运筹学_8 对偶问题概念+转换方法
运筹学对偶问题及性质推荐PPT资料
(2) 非对称形式的对偶规划
一般称不具有对称形式的一对线性规划为 非对称形式的对偶规划。
对于非对称形式的规划，可以按照下面 的对应关系直接给出其对偶规划。
（1）将模型统一为“max，≤”或“min， ≥” 的形式，对于其中的等式约束按下面 （2）、（3）中的方法处理；
问1 ：写充出分线利性用规设划备问机题时的，对工偶j厂问应题j生产甲和乙型产品各多少件才B能获得最大利润？N
0
分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如下表：
项 目 (1) 对称性：对偶问题的对偶是原问题 ;
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CB XB B-1b
I
B-1N
B-1
cj-zj
0
CN-CBB-1N -CBB-1
2 x 1 2 x 2 12
s
.
t
x 4
1
x
1
2
x2 16
8
4
x2
12
x 1 , x 2 0
原问题
（对偶问题）
min 12y1 8y2 16y3 12y4
2y1 y2 4y3 0y4 2 s.t 2y1 2y2 0y3 4y4 3
y1,
y2 ,
y3,
y4
0
对偶问题 （原问题）
1 B
CB0 3 分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题
1
1 写出线性规划问题的对偶问题
B
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定价才是最佳决
运筹学对偶理论
动态规划的对偶性
动态规划的对偶性是指对于给定的动态规划问 题，可以构造一个与之对应的对偶问题，这两 个问题的最优解是相互对应的。
在动态规划中，原问题通常关注的是多阶段决 策的最优解，而对偶问题则关注的是如何将原 问题的最优解转化为一系列子问题的最优解。
对偶理论在动态规划中也有着广泛的应用，例 如在计算机科学、人工智能、控制系统等领域。
运筹学对偶理论
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论在运筹学中的应用 • 对偶理论的局限性与挑战 • 对偶理论案例分析
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
在运筹学中，对偶问题是指原问题的 目标函数和约束条件保持不变，但变 量的约束方向被颠倒的问题。
线性规划中的对偶问题
在线性规划中，原问题为最大化问题 ，其对偶问题则为一个等价的线性规 划问题，目标函数变为最小化问题。
对偶理论面临的挑战
算法优化
01
对偶理论在求解大规模优化问题时，算法效率和稳定性面临挑
战。
多目标优化问题
02
对偶理论在处理多目标优化问题时，难以权衡和协调不同目标
之间的矛盾。
动态环境适应性
03
对偶理论在应对动态环境和不确定性因素时，需要进一步改进
和优化。
对偶理论的未来发展方向
拓展应用领域
进一步探索对偶理论在其他领域的应用，如金融、 医疗、交通等。
详细描述
在金融风险管理问题中，动态规划对偶理论可以用于确定 最优的风险管理策略，以最小化风险并最大化收益。通过 构建动态规划模型，可以找到最优的风险管理方案，提高 金融机构的风险管理能力。
总结词
动态规划对偶理论在电力系统优化问题中具有重要应用。
对偶问题的概念
对偶问题的概念
对偶问题是指在数学中，将一个问题中的某些概念和关系进行逆转，从而得到一个新的问题。
这个新问题与原问题有着相同的结构，但是问题的角度和方向却完全不同。
对偶问题的解法和结论也与原问题不同，但是它们之间有着密切的联系。
对偶问题的概念最早出现在欧几里得几何学中。
在欧几里得几何学中，对偶问题是指将点和线的概念进行逆转，从而得到一个新的几何系统。
在这个新的几何系统中，点和线的角色互换了，点变成了线，线变成了点。
这个新的几何系统被称为对偶几何。
在现代数学中，对偶问题的概念被广泛应用于各个领域。
例如，在图论中，对偶问题是指将一个图的面和边进行逆转，从而得到一个新的图。
在拓扑学中，对偶问题是指将一个空间的维度进行逆转，从而得到一个新的空间。
在线性规划中，对偶问题是指将一个线性规划问题进行逆转，从而得到一个新的线性规划问题。
对偶问题的研究不仅有助于深入理解数学中的基本概念和结构，还有助于解决实际问题。
例如，在计算机科学中，对偶问题被广泛应用于图像处理、计算几何、机器学习等领域。
通过对偶问题的研究，可以得到更加高效和优化的算法和模型，从而提高计算机科学的应用效果。
《运筹学对偶问题》课件 (2)
欢迎来到《运筹学对偶问题》PPT课件，本课程将探讨偶问题与对偶问题的定 义、线性、非线性和整数规划的对偶问题，以及对偶理论的应用与经济解释。
对偶问题与对偶问题的定义
什么是对偶问题？
探索如何将原始问题转化为对偶问题，实现问题的 优化与平衡。
对偶问题的定义
