初中数学：1.1.2弧度制
弧度制和弧度制与角度制的换算
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数学[RB· 必修4]来自角度制与弧度制换算时应注意的三个问题 (1)用弧度为单位表示角的大小时， “弧度(rad)”可以省略不 写；如果以度(° )为单位表示角的大小时，度(° )不能省略. (2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度. (3)有些角的弧度数是 π 的整数倍时，如无特别要求，不必 把 π 化成小数.
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数学[RB· 必修4]
(2)设分针旋转过程中所扫过的圆心角为 α，弧长为 l，则所 1 1 1 π 2 扫过的面积是 S＝2lR＝2|α|R ＝2×2×102＝25π(cm2).
【答案】 (1)2 (2)25π cm2
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数学[RB· 必修4]
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数学[RB· 必修4]
用弧度表示终边相同的角
已知角 α＝2 010° . (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是 第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角.
【思路探究】 (1)可将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的
π ＋2kπ(k∈Z)与 k· 360° ＋ 都是不允许的.表示角时，要么全用角度 6 制，要么全用弧度制.
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数学[RB· 必修4]
【正解】
由－1 485° ＝－5×360° ＋315° ，
7 所以－1 485° 可以表示为－10π＋4π.
1.1.2弧度制
-180° 0° 180° 360°
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数 是一个负数，零角的弧度数是0。如果半径为r的圆 的圆心角α 所对弧的长为 l ，那么，角 的弧度数 的绝对值是 对应角的 l 弧度数 r
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定 正角 零角 负角 角的弧度数 正实数 零 负实数 实数集R
180 rad
n n rad 180
(2)将弧度化为角度
2 360
180
180 1rad ( ) 57 .30 57 18'
一般地，我们只需根据
1
180
rad 0.01745 rad
180°=πrad
180 1rad 57.30
例3 利用弧度制证明下列关于扇形面积的公式：
(1)l R
其中R是半径， 是弧长， 0 2 为圆心角， l S是扇形的面积
1 2 (2) S R 2
1 (3) S lR 2
l 证明:(1)由公式 = r 得l=αR
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积 2 公式分别是 n R n R
2
°′″ SHIFT DRG 1
67
=
30
1.178097245
因此,67°30′≈1.178 rad
例2 将3.14 rad换算成角度(用度数表示,精确到0.001)
解:利用计算器
MODE MODE
1
=
3.14
SHIFT DRG 2
179.909
今后用弧度表示角时，“弧度”二字或“rad”通 常略去不写，而只写该角对应的弧度数。例如， 角α =2就表示α 是2rad的角， sin 就 示 rad 的 表 角 3 3 3 的 弦 即 sin sin 60 正， 3 2
1-1-2 弧度制
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在半径不等的圆中，1 弧度的圆心角所对的( ) A．弦长相等 B．弧长相等 C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径 [答案] D
第一章 1.1 1.1.2
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[答案] 4
第一章 1.1 1.1.2
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3．弧度制与角度制的换算 π
(1)角度转化为弧度：360°＝ 2π rad,180°＝ π rad,1°＝ 180
rad≈0.01745 rad.
(2)弧度转化为角度：2π rad＝ 360° ，π rad＝ 180° ，1 rad
[拓展] 1.用弧度制表示象限角与轴线角
剖析：(1)象限角的表示：
角 α 终边所在象限
集合
第一象限
x|2kπ<α<2kπ＋2π，k∈Z
第二象限 第三象限
x|2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z x|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
第四象限
角的终边落在坐标轴上角的集合用角度制表示为______， 用弧度制表示为________．
[答案] {α|α＝k·90°，k∈Z} {α|α＝k2π，k∈Z}
第一章 1.1 1.1.2
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课堂典例讲练
第一章 1.1 1.1.2
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第一章 1.1 1.1.2
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1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算演示教学
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}； 终边在y轴上：
S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.
