中考数学专项训练：二次根式

中考数学专项训练：二次根式二次根式的概念
1．(中考)使二次根式5x－2有
意义的x的取值范围是__x≥2
5
__．
二次根式的运算
2．(中考)8＋2＝__32__．
3．(中考)计算2－18的结果是__－22__．
4．(中考)计算：27＋3＝__43__．
5．(一中一模)函数y＝
x＋3
x－1
中自变量x的取值范围是( D)
A．x≥－3 B．x≥3
C．x≥0且x≠1 D．x≥－3且x≠1
6．(十一中二模)与1＋5最接近的整数是( B)
A．4 B．3 C．2 D．1
平方根、算术平方根
1．若x 2＝a,则x 叫a 的__平方根__．当a≥0时,a 是a 的__算术平方根__．正数b 的平方根记作__±b__.a 是一个__非负__数．只有__非负__数才有平方根．
立方根及性质
2．若x 3＝a,则x 叫a 的__立方根__,求一个数的立方根的运算叫__开立方__；任一实数a 的立方根记作__3a__；3a 3＝__a__,(3a)3＝__a__,3－a ＝__－3
a__．
二次根式的概念
3．(1)形如a(__a≥0__)的式子叫二次根式,而a 为二次根式的条件是__a≥0__； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是__整数__,因式是__整式__； ②被开方数中不含有__开得尽方的因数或因式__．
二次根式的性质
4．(1)ab ＝__a ·b __(a≥0,b ≥0)；a b ＝__a
b
__(a≥0,b ＞0)； (2)(a)2＝__a__(a__≥__0)； (3)a 2
＝|a|＝⎩⎨⎧ a （a≥0），
－a （a ＜0）.
二次根式的性质
5．(1)二次根式的加减：
二次根式相加减,先把各个二次根式化成__最简二次根式__,再把__同类二次根式__分别合并． (2)二次根式的乘法：
a ·
b ＝__ab __(a≥0,b ≥0)． (3)二次根式的除法：
a b ＝__a
b
__(a≥0,b>0)． (4)二次根式的估值：二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数__相邻__的两个能开得尽方的整数,对其进行__开方__,即
可确定这个二次根式在哪两个整数之间．
(5)在二次根式的运算中,实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算__乘除__,后算__加减__,有括号时,先算括号内的(或先去括号)．
【温馨提示】
(1)若a 是二次根式,则a ≥0(a≥0),这个性质称为二次根式的双重非负性；
(2)二次根式运算的结果可以是数或整式,也可以是最简二次根式,如果二次根式的运算结果不是最简二次根式,必须化为最简二次根式．
,中考重难点突破)
平方根、算术平方根与立方根
【例1】(南京中考)若方程(x －5)2＝19的两根为a 和b,且a ＞b,则下列结论中正确的是( )
A ．a 是19的算术平方根
B ．b 是19的平方根
C ．a －5是19的算术平方根
D ．b ＋5是19的平方根
【解析】本题考查平方根的基本定义． 【答案】C
1．若单项式2x 2y a ＋b 与－x a －2b y 5的和仍然是一个单项式,则a －5b 的立方根为( A )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．2
2．(蚌埠中考)已知2a －1的平方根是±3,3a ＋2b ＋4的立方根是3,求a ＋b 的平方根． 解：由题意,得⎩⎨⎧2a －1＝9，
3a ＋2b ＋4＝27，
解得⎩
⎨⎧a ＝5， b ＝4.
∴±a ＋b ＝ ±5＋4＝±3. 故a ＋b 的平方根为±3.
3．(北流中考)已知a －1与5－2a 是m 的平方根,求a 和m 的值． 解：①当a －1与5－2a 是同一个平方根时, a －1＝5－2a, 解得a ＝2, 此时,m ＝12＝1；
②当a －1与5－2a 是两个平方根时, a －1＋5－2a ＝0, 解得a ＝4,
此时m ＝(4－1)2＝9.