详细解释对偶问题的概念和特点，以及与原始问题 之间的关系。
非凸规划的对偶问题
探讨非凸规划问题的对偶性质和求解策略，分析其优缺点。
应用案例
介绍非线性规划对偶问题在实际问题中的应用案例和成果。
整数规划的对偶问题
整数规划的对偶问题
讨论整数规划问题的对偶性质和对偶问题的求解方 法。
二进制分解方法
介绍二进制分解方法在整数规划问题中的应用和优 化策略。
对偶理论的应用
1
交通运输规划
2
研究对偶理论在交通运输规划中的应用，
并分析其对交通流的优化作用。
3
供应链管理
探讨对偶理论在供应链管理中的应用， 优化供应链的效率和降低成本。
金融风险管理
应用对偶理论来管理金融风险，提高资 产配置和风险控制的效果。
对偶问题的经济解释
经济效益
分析对偶问题在经济领域的 应用，帮助优化资源的配置 和提高企业效益。
线性规划的对偶问题
1
松弛变量法
学习如何使用松弛变量法来求解线性规划问题的对偶问题，并了解其优缺点。
பைடு நூலகம்
2
对偶单纯形法
探索对偶单纯形法在求解线性规划问题中的应用，以及如何进行优化。
3
对偶理论的应用
研究对偶理论在实际问题中的实用性，并举例说明其应用。
非线性规划的对偶问题
运筹学 对偶问题概念转换方法
第15页，共16页。
内容总结
运筹学 对偶问题概念转换方法。原问题如何转化为对偶问题。对偶问题不能从字面理解为镜像问题。两种产品都需要在A、 B两种不同的设备上加工，每种产品在不同的设备上加工的工时、设备工时限制、这些产品销售收入如下表：。1个乙产品利润 150元/个。15。解为（30,15,0,0），最优值为8250。另一个问题：出租问题。将A、B设备出租，在合理的利润条件下，消耗的 资源至少是。解为（50/9，350/27，0，0），值为8250
y1, y2为自由变量
第14页，共16页。
Operational Research
115 5
练习三
min Z 2x1 3x2 5x3 x4
x1 x2 3x3 x4 5
s.t.
2x1 2x2 x4 4 x2 x3 x4 6
x1 0；x2 , x3 0；x4无约束
提示：min！！！
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Operational Research
6
引入对偶问题：举例
某汽车配件厂生产甲、乙两种产品。两种产品都需要在A、B两种不同的设备上加工，每 种产品在不同的设备上加工的工时、设备工时限制、这些产品销售收入如下表：
A B 利润（元/个）
甲乙
15
6
9
9
200 150
有效工时 540 405
max Z 200x1 150x2
s.t.195xx1196xx22
540 405
x1, x2 0
解为（30,15,0,0），最优值为8250
第6页，共16页。
Operational Research
7
引入对偶问题：举例
第一个问题：生产问题 另一个问题：出租问题
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学中的对偶问题是指原始线性规划问题和对应的对偶线性规划问题之间的关系。
直观描述对偶问题可以从几个方面来理解。
首先，可以从成本和效益的角度来理解。
原始线性规划问题通常涉及最小化成本或者最大化利润，而对偶线性规划问题则涉及最大化成本或者最小化利润。
这种对偶关系可以被解释为在资源有限的情况下，通过最小化成本来实现最大化效益，或者通过最大化效益来实现最小化成本。
其次，可以从约束条件的角度来理解。
原始线性规划问题的约束条件对应着对偶线性规划问题的变量，而对偶线性规划问题的约束条件对应着原始线性规划问题的变量。
这种对偶关系可以被理解为在资源分配和利用的过程中，对约束条件和变量之间的转换和对应关系。
另外，可以从几何图形的角度来理解。
原始线性规划问题的最优解和对偶线性规划问题的最优解之间存在着一种对偶关系，即原始问题的最优解和对偶问题的最优解分别对应着凸集的两个相对的极值点，它们之间的距离可以被理解为对偶问题的最优值和原始问
题的最优值之间的关系。
总的来说，对偶问题在运筹学中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们理解原始问题和对偶问题之间的关系，还可以为我们寻找最优解提供了一种新的视角和方法。
通过对偶问题的研究和理解，我们可以更好地解决实际生产和管理中的复杂问题。
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
运筹学线性规划的对偶问题
例5 已知线性规划问题 minω = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 x1 + x2 + 2x3 + x4 + 3x5 ≥ 4 2x1 - x2 + 3x3 + x4 + x5 ≥ 3 xj ≥ 0,j = 1,2,3,4,5
已知其对偶问题的最优解为y1* = 4/5, y2* = 3/5；z = 5。试用对偶理论找 出原问题的最优解.
