机械振动3能量法
机械振动学(第三章)-多自由度振动系统
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利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
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3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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机械振动信号分析与故障诊断
机械振动信号分析与故障诊断一、引言机械设备在日常运行中常常会出现各种各样的故障问题，其中振动问题是比较常见的一种。
通过对机械振动信号的分析与诊断，可以提前预知机械设备的潜在故障，从而采取相应的维修措施，保证设备运行的可靠性和安全性。
本文将主要介绍一些常见的机械振动信号分析方法和故障诊断技术。
二、机械振动信号的特点机械设备在运行过程中会产生各种各样的振动信号，这些信号包含了丰富的信息，能够反映出机械设备的工作状态和故障状况。
机械振动信号的特点主要包括以下几个方面：1. 频谱特性：机械振动信号的频谱分布通常是不均匀的，其中包含了各种不同频率的分量。
通过对振动信号的频谱进行分析，可以确定频谱分量的大小和分布情况。
2. 时域特性：振动信号的时域特性主要包括振动波形的幅值、时间和频率等参数。
通过对振动信号的时域分析，可以了解振动信号的动态变化。
3. 能量特性：机械振动信号的能量分布通常是不均匀的，其中一部分能量是由于机械设备本身的运动引起的，另一部分能量则是由于机械故障引起的。
通过对振动信号的能量特性进行分析，可以判断机械设备是否存在故障问题。
三、机械振动信号分析方法为了对机械设备进行故障诊断，需要采用一些有效的机械振动信号分析方法。
下面介绍几种常用的方法：1. 频谱分析法：频谱分析法是一种将振动信号转换为频谱图的方法。
通过对振动信号进行傅里叶变换，可以得到振动信号的频谱分布情况。
通过分析频谱图，可以确定机械设备的主要频率分量和故障频率分量。
2. 小波分析法：小波分析法是一种将振动信号分解成不同频率的分量的方法。
通过小波分析，可以得到振动信号的时间-频率分布情况。
与频谱分析相比，小波分析具有更好的时间-频率分辨率。
3. 瞬时参数分析法：瞬时参数分析法是一种分析振动信号的瞬时变化的方法。
通过对振动信号的瞬时参数进行分析，可以了解到机械设备的动态变化和故障情况。
四、机械故障诊断技术机械故障诊断技术主要是通过对机械振动信号的分析，判断机械设备是否存在故障问题，并确定故障的类型和位置。
机械振动3强迫振动5-7讲解
3.5 简谐力与阻尼力的功 3.6 等效粘性阻尼 3.7 系统对周期激励的响应·傅里叶级数
3.5 简谐力与阻尼力的功
有阻尼的系统在振动时，机械能不断耗散，而振动逐渐衰减. 强迫振动时，激励对振动系统做功，不断输入能量，当输入
与耗散相等时，振动不衰减，振幅保持常值，即稳态振动.
(1) 简谐激励力在一个周期内所做的功。 设简谐激励力 F F0 sin t 作用在m上， 运动方程的解为： x X sin(t ) 则在一个周期内激励所做的功：
谐波分析方法也适用于分析任意周期惯性力激励的受迫振 动。
例3.6.1 设质量-弹簧系统受到如图2.10所示的周期方波激励：
F (t)
F0
F0
0 t T
2
T t T
2
试求此系统的响应，令λ=1/6， ζ=0.1，作出频谱图。
F(t) F0
频率为ω。利用傅里叶级数可将任意周期激励力分解为有
限个或可列无限个谐波分量，则任意周期的激励分解为有 限个或可列无限个谐波分量的简谐激励，系统的响应为对 各个谐波分量响应的叠加。这种分析方法称为谐波分析。
设周期力F(t)的频率为ω，周期为T=2π/ω。将F(t)展开为
傅里叶级数，以复数形式表示为：
其中：
(2n 1) n
例3.6.2 发电机的振动。
曲柄、连杆质量不计，发电机总
质量m，活塞质量为m1，曲柄转
速ω。设r << l，只保留α=r/l的一
次项，求发电机的响应。
解：活塞的位置坐标xB：
k
A
r
l
O0 O θ
φ
机械振动的原理和控制方法
机械振动的原理和控制方法机械振动是指物体在弹性介质作用下，出现周期性的膨胀与收缩的现象。
机械振动广泛存在于工业、军事、天文等多个领域中，对于系统的稳定性、工作性能、安全性、寿命等方面都有着重要的影响。
因此，研究机械振动的原理和控制方法显得非常必要。
一、机械振动的原理机械振动是由于物体在弹性介质作用下，出现周期性的膨胀与收缩的现象。
这里主要涉及到两种形式的振动：一种是自由振动，即物体在没有外部作用下自然地振动；另一种是强制振动，即物体受外部强制作用而振动。
自由振动的原理：自由振动的主要原理是由于物体本身的初始形态造成的。
在没有外部作用时，物体会遵循自身特定的固有频率，反复执行某些动作。
这是由于物体受到扰动后，内部的弹性介质会将能量存储起来，随后再释放出来，从而使物体开始振动。
自由振动的特点是在系统中，没有外力或外干扰，其振动的幅度与频率都是恒定的。
强制振动的原理：另一种振动形式是强制振动，其原理是由外部的作用所引起。
通过施加一个外力，物体将发生周期性振动，并随之受到外力的影响。
此外，振动还可以通过参数的变化而被改变。
二、机械振动的控制方法机械振动对于工业生产、精密制造、核航天等领域的其他安全工程具有一定的风险。
因此，开发监控和控制机械振动的方法非常重要。
以下是三种常用的控制方法：1、主动控制主动控制是利用反馈控制来控制机械振动的方法。
它将传感器和控制器紧密结合，并利用控制算法来实现反馈控制。
主动控制可以在短时间内调整扰动力，避免波动的扩大。
这种方法多为闭环控制，实现快速响应和精密控制。
2、被动控制被动控制是通过设计结构或材料本身来抵消机械振动的方法。
例如，在应用中添加减振器、吸振器等来减少机械振动的影响。
被动控制的主要优点是不会引起额外的环境破坏。
3、半主动控制半主动控制通过结合主动控制和被动控制的特点来控制机械振动。
这种控制方法通常涉及添加补偿系统来调整扰动力。
比如，使用半主动液压隔振器来实现机械振动的控制。
机械振动--第03课 单自由度系统：阻尼自由振动
c 2 k 2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k /n
c cc
式 (2.3-1)可 以 写 成
mxcxkx0 x(0)x0, x(0)x0
x
2
n
x
2 n
x
0
(2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
。2粘
性
阻
尼
系
c
统的
自由2
振动k，
其
2m m
振 动 。实 际 阻 尼 小 于 临 界 阻 尼 的
位 系
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（ 2） 1 ， 临 界 阻 尼 （ critical damped）
这
时
，
系统
的c阻尼
系数c等于2
系
k
统
的
临
界
阻
c
尼
系2数，k这
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2
v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
振动能量公式
振动能量公式振动能量公式是描述振动系统能量的一个重要公式。
它可以用来计算振动系统的总能量，包括动能和势能。
振动能量公式可以表示为E = 1/2mv^2 + 1/2kx^2，其中E表示振动系统的能量，m表示质量，v表示速度，k表示弹性系数，x表示位移。
我们来看一下公式中的第一项，1/2mv^2，它表示振动系统的动能。
动能是由质量和速度决定的，质量越大、速度越大，动能也就越大。
动能可以理解为物体运动时所具有的能量。
公式中的第二项，1/2kx^2，表示振动系统的势能。
势能是由弹性系数和位移决定的，弹性系数越大、位移越大，势能也就越大。
势能可以理解为物体在弹性力的作用下所具有的能量。
振动能量公式将动能和势能结合在一起，可以全面描述振动系统的能量变化。
当振动系统处于运动状态时，动能和势能不断地相互转化，能量在系统中不断地传递。
当振动系统处于平衡位置时，动能和势能相等，总能量达到最小值。
而当振动系统处于最大位移位置时，动能为零，势能达到最大值，总能量也达到最大值。
振动能量公式的应用十分广泛。
在物理学中，它可以用来计算各种振动系统的能量，如弹簧振子、简谐振子等。
在工程中，它可以用来分析和设计各种振动系统，如机械振动系统、电子振动系统等。
在生活中，它也有很多实际应用，如音乐乐器发声的原理、地震波传播的机制等。
振动能量公式的理解和应用对于我们深入了解和研究振动现象具有重要意义。
通过对振动能量的分析，我们可以了解振动系统的能量变化规律，预测和控制振动系统的行为。
同时，振动能量公式也为我们提供了一种计算和比较不同振动系统能量大小的方法，帮助我们选择和优化振动系统。
振动能量公式是描述振动系统能量的一个重要工具。
它通过结合动能和势能，全面描述了振动系统的能量变化。
振动能量公式的理解和应用对于我们研究和应用振动现象具有重要意义，有助于我们深入探索和利用振动的力量。
1单自由度系统振动总结与习题
n
U=
max A n
1 k ( a ) 2 2 A
T max U max ；
2 1 2 2 1 2 ml A Ka 2 . A 2 n 2 2
n
a l
k ； m
周期 T=
2l a
m k
利用等效能量法求图示系统的固有频率
解:真实系统:T=
