四川大学信号与系统第一次实验报告(题目二)

周期信号⎩

⎨⎧<<-≤<-=21,5.110,5.0)(t t t t t x ，周期T=2. (1)写出x(t)的复指数形式和三角函数形式傅里叶级数表示；

⎪⎩⎪⎨⎧=∴-=-+-===-+-=====⎰

⎰⎰⎰⎰⎰---为奇，为偶，k 20)1(-1])5.1()5.0([21)(x 10])5.1()5.0([21)(x 12

22222221102110000π

ππππωππωk k a k dt e t dt e t dt e t T a dt t dt t dt t T

a T k k t jk t jk T t jk k T

)

k cos(2)(x )(x 1jk t a t e a t n k t n k ππ∑∑+∞=+∞-∞===

，

(2)利用“分析公式”或傅里叶级数性质求出谱系数； 由（1）知，⎪⎩⎪⎨⎧=为奇，为偶，k 2022πk k a k

（3）编程，对x(t)进行频谱分析，具体要求：

程序如下：

set(gcf,'color','w') %设置背景颜色为白色

fs=128; %采样频率fs=128Hz

tp = 1/fs; %采样时间间隔

N = fs*6*4; %采样点数，总采样时常为4秒

n = -N:N-1; %采样点序列

t = n * tp; %采样点时间序列

x=-0.5*sawtooth(pi*t,0.5); % 产生信号x(t)

subplot(311); plot(t,x); %画信号的时域波形

axis([-6,6,-0.5,0.5]); %规定坐标轴的取值范围

xlabel('时间(s)'); %横轴的名称、单位

ylabel('时域'); %纵轴的名称、单位

title('x(t)'); %图的名称

%%%%%%以下对信号进行FFT变换%%%%%%

Nf = 512; %做512点的FFT

y=fft(x,Nf)/Nf; %进行fft变换——复指数形式谱系数mag=abs(y); %求幅度谱

theta = angle(y)/pi*180; %求相位谱

%%%%%%修正幅度谱（三角函数形式谱系数）%%%%%%

delta_1 = [1, 2*ones(1,length(y)-1)];

mag = mag.*delta_1; %修正后的幅度谱

%%%%%%修正相位谱%%%%%%

delta_2= (mag>0.01); %判别式，利用逻辑运算实现

% 将幅值为0的频率分量的相位置为0”

theta = theta.*delta_2; %修正后的相位谱

f=(0:Nf-1)'*fs/Nf; %进行对应的频率转换

subplot 312

bar(f, mag, 0.1); %画幅度谱

axis([0,5,0,0.5]);xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅值');

subplot 313

bar(f, theta, 0.1); %画相位谱

axis([0,20,-200,200]);xlabel('频率(Hz)');ylabel('相位');

%%%%%%以下将主要频谱分量叠加，实现信号的重建%%%%%%

i=2; %定义循环变量

p=0;

while(i<100）%循环取值

magi=mag(i);

thetai=theta(i)/180*pi;

p=p+magi*cos(2*t*(i-1)*pi+thetai);

i=i+1;

end

plot(t,p) %画信号的时域波形 xlabel('时间（s）') %横轴的名称、单位ylabel('时域') %纵轴的名称、单位title('叠加后的函数图') %图的名称

axis([-6,6,-0.5,0.5])

grid on

iii. 将（2）的理论计算结果与FFT 分析结果相对比。

理论计算结果： ⎪⎩⎪⎨⎧=为奇，为偶，k 2022π

k k a k ，)k cos(2)(x 1t a t n k π∑+∞==

由幅频谱可知： 当k 为奇数时，k a 有值，k 为偶数时，k a 为0，符合理论计算结果。 由相频谱可知：

无论k 取值如何，k θ均等于零，符合理论计算结果。

（4）利用频谱分析的结果，将主要频谱分量叠加，实现信号的重建，并与原信号对比；

重建信号与原信号对比如下：

(5)对x(2t)进行频谱分析，并与原信号的频谱分析结果对比，验证傅里叶级数的尺度变换性质。

将（3）程序中x(t)表达式修改为：x=-0.5*sawtooth(2*pi*t,0.5); 由结果对比分析可知：

k a 不变，T 变为2T