试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。
证: 首先看到该问题存在可行解，例如X = (0,0,0) 而上述问题的对偶问题为
minω = 2y1 + y2 -y1 - 2y2 ≥ 1 y1 + y2 ≥ 1 y1 - y2 ≥ 0 y1 ,y2 ≥ 0
由第一约束条件可知对偶问题无可行解，因而无最优解。由此 原问题也无最优解。
0 0
无约束
m个
约束条件
=
约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题） 目标函数 min
n个
约束条件
=
m个
0 0
变量
无约束
目标函数变量的系数
约束条件右端项
原问题中的价值向量与对偶问题中的资源向量对换（上下对换） 原问题: X在C和A的右边;
xj yi
y1 y2 ┇ ym
对偶关系 maxZ
x1 x2 ┅ xn
a11 a12 ┅ a1n a21 a22 ┅ a2n ┇┇ ┇ am1 am2 ┅ amn ≥≥┅≥ c1 c2 ┅ cm
原关 minω 系
≤
运筹学 线性规划 对偶问题
n
* j
,
∑b y
i =1 n i j =1 m
m
* i
≤ ∑ bi yi
i =1
m
∑ c j x j = ∑ bi yi ,
∴
∑cjxj ≤
* *
∑ bi yi
i =1 m i =1
m
*
∑c x = ∑c x
j =1 j j j =1 j
j
=
∑b y
i =1 i
* i
= ∑ bi yi
3.强对偶性(对偶定理) 强对偶性(对偶定理) 强对偶性 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解, 定理 如果原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优 且它们的最优解的目标函数值相等. 解,且它们的最优解的目标函数值相等. 证:第一步,证明都有最优解.原问题和对偶问题都有可 第一步,证明都有最优解. 行解,由弱对偶定理推论1可知 原问题目标函数有上界, 可知, 行解,由弱对偶定理推论 可知,原问题目标函数有上界, 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 对偶问题的目标函数有下界,故一定存在最优解. 第二步,证明最优解的目标函数值相等.根据单纯形 第二步,证明最优解的目标函数值相等. 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解, 法的矩阵描述,原问题有最优解,对偶问题为可行解,且 二者的目标函数值相等,根据最优性定理, 二者的目标函数值相等,根据最优性定理,二者的解均为 最优解. 最优解.
运筹学对偶问题
在运筹学中，对偶问题是一个与原问题相对应的问题。
以线性规划问题为例，每一个线性规划问题必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求maxz的LP1都有一个求minw的LP2。
将LP1称为“原问题”，记为P；将LP2称为“对偶问题”，记为D。
对偶问题的经济学解释——影子价格又称影子利率，用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。
用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即资源）的一阶偏导数。
用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子价格。
对偶问题的解
对偶问题的解
对偶问题是原始优化问题的一种等价形式，通过转换变量和约束条件来得到。
对偶问题可以提供原始问题的下界，并且在某些情况下，其解与原始问题的解是相等的。
通常，求解对偶问题的步骤如下：
1. 确定原始问题的拉格朗日函数：根据原始问题的约束条件，构建拉格朗日函数。
该函数包括原始问题的目标函数和约束条件的乘子项。
2. 构建对偶问题：将拉格朗日函数进行最大化或最小化，并移除原始问题的变量和约束条件。
这样就得到了对偶问题。
3. 求解对偶问题：使用合适的优化方法（如KKT条件、凸优化理论等）来求解对偶问题。
可以使用梯度法、内点法、对偶分解等算法来求解对偶问题。
4. 根据对偶问题的解，获得原始问题的下界：通过对偶问题的解，计算原始问题的下界值。
如果对偶问题达到最优解，则其下界是原始问题的最优解。
5. 分析对偶问题的解与原始问题的关系：根据所使用的对偶性质和定理，分析对偶问题的解与原始问题的解之间的关系。
在某些情况下，二者是相等的，即对偶问题的解也是原始问题的解。
需要注意的是，对偶问题并不总是存在或者有意义。
它们的存在和有效性取决于原始问题的结构和特性。
因此，在求解对偶问题之前，需要对原始问题进行分析，并确保对偶问题的适用性。
同时，对偶问题的解也可以提供一些关于原始问题的额外信息，如灵敏度分析、约束条件的松弛程度等。
这些信息对于理解和优化原始问题都是有益的。
综上所述，通过对偶问题的解，我们可以获得原始问题的下界，并在一些情况下得到原始问题的最优解。
对偶定理运筹学
对偶定理是运筹学中最基本的概念之一，它在线性规划中起着非常重要的作用。
在线性规划问题中，存在原始问题和对偶问题两种形式，它们之间通过对偶定理建立了密切的联系。
对偶定理的核心思想是将原始线性规划问题转化为对偶问题，并且通过对偶问题来分析原始问题，从而得到有关原始问题的有效信息。
具体来说，对偶定理可以帮助我们在求解原始问题时，通过求解对偶问题来获得额外的信息和优化结果。
在运筹学中，对偶定理的应用主要体现在以下几个方面：
1. 最优性分析：对偶定理可以帮助我们分析原始问题的最优解以及对应的对偶问题，从而验证原始问题的最优性和对偶问题的最优性，并且可以相互印证，增强了问题解的可靠性。
2. 敏感度分析：对偶定理也可以用于进行敏感度分析，通过对对偶问题的解进行改变，可以评估原始问题解对参数变化的敏感程度，从而指导决策者进行风险评估和决策制定。
3. 经济学解释：对偶问题的解可以提供经济学上的解释和意义，比如对偶问题中的对偶变量可以表示资源的单位价值，对偶问题的约束条件可以反映出资源的受限性，这些信息可以为管理决策提供重要参
考。
总之，对偶定理在运筹学中具有重要的作用，通过对原始问题和对偶问题的分析，可以为决策者提供更全面的信息，帮助其做出更加合理的决策。
因此，对偶定理是线性规划理论中不可或缺的重要内容。
