初中数学：1.1.2弧度制

=定值，
设α=nº， 弧长为l，半径OA为r，
则
，
可以看出，等式右端不含 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与α的 大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= ，根据l=αR，得
（2）根据S= lR= αR2，且S=2R2. 所以 α=4.
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º.
弧度
π
角度 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
2π
例4. 扇形AOB中， 所对的圆心角是60º， 半径是50米，求 的长l（精确到0.1米 ）。
解：因为60º= ,所以 l=α·r= ×50≈52.5 .
答： 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半 径无关的定值。
4.公式：
，
表示的是在半径为r的圆中，弧长为wenku.baidu.com的弧
所对的圆心角是αrad。
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
解： （1）112º30′=112.5º，
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112º30′=112.5× = .
例2. 把 化成度。 解：1rad=
例3. 填写下表：
角度 0°
弧度 0
30° 45° 60° 90° 120°
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
② 扇形面积公式 其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
又 αR=l，所以
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad. 所以它的面积是
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
④角的弧度数的绝对值: （l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad ∴ 1= 1 rad
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： ① 弧长公式： 由公式：
比公式
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
合
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合(
)º
扇形面积是
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位 制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位 制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
1.1.2 弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？
周角的 为1度的角。
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。