信号与系统-傅里叶变换的基本性质.

则c1 f1(t ) c2 f2 (t ) c1F1( ) c2F2 ( ) 2．例3-7-3
c1 , c2为常数
ut 1 1 sgnt F π 1
22
j
三．奇偶虚实性
在§3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。
若f (t) F( )，则f (t) F( )
证明：
由定义
F f (t) f (t)ej t d t F ( )
可以得到
F f (t) f (t)ej t d t f (u)ej u d u F ( )
若f (t) F ( )，则f (t) F ( )
四．尺度变换性质
若f (t) F ( ),则f at 1 F , a为非零函数
a a
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
ut F 直流 1 π
2
余下部分
f2(t)
u(t )
1 2
1 2
sgn( t ),
ut
π
1
j
f
2
t
微
分f
2
t
t
1,
f2(t)
1
j
ut
f1t
dut f1t
1
1 2
dt
1
o
t
o
t
o
t
2．频域微分性质
若f (t) F ( ), 则tf (t) j d F
d
推广
或 jtf (t) d F
4．应用
通信中调制与解调，频分复用。
七．微分性质
时域微分性质
f (t) F ( )，则f (t) jF ( )
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
1．时域微分
f (t) F ( )，则f (t) jF ( )
一般情况下 f (n) t j n F ( )
若已知F
f
n(t) ，则F
F f n(t)
j n
Ff
(t)
jF( ) :
幅度乘
相位增加,
j
90
注意
注意
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶 变换，余下部分再用微分性质。
(3) a 1 f t f t, F F 。
f t
E
F
E
o t
2
2
2π o 2π
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
f t 2
E
o
t
2E 2F 2
π π
o
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
一．对称性质
1．性质（证明见P123）
若f (t) F( ) 则F t 2π f 若f t为偶函数 则F t 2π f
2． 意义
若F(t)形状与F( )相同， t 则F (t)的频谱函数形状与 f t 形状相同，t ,
幅度差2π 。
二．线性性质
1．性质
若f1(t) F1( ) , f2(twenku.baidu.com F2( )
当f t 为实函数时, F F * 共轭 R 为偶函数, X 为奇函数
F ( ) R( ) j X ( ) R( ) j X ( ) F *( )
五．时移特性
若f (t) F ( ),
则f (t t0 ) F ( )e jt0 ;
若F ( ) F ( ) ej ( ) 则f (t t0 ) F ( ) ej ( ) t0
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
相移t0
右 左
t0 t0
时移加尺度变换
若f (t) F ( )
则f at b
1
F
e
j
b a
a a
仿 at
1 a
t 的证明过程
六．频移特性
1．性质
若 f (t) F( )
则
f (t )ej0t F 0 f (t )ej0t F 0
§3.7 傅里叶变换的 基本性质
主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质
线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
为
0
常
数
，
注
意
号
2．证明
F f (t)ej0t f (t)ej0t ej tdt f (t)ej 0 t d t F 0
3．说明
F ( )
F ( 0 )
F ( 0 )
O
O
0
0 O
时域f (t )乘ej0t ,频域频谱搬移 右移0
时域f (t )乘e j0t , 频域频谱搬移 左移0
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
八．时域积分性质
若f t F ，则
F 0
0时，t
f
d
π
F 0
F
j
F 0
0时，t
f
d
F
j
也可以记作：
F
(
)
1
j
π
(
)
f 2t
E
o
t
44
1 F
2 2
E
2
4π
o
4π
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
(3) a 1 f t f t, F F F *