初中数学七年级寒假班讲义实数运算1 (2)
精品 七年级数学寒假讲义 实数
实数 第01课 平方根1.乘方:“n a ”.乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次方或a 的n 次幂.2.平方:“2a ”，读作a 的平方或a 的二次方.3.平方的性质:任何数的平方都是非负数；算术平方根概念：一般地，如果一个正数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的算术平方根，也就是说，如果x 2=a ，（x>0）那么x 叫做a 的算术平方根.则a x = 算术平方根性质：(1)当a ≥0时a ≥0（由定义得出）即非负数的算术平方根是非负数⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （由定义得出）(2)个数性质：正数和0的算术平方根据都只有一个(3)还原性质：当0≥a 时，a a =2)(，即非负数算术平方根的平方等于该非负数 完全平方数：能够完全开方开的尽的数。
如1,4,9,16，...平方根概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根.则a x ±=开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.即求a ±的运算叫开平方. 表示方法：一个正数a 的平方根表示为a ±；若x 2=a (a >0)则x=a ±。
平方根的性质：(1)个数性质：正数有两个平方根，它们互为相反数,0只有一个平方根就是0本身.负数没有平方根 (2)还原性质：（由定义得出）当a ≥0时(a ±)2=a 即：非负数的平方根的平方等于该数 （三）a a a ±-,,的含义：a ：当a ≥0时，表示a 的算术平方根a -：当a ≥0时，表示a 的算术平方根的相反数a ±：当a ≥0时，表示a 的平方根平方根的求法： 逆运算法，查表法，计算器，式子计算查表法的理论根据： 如果正数的小数点向右或向左移动2位，那么它的算术平方根的小数点就相应地向右、向左移动一位. 查表外数小数点移动法则：（1）被开方数的小数点要两位两位地移动，移动到使被查数成为有一位或两位整数的数 （2）被开方数的小数点每移动两位，查得的算术平方根的小数点要向相反方向移动一位。
七年级实数的知识点总结
七年级实数的知识点总结实数是指包括有理数和无理数在内的一类数。
通过学习实数，我们可以更深入地了解数学知识，为未来的学习奠定基础。
在这篇文章中，我们将简要总结七年级学习实数的知识点，并且为学生提供一些学习建议。
一、实数的分类在初中数学中，实数被分为有理数和无理数两类。
有理数包括整数、分数、以及其它可以用整数和分数表示的数；而无理数则指那些不能够用分数表示的数。
例如根号2，它是一个无理数。
二、实数的运算1. 加法和减法实数的加法和减法是初中数学中很基础的知识点，用于计算两个数的和或差。
在进行实数的加减法时，我们需要注意两数的符号以及规律：-两个正数相加或相减，得到的结果也是正数；-两个负数相加或相减，得到的结果也是负数；-一个正数和一个负数相加或相减，结果的正负性取决于两数的大小关系。
2. 乘法和除法实数的乘法和除法同样也是基础的数学知识，用于计算两数的积或商。
同样需要注意两数的符号以及规律：-两个正数相乘得到的结果也是正数；-两个负数相乘得到的结果也是正数，即负负得正；-一个正数和一个负数相乘，得到的结果是负数；-不能除以0。
三、平方根平方根是数学中比较基础的知识点，也是实数中一个重要的变化形式。
我们需要掌握如何求解一个数的平方根，以及对平方根的一些基本概念：-如果一个数的平方根是有理数，那么这个数就是一个完全平方数；-如果一个数的平方根是无理数，那么就叫做无理数根。
四、绝对值绝对值是一个数与0之间的距离。
在初中数学中，我们需要求解数字的绝对值，以及掌握绝对值的一些基本性质：-绝对值为正数；-绝对值与原来的数相同，如果原来的数是正数；-绝对值与原来的数相反，如果原来的数是负数。
五、学习建议在学习实数的过程中，我们需要做到以下几点：1.掌握实数的基本概念和运算方法。
2.加强计算练习。
3.理解实数的特殊性质。
4.准确掌握实数和其他数学概念之间的联系。
通过积极学习实数的知识点，我们可以更好的掌握数学的基础，为未来的学习打下坚实的基础。
(精品)数学讲义7年级寒假班03-实数的运算及有效数字-教师版
初一数学寒假班（教师版）知识点1：实数比较大小正数＞0＞负数；比较两数大小是中学数学中的基本类型．基本技能，以下介绍几种常用的方法：1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；2．平方法：将两个数先平方，再来判定两个数大小的方法；3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．即a b-大于、等于、小于0可判定a大于、等于、小于b；4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．即ab大于、等于、小于1，可判定正数a大于、等于、小于正数b；5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的a，b两数，若11a b<，则a b>；若11a b>，则a b<．知识点2：数轴上两点的距离公式实数的运算知识结构模块一实数的运算知识精讲在数轴上，如果点A ．点B 所对应的数分别为a ．b ，那么A ．B 两点的距离AB a b =-． 知识点3：实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：第一组：2()(0)a a a =≥；2a a =； 第二组：(00)ab ab a b =≥≥，；(00)a aa b b b=≥>，．【例1】 填空：1．在数轴上，原点左边是实数，原点右边是实数，原点为0；2．数轴上右边的点所表示的数 左边的点所表示的数．【难度】★【答案】1．负，正；2．大于． 【解析】考查实数的大小比较的最基本方法．【例2】 化简：（1）6242-+； （2）33-；（3）3242； （4）22⎛÷- ⎪⎝⎭；（5）()332-；（6）()232-．【难度】★【答案】（1）22-； （2）3-；（3）24；（4）2-；（5）2-；（6）18． 【解析】（2）原式=333233-=-=-； （4）原式=()222⨯-=-； （6）原式=()()323218-⨯-=．【例3】 下列各式计算正确的是（ ）A ．382=±B ．()()6363222-=-=-C ．611642=D ．()()2222--=-例题解析【难度】★【答案】C【解析】A 、原式=2；B 、原式2==；D 、左边=2-，右边=2，所以不相等．【总结】考查实数的基本运算，注意法则的准确运用．【例4】 比较下列各数的大小（填“＞”．“＝”或“＜”）（1）；（2）(2)-； （3（4； （5） （6）．【难度】★★【答案】（1）<； （2）>； （3）< ； （4）< ； （5）> ； （6）<．【解析】（1）(212=<(218= ； （2）()224-=>2-=（3）625=<627=； （44=；（5）(220=>(218=； （6） 3.1415π≈< 3.1622≈．【总结】考查实数的比较大小，注意平方法是最常用的方法，一些常用的近似数要熟记．【例5】 比较大小：（1）2；（2（取倒法）．【难度】★★【答案】（1）< ； （2）<．【解析】（1）∵(224610+=++=+211=+∴2<+（；（2=> =， ∴<． 【总结】考查利用平方法比较实数的大小．【例6】 下列说法正确的是（） A ．若a b =，则1122a b = B ．若22a b >，则a b >C ．若2a =，则a b =D 15b =，则a b =【难度】★★【答案】D【解析】A 、a 、b 可能一个为正一个位负，错；B 、错；C 、a 可能是负数，错；D 、正确． 【总结】考查实数的相关概念及运算，注意从多个角度去分析．【例7】 如果4a =，2b =，且0ab <，则a b +=________． 【难度】★★【答案】0．【解析】∵2b =，∴b =4，又∵ab <0，∴a =-4，∴0a b +=． 【总结】考查实数的基本运算，注意判定a 、b 的符号．【例8】 化简：（1）如果在数轴上表示,a b 两个实数的点的位置如图所示，化简：a b a b -++（2）如图，实数a 在数轴上所对应的点是P ，化简代数式12a a +++． 【难度】★★【答案】（1）2a -； （2）1．【解析】（1）由图易知00a b a b <>>，且， ∴a b a b -++=2b a a b a ---=-； （2）由图易知21a -<<-，∴原式12121a a a a +++=--++=．【总结】本题主要考查含绝对值的代数式的化简，注意判定绝对值里的数的正负．【例9】 计算：（1）31627--；（2）31148-+． 【难度】★★【答案】（1）7； （2）0．【解析】（1）原式=4(3)7--=； （2）原式=11022-+=．【总结】考查实数的基本运算，注意符号的变化． 【例10】 计算：（1）()()5353-+；（2）()253-；（3）16666⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（4）()331651254⨯-⨯．【难度】★★a b0 -2 P -1 0 1【答案】（1）4-； （2）14-； （37； （4）40．【解析】（1）原式=2234-=-； （2）原式=5914+-=-（3）原式617-=； （4）原式=5840-⨯=． 【总结】考查实数的基本运算，能简便运算时要简便运算．【例11】 计算：（1）⎛- ⎝；（2）37；（3 （42【难度】★★【答案】（1）（2）； （3） （4）．【解析】（1）原式=1533⎛=-+ ⎝（2）原式=()4278⨯--⨯--（3）原式==；（4）原式11--- 【总结】考查实数的基本运算，注意公式及法则的准确运用．【例12】 设5的小数部分为a ，5b ，求5ab b +的值． 【难度】★★【答案】2．【解析】∵23<<， ∴758<， 253<<，∴57+，52，∴572a =+=，523b ==-∴)((52537615ab b +=+=-+-2=．【总结】本题综合性较强，主要考查了求一个无理数的整数部分和分数部分，要注意对方法的归纳总结．【例13】 5x y -=，则1yx -=_________．【难度】★★．【解析】由二次根式的定义得：20202x x x -≥-≥∴=，，，3y =-，∴1113322yx ---===【总结】本题主要考查平方根性质的运用及实数的基本运算．【例14】 310=110-=，且2a x x b=，求x 的值．【难度】★★★【答案】10．【解析】由题意，得：631010a b -==，，又∵2a x x b=， ∴3310x ab ==，∴x =10．【总结】本题主要考查开方与乘方的综合运用，注意两者的区别．【例15】 化简下列各式：（123a +；（2）1-（其中12x <<）；（3）23x x -+-．【难度】★★★【答案】（1）23a +； （2）2x -； （3）见解析．【解析】（1）原式=2233a a =+；（2）原式=1122x x x --=-=-； （3）当3x ≥时，原式2325x x x =-+-=-； 当2<x <3时，原式231x x =--+=； 当x 2≤时，原式2352x x x =--+=-．【总结】考查实数的基本计算及含绝对值的化简，注意要分类讨论．【例16】 0=，求7()20x y +-的立方根．【难度】★★★【答案】5-．【解析】由题意，知：22025050y x x x -=-=->，，，∴510x y =-=-，． ∴7()207(510)20125x y +-=⨯---=-， ∴7()20x y +-的立方根是5-． 【总结】考查非负数的和为零的基本模型以及求实数的立方根的运算．【例17】 =________；=________．【难度】★★★【答案】（1）1； （21．【解析】（11=；（2）原式1．【总结】考查复合二次根式的化简，综合性较强，注意方法的总结，教师讲解时选择性讲解．【例18】 已知：15a a -+=，求（1）22a a -+；（2）1122a a-+；（3）1122a a --．【难度】★★★【答案】（1）23； （2）7； （3）3± 【解析】（1）()22211225223a a a a aa ---+=+-=-=；（2）∵2111222527a a a a --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，且11220a a -+>， ∴11227a a -+=；（3）∵221111112222224743a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11223a a --=±．【总结】考查完全平方公式在实数运算中的运用，注意对符号的判定．【例19】 已知2201720172017a a a a -+-=-，求的值。
浙教初一数学讲义：第八讲 实数及实数的运算
