专题：基本不等式与对勾函数
基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解
第2讲 基本不等式精讲+对勾函数暴力讲解【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用对勾函数的性质求特定函数的最值3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【要点梳理】要点1 对勾函数()0,0by ax a b x=+>>的图像与性质 （1） 定义域：()(),00,-∞+∞；（2） 值域：(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣； （3） 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称；（4） 图像在一、三象限，当0x >时，by ax x=+≥x =等号），即()f x 在x =0x <时，()f x 在x =-；（5） 单调性：增区间⎫+∞⎪⎪⎭，,⎛-∞ ⎝，减区间是⎛ ⎝，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭要点2 基本不等式 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 要点3 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 要点4 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 【经典例题】 题型1 基本公式套用例1 【★】已知a ，b ，0c >，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为________．例2 【★•2019秋•徐汇区校级期中】设0x >，0y >，下列不等式中等号能成立的有（ ）． ①114x yx y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②()114x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；24；④4x y ++；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3 【★•2019秋•历下区校级月考】设,a b +∈R ，则下列各式中不一定成立的是（ ）． A ．2a b ab + B ．2b aa b+C 222abD ．2ab ab a b+例4 【★•2019秋•迎泽区校级月考】已知实数1x >，则91x x +-的最小值为（ ）． A ．4B ．6C ．7D ．10例5 【★★】设a ，0b >，5a b +=+________．例6 【★★•2019秋•梅河口市校级期末】已知a ，b 为正数，2247a b +=，则大值为（ ）．A B C ．D ．2题型2 对勾函数例1【★★•2019秋•淮安期末】函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．8例2【★★•2020春•龙华区校级月考】若1x >，则1411x x ++-的最小值等于( ) A ．6B ．9C ．4D ．1例3【★★•2019春•河北月考】若1x <，则2471x x x -+-的( )A ．最小值为2B ．最大值为2C ．最小值为6-D ．最大值为6-例4【★★•2019春•东湖区校级月考】函数24(0)1x x y x x ++=>+的最小值是( )A ．3B ．4C ．103D ．6例5【★★•2019秋•常熟市期中】若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6题型3 “1”的代换例1．【★★•2020•韶关二模】已知0x >，0y >，且121x y+=，则2x y +的最小值是( ) A ．7B ．8C ．9D ．10例2．【★★•2020•辽阳二模】已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为()A ．20B ．24C ．25D ．28例3．【★★•2020春•九龙坡区校级期中】若x ，y R +∈，且315x y+=，则34x y +的最小值是( )A ．5B ．245C D ．195例4．【★★•2020春•昌吉市期中】若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为( ) A ．5 B ．6C ．8D ．9题型4 x ，y ，xy 型例1【★★•2019春•江岸区校级期末】已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[33)C ．[2，)+∞D ．[2，3)例2【★★•2020春•浙江期中】已知0x >，0y >，3236x y xy ++=，则3x y +的最小值为 ．例3【★★•2020春•定海区校级月考】已知实数a ，b 满足1a >，0b >且2220a b ab +--=，那么2a b +的最小值是 ．例4【★★•2020•红桥区模拟】已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ． 例5【★★•2020•河西区二模】已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为例6【★★•2020•锡山区校级模拟】已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是 ．题型5 2x ，2y ，xy 型例1【★★•2020•浙江模拟】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．2例2【★★•2019秋•聊城期末】若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是()A ．6B ．4C D ．23例3【★★•2020春•浙江期中】若正数x ，y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是() A ．43B ．53C ．2D ．54例4【★★•2020•南通模拟】（2020•南通模拟）已知实数x ，y 满足22210x xy y ---=，则222522x yx xy y +++的最大值为 ．【课后练习】1．【★2020春•福州期中】以下结论，正确的是（ ） A ．y ＝x +≥4 B ．e x +＞2C ．x （1﹣x ）≤（）2＝D ．sin x +（0＜x ＜π）的最小值是22．【★★2020•湖北模拟】直线2ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ） A ．9B ．4C ．8D ．103．【★★2020•滨海新区模拟】已知正实数a ，b 满足a +b ＝1，则的最小值为（ ） A ．13B ．11C ．10D ．94．【★★2020•河东区一模】已知实数a 、b ，ab ＞0，则的最大值为（ ）A．B．C．D．6。