1.1.2 弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的 角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种以1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
例1.把6730化成弧. 度
解： 63 7 0 6.5 7 67.5 rad 3 rad
180 8
例2.把2rad化成角. 度
解：2rad（2180） （ 18） 0
通常，“弧度r” a” d和可“省略 2，sin sin60
3
练习
把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例4. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
ห้องสมุดไป่ตู้
l
r
问：360度=______弧度
360=2 rad 这是弧度制和角度制互换的根基。
写出一些特殊角的弧度数 请总结出通法
角 度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360
弧度制及弧度制和角度制的换算
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
πHale Waihona Puke 角度210°225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= Lr= |α|r2
其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径.
2.无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.
同步练习
1.半径为5 cm的圆中,弧长为 cm的圆弧所对的圆心角等于 ( )
如上图，AB的长等于半径r，∠AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的长度等于2r,则∠AOC=2rad.
问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？
答：半圆弧长是 半圆所对的圆心角是 弧度.
同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2 弧度.
角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；
[教学过程]
一．引入
我们在初中几何里学习过角的度量，规定周角的 为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制度叫做角度制。下面再介绍在数学和其他科学中常用到的另一种度量角的单位制——弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
例2. 把
8 5Leabharlann 化成度。解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
弧度制及弧度制与角度制的换算
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度制及弧度制与角度制的换算
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 弧度制及弧度制与角度制的换算
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
弧度制及弧度制与角度制的换算
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
初中数学圆弧基础知识点总结
初中数学圆弧基础知识点总结初中数学圆弧基础知识点总结圆弧是我们生活中常见的一个几何形状，它在数学中也有很重要的应用。
初中数学中，我们学习了关于圆弧的基础知识，包括弧长、弧度、弦长、切线等等。
本文将对初中数学圆弧基础知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、弧长1. 弧长的定义弧长是指圆弧所对的圆心角所对应的弧长。
通常用字母“s”表示。
弧长的计算公式是：s = rθ，其中s表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
2. 弧长公式的推导弧长公式的推导可以通过将圆弧分成若干小弧再求和的方法进行。
假设圆心角对应的弧长为s，圆心角为θ度。
将圆周等分成n等份，每份对应的小弧长为Δs，小弧所对的圆心角为Δθ度。
那么，n趋近于无穷大时，Δs趋近于0，Δθ趋近于θ度。
则根据弧长与圆心角的关系可得：Δs = rΔθ。
将所有的小弧求和，得到整个圆弧的弧长s = Σ(rΔθ)= rΣ(Δθ)。
当n趋近于无穷大时，Σ(Δθ)趋近于θ度。
因此，s = rθ。
3. 弧长的单位弧长的单位可以是长度单位，如米、厘米等。
二、弧度制1. 弧度的定义弧度是角度的一种计量方式，它是用弧长与半径的比值来表示的。
弧度制中，一个角的弧度数等于所对圆弧的弧长与半径的比值，用字母“rad”来表示。
2. 弧度和角度的转换弧度与角度之间的关系可以通过公式进行转换。
弧度制转角度制：θ(度) = rad(弧度) x 180°/π角度制转弧度制：rad(弧度) = θ(度) x π/180°三、弦长1. 弦长的定义弦长是切割圆弧所得的弦的长度。
在一个圆内，通过两个点，可以画出无数个弦，其中一条弦对应的弦长即为弦长的长度。
2. 弦长的计算公式在计算弦长时，可以利用与弦夹角的关系来进行推导。
假设弧对应的夹角为θ弧度，该弧所在圆的半径为r，弦长为h。
则，弦对应的圆心角为2θ弧度，弦长与半径的比值等于弦对应的圆心角与直径的比值。
课件1：1.1.2 弧度制
把长度等于半 周角的1/360叫做1
单位规 径长的弧所对 度的角。
定
的圆心角叫做1
弧度的角。
换算关
系
360 2rad
180 rad
基本关系
1
rad 0.01745rad
180
180
1rad
57.30 5718
导出关系
弧度制与角度制的互化技巧
=
180 8
.