l 1 1 2 ) 2 + m2. x m1( 2 x 2 2 l4 l 1 l 1 2 2 U= k1 ( 1 .x) k 2. ( 3 .x) 2 l4 2 l4 1 2 等效系统 T e = me. x 2 1 2 V e = ke x 2 l 2 T=T e m e =m 2 +m 1 ( 2 ) l4 l 2 l 2 V=V e k e ( 1 ) +k 2 ( 3 ) l4 l4
4 、细杆 OA 可绕水平轴 O 转动，如图，在静平衡位置时成水平，杆端 重锤的质量为m，杆与弹簧的质量均可忽略不计，求自由振动的固有周期。
解: 为小球偏角时,弹簧伸长以及锤的位移可表示成 a ,l ,
1 m (l) 2 ； 2 令 A sin( n t ) A sin( )
l
x sin( n t )
因此梁上各点的速度分布为
( x, t ) A sin v
l
x n cos( n t )
因而动能最大值为 1 1q l 2 Tmax M n A 2 ( A sin x n ) 2 dx 2 2g 0 l 1 A 2 2 ( M 1 Q ) n 2 2g 1 1 48 EI 2 A 在最大振幅位置 Vmax KA 2 2 2 l3 48EI 由 Vmax Tmax 求得： n = 1 Q 3 M 2 g l
江苏专用_新教材高中物理第二章机械振动3简谐运动的回复力和能量学案新人教版选择性必修第一册
简谐运动的回复力和能量1．理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律。
2．掌握简谐运动回复力的特征。
3．对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程。
知识点一简谐运动的回复力[情境导学]如图所示，O点为水平弹簧振子的平衡位置，A′、A分别是振子运动的最左端和最右端，弹簧的劲度系数为k。
请思考：(1)振子在振动过程中位于O点左侧x处时所受合外力的大小怎样表示？方向怎样？产生什么效果？(2)振子在振动过程中位于O点右侧x处时所受合外力的大小怎样表示？方向怎样？产生什么效果？提示：(1)F＝kx，方向(向右)指向平衡位置O，产生指向平衡位置的加速度，使物体回到平衡位置。
(2)F＝kx，方向(向左)指向平衡位置O，产生指向平衡位置的加速度，使物体回到平衡位置。
[知识梳理]1．回复力(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。
(2)表达式：F＝－kx，“－”号表示F与x反向。
(3)方向：总是指向平衡位置。
2．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它离开平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
[初试小题]1．判断正误。
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。
(√)(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。
(×)(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。
(×)(4)回复力F＝－kx中的k一定是弹簧的劲度系数。
(×)2．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )解析：选C 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应如图C所示。
知识点二简谐运动的能量[情境导学]如图所示，O点为水平弹簧振子的平衡位置，A′、A分别是振子运动的最左端和最右端。
请思考：(1)振子在振动过程中位于O点时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？(2)振子在振动过程中位于最左端A′和最右端A时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？(3)振子经历A→O→A′过程中振子的动能、弹簧的弹性势能怎样转化？提示：(1)动能最大，弹性势能为零。
第11章 机械振动 第3讲 简谐运动的回复力和能量
第3讲简谐运动的回复力和能量[目标定位] 1.知道回复力的概念，了解它的来源.2.理解从力的角度来定义的简谐运动.3.理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、能量等各物理量的变化规律.4.知道简谐运动中机械能守恒，能量大小与振幅有关．会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律．一、简谐运动的回复力1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．2．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力．3．简谐运动的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是比例系数．想一想回复力是不是除重力、弹力、摩擦力等之外的一种新型的力？它有什么特点？答案不是．回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不是一种新型的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力．回复力可以由某一个力提供(如弹力)，也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力．二、简谐运动的能量1．如果摩擦力等阻力造成的损耗可以忽略，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的．2．简谐运动是一种理想化的模型．想一想弹簧振子在振动过程中动能与势能相互转化，振子的位移x、回复力F、加速度a、速度v四个物理量中有哪几个与动能的变化步调一致？答案只有速度v.一、简谐运动的回复力1．对回复力的理解(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力．(2)简谐运动的回复力：F＝－kx.①k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关．②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．③x是指物体对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量．④回复力的作用总是把物体拉向平衡位置．2．简谐运动的加速度据牛顿第二定律，a＝Fm＝－km x，表明简谐运动的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．说明：k是比例系数，不能与弹簧的劲度系数相混淆．3．判断振动为简谐运动的方法(1)运动学方法：找出物体的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(xt 图象)是一条正弦曲线，就可判定此振动为简谐运动．(2)动力学方法：若回复力F与位移x间的关系满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动．例1如图1所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是()图1A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复的力作用C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置解析回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．答案AD例2如图2所示，将一劲度系数为k，原长为L0的轻弹簧的一端固定在倾角为θ的光滑斜面的顶端，另一端连接一质量为m的小球．将小球沿斜面拉下一段距离后松手．证明：小球的运动是简谐运动．图2证明设小球在弹簧长度为L1时在平衡位置O，弹簧原长为L0，选沿斜面向上为正方向，则由平衡条件得k(L1－L0)－mg sin θ＝0.当小球振动经过O点以上距O点为x处时，受力为F合＝k(L1－L0－x)－mg sin θ，整理得F合＝－kx，当小球振动经过O点以下位置时，同理可证，因此小球的运动是简谐运动．二、简谐运动的能量1．不考虑阻力，弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒．2．简谐运动的机械能由振幅决定对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大．如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动．例3如图3所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.图3(1)简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________能相互转化，总机械能________．(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是()A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是()A．振幅不变B．振幅减小C．最大动能不变D．