二次根式的概念与性质
【例2】(1)(新区一模)若3x －6在实数范围内有意义,则x 的取值范围是________． (2)(张家界中考)实数a,b 在数轴上的位置如图所示,且|a|＞|b|,则化简a 2－|a ＋b|的结果为( )
A ．2a ＋b
B ．－2a ＋b
C ．b
D ．ab
【解析】(1)根据式子a 有意义的条件为a≥0得到3x －6≥0,然后解不等式即可；(2)化简a 2
时,要先判断a 的取值范围,当a≥0时,a 2＝a,当a<0时,a 2＝－a.
【答案】(1)x≥2；(2)C
4．(静安中考)下列二次根式里,被开方数中各因式的指数都为1的是( B )
A .x 2y 2
B .x 2＋y 2
C .（x ＋y ）2
D .xy 2
5．(围场中考)下列式子一定是二次根式的是( C )
A .x －1
B .x
C .x 2＋2
D .x 2－2
6．(枣庄中考)实数a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|＋（a －b ）2的结果是( A )
A ．－2a ＋b
B ．2a －b
C ．－b
D ．b
二次根式的运算
【例3】(1)(澧县中考)下列运算正确的是( )
A .10·10＝210
B ．(a 2)3＝a 5
C ．5a 4－4a 3＝a
D ．3a 2＋4a 2＝7a 2
(2)(农安中考)下列计算,正确的是( )
A ．(2a 2b 3)2＝2a 4b 5
B ．(a －b)2＝a 2－b 2
C .x 2＋y 2x ＋y
＝x ＋y D ．(x ＋y)(x －y)＝x －y 【解析】(1)A .10×10＝10,原式计算错误,故本选项错误；B .(a 2)3＝a 6,原式计算错误,故本选项错误；C .5a 4与4a 3不是同类项,不能直接合并,故本选项错误；D .3a 2＋4a 2＝7a 2,计算正确,故本
选项正确．(2)A .(2a 2b 3)2＝4a 4b 6,错误；B .(a －b)2＝－2ab ＋a 2＋b 2,错误；C .x 2＋y
2x ＋y
为最简分式,错
误；D .符合平方差公式,正确．
【答案】(1)D ；(2)D
7．(滨海中考)计算27－8·
2
3
的结果是( C ) A . 3 B .
43 3 C .5
3
3 D ．2 3 8．(沂源中考)下列计算正确的是( C )
A ．23＋33＝5 6
B ．(2＋1)(1－2)＝1
C ．(xy)－1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12xy 2＝1
4xy
D ．－(－a)4÷a 2＝a 2
9．(陕西中考)计算：
(－2)×6＋|3－2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
.
解：原式＝－23＋2－3－2 ＝－3 3.
10．(临沂中考)计算： 8÷2＋(2－ 2 014)0
－(－1)
2 014
＋|2－2|＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12－2
.
解：原式＝2＋1－1＋2－2＋4 ＝8－ 2.
11．(中山中考)计算： (1)3
223÷12
25×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1415； 解：原式＝－15； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
18＋32÷6×12.
解：原式＝6＋6
2
.
12．解方程：x ＋2x －1＋x －2x －1＝x －1.
解：方程两边同时平方,得2x ＋2x 2－（2x －1）2＝x 2－2x ＋1, 变形,得2x ＋2x 2－4x ＋4＝x 2－2x ＋1, 2x ＋2（x －2）2＝x 2－2x ＋1, 2x ＋2|x －2|＝x 2－2x ＋1, ∵x －1≥0,即x≥1.
∴①当1≤x＜2时,原方程化简为： 2x ＋2(2－x)＝x 2－2x ＋1,
即x2－2x－3＝0,
解得x
1＝－1,x
2
＝3(都不符合题意,舍去),
②当x≥2时,原方程化简为：2x＋2(x－2)＝x2－2x＋1,
即x2－6x＋5＝0,
解得x
1＝1,x
2
＝5(x＝1不符合题意,舍去),
综上,原方程的解为x＝5.
教后反思：
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