把
8
5
化成度。
解：1rad=
180
(
)
8 8 180
(
)
5
5
288Βιβλιοθήκη 度与角度的互化过程中，要掌握其中的原理和方法，必要时可以借助一些特殊角
来判断，会转换到别的地方。
题型三
将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，
精确到0.001).
解:∵1=(180/π)0
弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种
用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
要点阐释
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的
弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果
半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
典例剖析
题型一
1．下列说法中，错误的说法是 (
180π°进行转化．
题型二
（1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1
0.0175
初中数学 如何度量角的大小
初中数学如何度量角的大小
在数学中，我们通过度量角的大小来描述角的旋转程度。
角的大小可以用度数、弧度或百分比等方式来表示。
1. 度数：度数是最常用的度量角的方式。
一个完整的角度是360度（°）。
例如，当两条射线之间的旋转程度为90度时，我们称之为直角。
2. 弧度：弧度是另一种常用的角度度量方式。
一个完整的角度等于2π弧度。
在弧度制中，一个角的弧度数等于角所对的圆心角所对应的圆弧长度与圆的半径之比。
例如，一个直角等于π/2弧度。
3. 百分比：有时候我们也会用百分比来表示角的大小。
一个完整的角度等于100%。
例如，直角等于25%。
度量角大小的方法取决于具体的问题和使用的单位。
在实际问题中，我们可以使用量角器、刻度尺或者通过计算来度量角的大小。
对于使用量角器的方法，我们可以将量角器的一条边与角的一条边对齐，并读取量角器上的刻度来确定角的度数大小。
对于使用刻度尺的方法，我们可以将刻度尺的起始点与角的顶点对齐，然后读取刻度尺上的刻度来确定角的度数大小。
对于通过计算来度量角的大小，我们可以使用三角函数或者几何关系来计算。
例如，当已知一个角的正弦、余弦或正切值时，我们可以使用反三角函数来计算角的度数或弧度。
总之，度量角的大小是解决几何问题和三角函数计算的基础。
我们可以使用度数、弧度或百分比等方式来度量角的大小，具体的方法取决于问题的要求和使用的单位。
弧度制教学设计
《弧度制》教学设计教学内容：《普通高中课程标准试验教科书·数学》必修四第一章：三角函数§1.1任意角和弧度制§1.1.2弧度制课题：弧度制三维目标：1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制。
2．理解弧度制的意义，以及任意角的弧度数与弧长半径的关系。
3．能进行角度制与弧度制的互化。
4．通过探究使学生认识到角度制与弧度都是度量角的制度，从而使学生体会到事物之间总是相互联系的。
5．通过总结引入弧度制的好处，使学生学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
6．通过探究任意角的弧度数与弧长半径的关系，培养学生的合作意识和创新能力。
教学重点：理解弧度制的意义，能进行角度制与弧度制的互化教学难点：弧度制的概念及其与角度的换算教学用具：直尺、圆规、剪刀、绳子课时安排：两课时教学过程一、课前布置任务。
教师在上节课结束前布置课后学习任务：准备直尺、圆规、剪刀、绳子及硬纸板（意在培养学生主动学习的意识）二、类比引入1．你所知道的长度单位有哪些?重量单位有哪些?比如，人体的身高可以用什么单位表示？人体的重量可以用什么单位表示？（设计意图是问题来源于实际生活，可以激发学生的兴趣，使得新知识的学习自然亲切）2．在初中几何里，我们学过角的度量，1度的角是怎样定义的呢?角还有没有新的度量方法？（教师顺势引导点明我们这节课要学习的内容，从而引出概念，这样以旧引新，符合学生的认知规律）三、新知探究1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用符号rad表示。
弧度制的定义:用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制说明:(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；1弧度≠1º；1 360（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；（4）今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算要点核心1．度量角的单位制：角度制、弧度制 (1)角度制)(deg reemeasure初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度． 规定周角的3601为1度角，记作1。