最大动能减小解析(1)简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误．(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．答案(1)振幅弹性势守恒(2)ABD(3)AC三、简谐运动中各物理量的变化情况如图4所示的弹簧振子图4例4如图5图5A．在第1 s内，质点速度逐渐增大B．在第1 s内，质点加速度逐渐增大C．在第1 s内，质点的回复力逐渐增大D．在第4 s内质点的动能逐渐增大E．在第4 s内质点的势能逐渐增大F．在第4 s内质点的机械能逐渐增大解析在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒．答案BCD简谐运动的回复力1．如图6所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是()图6A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力解析物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，其大小和方向都随时间变化，D选项正确．答案 D简谐运动的能量2．沿水平方向振动的弹簧振子在做简谐运动的过程中，下列说法正确的是()A．在平衡位置，它的机械能最大B．在最大位移处，它的弹性势能最大C．从平衡位置向最大位移处运动过程中，它的弹性势能减小D．从最大位移处向平衡位置运动的过程中，它的机械能减小解析弹簧振子在振动过程中机械能守恒，故A、D错误；位移越大，弹簧的形变量越大，弹性势能越大，故B正确，C错误．答案 B3．如图7所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b 两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平桌面上左右振动．振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A 和T，则：A______A0(填“>”、“<”或“＝”)，T______T0(填“>”、“<”或“＝”)．图7解析物块通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大．向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动．小物块a与弹簧组成的系统机械能小于原来系统的机械能，所以小物块a的振幅减小，A<A0，由于振子质量减小可知加速度增大，周期减小，T<T0. 答案<<简谐运动中各量的变化情况4．弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中() A．振子所受的回复力逐渐增大B．振子离开平衡位置的位移逐渐增大C．振子的速度逐渐增大D．振子的加速度逐渐增大解析在振子向着平衡位置运动的过程中，振子所受的回复力逐渐减小，振子离开平衡位置的位移逐渐减小，振子的速度逐渐增大，振子的加速度逐渐减小，选项C正确．答案 C(时间：60分钟)题组一简谐运动的回复力1．对简谐运动的回复力公式F＝－kx的理解，正确的是()A．k只表示弹簧的劲度系数B．式中的负号表示回复力总是负值C．位移x是相对平衡位置的位移D．回复力只随位移变化，不随时间变化解析位移x是相对平衡位置的位移；F＝－kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反．答案 C2．物体做简谐运动时，下列叙述正确的是( ) A ．平衡位置就是回复力为零的位置 B ．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态 C ．物体到达平衡位置，合力一定为零 D ．物体到达平衡位置，回复力一定为零解析 平衡位置是回复力等于零的位置，但物体所受合力不一定为零，A 、D 对． 答案 AD3．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )解析 由简谐运动的回复力公式F ＝－kx 可知，C 正确． 答案 C4．弹簧振子的质量是2 kg ，当它运动到平衡位置左侧2 cm 处时，受到的回复力是4 N ，当它运动到平衡位置右侧4 cm 处时，它的加速度是( ) A ．2 m /s 2，向右 B ．2 m/s 2，向左 C ．4 m /s 2，向右D ．4 m/s 2，向左解析 由振动的对称性知右侧4 cm 处回复力为8 N ，由a ＝－kx m ＝－Fm 知a ＝4 m/s 2，方向向左． 答案 D5．如图1所示，质量为m 的物体A 放置在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A 、B 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k ，当物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于( )图1A ．0B ．kx C.m M kx D.mM ＋mkx解析 当物体离开平衡位置的位移为x 时，弹簧弹力的大小为kx ，以整体为研究对象，此时A 与B 具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx ＝(m ＋M )a ，故a ＝kxM ＋m.以A 为研究对象，使A 产生加速度的力即为B 对A 的静摩擦力F ，由牛顿第二定律可得F ＝ma ＝mM ＋m kx .故正确答案为D. 答案 D题组二 简谐运动的能量6．关于振幅，以下说法中正确的是( ) A ．物体振动的振幅越大，振动越强烈B ．一个确定的振动系统，振幅越大，振动系统的能量越大C ．振幅越大，物体振动的位移越大D ．振幅越大，物体振动的加速度越大解析 振动物体的振动剧烈程度表现为振幅的大小，对一个确定的振动系统，振幅越大，振动越剧烈，振动能量也就越大，A 、B 项正确．在物体振动过程中振幅是最大位移的大小，而偏离平衡位置的位移是不断变化的，因此C 项错．物体振动的加速度是不断变化的，故D 项错． 答案 AB7．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T ，那么它的动能、势能变化的周期为( )A ．2TB ．T C.T 2 D.T 4解析 振动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，没有方向．C 正确． 答案 C8．如图2为一水平弹簧振子的振动图象，由图可知( )图2A ．在t 1时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大B ．在t 2时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小C ．在t 3时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小D ．在t 4时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大解析 t 2和t 4是在平衡位置处，t 1和t 3是在最大位移处，根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹力为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大，即弹力为最大，所以B项正确．答案 B9．如图3所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知()图3A．在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零B．在0.2 s时，振子具有最大势能C．在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值D．在0.4 s时，振子的动能最大解析弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，选项A错；在0.2 's时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．答案 B题组三简谐运动的综合应用10．一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内() A．振子的速度逐渐增大B．振子的位移逐渐增大C．振子正在向平衡位置运动D．振子的速度方向与加速度方向一致解析振子由平衡位置向最大位移处运动过程中，振子的位移越来越大，加速度逐渐增大，速度方向与加速度方向相反，振子做减速运动，速度越来越小，故A、D错误，B正确；振子向平衡位置运动的过程中，位移减小，回复力变小，加速度变小，故C错误．答案 B11．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图4所示，则可知()图4A ．两弹簧振子完全相同B ．两弹簧振子所受回复力最大值之比F 甲∶F 乙＝2∶1C ．振子甲速度为零时，振子乙速度最大D ．两弹簧振子的振动频率之比f 甲∶f 乙＝2∶1解析 由题图可知f 甲∶f 乙＝1∶2，因此两振子不相同，A 、D 错误；由题图可知C 正确；因F 甲＝k 甲A 甲，F 乙＝k 乙A 乙，由于k 甲和k 乙关系未知，因此无法判断F 甲与F 乙的比值，所以B 错误． 答案 C12．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图5所示．图5(1)求t ＝0.25×10－2 s 时的位移；(2)在t ＝1.5×10－2 s 到2×10－2 s 的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？(3)在t ＝0到8.5×10－2 s 时间内，质点的路程、位移各多大？解析 (1)由题图可知A ＝2 cm ，T ＝2×10－2 s ，振动方程为x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωt －π2＝－A cos ωt ＝－2cos2π2×10－2t cm ＝－2cos 100πt cm当t ＝0.25×10－2 s 时，x ＝－2cos π4 cm ＝－ 2 cm.(2)由题图可知在1.5×10－2～2×10－2 s 内，质点的位 移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．(3)从t ＝0至8.5×10－2 s 时间内为174个周期，质点的路程为s ＝17A ＝34 cm ，质点0时刻在负的最大位移处，8.5×10－2 s 时刻质点在平衡位置，故位移为2 cm. 答案 (1)－ 2 cm (2)变大 变大 变小 变小 变大 (3)34 cm 2 cm。