第八讲 实数及实数的运算一、知识结构·实数1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数4.π是正无理数，，π-是负无理数。
由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数05. 实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 6. 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。
7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。
二、例题类型一、有关概念的识别例1．下面几个数：57223064.0010010001.1,7231.03，，，，π-⋅⋅，其中，无理数的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【变式1】下列说法中正确的是（ ）A 、81的平方根是±3B 、1的立方根是±1C 、11±=D 、5-是5的平方根的相反数 【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）A 、1.5B 、1.4C 、2D 、3类型二、计算类型题例2．设a =26，则下列结论正确的是（ ） A.B.C.D.举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________.3） 3）___________，___________，___________.【变式2】求下列各式中的（1）252=x （2）()912=-x （3）643-=x类型三、数形结合例3. 点A 在数轴上表示的数为53，点B 在数轴上表示的数为2，则A ，B 两点的距离为______ 举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是（ ）．A ．12-B ．21-C ．22-D ．22-类型四、实数非负性的应用例4．已知()026262=++-+-z y y x x ，求()33z y x --的值。
学而思初一数学寒假班第1讲.实数初步.教师版 (2)
实数8级 实数的计算与化简 实数7级 实数初步实数6级 绝对值“实数”的风波漫画释义满分晋级阶梯1实数初步题型切片（三个） 对应题目题型目标平方根的定义与性质 例1；例2；例3；例8；演练1，2，3； 立方根的定义与性质 例4；例5；演练4,5； 实数 例6；例7；演练6考点一:了解平方根及算术平方根的概念1、49的平方根是 ，16的算术平方根是 .【解析】7,4±考点二:了解立方根的概念2、8-的立方根是 ，8的立方根是 .【解析】2,2-考点三:了解无理数的概念3、下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？322π20.230.131331333 (7)，，，，【解析】有理数：227，0.23，；无理数：3π20.131331333...，，编写思路考点剖析知识互联网题型切片【例1】考察平方根及算术平方根的概念及性质，用根号表示非负数的平方根及算术平方根； 【例2】利用非负数的性质解题；【例3】要挖掘被开方数为非负数的隐含条件，确定字母取值范围或取值解题； 【例4】考察立方根的概念及性质；【例5】考察立方根与算术平方根的区别； 【例6】考察无理数、实数的概念； 【例7】考察实数与数轴的关系；【例8】考察无理数的小数及整数部分.【教师备案】 1、知识点引入：2、老师可以在讲的过程中结合具体例子总结：⑴当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．定 义 示例剖析平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．也就是说，若2x a =，则x就叫做a 的平方根．()224±=，2±就叫做4的平方根平方根的表示：一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 5的平方根可表示为5±总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定：0的算术平方根为0．4的平方根是2±，其中2叫做4的算术平方根. 算术平方根的表示：一个非负数a 的算术平方根可用符号表示为“a ”． 5的算术平方根可表示为5 双重非负性： 在式子a 中，0a ≥且0a ≥.式子1x -有意义，101x x -≥≥， 总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根. 平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方 运算互为逆运算.()()20,a a a =≥()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩知识导航模块一 平方根的定义与性质⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 为何值，总有()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a <<≤时，它的算术平方根也介于1a 、2a 之间，即：120a a a <<≤.利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．对新概念的理解能力【例1】 ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：①4964； ②0.0001； ③5； ④()23-； ⑤16. ⑵ 求下列各式的值：①25； ②0.01±； ③169-； ④()22-； ⑤()26-； ⑥416a⑶ 解关于x 的方程：①2449x =； ②231080x -=；③()225136x -=⑷ 比较下列各数大小：①2___3 ②2___3 ③140___12⑸ 一个正数的平方根是31a +和5，则a =_________.【解析】 ⑴ ① 78±和78； ②0.01±和0.01； ③5±和5； ④ 3±和3； ⑤2±和2⑵ ① 5； ②0.1±； ③13-； ④2； ⑤6； ⑥24a⑶①72±；②6±；③111,55-⑷① <;② >;③ <.⑸2-.非负性的考查【例2】 ⑴ 若230x y ++-=，则xy 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．5D ．6 （北京中考）⑵若()24a -与5b +的值互为相反数，则2a b +的平方根是 . ⑶若()22320070a b c -+-+-=，求()22ca b -的值．【解析】 ⑴ B.⑵ 4a =，5b =-，23a b +=，∴平方根是3±.夯实基础能力提升⑶()222,3,2007,1ca b c a b===∴-=-综合应用能力【例3】 ⑴已知225(1)2005x xy x -+-=+-⋅，求x y 的值.⑵已知2211604n m m m-++-=-，则2mn n +-的倒数的算术平方根为_______.⑶已知20102011a a a -+-=，求22010a -的值.【解析】 ⑴∵20x -≥且20x -≥∴20x -= 即2x =，∴5y = ∴2525x y ==⑵ 49m n =-=-，，结果为15⑶∵20110a -≥ ∴2010<0a -∴原式为 20102011a a a -+-= 20112010a -=，两边平方得220112010a -= ∴220102011a -=定 义示例剖析立方根概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.328=， 2就叫做8的立方根表示：一个数a 的立方根可用符号表示3a ，3a 读作“三次根号a ”.5的立方根可表示为35总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.()333333,,a a a a a a ==-=-知识导航模块二 立方根的定义与性质对新概念的运用能力【例4】 ⑴ 求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338； ④64； ⑤ ()25-；⑵ 比较大小①310 311； ②9 327 ⑶ 求出下列各式中的a ：①若30.343a =，则a = ； ②若33213a -=，则a = ； ③若31250a +=，则a = ；④若()318a -=，则a = ．⑷ 下列四种说法中，正确的是（ ）A 、33x -没有意义B 、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0C 、一个正数有两个立方根D 、互为相反数的立方根也互为相反数【解析】 ⑴ ① 1-； ②2； ③32； ④ 2； ⑤ 325⑵ ①< ②=⑶ ①0.7 ② 6 ③5- ④3；⑷ D考查综合运用能力【例5】 ⑴3311x x -+-中的x 的取值范围是 ，11x x -+-中的x 的取值范围是 ．⑵ 若331y -和312x -互为相反数，求xy 的值.【解析】 ⑴ 任意实数；1x =⑵ ∵331y -与312x -互为相反数，∴31y -与12x -也互为相反数， 即(31)(12)0y x -+-=，∴3320,32,2x y x y x y -===夯实基础能力提升注：无理数的四种形式： （1）圆周率π（2）开不尽的方根；325，（3）含有无理数的式子；+13+17π， （4）特殊结构的数. 0.101001000100001......(10)相邻两个之间依次多个对新概念的运用能力【例6】 ⑴ 下列说法正确的个数为（ ）①无理数都是实数 ②实数都是无理数 ③无限小数都是无理数 ④带根号的数都是无理数 ⑤没有绝对值最小的实数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个定 义示例剖析无理数：无限不循环小数叫无理数332523-π，，，，…都叫做无理数实数：有理数和无理数统称实数.5和35都是实数实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.分类：0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数正分数实数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数夯实基础知识导航模块三 实数⑵ 在33320.318127 3.1470.4829 1.020020002...90.523π------，，，，，，，，，，中，无理数有_________个.⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：①6-；② 3.14π-；③312-；④32-⑷ 已知x 是4的平方根，32y =-，25z =，求2x y z +-的值.【解析】 ⑴ A;⑵5个；⑶相反数：①6；②3.14π-；③321-；④23- 绝对值：①6；② 3.14π-；③321-；④23-.⑷ 19,23--实数与数轴的一一对应关系【例7】 ⑴如图所示，在点A 和点B 之间表示整数的点共有_________个.5-3B A⑵如图所示，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点C 到点A 的距离与点B 到点A 的距离相等，则C 所表示的数是（ ） A 、21- B 、12- C 、22- D 、22-【解析】 ⑴ 4个；⑵ C近年来对无理数的估算问题考查的越来越多，先给老师们准备几个有关整数部分和小数部分的题，然后再通过一道真题进行详细讲解，并让学生逐步掌握估算无理数范围的方法. 无理数的估算问题【铺垫】⑴ 若404m =-，则估计m 的范围为（ ）A.1<<2mB.2<<3mC.3<<4mD.4<<5m（实验中学期中）⑵ 若实数k 的整数部分是3，则k 的取值范围是___________.⑶ 观察例题：∵4<7<9，即2<7<3，真题赏析能力提升B A O 221∴7的整数部分为2，小数部分为72-. 请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果2的小数部分为a ，3的小数部分为b ，求a b ，的值.【解析】⑴ B; ⑵916k <≤ ⑶2131a b =-=-，.【例8】 （2012海淀期末考试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值。
初一讲义 第一讲实数及运算
能力提高型 思维开拓型: 实数及运算专题训练【知识重点】1. 为什么学平方根、立方根算术平方根的概念：算术平方根具有非负性：2. 平方根的概念：平方根的特性：3. 立方根概念：立方根的特性：开立方： （重要概念）※ 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。