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用摘要线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化Linear Programming is the Original Problem and the Transformation ofthe Dual Problem and ApplicationsAbstract: Linear programming in operational research is research earlier, rapid development and wide application, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Can from different angles to linear programming dual problem for policy makers to provide more scientific theory basis. This article mainly probes into the linear programming problem and the relationship between the dual problem, linear programming problem and the transformation of the dual problem, the application of linear programming dual problem. This article is the complex of the original problem into its dual problem to be solved, simplifies the linear programming problem, enables us to rapidly find the optimal solution of linear programming problem.Keywords: linear programming; the original problem; the dual problem; conversion目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (2)2.3提出问题 (2)3 预备知识 (2)3.1对称形式的原问题 (2)3.2非对称形式的原问题 (3)3.3对偶问题的定义 (3)3.4原问题转化为对偶问题的理论依据 (4)4 原问题与对偶问题的转化 (5)4.1原问题与对偶问题的关系 (5)4.2对称型原问题化为对偶问题 (6)4.3对称型对偶问题转换为原问题 (9)4.4非对称型原问题转化为对偶问题 (10)4.5对偶问题的应用 (13)5 结论 (15)5.1主要发现 (15)5.2启示 (15)5.3局限性 (15)5.4努力方向 (15)参考文献 (15)1 引言线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息.2 文献综述2.1 国内外研究现状在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性. 崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中探讨了对偶理论的证明过程，并用常见的例子来说明对偶理论的基本思想和解题方法. 曾波，叶宗文在[13]中主要从经济管理的实际问题中阐述了线性规划的基本概念，基本原理，对偶理论，灵敏度分析等.2.2 国内外研究现状评价文献[1-15]分别探讨了线性规划问题中原问题转化为对偶问题的理论依据以及如何利用对偶理论去解决实际生产问题.文献中主要探讨了对称型的原问题转化为对偶问题的方法.没有全面介绍非对称型的原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，而且文献中对原问题转化为对偶问题的步骤提及甚少，大都一带而过，对应用中存在的问题也未给出详细深入的说明.2.3 提出问题在线性规划问题中,根据实际生产中具体情况的需要,我们常常要把原问题与它的对偶问题进行转换,以解决一些复杂的线性规划问题,因而对偶问题的应用较为广泛.但大部分书籍都只介绍了线性规划问题的基础知识，并没有给出原问题与对偶问题转换的具体步骤.因此本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，体会不同类型原问题的转化过程.3 预备知识首先我先简单的介绍一些关于线性规划问题中的原问题和对偶问题的一些基本的知识.3.1对称形式的原问题我们将满足下列条件的线性规划问题称之为具有对称形式的线性规划问题.这类问题的变量都具有非负约束，当目标函数求极大值时，它的约束条件都取“≤”号，当目标函数求极小值时它的约束条件均取“≥”号. 因而，这类数学模型的特点是：（1）所有的决策变量都是非负的；（2）所有的约束条件都是“≤”型；（3）目标函数是最大化类型.线性规划原问题的对称形式的]1[一般形式为：n n x c x c x c z +++= 2211m ax⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++),,2,1(0.22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n (3.1)3.2 非对称形式的原问题不是所有的线性规划问题都具有对称的形式，我们将没有对称形式的线性规划问题称之为非对称形式的线性规划问题.非对称形式的线性规划问题指的是一般情况下的线性规划问题，即是目标函数值求极小或者求极大；约束条件；，或是无限制的随意的组合.例如：332211m ax x c x c x c z ++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++=++≤++无约束321333323213123232221211313212111,0,0.x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s (3.2)3.3 对偶问题的定义在运筹学中，关于对线性规划的对偶规划给出的]2[定义如下.设给定的线性规划为：CX z =max⎩⎨⎧≥≤0.X b AX t s (3.2) 其中()T n x x x X ,,,21 =，()nm ij a A ⨯=，()T m b b b b ,,,21 =，()n c c c C ,,,21 = 因此，定义它的对偶问题为：Yb w =min⎩⎨⎧≥≥0.Y C YA t s (3.4) 其中()m y y y Y ,,,21 =是行向量. (3.4)是对偶问题，(3.3)是原问题，(3.3)与(3.4)合在一起我们就称为是一对对称形式的对偶规划问题.3.4原问题转化为对偶问题的理论依据我们根据线性规划问题中约束条件和变量的对应关系，统一归纳为下]3[1表所示：表14 原问题与对偶问题的转化一对对偶的线性规划问题表示了同一个问题的两个侧面，是从两个角度对同一个研究对象提出的极值问题，两类极值的问题都具有相同的目标函数值.