一阶极点 一阶极点 二阶极点 二阶极点 m 阶极点 n 阶极点
0
zl→imz0(z − z0)f (z)
zl→imz0
(k
1 −
1)!
dk−1 dzk−1
[
(z
−
z0)kf
(z
]
)
0
zl→imz0(z
函数
各种情形下奇点 (z0) 处留数 resf (z0) 的求法
给定条件
奇点类型
留数
f (z)
f (z)
f (z)
g(z) f (z) g(z) f (z)
g(z) f (z)
g(z) f (z) g(z) (z − z0)2 g(z) f (z)
g(z) f (z)
zl→imz0(z − z0)f (z) = 0 zl→imz0(z − z0)f (z) ̸= 0 zl→imz0(z − z0)k−1f (z) = ∞ zl→imz0(z − z0)kf (z) ̸= 0