．用度作为单位来度量角的制度叫做角度制．(2)弧度制)(ure radianmeas规定把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作lrad ．如图1-1-2 -1， AB 的长等于半径r ． B A 所对的圆心角AOB ∠就是1弧度的角即.1=rl2．角度与弧度之间的互化(1)将角度化为弧度;.2360rad π=;.180rad π=.01745.01801rad rad ≈=π(2) 将弧度化为角度;360.2=rad π ;180.=rad π .185730.57)180(1=≈=πrad(3) 弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为a rad ，角度为on 则 (4) 一些特殊角的角度数与弧度数的对应表： )180(.παα=rad .180rad n n π⋅=3．用弧度表示终边相同的角用弧度表示与角a 终边相同的角的一般形式为:απβ+=k 2⋅∈)(z k这些角所组成的集合为⋅∈+=},2|{z k k απββ4．扇形的弧长与面积公式若扇形的圆心角为a （a 为弧度制），半径为R ，弧长为L ，面积为S ，则有.||2121|,.......|2R lR S R l αα===热点例题考点1 弧度制的概念问题[例1] 下列各命题中，假命题是( )．A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的,36011弧度的角是周角的π21C ．根据弧度的定义，180。
一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径的长短有关考点2 角度与弧度的互化问题 [例2](1)将130315 化成弧度；(2)将rad .5.13π化成度；(3)时间经过5小时，时针、分针各转多少度？等于多少弧度？考点3用弧度制表示终边相同的角、象限角及区问角[例3]把下列各角化成0到π2的角加上)(2z k k ∈π形式，并指出它们是第几象限角．;3100)1(π ;5111)2(π-;1200)3(o考点4 扇形的弧长与面积公式的运用问题[例4]求解下列各题：(1)已知扇形的周长为20 cm ，面积为9 cm 2，求扇形圆心角的弧度数；(2)若某扇形的圆心角为750。
1.1.2弧度制
R
解得 R 2 L 4 故该扇形的圆心角 的弧度数为
L 4 2 R 2
例6、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的 中心角是1弧度,求该扇形的面积。
∵ 弧长 ∴
l = a R= R
3R = 6, R = 2
1 于是 S = Rl = 2 (cm 2 ) 2
例7、已知扇形的周长为20cm，当扇形的中心角为 多 少时，它有最大面积？ 解：设扇形的弧长为L，半径为R，由已知条件 L+2R=20，即L=20-2R。 由0<L<2πR得0<20-2R<2πR
O B r
A
-3弧度
l=3r
问题： 当弧长=16cm,半径=2cm时该弧所对的圆心角为 多少弧度？
思 考： 一定大小的圆心角所对应的弧长与 半径的比值是否是确定的？与圆的半径 大小有关吗？
思 考：
一定大小的圆心角所对应的弧长与 B 半径的比值是否是确定的？与圆的半径 l=R 大小有关吗？ B
若l=2r，
若l=2 π r，
l = 2 弧度 则∠AOB= l r 则∠AOB= =2π弧度 r
B
2弧度
l=2r
A O
l=2 π r
2π弧度
O r
r
A(B)
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它 所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3，
r
l = －3弧度 即∠AOB=－ r
(3) 22 30
'
2.把下列各弧度化成度. (1) 3 π 10 (2) 4 π 3
1、对于一些特殊角的度数与弧度数 注：
之间的换算要熟记。
45 °
度 弧 度
初中数学知识归纳圆的弧度制和弧长计算
初中数学知识归纳圆的弧度制和弧长计算初中数学知识归纳：圆的弧度制和弧长计算圆是我们日常生活和数学学科中常见的几何图形之一。
在研究圆的性质和相关计算时，我们会接触到两个重要概念——弧度制和弧长计算。
本文将对这两个概念进行归纳和讲解，帮助读者更好地理解和应用。
1. 弧度制1.1 弧度的定义弧度是衡量角度大小的一个单位，通常用符号“rad”表示。
在圆中，弧度定义为圆心角所对应的弧长与半径之比。
具体来说，如果半径为r 的圆的圆心角所对应的弧长为s，那么这个角的弧度表示为θ = s/r。
1.2 弧度与角度的换算关系弧度和角度之间有一个固定的换算关系。
一圆周的弧长等于圆的半径的2π倍，即s = 2πr。
而一周的角度为360°。
那么可以得出：2π rad = 360°这就是弧度和角度的换算关系式，我们可以通过它们相互转换。
2. 弧长计算2.1 弧长的定义在圆中，弧长是指圆上一段弧的长度。
对于一个半径为r的圆的一个圆心角θ所对应的弧长s，我们可以利用弧度的概念进行计算。
2.2 弧长计算公式通过之前的弧度定义，我们可以得出弧长计算公式。
对于角度为θ的圆心角、半径为r的圆，对应的弧长s计算公式为：s = θr这就是弧长的计算公式。
我们可以根据给定的角度和半径，计算出圆上的弧长。
3. 弧度制和弧长计算的应用3.1 三位数制和弧长计算在几何问题中的应用弧度制和弧长计算在几何问题中有着广泛的应用。
例如，在解决圆的相关性质问题时，我们可以将角度转化为弧度，并利用公式计算弧长。