【备战期末】高考数学中的对勾函数
【备战期末】⾼考数学中的对勾函数⼩数⽼师说⾼中知识中，有⼀类函数，不属于基本初等函数，但是却时常出现在我们的函数题内，他们时常有着形如的形式，我们将其称之为对勾函数，之所以叫这个名字，是因为其函数图像在第⼀象限和第三象限呈中⼼对称的对勾状，如下图给出的就是的函数图像：回顾所有的⾼中知识，我们主要在三个⽅⾯接触过对勾函数，下⾯让我们⼀⼀回顾。
1函数单调性我们⼀开始在学习函数单调性时，掌握了证明函数单调性的定义法，即设，计算，然后判断其正负号。
在那⾥，我们接触了对勾函数，即要求我们⽤定义法证明对勾函数单调性，设函数为，具体的步骤如下：设，那么：然后可以知道，当时，函数单调增，当时，函数单调减。
在x取负数的范围内，可以通过对勾函数为奇函数来判断其单调性。
那么对勾函数的单调性和值域都可以知道。
2基本不等式（或称均值不等式）在⾼中有限的不等式知识⾥，基本不等式占据了最主要的⼀块。
基本不等式最简单的形式可以表⽰为，当a，b均⼤于0时：那么此时对于对勾函数，我们如果把x看作基本不等式中的a，看作基本不等式中的b，那么就可以得到，在x⼤于0时：当且仅当时，等号成⽴。
这个结论和之前给出的结果⼀致。
那么，在x⼩于0时，我们可以利⽤不等式符号变换本⾝的性质解决，在此不再详述。
3导函数学习了导函数之后，我们知道对于⼀些较为复杂的函数，我们可以通过求导来判断函数的单调性和值域，那么对于对勾函数，这样的⽅法也⾃然成⽴，具体的步骤如下（a>0）：令导函数为零，可以求得当x等于。
然后判断导函数正负和函数单调性：以上三⽅⾯，就是⾼中数学中三个最常见的和对勾函数相关的内容，三者考查侧重各有不同，下次⼤家再次看到对勾函数，如果题⽬做不出来，可以想⼀想题⽬主要想从哪个⽅⾯去考察它，然后从相应的⽅⾯去找⼀找解题的思路。
现在继续在对勾函数值域的问题上思考，通过上述例⼦我们可以看出三种思路却殊途同归，⼀⽅⾯这是因为对勾函数本⾝性质所决定，但是从另⼀⽅⾯去想,我们也会发现⾼中数学不同知识模块之间的联系，很多时候，同⼀问题可以从多种⾓度⼊⼿，过程有异，结果相同。
基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0)____a b +（ ）——形式二：2a b+≥ (a__0,b__0)__(a >0,b >0)2a b + ——形式三：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ ）(a>0,b>0)2a b+≤2a b+？ 用分析法证明：要证2a b+ （1） 只要证 a b +≥ （2）要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等思考：（1）已知y=x+x1 ( x>0 ) ，求y 的范围.（2）已知y=x+x1( x≠0 ) ，求y 的范围.例题拓展【例1 】已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）A ．xy y x 2≥+B ．21≥+xx C ．xy y x 222≥+ D ．xyxy y x 12≥+【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）基础回顾1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.2、基本不等式：对于____ _,a b ,则2a b+___ _时，不等式取等号.注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋81x，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
（3）y x x=++23122的最小值是（4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________（5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________【 例2】设x ，y 为正数， 求14()()x y x y++的最小值【例4 】若0,0,x y >>且211x y+=，则2x y +的最小值为________练兵场：1、函数y =31-x + x (x>3) 的最小值是_________。
基本不等式和对勾函数破解一道圆锥曲线高考试题
基本不等式和对勾函数破解一道圆锥曲线高考试题作者：罗文军来源：《广东教育·高中》2019年第10期2019年高考全国Ⅱ卷理科第21题是一道圆锥曲线试题，圆锥曲线试题出现在压轴题的位置，打破了历年全国Ⅱ卷导数试题作为压轴题的套路，体现了高考试题“大稳定，小创新”的特色，这道试题是一道圆锥曲线的轨迹、定值、最值问题，考查了曲线的轨迹方程的求法、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查了数形结合的思想、函数与方程的思想、化归与转化的思想，考查了考生的运算求解能力和推理论证能力，旨在考查考生的数学运算和逻辑推理的核心素养. 这道试题第（1）问较简单，第（2）问的第（i）问和第（ii）问难度较大，三问之间难度具有很好的梯度性，具有很好的区分度和选拔功能. 本文对这道试题进行解法探究、变式探究和源头探究.四、圆锥曲线备考建议1. 回归课本，夯實基础，构建知识网络近几年内高考数学试题遵循“大稳定，小创新”的方针，重视基础知识和基本技能的考查. 