0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。
（立方根类似） ※ 平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。
※ 正数有两个平方根（一正一负）；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
※正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
※ 实数化简公式：b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a ba =(a ≥0,b ＞0) ※．有理数(1) 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。
(2) 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。
(3) 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
例如： 0.333 …， 5.32727 …等等。
注意 ：循环小数是无限小数，也称作无限循环小数。
※无理数(1)无理数：无限不循环小数叫做无理数。
(2)无理数的特征：---无理数的小数部分位数不限；---无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。
※．实数：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：由以上学到的，我们可以对实数进行分类(1)按定义：(2)按符号：实数分为正实数，零，负分数。
分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂：()1,,0>∈>=+n N n m a a an m nm 且讨论：为什么a ﹥0？根据正数的正分数指数幂的规定如何定义正数的负分数指数幂呢？ 答案：当a ﹤0，n 为偶数，m 为奇数时，n m nm a a=中的根式没有意义()1,,011>∈>==+-n N n m a aaanmnm nm 且从以上规定，我们得到0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
【七年级寒假班讲义】第3讲 实数的运算及有效数字(学生版)
知识点1：实数比较大小正数＞0＞负数；比较两数大小是中学数学中的基本类型．基本技能，以下介绍几种常用的方法： 1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法； 2．平方法：将两个数先平方，再来判定两个数大小的方法；3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．即a b -大于、等于、小于0可判定a 大于、等于、小于b ；4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．即ab大于、等于、小于1，可判定正数a 大于、等于、小于正数b ；5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的a ，b 两数，若11a b <，则a b >；若11a b >，则a b <．知识点2：数轴上两点的距离公式在数轴上，如果点A ．点B 所对应的数分别为a ．b ，那么A ．B 两点的距离AB a b =-．实数的运算 知识结构模块一 实数的运算知识精讲- 2 - 知识点3：实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：第一组：2()(0)a a a =≥；2a a =； 第二组：(00)ab ab a b =≥≥，；(00)a aa b b b=≥>，．【例1】 填空：1．在数轴上，原点左边是实数，原点右边是实数，原点为0；2．数轴上右边的点所表示的数 左边的点所表示的数． 【例2】 化简：（1）6242-+； （2）33-；（3）3242； （4）22⎛÷- ⎪⎝⎭；（5）()332-；（6）()232-．【例3】 下列各式计算正确的是（ ）A ．382=±B ．()()6363222-=-=-C ．611642=D ．()()2222--=-【例4】 比较下列各数的大小（填“＞”．“＝”或“＜”） （1）23 32；（2）2(2)- 38-； （3）353；（4）154； （5）2532； （6）π10-．【例5】 比较大小：（1）26+________322+（平方法）； （2）75-（取倒法）________53-．例题解析【例6】 下列说法正确的是（） A ．若a b =，则1122a b = B ．若22a b >，则a b > C ．若()2a b =，则a b =D ．若155a b =，则a b =【例7】 如果4a =，2b =，且0ab <，则a b +=________． 【例8】 化简：（1）如果在数轴上表示,a b 两个实数的点的位置如图所示，化简：a b a b -++（2）如图，实数a 在数轴上所对应的点是P ，化简代数式12a a +++．【例9】 计算：（1）31627--；（2）31148-+．【例10】 计算：（1）()()5353-+；（2）()253-；（3）16666⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（4）()331651254⨯-⨯．【例11】 计算：（1）1523223⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）()33524872+--；（3）11544520512535-+-； （4）()()2213362--⨯÷．a b0 -2 P -1 0 1- 4 -【例12】设5的小数部分为a，5-的小数部分为b ，求5ab b +的值．【例13】5x y -=，则1yx-=_________．【例14】310=110-=，且2a x x b=，求x 的值．【例15】 化简下列各式： （123a +； （2）1-（其中12x <<）；（3）23x x -+-．【例16】0=，求7()20x y +-的立方根．【例17】=________；=________．【例18】 已知：15a a -+=，求（1）22a a -+；（2）1122a a -+；（3）1122a a --．【例19】 已知2201720172017a a a a -+-=-，求的值。
七年级实数的运算知识点
七年级实数的运算知识点实数是指整数、分数和无理数的总称。
实数的运算是数学中的基础，掌握实数的运算方法对于学习其他数学知识也非常重要。
下面就来介绍一下七年级实数的运算知识点。
一、加减法整数、分数和小数的加减法都是很基础的知识点。
具体方法如下：1. 整数加减法：同号相加、异号相减；2. 分数加减法：通分后进行加减运算；3. 小数加减法：对其进行补位，使小数点对齐后进行加减运算。
例如：计算 3/4 + 7/8通分后得到：3/4 × 2/2 + 7/8 × 1/1 = 6/8 + 7/8 = 13/8二、乘法实数的乘法包括整数、分数和小数的乘法。
具体方法如下：1. 整数乘法：乘数相乘后乘积与被乘数正负相同；2. 分数乘法：将分子相乘得到新分子，分母相乘得到新分母，再将新分子新分母约分；3. 小数乘法：对其进行竖式计算，把小数点后的位数相加得到最终结果。
例如：计算 0.5 × 0.40.5 × 0.4 = 0.2三、除法实数的除法也包括整数、分数和小数的除法。
具体方法如下：1. 整数除法：除数不能为0，商的符号与被除数、除数正负性有关；2. 分数除法：将除数转化为倒数，然后乘以被除数即可；3. 小数除法：小数除以小数时，先将除数乘以10，直到除数变成整数，再进行竖式计算。
例如：计算 0.4 ÷ 0.50.4 ÷ 0.5 = 0.8四、乘方乘方就是把一个数自乘n次。
例如2的3次方是2×2×2=8。
具体方法如下：1. 正数的乘方：将底数乘以自己n次方；2. 负数的乘方：先把负号提取出来，变成正数的乘方，再判断指数n的奇偶性，若为偶数，则结果为正数，否则结果为负数；3. 零的乘方：任何数的零次方等于1，0的任何次方都是0。
五、根号根号也是一种运算符号，它表示求某个数的根。
例如√9表示求9的平方根，结果为3。
具体方法如下：1. 求平方根：利用连续试探法或二分法等方法求出结果；2. 求立方根、四次方根等：按照同样的方法进行计算。
七年级数学讲义一：实数
1、 七年级数学讲义一：实 数姓名【知识梳理】实数的分类无理数数轴上的点与实数一一对应右边的点表示的数比左边的大数轴上两点之间的距离b a AB -=实数的运算 分数指数幂已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32⨯-•π25， 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）.（1）按要求填空：无理数有______________________________,有理数有______________________________，整数有________________________________.分数有______________________________,（2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置.（3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）例题2 平方根.立方根,n 次方根的概念填空：（1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______；（3）64=______； （4）32的五次方根是______；（5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______；（7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．2．的算术平方根是________．3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________．4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________．5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________．6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______，7．当a ________时，1-a 有意义．8、 求下列各式的值．（138-= （2）327= （3）30.125-=（4）33(0.001)--= （53512= （6）32764--= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169=9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数例题3 概念辨析：下列等式是否正确改错。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。
简单来说，实数就是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）以及分数（正分数、负分数），都属于有理数。
例如3、－5、0、1/2 等等。
而无理数呢，则是无限不循环小数。
比如大家熟知的圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356 这些数都是无理数。
二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。
如果按照符号来分，可以分为正实数、零、负实数。
正实数，就是大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数，是小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
零，既不是正实数，也不是负实数。
从另一个角度，如果按照是否为有理数来分，实数就分为有理数和无理数。
有理数又可以进一步细分为整数和分数。
整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b，在三种关系中，有且仅有一种成立：a ＜ b，a ＝ b，a ＞ b。
2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的，也就是说，在任意两个不同的实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。