举例来说，如果一个圆的半径为10cm，圆心角为π/3 rad，我们可以根据弧长计算公式计算出弧长s：s = (π/3) x 10 = 10π/3 cm通过计算，我们可以得出弧长为10π/3 cm。
3.2 弧度制和弧长计算在物理问题中的应用弧度制和弧长计算不仅在几何问题中有应用，还在物理问题中有广泛的应用。
例如，在描述物体转动时，我们常常使用弧度制和弧长计算。
人教版高中必修4(B版)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计
人教版高中必修4(B版)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计一、教学目标1.知道角度、弧度的概念和联系，掌握它们之间的换算方法；2.能够根据题目要求选用适当的换算方法；3.加强学生对角度、弧度的理解，培养建立与弧度制有关的三角函数的意识。
二、教学重难点1.教学重点：弧度制和角度制的概念及它们之间的换算方法；2.教学难点：三角函数与弧度制的联系。
三、教学思路1. 学生已经掌握的知识和技能学生已经通过初中的数学学习了基本的角度概念以及相关的计算方法，为了更好地教授高中数学中的相关知识，教师应该让学生复习和回顾初中阶段与角度相关的内容。
2. 教学安排和教学过程2.1 引入教师可以让学生举一些实际生活中与角度相关的例子，比如说，做偏差角的机翼、运动员完成规定道路的转弯等。
从而让学生感受到角度这个概念的实际应用价值。
2.2 角度制与弧度制的概念通过引入，让学生明白角度的概念一种量度方式。
接着，教师带领学生了解弧度制，之后让学生进行弧度制与角度制之间的换算。
2.3 弧度制和角度制的换算方法在明白弧度制和角度制的概念之后，学生已经能够知道弧度和角度之间的关系，接下来教师应该发放一些练习题让学生进行实践操作，通过多次进行代入计算，让学生掌握角度与弧度之间的换算方法。
2.4 弧度制与三角函数关系在学生掌握了角度制与弧度制的换算方法之后，再教授三角函数，让学生通过计算角度的办法计算弧度，再用计算的弧度进行三角函数的计算，从构建关系的角度全方面地帮助学生理解弧度制与三角函数关系。
四、教学方法1.课堂教学法：以多种形式进行讲解和演示，激发学生的思考和互动；2.讨论和探究法：通过学生的自主探究和合作探究，让学生加深对知识的理解；3.练习和测试法：让学生在课堂和课后进行练习，加深对知识的掌握。
五、教学评估1.通过课堂练习和作业批改来检查学生对知识的掌握情况；2.通过课后作业的布置，能够让学生巩固知识、深化理解；3.通过课后反馈，了解学生的学习进展和困难。
1的弧度制
1的弧度制
弧度制是一种用于表示角度的数学和测量单位制，它以等于半径的圆弧所对的圆心角作为度量单位。
在弧度制中，一个完整的圆周角是2π弧度。
1弧度等于180π度，这是因为一个圆周角是360度，而1弧度对应的圆心角是2π弧度。
因此，我们可以使用以下公式将角度转换为弧度：弧度= 弧度× π / 180。
1弧度的角是一个非常小的角，它大约等于57.3度的16分之1。
在几何学中，1弧度的角对应的弧长等于半径。
这意味着，如果我们有一个半径为r的圆，那么这个圆上1弧度的弧长就是r。
弧度制在许多数学和物理领域中都有应用，因为它与三角函数和极坐标系密切相关。
在极坐标系中，一个点的位置由其在x轴上的投影和该点与原点之间的连线与y轴之间的夹角表示。
这个夹角就是用弧度制表示的。
另外，弧度制也使得一些数学公式变得更简单。
例如，圆的周长公式为C = 2πr，其中r是圆的半径。
如果我们使用角度制来表示这个公式，那么我们需要使用360度作为角度单位，这将使公式变得更复杂。
但是，如果我们使用弧度制来表示这个公式，那么我们只需要使用2π作为角度单位，这将使公式变得更简单。
总之，弧度制是一种方便的单位制，它使得一些数学和物理公式变得更简单，也使得一些几何图形更容易描述和理解。
112弧度制和弧度制与角度制的转化
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的转化一、教学目标：（一）、知识目标1.1.理解理解1弧度的角、弧度制的定义弧度的角、弧度制的定义..2.2.掌握角度与弧度的换算公式掌握角度与弧度的换算公式掌握角度与弧度的换算公式3.3.熟记特殊角的弧度数熟记特殊角的弧度数 （二）能力目标：1.熟练进行角度与弧度的换算熟练进行角度与弧度的换算2.2.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式这两个公式解题。
能灵活运用弧长公式、扇形面积公式这两个公式解题。
（三）、情感目标1．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力2．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．统一的，而不是孤立、割裂的关系．二、教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算．使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算． 三、教学难点：运用弧度制解决具体的问题．运用弧度制解决具体的问题． 四、教 具：多媒体、实物投影仪 五、教学过程 教学环节 教 学 内 容 师 生 互 动 设计意图设计意图复习引入复习在上节课中所讲过的角的概念推广，并回顾初中时表示角的大小的度量制是怎样定义。
的度量制是怎样定义。