我们发现在很多时候求解对偶问题比原问题更加容易，为决策者提供更多的科学理论依据，因此我们常常需要把原问题转化为对偶问题.4.1原问题与对偶问题的关系一对对偶的线性规划问题具有相互对应的关系：（1）原问题中的目标函数值是max ，约束条件是“≤”的形式；对偶问题的min 目标函数值为，”约束条件是“≥的形式.（2）原问题的价值系数和对偶问题的右端项对应，原始问题的右端项和对偶问题的价值系数对应.（3）原问题的变量和对偶问题的约束条件对应，即，原问题中有个n 变量，那么对偶问题就有个n 约束条件；原问题有个m 约束条件，那么对偶问题就有个m 变量.（4）对偶问题的系数矩阵就是原问题的系数矩阵的转置.用矩阵表示，原问题为：CX z =max⎩⎨⎧≥≤0..X b AX t s 则对偶问题为：Yb w =min⎩⎨⎧≥≥0..Y C YA t s 需要注意的是，我们所讨论的对偶问题一定是指一对问题，而原问题和对偶问题是相对的，它们互为对偶问题，一个问题可以是原问题也可以是对偶问题.4.2 对称型原问题转化为对偶问题当线性规划问题为一般形式（3.1）时，我们将根据下面的四条规则转换为它的对偶问题：（1）原问题和它的对偶问题之间的系数矩阵互为转置.（2）原问题中变量的个数等于它的对偶问题的约束条件的个数.（3）原问题的右端常数就是对偶问题的目标函数的系数.（4）原问题的目标函数求极大时，约束条件是“≤”类型，而它的对偶问题的目标函数求极小，约束条件则为“≥”类型.因此，它的对偶问题可以转变为如下的]4[形式：m m y b y b y b w +++= 2211m in⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+++≥+++≥+++),,1(0..22112222211211221111n i y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a t s i n m mn n n m m m m例1 生产计划问题云南一公司加工生产甲，乙两种产品，它的市场前景非常的好，销路也不成问题，各种制约因素主要有技术工人、设备台时和原材料供应.已知制造每吨产品的资源消耗系数、每天的资源限量和售价等参数如表2所示.问题：云南的这家公司应该怎样制定每天的生产计划，才能使它的产量得到最大？表2 分析：为了建立此问题的数学模型，第一，要选定决策变量.第二，要确定问题的目标，即用来评价不同方案优劣的标准，这种目标总是决策变量的函数，称为目标函数.第三，我们把要确定达到目标时所受的限制条件，称之为约束条件.这里要决策的问题是，在现有人力、设备、矿石的限制下，如何确定产量使得产值自大？设1x 和2x 分别表示该公司A ，B 产品的数量，用z 表示产值，则每天的产值表示为2115090x x z +=，使其最大化，即2115090m ax x x z +=，称为目标函数.将制约因素表达出来，即有：人力不超过320工时，为3206821≤+x x ；设备不超过260台时有，2608621≤+x x ；原材料不超过300公斤有，30010421≤+x x 。
对偶问题课件ppt
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
运筹学-对偶问题
对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 最优目标。
运输问题
如何制定运输计划，使得运输成本最低且满足运 输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划，使得生产成本最低且满足市 场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合，使得投资收益最大且风险最 小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础，包括对偶映射、对偶函 数、对偶不等式等，为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式，或 者设计有效的求解方法，以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上，进一步探索如何将其应用于实际问题 中，以解决实际问题的优化问题，提高决策的科学性和效率。
在整数规划中，对偶问题通常 是指将原问题的约束条件或目 标函数进行一些变换，使得原 问题与对偶问题在结构上存在 一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中，如果原问题是最大化问题，则对偶问 题是最小化问题，反之亦然。
在整数规划中，对偶问题的约束条件和目标函数通常 与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。
运筹学对偶问题
分析
另外，为了争取外来加工订货，在满足上述要 求的基础上，收费标准应尽可能低从而具有竞 争力，因此总的收费 w=15y1+10y2 应极小化。 这样，就得到一个目标函数：
minW 15y1 10 y2
这样，就得到另一个线性规划模型：
minW 15y1 10 y2 s.t. 3y1 5 y2 2 5 y1 2 y2 1 y1 0, y2 0
x1 2x2 3x3 4x4 3 x2 3x3 4x4 5 2x1 3x2 7x3 4x4 2 x1 0, x2, x3为自由变量, x4 0,
maxW 3y1 5 y2 2 y3 s.t.
y1 2 y3 3 2 y1 y2 3y3 2 3y1 3y2 7 y3 3 4 y1 4 y2 4 y3 4 y1 0, y2 0, y3为自由变量
解：
max Z x1 4x2 3x3 s.t.
2x1 3x2 5x3 2 3x1 x2 6x3 1 x1 x2 x3 4 x1 0, x2 0, x3为自由变量
minW 2 y1 y2 4 y3 s.t.
2 y1 3y2 y3 1 3y1 y2 y3 4 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3为自由变量
4x1 3x2 10
x1 x1
x2 x2
5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x 3 0, x 4 0
则，原问题变为
max Z 4x1 5x2 s.t.