3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算（除数不为 0），其结果仍然是实数。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：a × b ＝ b × a乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)乘法分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，其定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。
绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。
四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
七年级第六章实数知识点
七年级第六章实数知识点实数是数学中的基础概念之一，也是数学中最基本的知识点之一。
本文将介绍七年级第六章实数的知识点，包括实数的定义、实数的分类、实数的运算、实数的性质等方面。
一、实数的定义实数是指所有有理数和无理数的总称，是数学中最基本的数量类型之一。
实数包括整数、分数、小数、无限不循环小数和无限循环小数。
二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是指可以表示成两个整数的比的数，包括正整数、负整数、正分数和负分数。
无理数是指不能表示为两个整数的比的数，无限不循环小数和无限循环小数都是无理数。
三、实数的运算实数可以进行加、减、乘、除四则运算。
具体的运算规则如下：1.加法：两个实数相加，其和仍是一个实数。
2.减法：两个实数相减，其差仍是一个实数。
3.乘法：两个实数相乘，其积仍是一个实数。
4.除法：两个实数相除，其商仍是一个实数。
四、实数的性质实数具有以下性质：1.交换律：实数加法和乘法具有交换律，即a+b=b+a，ab=ba。
2.结合律：实数加法和乘法具有结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)。
3.分配律：实数乘法对加法具有分配律，即a(b+c)=ab+ac。
4.存在相反数：对于任意实数a，存在它的相反数-b，使得a+b=0。
5.存在倒数：对于任意非零实数a，存在倒数1/a，使得a×(1/a)=1。
6.存在无限接近的实数：对于任意实数a和正数ε，总存在一个实数b，使得|a-b|<ε。
综上所述，实数是数学中最基本的知识点之一。
了解实数的定义、分类、运算和性质对于学好数学非常重要。
我们希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地掌握实数的知识。
初中数学七年级寒假班讲义实数运算2(乘除)
学科教师辅导教案学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：朱兴课程主题：实数计算授课时间： 2018年学习目标实数计算2教学内容内容回顾1）近似数；2）实数加减知识精讲知识点一（实数运算）1.实数的运算规则在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立实数运算时注意事项：两个有理数可以任意进行加减乘除乘方运算，其结果一定是有理数；两个无理数在进行加减乘除乘方运算时，结果可能是有理数，可能是无理数，且进行乘除运算时，只有被开方数相同才能运算，原理类似于合并同类项。
2.实数的运算顺序实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的。
3.实数的运算结果涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简。
4.实数)0(≥a a 运算法则（1）()(0)a c b c a b c c ±=±≥ （2）)0,0(≥≥=⋅b a ab b a （3）()0,0a aa b bb =≥> （4）())0(≥=a a a n n例1. 计算：（1）1232⨯÷（2）(323)3-÷ 分析：本题考查了实数的运算，熟知有理数与无理数之间的乘除法则是解答此题的关键。
【答案】（1）解：原式()2=232=23=23⨯⨯⨯（2）解：原式=[]()22111(3)23=323=32333-⨯⨯-⨯-试一试：计算：（1）23(27653)-+ （2）(432)22-÷【答案】3(1)4862(2)222--例2. 计算：（1）2(23)+ （2）(2332)(2332)+-分析：根据平方差和完全平方公式进行展开。
【答案】22222(23)(2)223(3)526(2332)(2332)(23)(32)6+=+⨯+=++-=-=-试一试：计算：(236)(236)+--+ 【答案】解：原式=[][]222(36)2(36)(2)(36)+-----=2(3218673-+=-= -+6）例3. 计算：（1）20132014(32)(32)-+ （2）()2213223-⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭分析：根据平方差公式、及负幂指运算是关键。
七年级实数知识点讲解
七年级实数知识点讲解一、实数的概念和定义实数是指可以用有限小数或无限小数表示的数，包括有理数和无理数。
有理数是可以写成两个整数之比的数，无理数则不能。
实数是数学中最基本的概念之一，广泛应用于各种数学、科学和工程领域。
二、实数的分类实数可以按照它们是否能被写成两个整数之比来分类，能的是有理数，不能的是无理数。
有理数包括整数、分数和小数，例如1、-2/3和0.125。
无理数则包括无限不循环小数和无限循环小数，例如√2和π。
三、实数的运算实数有四种基本运算：加、减、乘、除。
其中加、减又称加法、减法，乘、除又称乘法、除法。
实数的加减法和乘除法遵循一定的运算规律，例如交换律、结合律、分配律等。
四、实数的比较实数之间可以进行大小比较。
对于两个实数a和b，如果a>b，那么a比b大；如果a<b，那么a比b小；如果a=b，那么a和b相等。
在比较实数大小时，需要考虑它们的符号、整数部分和小数部分以及是否是有理数还是无理数等因素。
五、实数的绝对值实数a的绝对值是一个非负数，记作|a|。
如果a>0，则|a|=a；如果a≤0，则|a|=-a。
实数的绝对值有以下几个性质：（1）|a|≥0，等号成立当且仅当a=0；（2）|a·b|=|a|·|b|；（3）|a+b|≤|a|+|b|；（4）|a-b|≤|a|+|b|。
六、实数的约束条件在一些实际问题中，实数会受到一定的约束条件，例如方程、不等式、等式等。
解这些问题时，需要寻找满足约束条件的实数解，并给出解的范围或特点。
七、实数的应用实数是数学中最基本的概念之一，广泛应用于各种数学、科学和工程领域。
在几何中，实数可以用来表示线段、面积、体积等物理量；在代数中，实数可以用来表示变量、方程、函数等；在统计学中，实数可以用来表示随机变量、概率等。
实数的应用非常广泛，是数学学科中必不可少的基础知识之一。
八、总结实数是数学中最基本的概念之一，包括有理数和无理数。
著名机构数学讲义寒假06-七年级基础版-实数的运算复习-教师版
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学科数学课题名称实数的运算复习实数的运算复习知识模块Ⅰ：实数的分类与表示1.实数的分类⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎩⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零负整数有理数实数正分数分数可化为有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法． 数轴三要素：______________________________； 3．相反数：a ，b 互为相反数 a+b=0；4.绝对值：|a |=___________； 5．倒数：a ，b 互为倒数 即：ab =1；6．近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数，有效数字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字； 7．科学计数法：N =________×__________. 【例1】 填空：这些数中：5431610240.3313 1.53253325333295---&L 、、、、、、 有限小数有_________________________________________________； 无限小数有_________________________________________________； 有理数有________________________________________________； 无理数有_______________________________________________； 实数有_______________________________________________；小数有______________________________________________．【答案】有限小数：5416102495-、、、；无限小数：30.3313 1.532533253332...•--、、；有理数：541610240.331395•--、、、、；无理数：3 1.532533253332...-、；实数：5431610240.3313 1.53253325333295---&L 、、、、、、；小数：430.3313 1.5325332533325--&L 、、、．【例2】请你辨别：如图1是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形图1边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个．【答案】3、6．【例3】下列语句正确的是（）A．3.78788788878888是无理数B．无理数分正无理数、零、负无理数C．无限小数不能化成分数D．无限不循环小数是无理数【答案】D【例4】填空：（1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________；（2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________；（3）设实数a≠0，则a与它的倒数、相反数三个数的和等于____________，三个数的积等于______．【答案】（1）0、-1；（2）正数；（3）1a、a-．【例5】填空：实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a___________0，a+b _______0，b a--________0，化简2a a b-+=________．【答案】<、>、<、3a b--．【例6】指出下列近似数分别精确到哪一位，并回答有几个有效数字?（1）98.765；（2）98.765万；（3）12.30亿；（4）21.230010⨯．【答案】（1）千分位，5个；（2）十位，5个；（3）百万位，4个；（4）百分位，5个a0b【例7】 当人造地球卫星的运行速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，它能环绕地球运行，已知第一宇宙速度的公式是v 1=gR (米/秒），第二宇宙速度的公式是v 2=2gR (米/秒)，其中g =9.8米/秒，R =6.4×106米.试求第一、第二宇宙速度（结果保留两个有效数字）． 【答案】317.910/v m s =⨯，42 1.110/v m s =⨯．【例8】 比较下列各式的大小：（1）33和42；（2）62+和35+；（3）12099-和9877-． 【答案】（1）< ； （2）<； （3）<．知识模块Ⅱ：数的开方与分数指数幂1．平方根，2若，则数叫做正数的平方根记作==x a x a x _____a ±____； 2．立方根:若33x a x a x a ==，则数叫做数的立方根记作；3．N 次方根: 实数a 的奇数方根有且只有一个，用n a 表示； 注意：实数a 的偶数方根有两个，为n a 、-n a ，其中a ＞0； 负数的偶次方根不存在； 零的n 次方根等于零，00n =；4．nmn ma a =(a ≥0)，1mnnmaa-=(a ＞0)，其中m 、n 为正整数，n ＞1．【例9】 判断题：（1）－0.01是0.1的平方根．（）（2）－52的平方根为－5．（）（3）0和负数没有平方根．（） （4）因为116的平方根是±14,所以116=±14．（）【例16】 （1）已知2x +和x 分别是某整数的平方根，求这个整数；（2）已知364a ++|b 3－27|=0，求(a －b )b 的立方根．【答案】（1）1； （2）-7．【例17】 解答：（1） 已知：10404=102，x =0.102，求x 的值；（2） 已知：318 2.621=，31.8 1.216=，30.180.565=，求318000000的值． 【答案】（1）0.010404； （2）262.1．知识模块Ⅲ：实数的混合运算实数的运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；若有括号，先算括号内的值；同一级运算应从左至右，按顺序进行；若需改变运算顺序，必须依据运算律进行. 【例18】 计算：（1）81832++；（2）271275-+； （3）123273+-． 【答案】（1）92； （2）63； （3）1433．【例19】 计算：（1）212116-+（）； （2）2142164236-+；（3）02483(43)3++-； （4）213(36)8++-+．【答案】（1）94； （2）5063-； （3）10； （4）4．【例20】 计算： （1）118|12|4-+-；（2）2313()|13|272------+．【答案】（1）22； （2）23．【例21】 计算：（1）113369271.5()27464-⋅--⋅ （2）31124492[()]()43--⋅． 【答案】（1）3-； （2）23-．【例22】 计算：（1）33369364827336x x xy x y xy y ⋅⋅⋅； （2）3221111x x x x x x---++++（1x ≥）．【答案】（1）4223x xy ； （2）0．【习题1】 判断正误：（1）有理数包括整数、分数和零；（ ） （2）无理数都是开方开不尽的数；（）。