同时，通过上面对圆锥曲线真题的源头探究，发现2019年全国Ⅱ卷理科第21题源自课本. 因此回归课本应贯穿圆锥曲线复习的自始至终. 因为课本是数学知识“生长地”，课本是高考复习的“根据地”，课本是高考试题的“策源地”，回归课本是高考复习的起点，研课本，就是要看考题与课本的关系，从高考的要求出发，把课本熟化，公式定理能信手拈来，基本题型能“借题发挥”. 在回归课本的基础上，要着重强化对知识的梳理、优化知识结构、构建知识网络.2. 注重通性通法高考中解析几何试题通常是对常见题型进行加工改编，通过对基础知识的整合、变式和拓展，从而加工为高立意、新情境、巧设问的解析几何问题，坚持新题不难，难题不怪的命题方向. 这要求学生要通过高中学习掌握基础知识、基本概念、基本技能和基本数学思想的应用，通过对教材中基本例习题的变通，积累一些常规基本问题的解法，反复体会其中蕴含的思维方法. 把解题方法提高到数学思想的高度，提高分析和解决综合问题的能力. 例如，对于圆锥曲线解答题中三角形的面积的最值问题，通常要运用到弦长公式和基本不等式;对于圆锥曲线的中点弦问题，要优先考虑点差法;对于求椭圆离心率的题目，大多要利用数形结合法，结合椭圆的定义求解. 对于抛物线的焦点弦和焦半径问题，要根据焦点弦公式和焦半径公式，结合抛物线定义求解. 在求椭圆的弦长时，利用弦长公式，运用设而不求的方法.3. 提高数学运算求解能力，发展数学运算的核心素养高考数学答卷中反映出的问题之一是部分考生的运算求解能力差，是最头疼的事，有的考生思路的很好，但运算过不了关，一道圆锥曲线解答题从一开始计算就错，而自己没有自查能力，一直错到底，多么可怕呀. 阅卷规则要求从错误解答开始的后面的步骤不能给分，而出错的原因往往很简单，就是诸如一个正负号问题，直线方程和圆锥曲线方程联立化简整理时出错，太可惜.数学运算能力的培养不仅仅是高三复习的事，应该贯穿于高中数学教学的始终. 特别是解析几何解答题，综合性强，代数推理要求高，运算求解能力要求高，繁杂和冗长的计算是必不可少的，因此要通过强化数学思想方法，特别是函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论等引导学生理解算理，从而提高学生运算求解能力，发展数学运算核心素养.4. 研历年高考真题，体会命题专家的命题思路历年高考试题不仅具有选拔功能，还具有很好的教育功能.高考试题凝结了命题专家的智慧与匠心，具有较强的原创性与指导意义，有利于考查学生的探究意识与创新精神. 从上面探源发现，2019年全国Ⅱ卷理科第21题第（2）问的第（i）问源自是江苏省2011年高考数学第18题（3）问. 每年高考过后，可以发现当年的部分高考试题是往年真题的同类题或“翻版”，因此，在平时的教学中，对高考试题进行适当发散研究，不仅可以理清脉络，把握高中数学主干知识，避免高三复习的随意性、盲目性，而且可以有效训练学生的思维，提高探究能力，培养创新意识.5. 重视新增知识，关注知识交汇对新增的伸缩变换、极坐标与参数方程等知识，要引起足够的重视，比如，前面真题第（2）问的第（i）问的证法4就是用伸缩变换做的，第（2）问的第（ii）问的解法2运用了参数方程的思想. 在高考中，如果没想到其他方法破解圆锥曲线解答题，选用参数方程法，也是很好的. 同时，要关注知识交汇，从历年高考试题来看，有时，解析几何真题也与导数、不等式、三角函数等交汇，也充分体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.责任编辑徐国坚。
专题：基本不等式与对勾函数
基本不等式与对勾函数一、基本不等式前提条件是：0,0>>b a取“=”的条件是：0>=b a ，必须验证. 练习1已知0<x ，则xx 123+取最 值为例1已知R y x ∈,，且2=+y x ，则y x 22+的最小值为练习2若2log log 33=+n m ，则n m +的最小值为例2若)1,0(,∈y x ，且91=xy ，则y x 3131log log ⋅的最大值为例3设y x ,为正，且2052=+y x ，则y x lg lg +的最大值为例4已知1>x ，则11-+x x 的最小值为练习3：已知关于x 的不等式722≥-+ax x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求a 的取值范围练习4函数919)(22+++=x x x f 的最小值为例5函数9)(2+=x xx f 的最大值为例6函数111)(-+-=x x x f 的最小值为例7若正数b a ,满足3++=b a ab ，求：①ab 的取值范围②b a +的取值范围例8已知0,0>>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值练习5.已知0,0>>b a ，且32=+b a ，则ba 121+的最小值为练习6.已知正数y x ,满足4=+y x ，则使不等式mxy y x ≥+4恒成立，求m 的取值范围练习7已知不等式（x y +）1ax y+（）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为例9若10<<x ，则xx -+111的最小值为练习8.若320<<x ，则xx 3213-+的最小值为练习9.若21<<x ，则xx -+-2111的最小值为例10.已知20<<x ，则)2(x x -的最大值为练习10：已知0,>b a ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为二、对勾函数by ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知by ax x =+≥ab 2（当且仅当x =， 即)(x f 在x=ab时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=ab-时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0，ab），（a b -,0）三、对勾函数的变形形式 类型一：函数by ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质 此函数与对勾函数xb x a y )()(-+-=关于y 轴对称，故函数图像为性质：类型二：斜勾函数by ax x=+)0(<ab ①0,0<>b a 作图如下性质：②0,0><b a 