机械振动学总结全
机械振动学总结 第一章 机械振动学基础第二节 机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数来表示，则这一个运动时周期运动。
其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。
简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度ω称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有)sin()cos()(ψωψωψω+++==+t jA t A z Ae z t j用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数t j e ω对时间求导一次相当于在其前乘以ωj ，而每乘一次j ，相当于有初相角2π。
二．周期振动满足以下条件：1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中22n n n b a A += nn n b a =ψt a n 三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1.俩个同频率的简谐振动)sin(222ψω+=t A x ，)sin(2222ψω+=t A x它们的合成运动也是该频率的简谐振动2.俩个不同频率振动的合成若21ωω≤，则合成运动为若21ωω≥ ，对于A A A ==21 ,则有上式可表示为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。
机械振动概念、知识点总结
机械振动概念、知识点总结1、机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动。
例1：乒乓球在地面上的来回运动属于往复运动，不属于机械振动。
因为：乒乓球没有在平衡位置附近做往复运动。
（1）平衡位置：①物体所受回复力为零的位置。
②振动方向上，合力为零的位置。
③物体原来静止时的位置。
（2）机械振动的平衡位置不一定是振动范围的中心。
（3）机械振动的位移：以平衡位置为起点，偏离平衡位置的位移。
（4）回复力：沿振动方向，指向平衡位置的合力。
①回复力是某些性质力充当了回复力，所以回复力是效果力，不是性质力。
②回复力与合外力的关系： 直线振动（如弹簧振子）：回复力一定等于振子的合外力，也就是说，振子的合外力全部充当回复力。
曲线振动（如单摆）：回复力不一定等于振子的合外力。
③平衡位置,回复力为零。
例2：判断：机械振动中，振子的平衡位置是合外力（加速度）为零的位置。
答：错误。
正例：弹簧振子的平衡位置是合外力为零的位置。
反例：单摆中，小球的最低点为平衡位置，回复力为零， 但合外力为：2mv F F T mg L==-=合向 最低点时，小球速度最大，0v ≠，所以0F ≠合2、简谐运动（简谐运动是变加速运动，不是匀变速运动） （1）简谐运动定义：①位移随时间做正弦变化②回复力与位移的关系： F 回=-kx ，即：回复力大小与位移大小成正比。
（2）F 回，x ，v 的关系①F 回与x 的大小成正比，方向总是相反。
（F 回总是指向平衡位置，x 总是背离平衡位置） ②v 的大小与F 回，x 反变化，但方向无联系。
振动范围的两端：F 回，x 最大，v=0，最小 平衡位置： F 回=0，x =0最小，v 最大例3：判断：简谐振动加速度大小与位移成正比 答：错误。
正例：弹簧振子的F 合=F 回=-kx ，a=F 合/m=-kx/m ，a 与位移大小成正比反例：单摆中，小球在平衡位置时，位移为零，但0F ≠合，0a ≠，a 与位移大小不成正比。
2021年新教材高中物理第二章机械振动3简谐运动的回复力和能量课件新人教版选择性必修第一册ppt
指向平衡位置,选项D正确.
答案:AD
【变式】在上述弹簧振子的运动中,振动小球由A向O
运动过程中加速度大小是如何变化的?方向如何?
答案:根据牛顿第二定律,在上述弹簧振子的运动中,
振动小球由A向O运动的过程中加速度大小不断减小,
方向由A指向O.
探究二
方向是怎样的?F与x的方向有什么关系?
答案:当振动小球在平衡位置右侧时,弹力F的方向向左,位移
x的方向向右,F与x的方向相反;当振动小球在平衡位置左侧
时,弹力F的方向向右,位移x的方向向左,F与x的方向相反.
2.由胡克定律知,弹簧的弹力F的大小与位移x的大小之间
有怎样的关系?
答案:由胡克定律知,弹力F的大小与位移x的大小的关系为
(3)选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建
立坐标轴,用x表示物块相对于平衡位置的位移,证明物块做
简谐运动.
解析:(1)物块平衡时,受重力、支持力和弹簧的弹力,根据
平衡条件有mgsinα=kΔx,解得Δx=
,
此时弹簧的长度为l+
.
(2)物块做简谐运动的振幅为A=Δx+ l=
重物所受合力即回复力F=mg+F弹,解得F=-kx,若x>0,则F<0,
表示重物在平衡位置下方,回复力向上;若x<0,则F>0,表示
重物在平衡位置上方,回复力向下.回复力F方向总指向平衡
位置.根据重物的受力特点可以判断重物做简谐运动.
过程建构
1.判断一个振动为简谐运动的方法
(1)通过对位移的分析,写出位移—时间表达式,判断其是
机械振动3能量法
Tmax U max ,
max n max
x
利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只 考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有 的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方 法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元 件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否 则算出的固有频率明显偏高。
k mt m
弹簧的动能:
Tt 1 2 mt x 弹簧等效质量 mt 2
系统最大动能：
1 1 2 1 2 2 max mt x max max (m mt ) x mx 2 2 2 2 系统最大势能： U max 1 kxmax 2 Tmax
、 x 分别取最大值时： 当x
解法1：
广义坐标 动能 势能 平衡位置1
m k/2
零平衡位置1
解法2：
平衡位置2
m k/2 k/2 l
k/2 l
1 2 1 2 2 T I ml 2 2
a
11 2 U 2 k a mgl 1 cos 22 1 ka 2 2 2mgl sin 2 2 2
机械与运载工程学院
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考虑两个特殊位置上系统的能量
静平衡位置上，系统势 能为零，动能达到最大
1 2 max Tmax mx 2 U 0
T 0 U max 1 2 kxmax 2
m
0
例：如图所示是一个倒置的摆
静平衡位置
m k/2 k/2 l a
k
x
摆球质量 m
刚杆质量忽略
每个弹簧的刚度
0 k mt m x
m k2
振动力学(结构力学)
从方程的解中还可以看出，系统属于周 期振动，振动的周期为
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒（s）。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
2.2 自由振动系统
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
振动微分方程的解(P6)
mxkx0
1. 方程的解 设
则方程变为
2 n
k m
xn2x0
通解为
xb 1cosntb 2sinnt
或
xAsin(ntf)
2.2 自由振动系统
设系统的初始条件为：t＝0时，x＝x0，x x0
则可确定上述解中的常数为：
b1 x0 ,
b2
x0
n
A
2
x02x0n ,
farctannx0
分为自由振动、强迫振动和自激振动。 自由振动:系统受到初始激励作用后，仅靠其本身 的弹性恢复力“自由地”振动，其振动的特性仅决定 于系统本身的物理特性(质量和刚度);（如摆钟） 受迫振动或称强迫振动:系统受到外界持续的激励 作用而“被迫地”进行振动，其振动特性除决定于系