初中数学七年级寒假班讲义实数运算1
学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：朱兴 课程主题： 实数计算 授课时间： 2018年学习目标实数计算1教学内容1）立方与立方根； 2）N 次方根知识点一（无理数数轴表示）【知识梳理】无理数可以在数轴上表示出来吗？（1） 在数轴上表示2 （2）在数轴上表示π可以让学生们讨论总结，然后给出结论总结：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而且这样的点是唯一的。
反过来，数轴上的每一个点也可以用唯一的一个实数来表示。
数轴上的点和实数一一对应。
数轴上点的意义：知识精讲内容回顾在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离是0 · 3 0.A A’1 2 4 -0.5 B A(O) F’ 0 -1 1 -2 2 · · · · · F G H （E ）A B C D【例题精讲】例题1、如图11-4，已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、32-、212、5-，O 为原点，求（1）线段OA 、OB 、OC 、OD 的长度.（2）求线段BC 的长度.解：了解绝对值的意义，是点到原点的距离及取非负值，掌握两个点之间的距离公式即可答案：（1）2OA = ，2=3OB ，1=22OC ，=5OD ；（2）12192()236BC =--=【巩固练习】1、如图，数轴上表示数3的点是 ．2、如图，数轴上表示数-3的点是 ． 答案：1、B 2、A知识点二（绝对值、相反数）在实数范围内定义绝对值、相反数绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
(0)(0)0(0)(0)(0)a a aa a a a a a a a >⎧≥⎧⎪===⎨⎨-≤⎩⎪-<⎩或相反数：绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。
非零实数a 的相反数是-a 实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数。
初中数学 数与式模块1-2 实数讲义(含答案解析)
实数题型练题型一平方根例1.16的平方根是（）．A .±8B .±4C .4D .－4【解析】因为（±4）2＝16，所以16的平方根是±4变式1.若a ＋1和－5是实数m 的平方根，则a 的值是（）．A.1B.2C.3D.4或－6【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义可得两个关于a 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意得：15a +=-或1(5)0a ++-=，解得6a =-或4a =，故选：D ．【点睛】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．题型二算术平方根（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．例2.2.81的算术平方根为（）．A.9B.－9C.－3D.27【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可得．【详解】解：2981=Q ，81\的算术平方根为9，故选：A ．【点睛】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题关键．变式3.下列式子错误的是（）．A.2=±B.1=±C.3=- D.32=【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根和平方根的定义求解即可．【详解】A.2=±，故该选项正确，不符合题意；B.1=，故该选项错误，符合题意；C.3=-，故该选项正确，不符合题意；D.32==，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查算术平方根和平方根的定义，熟练掌握相关定义是解答本题的关键．题型三非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．例3.4.下列说法正确的是（）A.﹣81平方根是﹣9B.9C.平方根等于它本身的数是1和0D.一定是正数【答案】D【解析】【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根进行分析即可．【详解】A 、﹣81没有平方根，故A 选项错误；B 9的平方根是±3，故B 选项错误；C 、平方根等于它本身的数是0，故C 选项错误；D 一定是正数，故D 选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的性质．变式5.0=，则x y +的值为（）A.10B.不能确定C.6-D.10-【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性得到x 和y 的值，再代入计算．0=，∴x-2=0且y+8=0，∴x=2，y=-8，∴x y +=-6，故选C ．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是掌握被开方数是非负数．题型四立方根例4.－8的立方根等于．【解析】∵（－2）3＝－8，∴－8的立方根是－2变式6.若519x +的立方根是4，则27x +的平方根是________.【答案】5±【分析】首先利用立方根的定义可以得到关于x 的方程，解方程即可求出x ，然后利用平方根的定义即可求解．【详解】∵5x+19的立方根是4，∴5x+19=64，解得x=9则2x+7=2×9+7=25，∴25的平方根是±5故答案±5．【点睛】此题主要考查了利用立方根的概念解题．牢牢掌握灵活运用．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a （x 3=a ），那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．题型五计算器—数的开方正数a 的算术平方根a 与被开方数a 的变化规律是：当被开方数a 的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a 每扩大（或缩小）100倍，a 相应扩大（或缩小）10倍．例5.7.用计算器计算：≈_____．（精确到0.01）【答案】15.63【解析】【分析】根据计算器的使用方法、精确度的定义即可得．15.63≈，故答案为：15.63．【点睛】本题考查了计算器的使用、精确度，熟练掌握计算器的使用方法是解题关键．变式8.利用计算器，得7.071≈≈≈≈，按此规【答案】22.36【解析】【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.7.071≈≈≈≈，不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，因此得到第三个数的估值扩大1022.36≈.故答案为22.36.【点睛】本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.题型六无理数（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．例6.9.在2π，3.14，0，0.1010010001…，23中，无理数有______个.【答案】2【解析】【分析】根据无理数的种类即可判断出上述题目中无理数的个数.【详解】无理数是无限不循环小数，在2π，3.14，0，0.1010010001…，23中，2π，0.1010010001…两个数是无理数.【点睛】此题重点考察学生对无理数的理解，掌握无理数的定义是解题的关键.变式10.下列说法正确的是（）A.9的算术平方根是﹣3B.带根号的数是无理数C.无理数是无限小数D.的算术平方根是2【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根的概念、无理数的概念进行判断即可．【详解】解：A 、9的算术平方根是3，故此选项错误；B 、带根号的数不一定是无理数，如，故此选项错误；C 、无理数是无限小数，故此选项正确；D 故选：C ．【点睛】本题考查算术平方根、无理数，理解无理数的概念，会求一个数的算术平方根是解答的关键，注意D 选项是易错点．题型七实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：①可分为：有理数和无理数；②可分为：正实数、0和负实数．例7.11.在−，0，2270.1010010001…−2π中，负实数集合：{________________}．【答案】−2π【解析】【分析】先根据二次根式的性质，立方根的运算，负整指数幂的运算，将各数进行化简，再根据负实数的定义，进行判断即可．【详解】0-=-<，是负实数；0不是负实数；227>，不是负实数；50=-<，是负实数；0.1010010001…＞0，不是负实数；110==>，不是负实数；2π-<，是负实数，综上所述，负实数有：−2π，故填：−2π．【点睛】此题主要考查了负实数的定义，二次根式的性质，立方根的计算，负整指数幂的计算，解题关键是掌握负理数的定义，二次根式的性质，立方根的计算，负整指数幂的运算法则．变式12.我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．其中说法错误的有_____（注：填写出所有错误说法的编号）【答案】⑤【解析】【详解】分析：根据每种说法所涉及的数学知识进行分析判断即可.详解：（1）“数轴上有无数多个表示无理数的点”的说法是正确的，故①正确；（2）“带根号的数不一定是无理数”是正确的，如带有根号，但它是有理数，故②正确；（3）“每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示”的说法是正确的，故③正确；（4）“数轴上的每一个点都表示唯一的实数”的说法是正确的，故④正确；（5）“没有最大的负实数，但有最小的正实数”的说法是错误的，因为没有最小的正实数，故⑤错误；（6）“没有最大的正整数，但有最小的正整数”的说法是正确的，故⑥正确.综上所述，上述说法中，只有⑤中说法是错误的.故答案为：⑤.点睛：熟悉“每种说法中所涉及的相关数学知识”，知道“实数和数轴上的点是一一对应的关系”是正确解答本题的关键.题型八实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）－a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0.并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．例8.13.的绝对值是________，相反数是________，倒数是________．【答案】①.②.③.【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值；根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．的绝对值是倒数是故答案为(1).(2).(3).【点睛】本题考查的是绝对值、相反数和倒数的知识，熟知绝对值的性质、相反数的定义及倒数的定义是解答此题的关键．变式14.23﹣π的绝对值是_____．【答案】①.﹣②.π﹣3【解析】【分析】根据相反数和绝对值的计算方法解答．