作图如下：类型三：函数)0()(2>++=ac xcbx ax x f此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(，则)(x f 可由对勾函数xcax y +=上下平移得到 例1作函数xx x x f 1)(2++=的草图解：11)(1)(2++=⇒++=xx x f x x x x f 作图如下：类型四：函数)0,0()(≠>++=k a kx ax x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数xa x y +=左右平移，上下平移得到 例2作函数21)(-+=x x x f 的草图 解：2212)(21)(+-+-=⇒-+=x x x f x x x f 作图如下：例3作函数x x x x f +++=23)(的作图： 解：1212211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++=x x x x x x x x f x x x x f练习： 1.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标2. 求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中心类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a bx axx f 此类函数定义域为R ，且可变形为x b x axbx a x f +=+=2)( a.若0>a ，则)(x f 的单调性和对勾函数xbx y +=的单调性相反，图像如下：性质：1．定义域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[ba ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4. 图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知ba xbx a x f 22)(=⋅≤（当且仅当b x =取等号），即)(x f 在b x =时，取最大值ba 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=b -时，取最小值ba 2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）增区间是],[b b -例4作函数1)(2+=x xx f 的草图 解：x x xx x f x xx f 1111)(1)(22+=+=⇒+=b. 若0<a ，作出函数图像： 例5作函数42)(2+-=x xx f 的草图类型六：函数)0()(2≠+++=a mx cbx ax x f 此类函数可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s mx tm x a m x t m x s m x a x f ， 则)(x f 可由对勾函数xtax y +=左右平移，上下平移得到 例6说明函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=如何变换而来解： 111111)1()1()(2-+++=+++-+=x x x x x x f 故 此函数)(x f 可由对勾函数xx y 1+=向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位.草图如下：练习：1.已知1->x ，求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值2.已知1<x ，求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值类型七：函数)0()(2≠+++=a cbx ax mx x f 例7求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值 解：当1=x 时，0)1(=f 当1≠x 时，3141114)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--=x x x x x x x x x f问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为练习：1.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值类型八：函数ax b x x f ++=)(此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-++=+-++=a b ax a b a x ax ab a x x f例8求函数13)(-+=x x x f 的最小值解： 141141)(-+-=-+-=x x x x x f练习： 1．求函数15)(++=x x x f 的值域2.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f此类函数可变形为标准形式：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=例9求函数45)(22++=x x x f 的最小值解：45)(22++=x x x f 414414)(2222+++=+++=⇒x x x x x f练习：1. 求函数171)(22++=x x x f 的值域例10已知20,a >求函数解：2=令t 则1t t +y=1即1a ≥时，min y1即01a <<时，2min y =。
双勾函数与基本不等式
■北京八十中雄安校区 王立彬
我 们 已 经 学 习 了 基 本 不 等 式,知 道 它 的
适用范围和条件是“一正、二 定、三 相 等”。 但
在解决一 些 实 际 问 题 时,我 们 还 需 要 认 识 基
本不等式 与 双 勾 函 数 f(x)=x+x a (a>0) 之间的关系。
1 t
在
区间
[2,+
∞
)上
单
调
递
增
,当t=2
时
,
函数 f(t)=t+t 1 取 得 最 小 值,所 以 f(x)min
=
5 2
。