统本身的物理特性外，还决定于激励的特性; 工程中的大部分振动都属于此类振动(振动机械、
x0
2.2 自由振动系统
2. 概念与名词(P6-7) 一阶线性振动微分方程的解是时间 t 的
简谐函数，因此这种振动为简谐振动。
方程的解中n只决定于系统本身的参数
m和k，而与系统的初始条件无关，是系统本 身所固有的特性，所以称为固有频率，或称 圆频率或角频率。
方程解中的A称为振幅，是质量偏离静平
专题二十九-求解振动周期的四种方法-培优篇
专题29求解振动周期的四种方法一、公式法例1 如图29-1所示为一机械振动装置，两轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，它们离自由转动轴O的距离分别为a和b，杆OAB的质量不计，振子质量为m，平衡时杆OAB恰好水平，求振子做微小振动时的周期.二、能量法例2 位于竖直平面内的“V”型管粗细均匀、两端开口，两臂分别与水平面成a角和β角，如图29-2所示，其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管做振动，求振动周期.设管壁无阻力.三、等效法例3 长度为l的轻杆和固定在杆自由端上的小铅球组成一个单摆，小铅球的质量为m.现在杆上再套一颗同质量的珍珠，它可以沿着过轻杆中点的水平线自由地滑动，如图29-3所示，求这种异型摆微小振动时的周期.忽略空气阻力和一切摩擦.四、比较法例4 如图29-4所示，细轴环用铰链固定于A点，开始使它的质心位于A点的正上方，轴环受微扰后自由落下，经t=0.5s后，轴环的质心处于最低位置.有一摆是小重球B固定在轻杆上，杆的长度等于轴环的半径，小球从最高位置由静止开始摆下.求此摆的振动周期.体验感悟1.如图29-5所示，用6根拉伸的、长度均为10cm的弹簧将一质量为m=10g的物体悬挂起来，每根弹簧上的拉力均为5N.如果将物体垂直于纸面向外稍微拉动一下然后释放，则该物体的振动频率为_____Hz.2.牛顿曾证明：一个均匀球壳，对球壳内物质的万有引力为零，而对球壳外物质的万有引力不为零，且其作用效果相当于球壳的质量都集中到球心那样.假设有一沿着地轴、穿过地球的通道，在地球表面把一小球从洞口由静止释放，如图29-6所示，试求小球到达通道另一洞口所用的时间.忽略摩擦、阻力等影响，假设地球是半径为R、质量为M一个均匀球体.3.如图29-7所示为一弹簧摆，在原单摆两侧各加一个劲度系数均为k0的轻质弹簧，设摆球静止时两弹簧均处于原长状态，求其振动周期.4.一个质量为M的小球用一根长细线悬挂在很高的天花板上，其右侧有一质量为m的小球用长为l的细线悬挂在O点，两球用一根短轻杆相连，平衡时轻杆水平且两细线竖直平行，如图29-8所示，现将两小球从平衡位置拉离左边使细线偏离一个小角度后静止释放，不计空气阻力，求该系统的振动周期T.5.如图29-9所示，用三根竖直的、长度相同且不可伸长的细轻绳将一个细圆环水平悬挂，环上拴绳点彼此距离相等，细圆环微小扭转后的转动周期为T1，现借助一些重量不计的辐条，将一与环等质量的重物固定于环心处，此时细圆环微小扭转后的振动周期为T2，试求T1与T2之比.。
能量法&等效参数
绳子不可伸长， 滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸长， 且与滑轮间无滑动， 且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面 固结。 固结。
m
确定系统微振动的固有频率
k2
9
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解：
广义坐标： 广义坐标：质量块的垂直位移 x
k1 R M
& 动能： 动能： T = 1 mx 2 + 1 M ( 1 x ) 2 + 1 ( 1 MR 2 )( x ) 2 & & 2 2 2 2 2 2R 1 1 1 & = (m + M + M ) x 2 2 4 8 1 3 & = (m + M ) x 2 2 8
& xmax = ωn xmax
k ωn = m + mt
若忽略 mt ，则 ωn 增大
13
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等效质量与等效刚度
方法1： 方法 ： 选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式： 选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式： 1 1 & T = Me x2 U = Ke x2 2 2
m2 ⋅
l2 l1
P
&& = 1 x
m1 ⋅1
l3 Pl1 = (k1 ⋅ 1)l1 + (k 2 ⋅ )l3 l1 2 l K e = P = k1 + 32 k 2 l1
P
x =1
l3 k2 ⋅ l1
k1 ⋅1
22
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例：悬臂梁
考虑悬臂梁的质量 M = ρ Al ，忽略剪切作用 l
= 1 1 (ka 2θ 2 − mglθ 2 ) = (ka 2 − mgl )θ 2 2 2
机械工程中的机械振动分析
机械工程中的机械振动分析机械振动是机械工程领域中的一个重要研究方向，它涉及到机械系统中的动力学问题。
机械振动的研究对于解决机械系统中的振动和噪声问题、提高机械系统的可靠性和性能具有重要意义。
本文将介绍机械工程中的机械振动分析方法。
一、机械振动的基本概念机械振动是指机械系统中物体在其平衡位置附近做周期性的来回运动。
机械振动可以分为自由振动和强迫振动两种。
自由振动是指物体在没有外力作用下，在初始位移和初始速度条件下做振动。
强迫振动是指物体在外力的作用下做振动。
二、机械振动的分析方法1. 动力学分析机械振动的动力学分析是研究机械系统中物体受力和作用力之间的关系。
通过建立机械系统的动力学方程可以推导出物体的振动特性，如振动频率、振动幅度等。
在动力学分析中，常用的方法有受力分析、动量平衡和能量平衡等。
2. 模态分析模态分析是研究机械系统中物体的固有振动特性。
固有振动特性是指机械系统在没有外力作用下的振动特性。
模态分析可以通过数值计算和实验方法进行。
数值计算方法主要有有限元法和模态超振共振法等。
实验方法主要有模态试验和激励响应试验等。
3. 频谱分析频谱分析是研究机械系统中振动信号的频域特性。
通过对振动信号进行频谱分析，可以了解机械系统中存在的振动模态、频率和幅值等信息。
频谱分析常用的方法有傅里叶变换和小波变换等。
4. 振动响应分析振动响应分析是研究机械系统在外力作用下的振动响应情况。
通过对机械系统的振动响应进行分析，可以评估机械系统的可靠性和性能。
振动响应分析可以通过数值计算和实验方法进行。
数值计算方法主要有有限元法和时域分析法等。
实验方法主要有模态试验和激励响应试验等。
5. 振动控制分析振动控制分析是研究如何减小机械系统中的振动和噪声。
通过对机械系统的振动进行控制和调整，可以提高机械系统的可靠性和性能。
振动控制分析常用的方法有主动控制和被动控制两种。
主动控制是指通过主动干预机械系统的振动来实现振动控制。
被动控制是指通过改变机械系统的结构和材料等来实现振动控制。
机械振动基础知识培训
按振动产生原因
自由振动 无阻尼自由振动
有阻尼自由振动
强迫振动 无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。
2
第四章 机械振动基础
1 单自由度系统的自由振动 2 计算固有频率的能量法 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 6 转子的临界转速
物块沿x轴的运动微分方程
m
d2x dt 2
mg
sin
k ( 0
x)
0
mg
sin k
m
d2x dt 2
kx
固有频率与斜面倾角β无关
固有频率 n
k m
0.8 1000 0.5
40rad / s
系统的通解 x Asin(nt ) x
0
x
F
O
mg
mg FN
h
16
§4-1 单自由度系统的自由振动
h
17
§4-1 单自由度系统的自由振动
x0 3.06103 m; v0 1.4m / s;n 40rad / s
系统的通解 x Asin(nt )
0
x
h
得振幅及初相位
2
x v A
2
0
0 2
35.1mm
n
x
F
mg
O
FN
arctan n x0 0.087rad
v0
此物块的运动方程为 x 35.1sin(40t 0.087)mm
动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
物块在平衡位置时，弹簧变形量
2022-2023高中物理--机械振动--第三节：简谐运动的回复力和能量
