机械振动3能量法

k1
解：
广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能： T
R M
滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸长，且 与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固 结。
m
1 2 1 1 2 1 1 x M( x ) ( MR 2 )( ) 2 mx 2 2 2 2 2 2R 1 1 1 2 (m M M ) x 2 4 8 1 3 2 (m M ) x 2 8
1 2 mx 2
x
m
x y

静平衡位置
k
x
（弹性势能）
x 1 U mgx k x dx mgx k x kx 2 1 kx 2 0 2 2
势能： U mgx kxdx 0 1 mgx kx 2 2
k
d T U 0 dt
最大位移位置
k 2
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
m
0
xmax
静平衡位置
T U const
Tmax U max
k
x
求:倒摆作微幅振动时的固有频率
n k m
x 是广义的
对于转动：
max n xmax x
max n max
5 6
1
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P
k2
l3 l1
x 1
k1 1
22
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例：悬臂梁
考虑悬臂梁的质量 M Al ，忽略剪切作用
能量法
y y x 速度： x l
l 1 y dy 动能： T 0 2 A l x 2
kx) x 0 ( m x
d T U 0 dt
mg kx x 0 mx
kx mg m x
不可能恒为 0 x
kx 0 m x
3
设新坐标
y x
mg x k
ky 0 m y
注意： 注意：如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点 位置上，方程中就不会出现重力项 。 取在静平衡 取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项 4
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考虑两个特殊位置上系统的能量
静平衡位置上，系统势 能为零，动能达到最大
1 2 max Tmax mx 2 U 0
T 0 U max 1 2 kxmax 2
m
0
例：如图所示是一个倒置的摆
静平衡位置
m k/2 k/2 l a
k
x
摆球质量 m
刚杆质量忽略
每个弹簧的刚度
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m
零平衡位置1
动能
1 2 T ml 2 2
k/2
k/2 l

动能
T
1 3 2 (m M ) x 2 8
k1 R
M e ml
势能
2
a
3 Me m M 8
势能 U
U
1 (ka 2 mgl ) 2 2
1 1 ( k 2 k1 ) x 2 4 2
Tmax U max ,
max n max
x
利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只 考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有 的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方 法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元 件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否 则算出的固有频率明显偏高。
1 1 (ka 2 2 mgl 2 ) (ka 2 mgl ) 2 2 2
Tmax U max

max
n max
ka 2 mgl n ml 2
7
1 2 1 2 2 T I ml 动能 2 2 11 2 势能 U 2 k a mgl cos 22 1 ka 2 2 mgl 1 2 sin 2 2 2 1 1 ka 2 2 mgl mgl 2 2 2 1 2 2 (ka mgl ) mgl 2
a
零平衡位置2
d T U 0 dt
2 ( ka 2 mgl ) 0 2ml 2 2( ka 2 mgl ) 0 2ml 2
n
ka 2 mgl ml 2
8
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例：铅垂平面内一个滑轮-质量弹簧系统
m
M
K e ka 2 mgl
n
ka 2 mgl ml 2
1 K e k 2 k1 4
x
k2
15
2k 8k2 1 3M 8m
2 n
16
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方法2：定义法 等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度
例：串联系统
在质量块上施加力 P 弹簧1变形： 1 弹簧2变形： 2
k1 k2
m
P k1
P k2
等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量
总变形： 1 2 ( 根据定义：
Ke
1 1 )P k1 k2
解法1：能量法
2 m2 ( 2 x )2 动能： T m1 x 1 2 1 2 l l1
l3 l2 l1
解法2：定义法
设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P
x
l3
l2
l1
m1 k1
x
1 l2 2 m2 ) x (m1 2 2 l12
m1 k1
则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：
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能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以 利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系 统的固有频率。
第三讲 能量法、等效参数
无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 U 之和保持不变 ，即：
T U const
或：
解法1：
广义坐标 动能 势能 平衡位置1
m k/2
零平衡位置1
解法2：
平衡位置2
m k/2 k/2 l

k/2 l

1 2 1 2 2 T I ml 2 2
a
11 2 U 2 k a mgl 1 cos 22 1 ka 2 2 2mgl sin 2 2 2
d T U 0 dt
2
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弹簧质量系统 动能： 势能：
mg k
弹簧原长位置
1 2 T mx 2
如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位 置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能： T
m
0

静平衡位置
弹簧原长位置
mgx
（重力势能）

x
0
k ( x)dx
l
x x


x
求： 悬臂梁对于坐标 x 的等效质量和等效刚度

1 1 2 ( Al ) x 2 3
等效质量： M e Al M
1 3
1 3
23
24
4
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定义法
设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P 则在悬臂梁上产生惯性力，对支座取矩：
l y 1 1 Pl A 1 ydy Al 2 Ml 0 l 3 3
0 k mt m x
m k2
n2
2k1 8k2 3M 8m
n
2k1 8k2 3M 8m
11
12
2
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例如：弹簧质量系统
0 x
等效质量与等效刚度
方法1： 选定广义位移坐标后，将系统动能、势能写成如下形式： 1 1 2 T Mex U Ke x2 2 2
m
k1
P
例：杠杆系统
k1
m
k2
杠杆是不计质量的刚体
l3 l2 l1 x
P2 k2
k2
m1 k1
由力平衡： P P 1P 2 ( k1 k2 ) 根据定义： K e
k2
m2
P k1 k2
求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
19
20
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k mt m
弹簧的动能:
Tt 1 2 mt x 弹簧等效质量 mt 2
系统最大动能：
1 1 2 1 2 2 max mt x max max (m mt ) x mx 2 2 2 2 系统最大势能： U max 1 kxmax 2 Tmax
、 x 分别取最大值时： 当x
T Tmax U U max
则可得出： n K e / M e
Ke：简化系统的等效刚度
x
Ke
Me
max n xmax x
n
k m mt
若忽略 mt ，则 n 增大
13
Me：简化系统的等效质量
这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等 14
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或
P
P kk 1 2 k1 k2
1 1 1 K e k1 k 2
17
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上 18 施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度
3
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例：并联系统
在质量块上施加力 P 两弹簧变形量相等： 受力不等：P 1 k1
k2
m2
k2
m2
l2 等效质量：M e m1 22 m2 l1
l Pl1 ( m1 1)l1 ( m2 2 )l2 l1 l2 M e P m1 22 m2 l1
m2
l2 l1
P
1 x
势能： U 1 k1 x 2 1 k2 ( l3 x) 2 1 (k1 l3 k 2 ) x 2 2
l
P
x 1
Me
M 3
l P x=1
设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P 由材料力学知识可知
=
Pl 3 3EI
3EI 3EI 3EI P 3 3 1 3 l l l
Ke
3EI l3
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5
x
k1 R M
m k2
确定系统微振动的固有频率
k2
势能： U 1 k 2 x 2 1 k1 ( 1 x) 2
2
2
2

9
1 1 ( k 2 k1 ) x 2 4 2
10
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解：
广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能： T
注意：
k1 R M
1 3 2 (m M ) x 2 8 1 1 势能： U ( k 2 k1 ) x 2 4 2
2
设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P
m1 1
2
2
l1
2 3 2 1
2
l1
固有频率：
则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：
等效刚度：K e k1
l k2 l
n K e / M e
21
l Pl1 (k1 1)l1 (k 2 3 )l3 l1 l2 K e P k1 32 k 2 l1