总结:通过构造函数 f(t)=t+t 1(t≥2) 后 ,我 们 分 析 题 中 的 条 件 为t≥2,等 号 成 立 的 条件t=1不在定义域 范 围 内,所 以 我 们 需 要 另辟蹊径 通 过 函 数 求 导 的 方 法,利 用 函 数 的
x+1=x5 +1,即 x= 5-1 时 等 号 成 立,此 时 f(x)min=2 5-5。
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解题篇 创新题追根溯源 高考使用 2019年10月
总 结 :解 决 此 类 函 数 问 题 经 常 要 利 用
拆 项 、添 项 、配 凑 、分 离 、减 少 变 元 等 方 法 ,
构 造 函 数 为 f(t)=t+t a (a>0)的 形 式 来 解 题 ,并 且 等 号 成 立 时 要 在 定 义 域 范 围 内
首先我 们 利 用 导 数 分 析 双 勾 函 数 的 图
像 ,对
函
数
f (x)=x
+
对勾函数专题讲解
对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。
0) ∪ (0.+∞)。
2) 值域：(-∞。
-2ab] ∪ [2ab。
+∞)。
3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。
4) 单调性：(-∞。
-a/b)，(a/b。
+∞) 上是增函数；(-a/b。
0)，(0.a/b) 上是减函数。
3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。
求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。
特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。
4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。
5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。
当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。
例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。
(2) [3,4]。
(3) [-3,-1]。
变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。
例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。
变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。
强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。
A。
y = x^4 + x^2B。
y = x^4 + xC。
y = x^4 - xD。
y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。
x∈(1,3] 的值域为 ()。
不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法
不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。
一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。
因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。
第一节基本不等式1.若则，等号成立的条件：；证明：当时，,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。
2.基本不等式的变形（包括2个方面）①若的实数，则,等号成立的条件：；若则,等号成立的条件：；若则,等号成立的条件：；(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。
②若则等号成立的条件：（注意：不等式的右边是）例题1.已知∞且，求的最小值及的最小值。
解：，∴的最小值为：；求有两种方法，其一是配式，，∴；另一种方法是，由,∵∞，∴。
例题2.已知,求证：。
证明：由基本不等式得：这里等号成立的条件是，；同理，这里等号成立的条件是，，∴而条件是,即对于不等式等号成立，即且即。
注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。
例题3.已知满足求的最小值。
解：,这里,.注：解答本题的关键是，如何运用好，两次使用了基本不等式，但不矛盾。
例题4. 求的最大值。
解：函数的定义域为,可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。
但由于与的两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。
∵2，当且仅当→时成立，故。
例题5.已知,则的最小值为（）。
解：当且仅当等号成立，的最小值为16.注：这里要求2元表达式的的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a、b）而且也没有给出条件等式（即不可能代入消元）,因此，对局部用基本不等式的变形公式进行处理。
例题6.若二次函数的值域为[0,+∞),则的最小值为（）。
解：由题意得即则，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以的最小值为。
基本不等式―最值―对勾函数-耐克函数(学案 附答案)
基本不等式―最值―对勾函数-耐克函数（学案附答案）同步：基本不等式 22 探究1：你能给出a?b?2ab的证明吗？基本不等式――形式一：a?b?2ab(a>0,b>0)2ab____a?（b ）――形式二：a?bab___2(a>0, b>0)2a?b?ab2 (a__0,b__0)a?b? ――形式三：ab????（） 2??通常我们把上式写作：ab?a?b(a>0,b>0) 2问：由不等式的性质证明基本不等ab?用分析法证明：要证a?b？ 2a?b?ab （1） 2只要证 a?b? （2）要证（2），只要证a?b?____?0 （3）要证（3），只要证(_____?_____)2?0 （4）显然（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等1思考：（1）已知y=x+ ( x>0 ) ，求y的范围.x1（2）已知y=x+ ( x≠0 ) ，求y的范围.x例题拓展【例1 】已知x>0，则2?3x?4的最小值是________。