简谐运动的回复力和能量一、知识点梳理1.简谐运动的回复力(1)回复力①定义：振动物体偏离平衡位置后，所受到的使它回到平衡位置的力叫做回复力. ②回复力是根据力的作用效果命名的，它可以是弹力，也可以是其他力（包括摩擦力），或几个力的合力，或是某个力的分力，物体沿直线振动时回复力就是合外力，沿圆弧振动时回复力是合外力在圆弧切线方向上的分力.③回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置（沿圆弧振动时，物体经平衡位置时回复力为零，但合外力不为零). (2)简谐运动的动力学特征：回复力kx F -=①回复力kx F -=中的k 是比例系数，并非弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，对水平弹簧振子，回复力仅由弹簧弹力提供，k 即为劲度系数，由弹簧决定，与振幅无关，其单位是N/m .②回复力的大小跟位移大小成正比，“—”号表示回复力与位移的方向相反. ③如果质点所受的回复力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，则质点的运动就是简谐运动.(3)简谐运动的运动学特征：加速度m kx a -=①简谐运动是一种变加速的往复运动，“—”号表示加速度a 方向与位移x 方向相反. ②一个物体是否做简谐运动，就是看它是否满足简谐运动的受力的特点或运动特征，即回复力是否满足kx F -=或加速度是否满足mkx a -=.例1、做简谐振动的物体，当振子的位移为负值时，以下说法中正确的是（ ） A ．速度一定为正值，加速度一定为负值 B ．速度一定为负值，加速度一定为正值 C ．速度不一定为正值，但加速度一定为正值 D ．速度不一定为负值，但加速度一定为负值例2、（多选）关于回复力，下列说法中正确的是（ ） A ．回复力就是物体所受各力中指向平衡位置的力 B ．回复力一定是物体所受的合力C ．回复力是从力的效果来命名的，可以是弹力，也可以是摩擦力，还可以是几个力的合力D ．回复力与向心力都是以作用效果命名的2.简谐运动的能量(1)定义做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐运动的能量.(2)公式 ：221kA E =,式中k 为回复力F 与位移的比例常数，A 为振动的振幅. (3)关于简谐运动能量的说明①做简谐运动的物体能量的变化规律：只有动能和势能的相互转化，对弹簧振子而言，机械能守恒. 对简谐运动来说，一旦供给系统一定的能量，使它开始振动，它就以一定的振幅永不停息地持续振动，简谐运动是一种理想化的振动.振动过程是一个动能和势能不断转化的过程.②简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大.在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动.③在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小.例3、(多选)一质点做简谐运动的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A ．质点速度最大而加速度为零的时刻分别是0.1 s 、0.3 s B ．质点速度为零而加速度为负方向最大值的时刻分别是0、0.4 s C ．质点所受的回复力方向由正变负的时刻是0.3 sD ．振动系统势能最大而加速度为正方向最大值的时刻是0.3 s二、技巧总结1.简谐运动的判定方法(1)简谐运动的位移一时间图象是正弦曲线或余弦曲线.(2)简谐运动物体所受的力满足kx F -=,即回复力F 与位移x 成正比且方向总相反. 用kx F -=判定振动是否是简谐运动的步骤： ①找出振动的平衡位置；②让物体沿振动方向偏离平衡位置的位移为x ； ③对物体进行受力分析；④规定正方向（一般规定位移的方向为正），求出指向平衡位置的合力（回复力），判断是否符合kx F -=.例4、如图所示，劲度系数为k 的弹簧上端固定在天花板上，下端挂一质量为m 的小球，小球静止后，再向下将弹簧拉长x ，然后放手，小球开始振动.（1）请证明小球的振动为简谐运动； （2）求小球振动的振幅；（3）求小球运动到最高点的加速度 .例5、如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为1k 、2k 的轻质弹簧系住一个质量为m 的小球. 开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x 后放手，可以看到小球将在水平面上做往复振动，试问小球是否做简谐运动？2.做简谐运动的物体受力情况的分析方法物体做简谐运动时，其运动的加速度时刻在变化.在分析物体的受力情况时，首先要判断出加速度的方向，然后根据牛顿第二定律ma F 分析出所要求的力.对于连接体问题，可以利用整体法求出加速度，然后根据隔离法求相互作用力；也可以先利用相互作用力求出加速度，然后利用整体法求合外力.例6、在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k,振子质量为M, 振动的最大速度为v. 如图所示，当振子在最大位移为A 的时刻把质量为m 的物体轻放其上，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则：(1)要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少是多少？ (2)物体和振子一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？3.简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化规律(1)位移的变化规律振动中的位移x 都是以平衡位置为起点，因此，方向就是从平衡位置指向末位置的方向，大小就是这两位置间的距离，在两个“端点”时位移最大，在平衡位置位移为零. (2)加速度与回复力的变化规律加速度a 的变化与回复力的变化是一致的，在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总指向平衡位置. (3)速度变化规律速度大小v 与加速度a 的变化恰好相反，在两个“端点”为零，在平衡位置最大，除两个“端点”外任何一个位置的速度方向都有两种可能. (4)动能变化规律动能大小与速度大小对应，在两端点为零，在平衡位置最大. (5)势能变化规律势能大小变化与动能大小变化恰好相反，在两端点最大，在平衡位置为零.4. 简谐运动的能量曲线做简谐运动的物体在运动的过程中，只有回复力做功，存在着振子动能k E 和系统势能p E 之间的相互转化，振动的总能量等于动能k E 和系统势能p E 之和，即p k E E E +=.简谐运动的振动方程为)cos(αω+=t A x .振动的总能量221kAE = ①其中)(cos 2121222αω+==t kA kx E p ② )(sin 2121212222αω+=-=t kA kx kA E k ③右图甲表示简谐运动动能k E 或势能p E 随时间t 的变化曲线，图乙表示简谐运动的动能k E 或势能p E 随位移x 的变化曲线.由②式可知，势能曲线是通过坐标原点O 、且具有横向对称性的抛物线；而①式则表明，总能量曲线是一条平行于x 轴的水平线，它与势能曲线分别交于坐标为A x +=的点和A x -=的点. 由②③式可知，动能、势能随时间变化的周期都是振动周期的一半. 由于简谐运动的机械能与振幅的二次方成正比，所以对于确定的谐振子，振幅越大，振动越强烈，能量也就越大.振幅的二次方可用来表示简谐运动的强度. 这一结论对于其他形式的简谐运动系统同样适用.三、针对练习1.（多选）在下述各力中，属于根据力的性质命名的是（ ） A ．弹力 B ．回复力C ．向心力D ．摩擦力2.做简谐运动的物体，通过平衡位置时，其（ ） A ．合外力为零 B ．回复力为零C ．加速度为零D ．速度为零3.（多选）做简谐运动的振子每次通过同一位置时，相同的物理量是（ ） A ．速度 B ．加速度 C ．位移 D ．动能4.一个做简谐运动的物体，每次有相同的动能时，下列说法正确的是（ ） A ．一定具有相同的势能 B ．一定具有相同的速度 C ．一定具有相同的加速度 D ．一定具有相同的位移5.在水平方向上做简谐运动的弹簧振子如图所示，O 为平衡位置，振子在A 、B 之间振动，图示时刻振子所受的力有（ ）A ．重力、支持力和弹簧的弹力B ．重力、支持力、弹簧弹力和回复力C ．重力、支持力和回复力D ．重力、支持力、摩擦力和回复力6.（多选）甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（ ） A ．甲速度为零时，乙加速度最大 B ．甲加速度为零时，乙速度最小C ．1.25s ～1.5 s 时间内，甲的回复力大小增大，乙的回复力 大小减小D ．甲、乙的振动频率之比2:1:=乙甲f fE ．甲、乙的振幅之比1:2:=乙甲A A7.一平台竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上随平台一起运动，当振动 平台处于什么位置时，物体对平台的压力最大（ ）A ．当振动平台运动到最高点时B ．当振动平台向下运动过振动中心时C ．当振动平台运动到最低点时D ．当振动平台向上运动过振动中心时8.（多选）做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m ,最大速率为v , 则下列说法中正确的是（ ）A ．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零B ．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是零到221mv 之间的某一个值 C ．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零D ．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是零到v 2之间的某一个值9.公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板. 一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T . 