（A） 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
minW 20 y1 10 y2 5 y3 s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
对偶问题的原理及应用
对偶问题的原理及应用1. 前言对偶问题是优化领域中一种重要的问题转化和求解方法，它通过转化原始问题为对偶问题，进而解决原始问题或者获得问题的一些有用信息。
本文将介绍对偶问题的原理以及其在优化问题中的应用。
2. 对偶问题的原理对偶问题是数学规划中一类常用的问题转化方法，它通过对原始问题进行变换，得到一个与原始问题等价的新问题。
对偶问题从不同的角度来看待原始问题，从而为求解或优化原始问题提供了一种新的视角。
对于一个标准形式的原始优化问题，其数学表示可以写成：minimize c^T xsubject to Ax <= bx >= 0其中，x是优化变量，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
对偶问题则可以表示为：maximize b^T ysubject to A^T y <= cy >= 0其中，y是对偶变量。
对偶问题的目标函数与原始问题的约束函数形式相似，而对偶问题的约束函数则与原始问题的目标函数形式相似。
3. 对偶问题的应用对偶问题在优化领域中的应用非常广泛，下面将介绍对偶问题在线性规划、凸优化和机器学习等领域的具体应用。
3.1 线性规划线性规划是对偶问题应用最为广泛的领域之一。
在线性规划中，对偶问题能够提供原始问题的下界，并且可以通过对偶问题的求解得到原始问题的最优解。
此外，在有些情况下，原始问题与对偶问题之间存在强对偶性，即原始问题与对偶问题的最优解相等。
3.2 凸优化对偶问题在凸优化中也有很多应用。
凸优化问题具有许多良好的性质，其中之一就是对偶问题的存在性和强对偶性。
通过对偶问题的求解，可以获得凸优化问题的最优解，并且可以通过对偶变量的解释来获得关于原始问题的一些有用信息。
3.3 机器学习对偶问题在机器学习中也有广泛的应用。
例如，在支持向量机（SVM）中，对偶问题的求解可以将原始问题转化为一个更简单的形式，从而提高求解效率。
此外，对偶问题还可以提供关于支持向量和间隔的有用信息，从而帮助理解和解释模型的性质。
对偶模型的转换方法
对偶模型的转换方法
1. 嘿，你知道嘛，直接替换法就像是给对偶模型换身衣服，超级简单的啦！比如把“白天”和“黑夜”进行直接替换呀。
2. 诶呀，参数调整法就像是给模型这个精密仪器微调旋钮呢！就好像把速度从慢调到快，神奇吧！比如调整温度的数值。
3. 哇塞，结构变换法，这可厉害啦，就如同给房子重新改造布局一样！像把一个长方形结构变成三角形结构，能看到完全不同的效果哦，比如对图形形状的变换。
4. 嘿呀嘿呀，元素增减法就好像给你的玩具箱里增加或拿走一些玩具哟！比如原本只有三个元素，现在增加两个。
5. 哎呀呀，顺序调整法不就是把东西重新排排队嘛，容易得很呢！比如把排队的顺序从高到低变成从低到高，这变化可不小呀！
6. 哇哦，特征提取法就像是从一堆宝藏中精准找到你想要的宝贝呀！像从一篇文章中提取出关键的主题，可有意思啦，比如从复杂数据中找出关键信息。
7. 嘿，分类归纳法，不就是给东西分分类嘛，就像把水果分成不同种类一样简单！比如把不同类型的动物归到不同类别里。
8. 哎呀，组合创新法，这就如同把不同的积木搭建成全新的形状呀！像把几个不同的想法组合在一起创造新的思路，多棒呀！比如把几个营销策略组合运用。
9. 哇，类比迁移法，这相当于把一个地方的好办法迁移到另一个地方呀！就和把甲地的成功经验用到乙地一样，真的很有用哦！比如根据一个案例来解决相似的问题。
总之，对偶模型的这些转换方法能让我们玩出好多花样呢，能解决好多问题呀，大家一定要好好掌握呀！。
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用解析
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用摘要线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化Linear Programming is the Original Problem and the Transformation ofthe Dual Problem and ApplicationsAbstract: Linear programming in operational research is research earlier, rapid development and wide application, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Can from different angles to linear programming dual problem for policy makers to provide more scientific theory basis. This article mainly probes into the linear programming problem and the relationship between the dual problem, linear programming problem and the transformation of the dual problem, the application of linear programming dual problem. This article is the complex of the original problem into its dual problem to be solved, simplifies the linear programming problem, enables us to rapidly find the optimal solution of linear programming problem.Keywords: linear programming; the original problem; the dual problem; conversion目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (2)2.3提出问题 (2)3 预备知识 (2)3.1对称形式的原问题 (2)3.2非对称形式的原问题 (3)3.3对偶问题的定义 (3)3.4原问题转化为对偶问题的理论依据 (4)4 原问题与对偶问题的转化 (5)4.1原问题与对偶问题的关系 (5)4.2对称型原问题化为对偶问题 (6)4.3对称型对偶问题转换为原问题 (9)4.4非对称型原问题转化为对偶问题 (10)4.5对偶问题的应用 (13)5 结论 (15)5.1主要发现 (15)5.2启示 (15)5.3局限性 (15)5.4努力方向 (15)参考文献 (15)1 引言线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息.2 文献综述2.1 国内外研究现状在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性. 崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中探讨了对偶理论的证明过程，并用常见的例子来说明对偶理论的基本思想和解题方法. 