x【例2 】下列不等式一定成立的是（）A．x?y?2xy B．x? C．x2?y2?2xy D．1?2 xx?y1 ?2xyxy【例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）2abx2?2??2 B. A. a,b均为负数，则?2 2b2ax?1C.D．a?R,(3?a)(1?)?0?x?3a2?22,x?R x C专题：利用基本不等式的求最值基础回顾1、对于____ _ a,b,有a2?b2____2ab,当且仅当____ _ 时，等号成立.2、基本不等式：对于____ _ a,b,则时，不等式取等号.a?b_____ab，当且仅当___ _2注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _题型1 当积ab为定值时,求和a?b最小值【例1 】（1）已知x?0，且y = x＋81，x=_________时，y取最小值 x（2）已知x>0，则2?3x?4的最小值是________。
基本不等式与“对勾”函数
基本不等式与“对勾”函数毛铭【摘要】基本不等式由完全平方公式列入,它的常见形式a+b≥2√ab,a、b∈R+应用广泛,主要用在求最值上.在应用基本不等式求最值时,要把握“一正二定三相等”,当等号不成立时,函数的值域只能利用“对勾”函数的单调性来求解.【期刊名称】《张家口职业技术学院学报》【年(卷),期】2018(031)003【总页数】3页(P78-80)【关键词】基本不等式;最值;对勾函数【作者】毛铭【作者单位】张家口市第一中学,河北张家口075000【正文语种】中文【中图分类】TH-4;G712.0基本不等式是高中数学不等式教学中重要内容，它由完全平方公式列入，推导得出两种常见形式：当且仅当“a=b”时等号成立，其中的形式应用广泛，主要应用在求最值。
例如：已知x>0,y>0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是如果和x+y是定值S，那么当且仅当x=y时，xy有最大值，是分别简记为“积定和最小”和“和定积最大”。
常见的应用如下：一、求最值例1.已知a、b∈R+,a+b=4，求ab的最大值。
解：∵ ∴ab≤4，当且仅当“a=b=2”时等号成立，所以ab的最大值为4。
以上形式还可用于应用题。
例2.用一块长为20m的篱笆靠墙围成一块菜园(如图所示)，问：长、宽各为多少m时，围成的菜园面积最大？解：该长为xm，0<x<20,则菜园面积为s∴∵当且仅当时即：x=10时等号成立此时S≤50∴当菜园长为10m，宽为5m时，菜园面积最大为50m2。
二、配凑法求最值例3.已知x,y为正实数，则的最小值为：解：由当且仅当x=3y时等号成立。
三、通过常值代换法求最值例4.已知第一象限的点(a,b)在直线2x+3y-1=0上，则代数式的最小值为解：因为第一象限的点(a,b)在直线2x+3y-1=0上，所以2a+3b-1=0，a>0，b>0,即：2a+3b=1所以当且仅当即时取等号，所以的最小值为25。
基本不等式与“对勾”函数
基本不等式与“对勾”函数
毛铭
【期刊名称】《张家口职业技术学院学报》
【年(卷),期】2018(031)003
【摘要】基本不等式由完全平方公式列入,它的常见形式a+b≥2√ab,a、b∈R+应用广泛,主要用在求最值上.在应用基本不等式求最值时,要把握“一正二定三相等”,当等号不成立时,函数的值域只能利用“对勾”函数的单调性来求解.
【总页数】3页(P78-80)
【作者】毛铭
【作者单位】张家口市第一中学,河北张家口075000
【正文语种】中文
【中图分类】TH-4;G712.0
【相关文献】
1.均值不等式孪生兄弟对勾函数模型 [J], 武锋
2.对勾函数y=x+a/x(a＞0)的简单性质和基本应用 [J], 齐长波
3.用勾函数弥补基本不等式的缺陷 [J], 苏志成
4.基本不等式和对勾函数破解一道圆锥曲线高考试题 [J], 罗文军
5.双勾函数与基本不等式 [J], 王立彬
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高中数学基本不等式专题复习
高中数学基本不等式专题复习第11课：基本不等式与双根号函数一、双根号函数形如y=√(px+q)，p>0，q>0.图像如右图所示：1）x>0时，当x=0时取到最小值min=2√(pq)；2）值域：当x=q/p时取到最小值min=2p；3）当p<0，q<0时，函数图像关于X轴对称，为二、四象限倒双根号；4）当pq<0时，不是双根号函数。
2、研究：以y=3√(x-)为例二、基本不等式a+b≥2√(ab)1、一正：只要a、b为正，上式就恒成立！2、二定：当利用基本不等式求一端的最值时，则必须配凑出不等式另一端是定值！积定和最小，取等于ab/2；3、三相等：用来验证等号能否取；当求最值时则是验证最值能否取到！成败的关键！示例：求函数y=x+3/(x-2)（x>2）的最小值。
错误解法：当x>2时，得a=x，b=3/(x-2)，则a+b=x+3/(x-2)≥2√(3)，当且仅当x=2时，函数有最小值2√(3)。
正确解法：将y=x+3/(x-2)（x>2）化为y=(x-2)/2+3/(2(x-2))，即y=√(3/2)√(x-2)+√(3/2)√(3/(x-2))，此时a=√(3/2)，b=√(3/2)，则a+b=2√(3/2)，取等于ab/2，即函数有最小值2√(3)。
两者联系：1）基本不等式去等号时的值即为双根号函数的拐点；2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双根号函数！三、利用基本不等式求最值类型一：形如y=(ax+b)/(ax^2+bx+c)1、求y=4x+3/(x-2)的最小值；2、求y=x/(x+1)的最小值；3、求y=sin(x)+cos(x)的最大值。