取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即0=t , 其振动图象如图所示，则（ ）A ．T t 41=时，货物对车厢底板的压力最大 B ．T t 21=时，货物对车厢底板的压力最小C ．T t 43=时，货物对车用底板的压力最大D ．T t 43=时，货物对车用底板的压力最小10.一个质点以O 为中心做简谐运动，位移随时间变化的图像如图所示，a 、b 、c 、d 表示的原点在不同时刻的相应位置下，下列说法正确的（ ） A ．质点在位置b 比位置d 时相位超前4π B ．质点通过位置b 时，相对平衡位置的位移2A C ．质点从位置a 到c 和从位置b 到d 所用时间相等 D ．质点从位置a 到b 和从b 到c 的平均速度相等11．一质点做简谐运动. 质点的位移随时间变化的规律如图所示，则从图中可以看出（ ） A ．质点做简谐运动的周期为5s B ．质点做简谐运动的振幅为4cm C ．t =2s 时，质点的加速度最大 D ．t =3s 时，质点沿y 轴负向运动12.如图甲所示为以O 点为平衡位置. 在A 、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（ ）A ．在0.2s t =时，弹簧振子一定运动到B 位置B ．在0.3s t =与0.7s t =两个时刻，弹簧振子的速度相同C ．从0到0.2s t =的时间内，弹簧振子的动能持续地减少D ．在0.2s t =与0.6s t =两个时刻，弹簧振子的加速度相同13.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它的平衡位置为O ，在A 、B 间振动，如图所示，下列结论正确的是（ ） A ．小球在O 位置时，动能最大，加速度最小 B ．小球在A 、B 位置时，动能最大，加速度最大 C ．小球从A 经O 到B 的过程中，回复力一直做正功 D ．小球从A 经O 到B 的过程中，回复力一直做负功14.（多选）某鱼漂的示意图如图所示，O 、M 、N 为鱼漂上的三个点. 当鱼漂静止时，水面恰好过点O . 用手将鱼漂向下压，使点M 到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N 到达水面. 不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（ ） A ．鱼漂的运动是简谐运动B ．点O 过水面时，鱼漂的速度最大C ．点M 到达水面时，鱼漂具有向下的加速度D ．鱼漂由上往下运动时，速度越来越大15.（多选）理论表明：弹簧振子的振动周期2mT kπ=，总机械能与振幅A 的平方成正比，即212E kA =，k 为弹簧的劲度系数，m 为振子的质量. 如图，一劲度系数为k 的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为m 的物块，物块在光滑水平面上往复运动. 当物块运动到最大位移为A 的时刻，把另一质量也为m 的物块轻放在其上，两个物块始终一起振动设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g . 放上质量也为m 的物块后，下列说法正确的是（ ） A ．物块振动周期变为原来的2倍 B ．两物块之间的动摩擦因数至少为2kAmgC ．物块经过平衡位置时速度为22kA mD ．系统的振幅可能减小16.（多选）如图是一质点做简谐运动的振动图象，关于该质点的运动，下列说法正确的是（ ）A ．0.01s 时质点的运动方向向下B ．0.025s 和0.075s 两个时刻的加速度大小和方向都相同C ．0.025s 和0.075s 两个时刻的速度大小相等，方向相反D ．0.125时刻速度和加速度的方向相同E ．0~0.3s 时间内该质点通过的路程为3cm17.（多选）如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量是乙的质量的4倍，弹簧振子做简谐运动的周期T ＝2πmk ，式中m 为振子的质量，k 为弹簧的劲度系数. 当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中（ ） A ．甲的振幅是乙的振幅的4倍 B ．甲的振幅等于乙的振幅C ．甲的最大速度是乙的最大速度的12 D ．甲的振动周期是乙的振动周期的2倍 E ．甲的振动频率是乙的振动频率的2倍18.如图所示，质量分别为2kg 和3kg 的A 、B 两物块，用劲度系数为k 的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F=45N 的力把物块A 向下压而使之静止，突然撤去压力，则（ ）)/10(2s m g A ．物块B 有可能离开水平面 B ．物块B 不可能离开水平面C ．只要k 足够小，物块B 就可能离开水平面D ．只要k 足够大，物块B 就可能离开水平面19.如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a 、b 两个小物块粘在一起组成的.物块在光滑水平面上左右振动，振幅为0A ,周期为0T . 当物块向右通过平衡位置时，a 、b 之间的粘胶脱开；以后小物块a 振动的振幅和周期分别为A 和T ,则（ ）A .0A A <；0T T <B .0A A =；0T T =C .0A A >；0T T <D .0A A <；0T T >20.如图所示，A 、B 叠放在光滑水平地面上，B 与自由长度为0L 的轻弹簧相连，当系统振动时，A 、B 始终无相对滑动，已知m m A 3=，m m B =,当振子距平衡位置的位移2L x =时，系统加速度为a ,求A 、B 间摩擦力f F 与位移x 的函数关系.21.如图所示，质量为M 、倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ,斜面顶端与劲度系数为k 、自然长度为L 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m 的物块.压缩弹簧使其长度为L 43时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态.重力加速度为g .(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x 表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动； (3)求弹簧的最大伸长量；(4)为使斜面体始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？答案例题例1.C 例2.CD 例3.ABC 例4.（1）略；（2）x ；（3）mkx，方向竖直向下 例5.x k k F )(21+=，令21k k k +=，因为力与位移反向，所以可以写成kx F -=，得证 例6.（1）最大加速度Mm kAa +=，由ma mg ≥μ，得g M m kA g a )(+=≥μ（2）由机械能守恒，2221)(21Mv v M m =+， 0v mM Mv ⋅+=最大弹性势能不变，所以振幅仍为A针对练习1.AD2.B3.BCD4.A5.A6.CDE7.C8.AD9.C 10.C 11.C 12.C 13.A 14.AB 15.BC 16.BCE 17.BCD 18.B 19.A 20.解析：在距离平衡位置的位移20L x =时，a m m Lk B A )(20+=，得08L ma k = ①当系统位移为x 时，对整体')(a m m kx B A +=- ②对A 有'a m F A f = ③ 联立①②③解得x L maF f 06-= 21.（1）设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为L ∆,有0sin =∆-L k mg α 解得k mg L αsin =∆，此时弹簧长度为kmg L αsin + （2）当位移为x 时，弹簧伸长量为L x ∆+, )(sin L x k mg F ∆+-=α合 联立以上各式可得kx F -=合， 可知物块做简谐运动（3）振幅k mg L A αsin 4+=，由对称性，最大伸长量为kmg L αsin 24+ （4）设物块位移x 为正，则斜面体受力如图，由于斜面体平衡，所以水平方向0cos sin 1=-+ααF F f N 竖直方向0sin cos 12=---ααF F Mg F N N )(L x k F ∆+=， αcos 1mg F N =11 联立可得αcos kx f =， αsin 2kx Mg mg F N ++= 为使斜面体静止，结合牛三，应有2N F f μ≤所以ααμsin cos 2kx Mg mg x k F f N ++=≥，当A x -=时达到最大值 有ααααμsin 4cos 4cos )sin 4(2kL Mg mg mg kL -++≥。
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例：串联系统
在质量块上施加力 P 弹簧1变形： 1 弹簧2变形： 2
k1 k2
m
P k1
P k2
等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量
总变形： 1 2 ( 根据定义：
Ke
1 1 )P k1 k2
k mt m
弹簧的动能:
Tt 1 2 mt x 弹簧等效质量 mt 2
系统最大动能：
1 1 2 1 2 2 max mt x max max (m mt ) x mx 2 2 2 2 系统最大势能： U max 1 kxmax 2 Tmax