曾波，叶宗文在[13]中主要从经济管理的实际问题中阐述了线性规划的基本概念，基本原理，对偶理论，灵敏度分析等.2.2 国内外研究现状评价文献[1-15]分别探讨了线性规划问题中原问题转化为对偶问题的理论依据以及如何利用对偶理论去解决实际生产问题.文献中主要探讨了对称型的原问题转化为对偶问题的方法.没有全面介绍非对称型的原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，而且文献中对原问题转化为对偶问题的步骤提及甚少，大都一带而过，对应用中存在的问题也未给出详细深入的说明.2.3 提出问题在线性规划问题中,根据实际生产中具体情况的需要,我们常常要把原问题与它的对偶问题进行转换,以解决一些复杂的线性规划问题,因而对偶问题的应用较为广泛.但大部分书籍都只介绍了线性规划问题的基础知识，并没有给出原问题与对偶问题转换的具体步骤.因此本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，体会不同类型原问题的转化过程.3 预备知识首先我先简单的介绍一些关于线性规划问题中的原问题和对偶问题的一些基本的知识.3.1对称形式的原问题我们将满足下列条件的线性规划问题称之为具有对称形式的线性规划问题.这类问题的变量都具有非负约束，当目标函数求极大值时，它的约束条件都取“≤”号，当目标函数求极小值时它的约束条件均取“≥”号. 因而，这类数学模型的特点是：（1）所有的决策变量都是非负的；（2）所有的约束条件都是“≤”型；（3）目标函数是最大化类型.线性规划原问题的对称形式的]1[一般形式为：n n x c x c x c z +++= 2211m ax⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++),,2,1(0.22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n (3.1)3.2 非对称形式的原问题不是所有的线性规划问题都具有对称的形式，我们将没有对称形式的线性规划问题称之为非对称形式的线性规划问题.非对称形式的线性规划问题指的是一般情况下的线性规划问题，即是目标函数值求极小或者求极大；约束条件；，或是无限制的随意的组合.例如：332211m ax x c x c x c z ++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++=++≤++无约束321333323213123232221211313212111,0,0.x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s (3.2)3.3 对偶问题的定义在运筹学中，关于对线性规划的对偶规划给出的]2[定义如下.设给定的线性规划为：CX z =max⎩⎨⎧≥≤0.X b AX t s (3.2) 其中()T n x x x X ,,,21 =，()nm ij a A ⨯=，()T m b b b b ,,,21 =，()n c c c C ,,,21 = 因此，定义它的对偶问题为：Yb w =min⎩⎨⎧≥≥0.Y C YA t s (3.4) 其中()m y y y Y ,,,21 =是行向量. (3.4)是对偶问题，(3.3)是原问题，(3.3)与(3.4)合在一起我们就称为是一对对称形式的对偶规划问题.3.4原问题转化为对偶问题的理论依据我们根据线性规划问题中约束条件和变量的对应关系，统一归纳为下]3[1表所示：表14 原问题与对偶问题的转化一对对偶的线性规划问题表示了同一个问题的两个侧面，是从两个角度对同一个研究对象提出的极值问题，两类极值的问题都具有相同的目标函数值.我们发现在很多时候求解对偶问题比原问题更加容易，为决策者提供更多的科学理论依据，因此我们常常需要把原问题转化为对偶问题.4.1原问题与对偶问题的关系一对对偶的线性规划问题具有相互对应的关系：（1）原问题中的目标函数值是max ，约束条件是“≤”的形式；对偶问题的min 目标函数值为，”约束条件是“≥的形式.（2）原问题的价值系数和对偶问题的右端项对应，原始问题的右端项和对偶问题的价值系数对应.（3）原问题的变量和对偶问题的约束条件对应，即，原问题中有个n 变量，那么对偶问题就有个n 约束条件；原问题有个m 约束条件，那么对偶问题就有个m 变量.（4）对偶问题的系数矩阵就是原问题的系数矩阵的转置.用矩阵表示，原问题为：CX z =max⎩⎨⎧≥≤0..X b AX t s 则对偶问题为：Yb w =min⎩⎨⎧≥≥0..Y C YA t s 需要注意的是，我们所讨论的对偶问题一定是指一对问题，而原问题和对偶问题是相对的，它们互为对偶问题，一个问题可以是原问题也可以是对偶问题.4.2 对称型原问题转化为对偶问题当线性规划问题为一般形式（3.1）时，我们将根据下面的四条规则转换为它的对偶问题：（1）原问题和它的对偶问题之间的系数矩阵互为转置.（2）原问题中变量的个数等于它的对偶问题的约束条件的个数.（3）原问题的右端常数就是对偶问题的目标函数的系数.（4）原问题的目标函数求极大时，约束条件是“≤”类型，而它的对偶问题的目标函数求极小，约束条件则为“≥”类型.因此，它的对偶问题可以转变为如下的]4[形式：m m y b y b y b w +++= 2211m in⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+++≥+++≥+++),,1(0..22112222211211221111n i y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a t s i n m mn n n m m m m例1 生产计划问题云南一公司加工生产甲，乙两种产品，它的市场前景非常的好，销路也不成问题，各种制约因素主要有技术工人、设备台时和原材料供应.已知制造每吨产品的资源消耗系数、每天的资源限量和售价等参数如表2所示.问题：云南的这家公司应该怎样制定每天的生产计划，才能使它的产量得到最大？表2 分析：为了建立此问题的数学模型，第一，要选定决策变量.第二，要确定问题的目标，即用来评价不同方案优劣的标准，这种目标总是决策变量的函数，称为目标函数.第三，我们把要确定达到目标时所受的限制条件，称之为约束条件.这里要决策的问题是，在现有人力、设备、矿石的限制下，如何确定产量使得产值自大？设1x 和2x 分别表示该公司A ，B 产品的数量，用z 表示产值，则每天的产值表示为2115090x x z +=，使其最大化，即2115090m ax x x z +=，称为目标函数.将制约因素表达出来，即有：人力不超过320工时，为3206821≤+x x ；设备不超过260台时有，2608621≤+x x ；原材料不超过300公斤有，30010421≤+x x 。
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练习三
