高一数学讲义-指数运算与指数函数

指数运算和指数函数

要求层次重点难点幂的运算 C

①根式的概念

②有理指数幂

③实数指数幂

④幂的运算

①分数指数幂的概

念和运算性质

②无理指数幂的理

解

③实数指数幂的意

义

指数函数的概念 B

在理解实数指数幂

的意义的前提下理

解指数函数

在理解实数指数幂

的意义的前提下理

解指数函数

指数函数的图象和

性质

C

①对于底数1

a>与

01

a

<<时指数函

数的不同性质

②掌握指数函数的

图象和运算性质

①对于底数1

a>与

01

a

<<时指数函

数的不同性质

②掌握指数函数的

图象和运算性质

③掌握指数函数作

为初等函数与二次

函数、对数函数结

合的综合应用问题

板块一：指数,指数幂的运算

（一）知识内容

1．整数指数

⑴正整数指数幂：n a a a a

=⋅⋅⋅，是n个a连乘的缩写（N

n

+

∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．

⑵整数指数幂：规定：01(0)

a a

=≠，

1

(0,) n

n

a a n

a

-

+

=≠∈N．

高考要求

第4讲

指数运算与指数函数

知识精讲

2．分数指数

⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．

① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，

a 的n

表示．

② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n

0)a >．

⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．

负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0

0．

n 叫做根指数，a

3．根式恒等式：

n a =；当n

a =；当n

||a a a ⎧=⎨-⎩

0a a <≥．

4．分数指数幂的运算法则

⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n

a a >

0,,,)m

m n

m

a a n m n

+==>∈N 且

为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n

m n

m

a

a n m n

a

-

+=

>∈N 且

为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈

6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时

a =，n 为偶数时

a =． 7．

m n

a =

m n

a

-

=（0a >，,*m n N ∈，且1n >）

零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．

8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r

r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ）

9．无理数指数幂

⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．

（二）典例分析

【例1】求下列各式的值：

⑴

；⑵

⑶

⑷

)

a b

<；⑸

．

⑹238；⑺12

25-；⑻

5

1

2

-

⎛⎫

⎪

⎝⎭

；⑼

3

4

16

81

-

⎛⎫

⎪

⎝⎭

．

【例2】计算下列各式：

⑴

⑵

1

11

3

44

2

1

3

2

43

(,0)

6

a a b

a b

a b

-

-

-

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭>

-

．

【例3】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：

⑴

；⑵

；⑶

54

m

⋅

．

【例4】

，则实数a的取值范围是（）