类型二：形如y=(cx+d)/(x^2+x+9)1、求y=3x-5/(4x-5)的最小值；2、求y=2x/(x+4e+4)的值域；3、求y=e^x/(x+1)的最小值；4、求y=(x^2+2x+1)/(x+2)的最小值；5、求y=√(2x/(1-2x))的最小值；6、求y=x/(2x+1)的值域。
对勾函数与基本不等式
对勾函数与基本不等式
对勾函数与基本不等式是数学中的重要概念，它们在科学研究、数学模型建构中具有重要作用。
一、对勾函数
1、定义：对勾函数（即条件反馈函数或称Hat函数）可表示
为： f(x)=x^2,x∈[ln2,1]。
2、特点：它是以 ln2 为起点，向右变化的单调函数，而能够经受大量噪声进行计算。
3、应用：由于它可用于最小二乘拟合，对勾函数被广泛应用于机器学习中，尤其是神经网络模型中，能够有效增加模型的准确性和稳定性。
二、基本不等式
1、定义：基本不等式是指任何一种数学不等式，它表示一种集合的全体元素之间的关系，通常用可证明的条件来表示。
2、分类：基本不等式可分为：奇异不等式(singularinequality)、实号不等式(realinequality)、共同不等式(commoninequality)和绝对值不等式(absolutevalueinequality)。
3、应用：基本不等式广泛应用于数学上的分析和数学建模。
它可以用来画出一个给定问题的完整图像，也可以分析正确性，限制未知数的变化范围，解决复杂的求解问题和进行证明逻辑归纳。
基本不等式—最值—对勾函数-耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0)____a b +（ ）——形式二：2a b+≥ (a__0,b__0)__(a >0,b >0)2a b + ——形式三：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ ）(a>0,b>0)2a b+≤2a b+？ 用分析法证明：要证2a b+ （1） 只要证 a b +≥ （2）要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等思考：（1）已知y=x+x1 ( x>0 ) ，求y 的范围.（2）已知y=x+x1( x≠0 ) ，求y 的范围.例题拓展【例1 】已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）A ．xy y x 2≥+B ．21≥+xx C ．xy y x 222≥+ D ．xyxy y x 12≥+【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）基础回顾1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.2、基本不等式：对于____ _,a b ,则2a b+___ _时，不等式取等号.注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋81x，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
（3）y x x=++23122的最小值是（4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________（5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________【 例2】设x ，y 为正数， 求14()()x y x y++的最小值【例4 】若0,0,x y >>且211x y+=，则2x y +的最小值为________练兵场：1、函数y =31-x + x (x>3) 的最小值是_________。
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基本不等式与对勾函数
一、基本不等式
前提条件是：0,0>>b a
取“=”的条件是：0>=b a ，必须验证. 练习1已知0<x ，则x
x 12
3+取最 值为
例1已知R y x ∈,，且2=+y x ，则y x 22+的最小值为
练习2若2log log 33=+n m ，则n m +的最小值为
例2若)1,0(,∈y x ，且91
=xy ，则y x 3
131log log ⋅的最大值为
例3设y x ,为正，且2052=+y x ，则y x lg lg +的最大值为
例4已知1>x ，则1
1
-+x x 的最小值为
练习3：已知关于x 的不等式72
2≥-+a
x x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求a 的取值范围
练习4函数9
19)(2
2++
+=x x x f 的最小值为
例5函数9
)(2+=x x
x f 的最大值为
例6函数1
11)(-+
-=x x x f 的最小值为
例7若正数b a ,满足3++=b a ab ，求：①ab 的取值范围②b a +的取值范围
例8已知0,0>>y x ，且12=+y x ，求y
x 1
1+的最小值
练习5.已知0,0>>b a ，且32=+b a ，则b
a 1
21+的最小值为
练习6.已知正数y x ,满足4=+y x ，则使不等式mxy y x ≥+4恒成立，求m 的取值范围
练习7已知不等式（x y +）
1a x y
+（）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为
例9若10<<x ，则x
x -+111的最小值为
练习8.若320<<x ，则x
x 3213-+的最小值为
练习9.若21<<x ，则x
x -+
-21
11的最小值为
例10.已知20<<x ，则)2(x x -的最大值为
练习10：已知0,>b a ，12
2
2
=+b a ，则21b a +的最大值为
二、对勾函数b
y ax x
=+)0,0(>>b a 的图像与性质
性质：
1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对
称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知b
y ax x
=+
≥ab 2（当且仅当x =，即)(x f 在x=
a
b
时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a
b
-