【详解】解：2的相反数：﹣（2|3﹣π|＝π﹣3．故答案是：﹣π﹣3．【点睛】本题考查了相反数、绝对值,熟练掌握相反数、绝对值的定义是解题的关键．题型九实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．例9.15.如果正实数a在数轴上对应的点到原点的距离是a=______．【解析】【分析】根据数轴的特点即可求解．【详解】∵实数a在数轴上对应的点到原点的距离是，∴a∵a为正∴a=．【点睛】此题主要考查实数与数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．变式16.如图，在数轴上找到表示－3的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是__．【答案】【解析】OB=，再利用勾股定理可得OA=从而可得【分析】先根据数轴的定义可得3OC==，【详解】解：设点C在数轴上表示的数是a，则OC aOB=--=，由题意得：0(3)3，⊥=AB OB AB,2∴===，OA由作图可知，OC OA==，即a=解得a=a<-<，由数轴的定义得：30∴=，a即点C在数轴上表示的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．题型十实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．例10.17.将实数，π-，0，1由大到小用“>”连起来，可表示为__________．【答案】10π>>>-解：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解析】【详解】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．-≈-．解：∵ 2.6≈-，π 3.14∴10π>>>-变式18.比较大小：（1）－100___0.3；（2___3；（3）－3.14___－π．【答案】①.<②.<③.>【解析】【分析】（1）根据负数小于正数即可得；（2）根据无理数的估算方法即可得；（3）根据负数绝对值大的反而小即可得．【详解】解：（1）由负数小于正数得：1000.3-<，故答案为：<；（2）79< ，<3<，故答案为：<；（3） 3.1415926 3.14π≈> ，3.14π∴->-，故答案为：>．【点睛】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．题型十一估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．例11.＜a ，且a 是整数，则a ＝．＜2＜a ∴a ＝2变式19.3-最接近的整数是___．【答案】1【解析】【分析】先根据无理数的估算可得34<<，再比较3-与4的大小，由此即可得出答案．【详解】解：91416<< ，<<，即34<<，--=--+3(434=-，7=-，3.5)=>，->-，34最接近的整数是4，-=，3-最接近的整数是431故答案为：1．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．题型十二实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．例12.（−5）2＝．解：（−5）2＝25−4＋2＝23变式20.计算+【答案】7．【解析】【分析】先计算立方根、算术平方根，再计算有理数的加减即可得．【详解】解：原式27=-++，52=+，7=．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．实战练21.若9x2－16＝0，则x＝_______．【答案】4 3±【解析】【分析】先将方程变形为216 9x=，然后方程两边同时开平方即可得到x的值．【详解】解：由题意可知：216 9x=，等式两边同时开平方，得到：43x=±，故答案为：43±．【点睛】本题考查了利用平方根的定义解方程，计算过程中细心，注意正数开平方后有两个平方根．22.的算术平方根是_______．【解析】=10，然后再根据算术平方根的定义可得答案．=10，10，，．【点睛】此题主要考查了实数和算术平方根，相反数，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．23.0+=，则22012a b --=______．【答案】109-【解析】【详解】分析：先由非负性的性质得出3a +1=0，b ﹣1=0，求出a ，b 代入式子计算即可．=0，∴3a +1=0，b ﹣1=0，∴a =﹣13，b =1，∴﹣a 2﹣b 2012=﹣（13）2﹣12012=﹣19﹣1=﹣109．故答案为﹣109．点睛：本题是非负数的性质：算术平方根，主要考查了一元一次方程的解法，有理数的运算，解答本题的关键是求出a ，b ．24.若一个正数的平方根是3m +和215m -，n 的立方根是2-，则2n m -+的算术平方根是______．【答案】4【解析】【分析】首先根据平方根的定义，求出m 值，再根据立方根的定义求出n ，代入-n+2m ，求出这个值的算术平方根即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15，∴m+3+2m-15=0，解得：m=4，∵n 的立方根是-2，∴n=-8，把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16，所以-n+2m 的算术平方根是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m 、n 值，然后再求-n+2m 的算术平方根．25.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个．【答案】4【解析】【分析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．【详解】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且三边都为无理数，满足这样条件的点C共D,E,F,H4个点．故答案为8．26.若|a，则的相反数是____．【答案】2【解析】【分析】先化简绝对值可得a=26a=，再根据算术平方根的定义、相反数的定义即可得．，【详解】解：a=∴=，a26∴=，a===-，2则的相反数是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了化简绝对值、算术平方根、相反数，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．27.①点M在数轴上与原点相距M表示的实数为____，②数轴上到的点所表示的数是___．【答案】①.②.0或-【解析】【分析】①根据实数与数轴的关系建立等式，再化简绝对值即可得；②根据实数与数轴、数轴两点间的距离公式即可得．【详解】解：①设点M表示的实数为m，m-=，则0解得m=即点M表示的实数为故答案为：②设这个点所表示的数是a，-=，则aa=或a=-解得0即这个点所表示的数是0或-，故答案为：0或-．【点睛】本题考查了实数与数轴，正确建立含绝对值的等式是解题关键．28.比较大小：________（填“＞”或“＜”＝）．【答案】>【解析】【分析】先将两个数进行平方再比大小【详解】∵22==1812（，（又18>12∴>故答案为>【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较29.已知a的整数部分，b则（－a）3＋（2＋b）2=________；【答案】0【解析】【分析】根据4＜8＜9的整数部分，表示出小数部分，确定出a与b 的值，代入所求式子计算即可求出值．【详解】∵4＜8＜9，∴23，的整数部分a=2，小数部分，则原式=-8+8=0．故答案为0.【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分与小数部分．30.+2＝________．【答案】5【解析】【分析】由立方根、算术平方根的性质化简．2=3+2=5故答案为：5．【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、算术平方根等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．31.若一个正数的两个平方根分别为2－a与3a＋6，则这个正数为（）A.2B.－4C.6D.36【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义可得一个关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再计算有理数的乘方即可得．【详解】解：由题意得：2(36)0a a -++=，解得4a =-，则这个正数为222(2)(24)636a -=+==，故选：D ．【点睛】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．32.下列说法正确的是（）A.－4是（－4）2的算术平方根B.±4是（－4）2的算术平方根C.2D.－2【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得．【详解】A 、2(4)16-=，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；B 、2(4)16-=，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；C 4=，4的平方根是2±，则此项错误，不符题意；D 4=，4的平方根是2±，则2-故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根、平方根，掌握理解定义是解题关键．33.0+=，则x －y 的值为（）A.3B.－3C.1D.－1【答案】D【解析】【分析】先根据算术平方根的非负性可得10,20x y -=-=，从而可得1,2x y ==，再代入计算即可得．【详解】解：由题意得：10,20x y -=-=，解得1,2x y ==，则121x y -=-=-，故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．34.2=-，则的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据立方根的定义求出a 的值，再根据算术平方根的定义即可得．【详解】解：2=-，18a ∴-=-，解得9a =，3==，故选：C ．【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的定义是解题关键．35.下列说法正确的是（）A.实数可分为有理数和无理数B.无限小数都是无理数C.只有0的立方根是它本身D.1的任何次方根都是1【答案】A【解析】【分析】根据实数的概念，立方根的概念，无理数的概念逐个求解即可．【详解】解：选项A ：实数分为有理数和无理数，故选项A 正确；选项B ：无限不循环的小数是无理数，无限循环小数可以写成分数的形式，是有理数，故选项B 错误；选项C ：立方根等于它本身的数有-1，0，1，故选项C 错误；选项D ：1的平方根为±1，故选项D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查实数的分类，无理数的定义，立方根，平方根的性质，解题的关键是熟记这些基本概念．36.若a，b ，c 的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（）A.a b> B.b c < C.a c > D.2b c =【答案】D【解析】【分析】根据题意分别列出a ，b ，c 分别表示的数，然后比较即可得出结论．【详解】由题意，a =b =，2c ==，∴2b c =，故选：D ．的倒数求出是解题关键．37.如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A 所表示的数为（）A.1-B.1-+C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．【详解】解：∵在Rt △BCD 中，BD=2，CD=1，∴∵根据图中的标注和作图痕迹可知，∴∴点A 表示的实数是1--故选A ．【点睛】本题考查勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出BC 的长．38.1-的值（）A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间【答案】B【解析】【分析】根据无理数的估算即可得．【详解】解：364149<< ，<<，即67<<，61171∴-<-<-，即516<-<，故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．39.