材料力学-求弯曲位移)

③ 建立近似微分方程： EIw M x
④ 积分求 EIw 和 EIw; ⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 求指定截面的挠度和转角
5.2 积分法求梁的挠度和转角 讨论
??? 积分法求变形有什么优缺点？
优点：易理解；可得到挠度方程w(x)和转角方程
(x) ， 因而可求出任意截面的挠度和转角。
缺点：适用范围有限。
目录
例 如图所示简支梁，在C截面承受集中力
偶M作用，已知梁的刚度为EI，试求梁的挠曲
线方程， 并确定位移 A 、 B 和 wmax 。
M
A
C
B
a
b
积分法求梁的弯曲位移
1.由平衡条件求A.B端的约束反力
M
FA
M ab
()
FB
M ab
()
A
C a
b
B
2.建立弯矩方程
AC段：
M1
M ab
x
Mx
CB段：
M2
ab
M
(0 x a)
(a x a b)
3.建立挠度方程和转角方程
AC段：
EIw1 '
M ab
x2 2
C1
M x3 EIw1 a b 6 C1x D1
CB段：
EIw2
'
M ab
x2 2
Mx C2
EIw2
M ab
x3 6
M 2
x2
C2 x D2
4.由边界条件确定积分常数
x 0处，w1 0
x a处，1=2 x a处，w1 w2 x a b处，w2 0
D1 0
C1
M 3
(b 2a)
Ma 2 2(a b)
M (a b) Ma2
C2
3
2(a b)
Ma 2 D2 2
5.梁的挠曲线方程和转角方程
w1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6(a
M b)EI
(x3
2b2 x
a2x
k
qk 2
x ck
2
k
qk 2
x dk
2
说明：
☻Mi以顺时针为正，Fj、qk以向上为正。
☻Mi、Fj包括外载荷和约束反力。 ☻ai、bj分别是集中力偶和集中力作用点的坐标，
ck是均布力起点坐标，dk是均布力终点坐标。
奇异函数法求梁的挠度和转角 讨论
??? 奇异函数法求变形有什么优缺点？
优点：计算简便，避免了分段讨论的情况。
由于挠曲线是较平坦的光滑连续曲线，w 1，
故可忽略不计。
则
M x w
EI
即
EIw M x
适用条件：
——挠曲线近似微分方程
❖线弹性小变形；
❖对称弯曲的细长梁。
2、积分法确定梁的位移
d2w dx 2
w
M (x) EI
对等刚度梁 EI const, 若弯矩方程在全梁上连续
积分一次 积分二次
EIw l M xdx C
积分法和奇异函数法求弯曲位移
§5-1 挠曲线近似微分方程及其积分
静力学
1 M x
EI
x
数学
1
w 1 w2
32
y
M 0 w 0
M x EI
w 1 w2
32
x
得
Mx
w
EI 1 w2 3 2
y
M 0 w 0
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
Mx
w
EI
1 w2 3 2
可确定积分常数。 C0 EI' |x0 EI0
D EI0
Me
q
l q0
l q0
l
l
q0
例：图示矩形变截面梁，梁长L，材料弹性
模量为E。求梁自由端的转角和挠度。
b h
L F
x
(l-x)
y
l
F
x
解：
建立如图所示坐标系
l
2
积分法求解梁位移的思路与步骤：
① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程 M(x) ；
缺点：计算分析较繁琐；荷载复杂时分段多，积 分常数多。
目录
奇异函数法求梁的挠度和转角
一、奇异函数
对n≥0（n为正整数）的情况，函数
f
x
x
a
n
x
0
an
x a x a
—— 称为奇异函数
奇异函数的微分 奇异函数的积分
d x a n dx
n x a n1
x a n dx
x a n1
2abx)
w2
6(a
M b)EI
(x3
5a2
4ab
2b2 )
M
(x2 2
a2)
1
w1'
6(a
M b)EI
(3x2
2b2
a2
2ab)
2
w2'
6(a
M b)EI
(3x2
5a2
4ab
2b2 )
Ma
从而解得：
x 0处
A
C1 EI
M (b 2a) Ma2
3EI
2EI (a b)
M (2b2 2ab a2 ) 6EI (a b)
b2 2ab 2a2 3
max
M (b2 9
2ab 2a2 )3/2 3EI (a b)
奇异函数法求梁的弯曲位移
x
y
当w取最大时，有 0，代入上式，得
AC段有x1
n1
二、用奇异函数表示弯矩方程
M
M
F
q
l
a b c
列弯矩方程可用叠加法
a
+
F b
+q
c
1、仅有M作用的情况 Mx M x a 0
2、仅有F作用的情况 Mx F x b 1
3、仅有q作用的情况
M
x
x
a
y
F
b x
y
x
q
Mx q x c 2
c
x
2
x
y
4、M、F、q共同作用的情况
M x M x a 0 F x b 1 q x c 2
铰支座：w＝0； 弯曲变形的对称点：θ＝0。
连续性条件:挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值
l
A
2
Fl
C2
Bx
F
x
x0 w0
xl w0
xl 2 0
w
xl/2
C左 C右
wC左 wC右
x0 w0 0
w
EIw l M xdx C
EIw l l M xdx dx Cx D
若梁上弯矩方程无需分段，仅利用边界条件即
x a b处
B
M EI (a b)
(a b)2 2
M (a b) EI
D1 EI
M (2a2 2ab b2 ) 6EI (a b)
在AC段，令w1' 0，得 x1
a2 2ab 2b2 3
max
M (a2 9
2ab 2b2 )3/2 3EI (a b)
在CB段，令w2' 0，得 x2 a b
2
MF
q
MFq
a
l
b
c
a
l
b
c
d
Mx M
x a 0 F
x b 1
q 2
x c 2
q 2
xd
2
弯矩的通用方程
M x M i x ai 0 Fj x bj
i
j
k
qk 2
x ck
2
k
qk 2
x dk
2
M x M i x ai 0 Fj x bj
i
j
EIw l l M xdx dx Cx D
通过积分求弯曲位移的特征：
1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对 称弯曲。
2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连 续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相 应地分段积分。
3.确定积分常数的边界条件包括约束条件和连续性条件
约束条件: 固定端：w＝0；θ＝0；