实际问题与一元二次方程(含答案)

实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：

1. 列一元二次方程解决实际问题。一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 主要设置了【典例引路】中的例1、例2、例4.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.

2. 一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，

那么a

c

x x a b x x =•,=+2121-．主要设置了【典例引路】中的例3.【当堂检测】中的第4题，【课时作业】中

的第6、7题.

点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤

应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：

(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.

(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接). (3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程. (4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.

(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去. (6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.

总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 针对练习1: 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）

A ．300(1＋x )=363

B ．300(1＋x )2=363

C ．300(1＋2x )=363

D ．363(1－x )2=300

【解析】B 设平均增长百分率为x ，由题意知基数为300公顷，则到2004年底的绿化面积为：300+300x =300（1+x ）（公顷）；到2008年底的绿化面积为：300（1+x ）+300（1+x ）x =300（1+x ）2公顷，而到2008年底绿化面积为363公顷，所以300(1＋x )2=363．

点击二：一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那

么a

c

x x a b x x =•,=+2121-．

针对练习2: 先阅读，再填空解题：

(1)方程：x 2－x －2=0 的根是：x 1=－1, x 2=2，则x 1+x 2=1，x 1·x 2=-2； (2)方程2x 2－7x+3=0的根是：x 1=

12, x 2=3，则x 1+x 2=72，x 1·x 2=3

2

； (3)方程x 2－3x+1=0的根是：x 1= , x 2= .

则x 1+x 2= ，x 1·x 2= ； 根据以上（1)(2)(3）你能否猜出：

如果关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0（m≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2、x 1、x 2

与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.

【解析】本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系.

【解答】③.2

5

—3,25321=+=

x x .1,32121=•=+x x x x 猜想.,—

2121m

p

x x m n x x =•=+ ∵一元二次方程mx 2+nx+p=0(m≠0，且m ，n ，p 为常数)的两个实数根是

.24,242221m

mp

n n x m mp n n x —————=+=

∴m

n

m mp n n m mp n n x x ——————=++=+24242221，

.4)4()(24242

2222221m p

m

mp n n m mp n n m mp n n x x ==•+=•———————【评注】本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系.关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0(m≠0，且m ，n ，p 为常数)的两根为x 1，x 2，那么.,—

2121m

p

x x m n x x =•=+由方程①，②，③的根与系数的关系特点，通过观察、比较、猜想发现一般性规律，并进行验证，培养同学们由特殊到一般的数学思想方法.

类型之一：建立一元二次方程模型解应用题

例1甲、乙两人分别骑车从A 、B 两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C 地到达A 地的途中因故停了20分钟，结果乙由C 地到达A 地时比甲由C 地到达B 地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.

【解答】设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.

根据题意，得54(4)2040

.460

x x x x ++==+

解之,得x 1=16，x 2=－2.

经检验：x 1=16，x 2=－2都是原方程的根，但x 2=－2不合题意，舍去. ∴当x=16时，x+4=20.

答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.

例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

【解析】设每件衬衫降价x 元，则每件衬衫盈利(40―x)元，降价后每天可卖出(20+2x)件，由关系式：总利润=每个商品的利润×售出商品的总量，可列出方程．

【解答】设每件衬衫降价x 元， 依题意，得(40―x)(20+2x)=1200， 整理得：x 2―30x+200=0，

解得：x 1=10，x 2=20，

因为要尽快减少库存，所以x=10舍去． 答：每件衬衫应降价20元．

类型之二：一元二次方程的根的判别式的应用 例3阅读材料：

如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c

x x x x a a

+=-=. 这是一元二次方程

根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求22

12x x +的值.

解法可以这样：

126,x x +=-123,x x =-则

222

212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=.

请你根据以上解法解答下题：

已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求：

（1）

12

11

x x +的值； （2）212()x x -的值. 【解析】先由公式x 1+x 2=a

b -

,x 1x 2=a c ,求出x 1+x 2,x 1x 2,再化1x 1+1x 2化为x 1+x 2

x 1x 2, (x 1－x 2)2化为(x 1+x 2)2－4x 1x 2.

【答案】 ∵x 1+x 2=4, x 1x 2=2.

(1)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=4

2

=2. (2) (x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=42－4×2=8. 【感悟】本题属于阅读理解题,解此类问题关键理解材料中知识与方法,从中获得知识迁移. 类型之三：综合应用

例4. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x 取何值时，商场获利润不少于2160元？