时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-, 减区间是（0，a
b ），（a b -,0）
对勾函数的变形形式 类型一：函数b
y ax x
=+
)0,0(<<b a 的图像与性质 此函数与对勾函数x
b x a y )
()(-+-=关于y 轴对称，故函数图像为
类型二：斜勾函数b
y ax x
=+
)0(<ab ①0,0<>b a 作图如下
类型三：函数)0()(2>++=
ac x
c
bx ax x f 此类函数可变形为b x c ax x f ++
=)(，则)(x f 可由对勾函数x
c
ax y +=上下平移得到 例1作函数x
x x x f 1
)(2++=的草图
解：11
)(1)(2++=⇒++=
x
x x f x x x x f 作图如下：
类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k
x a
x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，
则)(x f 可由对勾函数x
a
x y +=左右平移，上下平移得到 例2作函数2
1
)(-+=x x x f 的草图 解：22
1
2)(21)(+-+-=⇒-+=x x x f x x x f 作图如下：
例3作函数x x x x f +++=23
)(的作图： 解：12
1
2211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++=x x x x x x x x f x x x x f
练习： 1.求函数4
21
)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标
2. 求函数1
)(-+=x x
x x f 的单调区间及对称中心
类型五：函数)0,0()(2>≠+=
b a b
x ax
x f 此类函数定义域为R ，且可变形为x b x a
x
b
x a x f +
=+=
2
)( a. 若0>a ，则)(x f 的单调性和对勾函数x
b
x y +
=的单调性相反，图像如下：
性质：
1．定义域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b
a b
a ⋅
⋅
-
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f
4. 图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知b
a x
b x a x f 22)(=
⋅
≤
（当且仅当b x =取等号），
即)(x f 在b x =时，取最大值
b
a 2
由奇函数性质知：
当x<0时，)(x f 在x=b -时，取最小值b
a 2-
5. 单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）
增区间是],[b b -
例4作函数1
)(2+=x x
x f 的草图 解：x x x
x x f x x
x f 111
1)(1)(2
2+
=+=⇒+=
b. 若0<a ，作出函数图像：
例5作函数4
2)(2+-=x x
x f 的草图
类型六：函数)0()(2≠+++=
a m
x c
bx ax x f 此类函数可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=
at s m
x t
m x a m x t m x s m x a x f ， 则)(x f 可由对勾函数x
t
ax y +
=左右平移，上下平移得到 例6说明函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1
+=如何变换而来
解： 11
1
111)1()1()(2-+++=+++-+=
x x x x x x f 故 此函数)(x f 可由对勾函数x
x y 1
+
=向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位.草图如下：
练习：1.已知1->x ，求函数1
10
7)(2+++=x x x x f 的最小值
2.已知1<x ，求函数1
9
9)(2--+=x x x x f 的最大值
类型七：函数)0()(2
≠+++=a c
bx ax m
x x f
例7求函数2
1
)(2
++-=
x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值 解：当1=x 时，0)1(=f
当1≠x 时，3
1411
1
4
)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--=x x x x x x x x x f
问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为
练习：1.求函数2
3
2)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值
类型八：函数a
x b x x f ++=
)(
此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-+
+=+-++=
a b a
x a b a x a
x a
b a x x f
例8求函数1
3)(-+=
x x x f 的最小值
解： 1
411
41)(-+
-=-+-=x x x x x f
练习： 1．求函数1
5)(++=x x x f 的值域
2.求函数3
2
)(++=x x x f 的值域
类型九：函数)0()(2
2>++=
a a
x b x x f
此类函数可变形为标准形式：
)()()(2
22
22o a b a
x a b a x a
x a
b a x x f >-+-+
+=+-++=
例9求函数4
5)(2
2++=
x x x f 的最小值
解：4
5)(2
2++=x x x f 4
144
14)(2
22
2++
+=+++=
⇒x x x x x f
练习：1. 求函数17
1
)(22++=x x x f 的值域
例10已知2
0,a >求函数的最小值。
解：2
=
令t ≥则1
t t +y=
1即1a ≥时，
min y
1即01a <<时，2min y =。