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么a b -的结果是（）A.2aB.2bC.2a -D.2b-【答案】D【解析】【分析】由数轴可得到0b a <<a b =+和绝对值的性质，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则0b a <<，∴0a b ->，0a b +<，∴a b -+=a b a b-++=a b a b---=2b -；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到0b a <<．40.已知一个正数m 的两个不同的平方根是2a ＋3和1－3a ，求m 的值．【答案】121【解析】【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据它们的和为0，求出a 的值，然后求出这个数的平方根，最后根据平方根的平方即可求出m 的值．【详解】解：根据题意得：(2a +3)+(1-3a )=0，2a +3+1-3a =0，解得：a =4，∴这个数的其中一个平方根为2×4+3=11∴m =112=121．【点睛】本题考查平方根的定义，熟练掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为0．41.互为相反数，求（x+y）2016的平方根.【答案】±1【解析】【详解】试题分析：根据相反数的性质列出算式，根据非负数的性质列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，根据平方根的概念解答即可．=0，则3020x yx y-+⎧⎨+⎩＝＝，解得，21xy-⎧⎨⎩＝＝，∴（x+y）2016=1，∴（x+y）2016的平方根是±1．42.正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7．（1）求a的值；（2）求44﹣x这个数的立方根．【答案】(1)a＝﹣10;(2)4－x的立方根是﹣5【解析】【分析】（1）理解一个正数有几个平方根及其两个平方根间关系：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值；根据a的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44-x的值，再根据立方根的定义即可解答.【详解】解：（1）由题意得：3﹣a＋2a＋7＝0，∴a＝﹣10,（2）由（1）可知x＝169，则44－x＝﹣125，∴44－x的立方根是-5.【点睛】此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．43.判断下面两句话是否正确.若正确请说明理由；若不正确，请举例说明.（1）两个实数的和一定大于每一个加数.（2）两个无理数的积一定是无理数.【答案】(1)、答案见解析；(2)、答案见解析【解析】【分析】(1)、当两个加数为负数时，则和小于任何一个加数；(2)、当两个数为同一个无理数时，则两数的积为有理数.【详解】(1)、错误.例子：（-1）+（-2）=-3,-3<-1,-3<-2;(2)、错误.是无理数，而2是有理数.44.实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，其中c 为8的立方根，求代数式2b a b +--的值．【答案】2．【解析】【分析】先根据数轴的定义可得0b a c <<<，从而可得0,0b a b c -<-<，再根据立方根的定义可得2c =，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．【详解】解：由数轴的定义得：0b a c <<<，0,0b a b c ∴-<-<，c 为8的立方根，2c ∴=，()()()22b a b a a b c b b +--=-+-+---，2a a b c b b =-+-+-+，c =，2=．【点睛】本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．45.（1）用“<”、“>”或“=”（2）由以上可知：①1-=________________=_____________；（3）计算：1-+ .（结果保留根号）【答案】(1)＜,＜；（21-；（31-【解析】【分析】（1）当被开方数越大时算数平方根越大，依此判断即可；（2）依据（1）知次数为负数，而负数的绝对值等于它的相反数即可化简；（3）依据（2）将化简的结果相加即可.【详解】解：(1)＜,＜（21-（3）原式1-+-+-+1【点睛】此题是考察算数平方根的大小比较，准确解得（1）是关键，为后两问做基础.46.已知：31a +的立方根是2-，21b -的算术平方根3，c（1）求,,a b c 的值；（2）求922a b c -+的平方根．【答案】（1）3,5,6a b c =-==；（2）其平方根为4±．【解析】【分析】（1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出,,a b c 的值；（2）将（1）题求出的值代入922a b c -+，求出值之后再求出平方根．【详解】解：（1）由题得318,219a b +=--=．3,5a b ∴=-=．<<，67∴<<．6c ∴=．3,5,6a b c ∴=-==．（2）当3,5,6a b c =-==时，()99223561622a b c -+=⨯--+⨯=．∴其平方根为4=±．【点睛】本题考查了立方根，平方根，无理数的估算．正确把握相关定义是解题的关键．47.计算下列各题：（1+（2）7π--，（3(21+--+．【答案】（1）118；（2）π-；（3）8．【解析】【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可得．【详解】解：（1）原式14(3)2+-+=-11143228=--++，118=；（2）原式(7π=--，77π=，π=-；（3）原式)125=+-+，613=+，8=．【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．培优练48.先阅读，然后解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a b=3﹣，求b a的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2=0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，是无理数，所以a﹣3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2，所以b a=（﹣2）3=﹣8．问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y x+y的值．【答案】8或0．【解析】【分析】根据所给信息，先移项，然后将有理数和无理数分组，从而可得（x2-2y-8）y-4）=0，结合所给信息即可得出x、y的值，代入代数式即可得出答案．【详解】解：移项得（x2-2y-8）+（y-4，∴y-4=0，x2-2y-8=0∴y=4，x=±4，故x+y=8或0．【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是仔细审题，得到题目所给的解题思路，然后套用这个思路解题，正确理解题意、熟练掌握实数的性质是关键．。
七年级数学：实数的运算(一)辅导教案
七年级数学：实数的运算（一）辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题实数的运算（一）教学内容1．理解数轴为实数轴，并掌握实数的大小比较方法，理解实数的绝对值、相反数的意义；2．理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算；会利用平方根意义化简根式。
采用师生互动和学生讨论的形式无理数可以在数轴上表示出来吗？（1）在数轴上表示2（2）在数轴上表示可以让学生们讨论总结，然后给出结论总结：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而且这样的点是唯一的。
反过来，数轴上的每一个点也可以用唯一的一个实数来表示。
数轴上的点和实数一一对应。
在实数范围内定义绝对值、相反数绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
·30.5A A’1 2 4-0.5 BA(O)F’-1 1-2 2·····FGH（E）A BCD(0)(0)0(0)(0)(0)a aa aa a aa aa a>⎧≥⎧⎪===⎨⎨-≤⎩⎪-<⎩或相反数：绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。
非零实数a的相反数是-a实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数。
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的数总比左边的数大.常见的无理数的大小：2 1.4143 1.7325 2.2366 2.4497 2.64610 3.162≈≈≈≈≈≈练习比较下列每组数的大小：（1）65-与；（2）65与；（3）65--与；（4）10-与π；如图11-4，已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是2、32-、212、5-，O为原点，求（1）线段OA、OB、OC、OD的长度.（2）求线段BC的长度.归纳总结：练习已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是2、243-、22、2-，求：（1）在数轴上描出点A、B、C、D；（2）线段AB、BC、CD、AC的长度.232,323,232⨯++以上算式有什么特征？计算的结果是什么？B0 222132-5-A CD O在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点的距离是AB a b=-有理数的运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用。
数学初一实数运算
数学初一实数运算实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两类。
实数的运算是数学的基础，在初一数学课程中，我们需要了解实数的基本性质和运算规则。
本文将介绍初一实数运算的内容，包括加法、减法、乘法和除法。
一、实数的加法运算实数的加法运算是将两个实数相加，结果仍然是实数。
对于任意实数a和b，它们的和记作a + b，计算方式是将a和b的数值相加。
例如，2 +3 = 5，-1 +4 = 3。
加法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b和c，有以下性质：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)二、实数的减法运算实数的减法运算是将一个实数减去另一个实数，结果仍然是实数。
对于任意实数a和b，它们的差记作a - b，计算方式是将a减去b的数值。
例如，5 - 3 = 2，2 - 5 = -3。
减法运算可以看作是加法运算的逆运算，在计算中可以使用加法运算来实现减法运算。
三、实数的乘法运算实数的乘法运算是将两个实数相乘，结果仍然是实数。
对于任意实数a和b，它们的积记作a * b或ab，计算方式是将a和b的数值相乘。
例如，2 * 3 = 6，-1 * 4 = -4。
乘法运算满足交换律和结合律，即对于任意实数a、b和c，有以下性质：- 交换律：a * b = b * a- 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)四、实数的除法运算实数的除法运算是将一个实数除以另一个非零实数，结果仍然是实数。
对于任意实数a和b（b ≠ 0），它们的商记作a / b，计算方式是将a除以b的数值。
例如，6 / 2 = 3，-4 / (-2) = 2。
除法运算可以看作是乘法运算的逆运算，在计算中可以使用乘法运算来实现除法运算。
五、实数的运算性质实数运算具有以下性质：1. 加法的零元：对于任意实数a，有a + 0 = a。
2. 加法的负元：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
著名机构七年级寒假班第10讲 实数的概念及运算