教师提出问题：教师提出问题：1、正角、负角和0角又是怎样定义的？的？ 2、初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，那么1°的角是如何定义的？角是如何定义的？学生回答：1、我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，没做任何旋转时我们也认为形成一个角，叫0角 2、 定周角的3601作为1°的角°的角教师点评：我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制角的制度叫做角度制这种概念的优点是形象、直观，容易理解，弊端是角度与我们研究数学问题时所使用的数的集合“实数”不能吻合。
吻合。
弧度制
l ④角的弧度数的绝对值: r
（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1 =
180
rad 0.01745rad
180 1 rad 57.30 57 18'
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明1：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S R R 360 2
弧长为
中心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
例5.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 2 R 2 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
1 所以它的面积是 S lR 2
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
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弧度
π
角度 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
2π
例4. 扇形AOB中， 所对的圆心角是60º， 半径是50米，求 的长l（精确到0.1米 ）。
解：因为60º= ,所以 l=α·r= ×50≈52.5 .
答： 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
解： （1）112º30′=112.5º，
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112º30′=112.5× = .
例2. 把 化成度。 解：1rad=
例3. 填写下表：
角度 0°
弧度 0
30° 45° 60° 90° 120°
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧”为单位来度量角的单位 制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
1.1.2 弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？
周角的 为1度的角。
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
合
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合(
)º
扇形面积是
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半 径无关的定值。
4.公式：
，
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧
所对的圆心角是αrad。
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
=定值，
设α=nº， 弧长为l，半径OA为r，
则
，
可以看出，等式右端不含 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与α的 大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= ，根据l=αR，得
（2）根据S= lR= αR2，且S=2R2. 所以 α=4.
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º.
② 扇形面积公式 其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
又 αR=l，所以
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad. 所以它的面积是
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
④角的弧度数的绝对值: （l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad ∴ 1= 1 rad
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： ① 弧长公式： 由公式：
比公式
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.