第四章 正弦交流电路(1)

注意
r
a b
2
2
b ψ arctg a
b a
b a
0
b a
b a
+1
b b b b ; a a a a
（4）三角函数式：A=rcos +jrsin
+j
b
A +1
（5）图形方式表示（复平面）
0
a
2．复数的运算
（1）加减运算：多边形法则 （用代数式简单）
A=a 1+jb1 B=a2+jb2
+
0
i u 正半周
i R
u 负半周 R
_
t
4.1.3 正弦交流电的三要素（特征）
设正弦交流电流：
Im
i
O

t
T
i I m sin ω t ψ
初相角：决定正弦量起始位置
角频率：决定正弦量变化快慢 幅值：决定正弦量的大小 幅值、角频率、初相角称为正弦量的三要素。
1. 频率与周期
正弦量变化一次所需的时间(秒)称为周期T。 每秒钟时间内变化的次数称为频率 f 。 频率是周期的倒数，即
1
i i1 i2 I1m sin( t 1 ) I 2m sin( t 2 )
i I m sin(t )
当电路中的激励(电源)为正弦量时，电路中各 部分的响应(电压或电流)也为同频率的正弦量。
正弦交流电的优越性
（1）生产上和生活中使用的都是正弦交流电。
（2）易于变压、产生、传送和分配。 （3）变化平滑，不会破坏电气设备的绝缘， 并可获得较好的电性能。
A=r1/ a B=r2/ b
A B =r1r2（ a+ b）
A/ B =r1 / r2（ a- b）
复数的旋转
+j
j j
A r e
j j
A A e
j
re e re
j( )
r
o
A’

r
A +1
故 e j 为旋转算子
A e 时相量A以圆点为轴逆时针旋转 角 j A e 时相量A以圆点为轴顺时针旋转 角
①解析式表示：
+
ψ
0
i=Imsin（t+i）
u=Umsin（t+u） ②波形图表示： ③相量表示： ④相量图表示：
_
t
4.2.1 复数（复习内容） 1．表示方法
（1）代数式： A =a+ jb （2）指数式： A=r
+j
b
A

0 +j
+1
ej
a
（3）极坐标式：A = r /
a r cos ψ b r sin ψ
第4章 正弦交流电路
本章要求 1. 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图。 3. 掌握功率和功率因数的计算； 4.了解正弦交流电路的频率特性； 5.了解提高功率因数的意义和方法。
例如：电路如图所示
i i2 i1
设：i
I1m sin( t 1 ) i2 I 2m sin( t 2 )
一个复数由模和辐角两个特征来确定。而正弦量 由幅值、初相位和频率三个特征来确定。但在分析时， 正弦激励和响应均为同频率的正弦量，频率是已知的， 可不必考虑。因此，一个正弦量由幅值（或有效值） 和初相位就可确定。 比照复数和正弦量，正弦量可用复数表示。复数 的模即为正弦量的幅值或有效值，复数的幅角即为正 弦量的初相位。
u 220 sin(ω t 45)V
220 U 45 V？ 2
• 有效值
1.已知：
3.已知：
复数 j30 I 4e A
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值
j45
220 e45 V？ U m
10 60A 2.已知： I
i 10 sin ( ω t 60 )A ？
说明或计量正弦交流电时一般不用幅值或瞬 时值，而用有效值。 注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
有效值
R R
I
W I RT
2
T
T 2 2
i T
W 0 i Rdt
2
T
W 0 i Rdt I RT
当i=Imsint时，代入上式得：
I 1 T
A+ B =（a 1+ a 2）+j（b1 +b2 ） +j
A A+B +1 0 B 0 +j
A
B
A+B +1
A- B =（a1- a2）+j（b1- b2 ） A-B=A+(-B) +j A +1 0 B 0 A-B=A+(-B) +j -B A +1
-B
（2）乘除运算：模相乘除，辐角相加减
（用指数式简单）
日本
台湾
110V、60Hz
220V、60Hz
•中频电炉的工作频率为500~8000Hz；
•高频电炉的工作频率为200~300kHz；
•无线电工程的频率为104~30×1010Hz。 •低频电子工程的频率为20~20×103Hz。
收音机中波段530~1600KHz 短波2.3~23MHz SW1 2.3~7MHz SW2 7.1~23MHz FM 88~108MHz
电压超前电流
2
t
u i
ψ1 ψ2 0 电流超前电压
i u
u i
ψ1 ψ2 90 电流超前电压90
i u
正交
ωt

O
t
O
90°
电压与电流同相 u i u i
O
ψ1 ψ2 0
ψ1 ψ2 180
电压与电流反相 u i u
Um 310 U 220V 2 2
3．初相位
正弦量是随时间变化的，选取不同的计时零 点，正弦量的初始值就不同。为加以区分引入相 位及初相位的物理量。 正弦电流的一般表达式为
i +
0
i I m sin(t )
其中: (ωt+ ψ)称为正弦电流的相位
ψ
_
t
ψ 称为初相位 ，给出了观察正弦波的起点或参考点。
y = r sin ( t + )
u = Um sin ( t + )

至此，定义用复平面上的静止量(复数)表示正弦量，记为
U m U me

(幅值电压相量) 或 U Ue j (有效值电压相量) A(t) = r e j ejt 其中 A= r e j 相当于初始值
j
4.2.2 正弦量的相量表示法
最大值
4.已知：
100 15V U
负号 U 100 V ？
100 e U
j15
V？
例4.2.1 试写出表示
uA 220 2 sin 314tV
uB 220 2 sin( 314t 120 )V
I
1 T
T
i
0
2
dt
有效值的定义式 称为方均根值。
sin tdt
2

T
0
i dt
2
1 T

T
0
2 Im
Im 2
例4.1.1
已知 u= Um sin t , Um =310V, f =50Hz，试求 有效值U 和 t =0.1s 时的瞬时值。
解
100 u (0.1) U m sin 2πft 310 sin 0V 10
第4章 正弦交流电路
从本章开始我们将学习正弦交流电路的内 容。交流电路具有用直流电路的概念无法理解 和无法分析的物理现象，因此在学习本章的时 候，必须建立交流的概念，否则容易引起错误。
本章是本课程的难点，在学习时应引 起大家的重视。
第4章 正弦交流电路
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 *4.6 4.7 4.8 *4.9 正弦电压与电流 正弦量的相量表示法 单一参数的交流电路 电阻、电感与电容元件串联的交流电路 阻抗的串联与并联 复杂正弦交流电路的分析与计算 交流电路的频率特性 功率因数的提高 非正弦周期电压和电流
1 f T
周期是频率的倒数，即
1 T f
工程中常用的一些频率范围：
我国电力的标准频率为50Hz；国际上多采 用此标准，但美、日等国采用标准为60Hz。
下面是几个国家的电源周波情况： 中国大陆及香港、欧洲等 220V、50Hz 印度 230V、50Hz 澳洲 240V、50Hz 美国、加拿大 120V、60Hz
正弦量变化快慢的衡量有时还用角频率ω来 描述。它与频率和周期的关系为
角频率ω ，每秒变化的弧度数rad/s
2 2f T 1 1 T f f T
2．幅值与有效值
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字 母表示，如e、i、u。 瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，如Em、 Im、Um 。 正弦交流电流的数学表达式为：i =Imsint
e
e
j90
cos 90 j sin 90 j
B
+j
设相量
将逆时针旋转 90，得到 B A 乘以 e -j90 ， 相量 A 将顺时针旋转 90 ，得到C A
jψ A re 乘以e j 90 ， 相量A
A
O

+1
C
正误判断