一、实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 二、有理数的性质：⑴有理数的定义：可以写成两个整数p 与q （0q ≠）的比值的数.故所有的有理数都可以化成分数pq（0q ≠）的形式.⑵有理数进行加、减、乘、除四则运算的结果仍是有理数.即有理数集对于加减乘除四则运算具有封闭性.三、平方根和开平方：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数. 开平方与平方互为逆运算.在实数范围内，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 正数a 的两个平方根可以用“a a a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a a 的负平方根，读作“负根号a ”. 000=.2a 2,00,0,0a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩四、立方根和开立方：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 3a a ”，其中a 叫做被开方数，“3”叫做根指数. a 22a a 第十讲实数的概念及运算2a 读作“二次根号a ”，a 读作“根号a ”.求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.在实数范围内，任何一个数都有且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.实数的概念【例题1】 将下列各数填入适当的括号内：220,3,2,6,3.14159,0.23,,5,,0.37377377737π••---L⑴整 数：{ }；⑵非负数：{ }； ⑶有理数：{ }；⑷无理数：{ } ⑸正实数：{ }；⑹负实数：{ }【例题2】 平方根等于它本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .①196的平方根是_____；②2( 2.5)-的平方根是 ；③2(2)-的平方根是 ；④16的平方根是______；⑤38的相反数是 ；⑥64的立方根是 .【例题3】 求下列各式的值：（1）169_______= （2）72________9-= （3）0.0361________±= （4）23________4⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （5）211________2⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ （6）()24________π--=【例题4】 求下列各式的值：（1）()238_______-= （2）3216________-= （3）3611________64--= （4）333________8--= （5）33________a = （6）()63________a -=实数的性质【例题5】 （1）已知a ，b ，c ，d 是有理数，22a b c +=+a c =，b d =.（2）已知x ，y 是有理数，且11()()402332x y πππ+++--=，求x y -的值.（3）已知x ，y 是有理数，且1313 2.25 1.453034x y ⎛⎛+--- ⎝⎭⎝⎭，求x ，y 的值．【例题6】 （1）若a 为自然数，b 为整数，且满足2(3)743a b =-a = ，b = .（2945a b -，求a ，b 的值.【例题7】 （121(2)0a ab --=，求111(1)(1)(2009)(2009)ab a b a b +++++++L 的值.（2）已知x ，y ，z 满足244202x y z z y z -+-+++=，求()x y z +的值.【例题8】 （1）已知关于x ()221x a -=有三个整数解，求a 的值.（2）若m 35223199199x y m x y m x y x y +--+-=-+--试确定m 的值.【例题9】 （115a ，小数部分是b ，求22a b a b-+的值.（214b ，求4321237620b b b b +++-的值.【例题10】 （1）求最小的正整数m 175m 是一个自然数。
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学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题： 实数计算 授课时间： 2018年
学习目标
实数计算1
教学内容
1）立方与立方根； 2）N 次方根
知识点一（无理数数轴表示）
【知识梳理】
无理数可以在数轴上表示出来吗？
（1） 在数轴上表示2 （2）在数轴上表示
可以让学生们讨论总结，然后给出结论
总结：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而且这样的点是唯一的。
反过来，数轴上的每一个点也可以用唯一的一个实数来表示。
数轴上的点和实数一一对应。
知识精讲
内容回顾
0 · 3 0.A A’1 2 4 -0.5 B A(O) F’ 0 -1 1 -2 2 · · · · · F G H （E ）
A B C D
数轴上点的意义：
【例题精讲】
例题1、如图11-4，已知数轴上的四点A 、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、3
2-
、21
2、
5-，O 为原点，求（1）线段OA 、OB 、OC 、OD 的长度.（2）求线段BC 的长度.
【巩固练习】
1、如图，数轴上表示数3的点是 ．
2、如图，数轴上表示数-3的点是 ．
知识点二（绝对值、相反数）
在实数范围内定义绝对值、相反数
绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
(0)(0)0(0)
(0)(0)a a a
a a a a a a a a >⎧≥⎧⎪
===⎨⎨-≤⎩
⎪-<⎩
或
相反数：绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。
非零实数a 的相反数是-a 实数的大小比较方法：
负数小于零；零小于正数。
a a =33)(， a a =33， 33a a -=-， 33()a a -=-。
在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离是AB a b =- B 0
2
A
C D O
0 1 2 3 4
第2题
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的数总比左边的数大. 常见的无理数的大小：
2 1.414
3 1.732
5 2.236
6 2.449
7 2.646
10 3.162≈≈≈≈≈≈
【例题精讲】 例1：填空题
（1）7-的相反数是________，绝对值是________. （2）一个数的绝对值等于，则这个数是_________.
（3）绝对值最小的实数是______，绝对值小于的整数有 例2：判断题
（1）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，所有的无理数也可以用数轴上的点表示. ( ) （2）实数m 的倒数一定是
1
m
. ( ) （3）负数a 和它的相反数的差的绝对值是2a . ( ) 例3、（1）比较
315-与1
5
的大小。
（2）比较12-与13-的大小。
例4. 比较下列各组数的大小：
(1)265
(2)356
(3)10110
----与与与
【巩固练习】
1. 比较下列每组数的大小：
（1）65-与； （2）65与； （3）65--与； （4）10-与π；
335
2.比较20042003-与20052004-的大小。
3.试一试：比较下列各组数的大小：
(1)3223(2)3553--与与
知识点三（实数的加减）
主要运算方法梳理：
1、有理数的运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用。
2、开方与乘方是同级运算。
例1：(1)8(2)12(3)18(4)20(5)32化简：
例2：（1）7372+； （2）22)7()3(+-； （3）3)5(；
例3：131(1)3233(2)563666222⎛⎫
⎛⎫
-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
计算：
（3）33--； （4）
133(233)22
-+；
特别强调：根号前面的分数不可以写出带分数，只能写出假分数。
【巩固练习】
1、(1)45(2)48
(3)72
(4)90
(5)1000化简：
2、（1）216(2)+； （2）2332÷÷⨯； （3）233233⨯÷
※3、（1）2222252434-+g ；（2）11120
0.36900435
--．
知识点四（近似数）
概念辨析：准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数；
近似数：与准确数达到一定接近程度的数；
精确度：对近似程度的要求；
有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止
的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。
例1．下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？
（1）2000；（2）0.618；（3）7.20万；（4）5.10×105.
试一试：月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球相距约为363300km，在远地点时与地球相距约为405500km.按下列精度要求，用科学记数法表示这两个数的近似数：（1）精确到万位；（2）保留三个有效数字。
试一试：2010年末，上海市户籍人口有17659200人，按下列要求的精确度分别取这个数的近似数：（1）精确到万位；（2）精确到百万位；（3）保留4个有效数字；
练一练：
1．近似数6
⨯精确到位，有个有效数字，它们是；
3.15610
2．近似数5
-⨯精确到位，有个有效数字，它们是；
3.102010
3．按下列精确度要求，取近似值：
（1） 363300精确到万位；保留三个有效数字。
（2） 4055000精确到千位 ；保留两个有效数字 。
（3）7.820185精确到十分位 ；保留四个有效数字 。
1．和数轴上的点成一一对应的数是
2．点M 在数轴上与原点相距5个单位长度，则点M 表示的实数为 3．数轴上表示13-的点到原点的距离是 4．数轴上到2-这点距离为2的点表示的数是 5．23__________
3__________
25__________π-=-=-=
6．已知20a -<<，化简：2__________a a ++=
7．已知实数a b 、在数轴上对应点的位置如图所示，化简2()___________b a b --=
8、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________。
9、若2)2(1-+-n m ＝0，则m ＝________，n ＝_________。
10、若 a a -=2，则a ______0。
11、12-的相反数是_________。
12、 38-＝________，38-＝_________。
※13、（1）绝对值小于π的整数有__________________________。
（2）13的整数部分是 ，小数部分是 ；13-的整数部分是 ，小数部分是 ．
（3）已知222x a b =+，若13a =，1
4b =-，则x =
（4）当m = 时，7m -+的最大值为 ；如果3x <-，则
21(1)x -+= ；
（5）将320541保留三个有效数字得____________________；
410423.1⨯按四舍五入精确到千位是____________________；
a b
-0.0000512=____________________．
14、计算：
（1）
135666
222+- （2）1
36(646)2-+ （3）212222232-+- （4）12123333335-+-+
（5）42
222()(36)(63)(3)2
-+--++-； （6）55(21)(21)+-g
※（7） 34101152927916
--++；
※（8）100101(20062005)(20062005)+-g
1．数轴上到3-这点距离为2的点表示的实数是
2．在数轴上与表示3的点距离最近的整数点所表示的数是 3．当01x ≤≤时，化简：21____________x x +-= 4.比较下列各数的大小(填“>”、“=”或“<”)
(1)23 32； (2) 2(2)- 38-； (3) 35
3；
5.选择题
(1)数轴上原点和原点左边的点表示的数是（ ）
A. 全体实数
B. 零与全体正实数
C. 零与全体负有理数
D. 零与全体负实数 (2)2-与
2
2
两数的关系是 （ ） A. 互为相反数 B. 互为负倒数 C. 互为倒数 D. 以上答案都不是
6．计算：
()()
()()
()
2
6
2
2
2
2
(1)22(2)
63(3)5+-+---
20(3)22850(4)(25)(25)+--+-。