max Z 5 y1 4 y2 6 y3 y1 2 y2 2 y y 3 1 3 s.t. 3 y1 2 y2 y3 5 y1 y2 y3 1 y 0；y 0；y 无约束 2 3 1
max Z 3 x1 x2 2 x3 3 x1 2 x2 3 x3 6 s.t. x1 2 x2 x3 4 x 0, i 1,2,3 i
min w 6 y1 4 y2 3 y1 y2 3 2 y 2 y 1 1 2 s.t. 3 y y 2 1 2 y1 , y2为自由变量
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练习一
max Z 70x1 30x2 3x1 9 x2 540 5 x 5 x 450 1 2 s.t. 9 x1 3 x2 720 x1 , x2 0
max w 540y1 450y2 720y3 3 y1 5 y2 9 y3 70 s.t.9 y1 5 y2 3 y3 30 y 0, i 1,2,3 i
解为（50/9，350/27，0，0），值为8250
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对偶问题的实际意义：影子价格
Y*为影子价格，用于估计设备资源转让的费用。
• 当某种资源的市场价格低于影子价格时，应该买进 • 当某种资源的市场价格高于影子价格时，可以卖出
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引入对偶问题
前面的问题：自己用设备生产最大效益 对偶问题：把设备租赁出去最低费用
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引入对偶问题
对偶问题不能从字面理解为镜像问题 更好的翻译方法是 伴随问题
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引入对偶问题：举例
原变量
变量个数 n 个 第 j 个约束 Xj ≥ 0 Xj ≤ 0 Xj 自由变量
对偶约束条件
变量个数 n 个 第 j 个约束 ≥ ≤ ＝
优化目标大变小，常数－价值互相换，系数矩阵要转置，约束－变量捉对变
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练习一
max Z 70x1 30x2 3x1 9 x2 540 5 x 5 x 450 1 2 s.t. 9 x1 3 x2 720 x1 , x2 0
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对偶问题的形式
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
min w b1 y1 b2 y2 bn yn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a x a x a x b a y a y a y c 12 1 22 2 m2 m 2 21 1 22 2 2n n 2 s.t. s.t. a y a y a y c a x a x a x b 1n 1 2n 2 mn m n m1 1 m2 2 mn n m y j 0, 1 j m xi 0, 1 i n
某汽车配件厂生产甲、乙两种产品。两种产品都需要在A、B两种不同的设备上加工 ，每种产品在不同的设备上加工的工时、设备工时限制、这些产品销售收入如下表：
甲
A B
利润（元/个）
乙
6 9
有效工时
540 405
15 9
200
பைடு நூலகம்150
每生产1个甲产品，需要A设备工作15个单位时间，B设备工作9个单位时间。 每生产1个乙产品，需要A设备工作6个单位时间，B设备工作9个单位时间。
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引入对偶问题：举例
第一个问题：生产问题 另一个问题：出租问题
•
将A、B设备出租，在合理的利润条件下，消耗的资源至少是？
（1）变量：y1、y2为A、B两种设备对外加工时，单位工时的价格。 （2）约束条件（生产者接受）：“合理”的利润条件是指，如果把A、B设备租出去生产 甲，所得收入不应少于200元；把A、B设备租出去生产乙，所得收入不应小于150元。
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Lec. 8 Operational Research 对偶问题 dual
Oct. 2012
ZHU Tong Chang’an University E-mail:zhutongtraffic@
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提纲
• 引入对偶问题 • 对偶问题的实际意义 • 原问题如何转化为对偶问题
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练习三
min Z 2 x1 3x2 5 x3 x4 x1 x2 3x 3 x4 5 2 x1 2 x2 x4 4 s.t. x x x 6 2 3 4 x 0 ； x , x 0 ； x 4 无约束 1 2 3
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练习二
max Z 3 x1 x2 2 x3 3 x1 2 x2 3 x3 6 s.t. x1 2 x2 x3 4 x 0, i 1,2,3 i
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练习二
总结： 优化目标大变小，常数－价值互相换， 系数矩阵要转置，约束－变量捉对变。
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对偶问题的形式
原问题 原目标函数 max Z 原约束条件
变量个数 m 个 第 i 个约束 ≤ ≥ ＝
对偶问题 对偶目标函数 min w 对偶变量
变量个数 m 个 第 i 个约束 yi ≥ 0 yi ≤ 0 yi 自由变量
甲 A B
利润（元/个）
乙 6 9 150
有效工时 540 405
max Z 200x1 150x2 15x1 6 x2 540 s.t. 9 x1 9 x2 405 x1 , x2 0
15 9 200
解为（30,15,0,0），最优值为8250
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1个甲产品利润200元/个；1个乙产品利润150元/个
A设备最多工作540小时; B设备最多工作405小时
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引入对偶问题：举例
某汽车配件厂生产甲、乙两种产品。两种产品都需要在A、B两种不同的设备上加工 ，每种产品在不同的设备上加工的工时、设备工时限制、这些产品销售收入如下表：
（3）目标函数（收购方意愿）：要租A、B设备，收购费用最少是多少。
甲 A B
利润（元/个）
乙 6 9 150
有效工时 540 405
15 9 200
15y1 9 y2 200 s.t. 6 y1 9 y2 150 y1 , y2 0 min w 540x1 405x2