、 x 分别取最大值时： 当x
l
P
x 1
Me
M 3
l P x=1
设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P 由材料力学知识可知
=
Pl 3 3EI
3EI 3EI 3EI P 3 3 1 3 l l l
Ke
3EI l3
25
5
m
k1
P
例：杠杆系统
k1
m
k2
杠杆是不计质量的刚体
l3 l2 l1 x
P2 k2
k2
m1 k1
由力平衡： P P 1P 2 ( k1 k2 ) 根据定义： K e
k2
m2
P k1 k2
求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
19
20
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1 2 mx 2
x
m
x y
静平衡位置
k
x
（弹性势能）
x 1 U mgx k x dx mgx k x kx 2 1 kx 2 0 2 2
势能： U mgx kxdx 0 1 mgx kx 2 2
k
d T U 0 dt
l
x x
x
求： 悬臂梁对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
1 1 2 ( Al ) x 2 3
等效质量： M e Al M
1 3
1 3
23
24
4
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定义法
设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P 则在悬臂梁上产生惯性力，对支座取矩：
l y 1 1 Pl A 1 ydy Al 2 Ml 0 l 3 3
1 1 (ka 2 2 mgl 2 ) (ka 2 mgl ) 2 2 2
Tmax U max
max
n max
ka 2 mgl n ml 2
7
1 2 1 2 2 T I ml 动能 2 2 11 2 势能 U 2 k a mgl cos 22 1 ka 2 2 mgl 1 2 sin 2 2 2 1 1 ka 2 2 mgl mgl 2 2 2 1 2 2 (ka mgl ) mgl 2
x
k1 R M
m k2
确定系统微振动的固有频率
k2
势能： U 1 k 2 x 2 1 k1 ( 1 x) 2
2
2
2
9
1 1 ( k 2 k1 ) x 2 4 2
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解：
广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能： T
注意：
k1 R M
1 3 2 (m M ) x 2 8 1 1 势能： U ( k 2 k1 ) x 2 4 2
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能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以 利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系 统的固有频率。
第三讲 能量法、等效参数
无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 U 之和保持不变 ，即：
T U const
或：
P
k2
l3 l1
x 1
k1 1
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例：悬臂梁
考虑悬臂梁的质量 M Al ，忽略剪切作用
能量法
y y x 速度： x l
l 1 y dy 动能： T 0 2 A l x 2
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m
零平衡位置1
动能
1 2 T ml 2 2
k/2
k/2 l
动能
T
1 3 2 (m M ) x 2 8
k1 R
M e ml
势能
2
a
3 Me m M 8
势能 U
U
1 (ka 2 mgl ) 2 2
1 1 ( k 2 k1 ) x 2 4 2
或
P
P kk 1 2 k1 k2
1 1 1 K e k1 k 2
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使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上 18 施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度
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例：并联系统
在质量块上施加力 P 两弹簧变形量相等： 受力不等：P 1 k1
m
M
K e ka 2 mgl
n
ka 2 mgl ml 2
1 K e k 2 k1 4
x
k2
15
2k 8k2 1 3M 8m
2 n
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机：定义法 等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度
kx) x 0 ( m x
d T U 0 dt
mg kx x 0 mx
kx mg m x
不可能恒为 0 x
kx 0 m x
3
设新坐标
y x
mg x k
ky 0 m y
注意： 注意：如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点 位置上，方程中就不会出现重力项 。 取在静平衡 取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项 4
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考虑两个特殊位置上系统的能量
静平衡位置上，系统势 能为零，动能达到最大
1 2 max Tmax mx 2 U 0
T 0 U max 1 2 kxmax 2
m
0
例：如图所示是一个倒置的摆
静平衡位置
m k/2 k/2 l a
k
x
摆球质量 m
刚杆质量忽略
每个弹簧的刚度
d T U 0 dt
2
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弹簧质量系统 动能： 势能：
mg k
弹簧原长位置
1 2 T mx 2
如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位 置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能： T
m
0
静平衡位置
弹簧原长位置
mgx
（重力势能）
x
0
k ( x)dx
a
零平衡位置2
d T U 0 dt
2 ( ka 2 mgl ) 0 2ml 2 2( ka 2 mgl ) 0 2ml 2
n
ka 2 mgl ml 2
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例：铅垂平面内一个滑轮-质量弹簧系统
k1
解：
广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能： T
R M
滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸长，且 与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固 结。
m
1 2 1 1 2 1 1 x M( x ) ( MR 2 )( ) 2 mx 2 2 2 2 2 2R 1 1 1 2 (m M M ) x 2 4 8 1 3 2 (m M ) x 2 8
T Tmax U U max
则可得出： n K e / M e
Ke：简化系统的等效刚度
x
Ke
Me
max n xmax x
n
k m mt
若忽略 mt ，则 n 增大
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Me：简化系统的等效质量
这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等 14
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k2
m2
k2
m2
l2 等效质量：M e m1 22 m2 l1
l Pl1 ( m1 1)l1 ( m2 2 )l2 l1 l2 M e P m1 22 m2 l1
m2
l2 l1
P
1 x
势能： U 1 k1 x 2 1 k2 ( l3 x) 2 1 (k1 l3 k 2 ) x 2 2
最大位移位置
k 2
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
m
0
xmax
静平衡位置
T U const
Tmax U max
k
x
求:倒摆作微幅振动时的固有频率
n k m
x 是广义的
对于转动：
max n xmax x
max n max
5 6
1
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0 k mt m x
m k2
n2
2k1 8k2 3M 8m
n