第3章线性代数矩阵的初等变换与线性方程组PPT课件
合集下载
线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组PPT课件
求F，并求一个可逆矩阵 P，使 P A F.
35
三、小结
1 r i r jc i c j;
1.初等行(列)变换 2 r i k c i k ;
3 r i k jc ir k j.c
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 2. A 初等变换 B A ~B . 3.矩阵等价具有的性质
F
矩阵 F称为B 矩 的阵 标.准形
22
特点：F的左上角是一阵 个， 单其 位余 矩元 为零 .
mn矩阵 A总可经过初等标 变准 换形 化为
FEr O O Omn
此标准m 形 ,n,由 r三个数唯一确r定 就， 是其 行阶梯形矩阵的 中行 非 . 数 零行
所有与矩阵A 等价的矩阵组成的一个集 合，称为一个等价类，标准F形 是这个等价类 中最简单的矩阵.
1 0 0 1 3 2 r2（2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（1）
r2
（2）1 A01
101003
13 33
3532.
52
r3 （1）0
0
2 11
2 1
121 21
29
利用初等行变 的换 方求 法逆 ，阵 还可 矩阵 A1B.
A 1 (A B ) (E A 1 B )
即
(A B)
2 3
(B1 )
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2x3 x4 4,
2 3
4
3 21
31
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
3x2 3x3 4x4 3,
线性代数课件 矩阵的初等变换与线性方程组.
4
定理 2 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl
推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A ~ E
推论2 mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB 若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1)
8
基本题型
求矩阵的秩和极大无关组
基本方法 : 用初等列（行）变换将矩阵变 为列（行）阶梯阵。讨论矩阵的秩.
与求向量组的秩和极大无关x=0 有非零解 R(A)<n.
Ax 0
线 性 方 程 组
求 解
1.化系数矩阵为最简形. 2.找等价的方程组.
3.写通解. Ax=b 有解 R(A)=R(B).
Ax b
求 解
1.把增广矩阵B化为最简形. 2. 找等价的方程组. 3.写通解.
10
定理4 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b) (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n 定理5 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b) 定理6 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是 R(A)n
3
初等矩阵
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵都是可逆的 并且 E(i j)1E(i j) E (i ( k )) 1 E (i ( 1 )) E(ij(k))1E(ij(k)) k
• 初等阵与初等变换的关系 • 左乘------行变换 • 右乘------列变换
r
5
解矩阵方程：基本方法是初等变换.
E, X ， （2）AX=B 用（A，B）
定理 2 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl
推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A ~ E
推论2 mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB 若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1)
8
基本题型
求矩阵的秩和极大无关组
基本方法 : 用初等列（行）变换将矩阵变 为列（行）阶梯阵。讨论矩阵的秩.
与求向量组的秩和极大无关x=0 有非零解 R(A)<n.
Ax 0
线 性 方 程 组
求 解
1.化系数矩阵为最简形. 2.找等价的方程组.
3.写通解. Ax=b 有解 R(A)=R(B).
Ax b
求 解
1.把增广矩阵B化为最简形. 2. 找等价的方程组. 3.写通解.
10
定理4 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b) (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n 定理5 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b) 定理6 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是 R(A)n
3
初等矩阵
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵都是可逆的 并且 E(i j)1E(i j) E (i ( k )) 1 E (i ( 1 )) E(ij(k))1E(ij(k)) k
• 初等阵与初等变换的关系 • 左乘------行变换 • 右乘------列变换
r
5
解矩阵方程：基本方法是初等变换.
E, X ， （2）AX=B 用（A，B）
同济大学线性代数课件__第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0 6 0
B4
2020/12/12
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3 0
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
令 x3 c
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
3x2 3x3 4x4 3, ④
2020/12/12
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
④ 12③
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11
x2 3x2
x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
②③
③2①
④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
1
1
01
第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
2020/12/12
17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
0831矩阵的初等变换PPT课件
程 学
其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是
院 最简单的 而且是最容易求解的.
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
7
x4 x4 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
B2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1 7
922
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2.
矩阵A与B行等价 记作 A ~r B.
生 物
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称
医 学
矩阵A与B列等价 记作 A ~c B.
工
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩
程
学 阵A与B等价 记作 A ~ B.
院 ❖等价关系的性质
(i)反身性 A~A
(ii)对称性 若A~B 则B~A
(iii)传递性 若A~B B~C 则A~C .
一个元素为非零元，即非零行的第一个非零
元．
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵：
•各非零行首非零元素分布在不同列
生
物 医
•当有零行时，零行在矩阵的最下端
学
工 程 学 院
3 2
2 0
5 1
131
1 4 9
0 5
0 0
3 1 2 5
0 1 6 7
0 0
5 0
3 2
4 1
0 2 6 0 0 3
物
免费第3章课件 线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是
什么？
A B , 如何把它们用等号联系起来？
-17-
T 回顾 ei A ? Ae j ?
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 r1 r3 a 23 a 33
a 31 a 32 a 21 a 22 a11 a12
( 2) kci ( k 0) ( 3) ci kc j
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
-6-
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 kri ri 逆变换 k ri krj 逆变换 ri kr j
初等列变换也有类似的结果
-7-
B [ Ae1 , Ae2 , A( ke3 )] A[e1 , e2 , ke3 ]
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的右边！
方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 1 2 4 ~ A 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程
组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里
就不区分了)
2 1 2 4 ~ r1 r2 A 1 1 2 1 4 1 4 2
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
什么？
A B , 如何把它们用等号联系起来？
-17-
T 回顾 ei A ? Ae j ?
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 r1 r3 a 23 a 33
a 31 a 32 a 21 a 22 a11 a12
( 2) kci ( k 0) ( 3) ci kc j
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
-6-
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 kri ri 逆变换 k ri krj 逆变换 ri kr j
初等列变换也有类似的结果
-7-
B [ Ae1 , Ae2 , A( ke3 )] A[e1 , e2 , ke3 ]
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的右边！
方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 1 2 4 ~ A 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程
组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里
就不区分了)
2 1 2 4 ~ r1 r2 A 1 1 2 1 4 1 4 2
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
《线性代数》课件第3章
2.加法交换律 : A + B = B + A; 3. A + 0m×n = A; 4. A + (−A) = 0m×n; 5. a(A + B) = aA + bB; 6. (a + b)A = aA + bA; 7. (ab)A = a(bA).
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换. 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性
方程组是最简单的 而且是最容易求解的.
首页
上页
返回
下页
结束
§3.2 初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算 这有着广泛的应用.
首页
上页
返回
下页
结束
初等矩阵
例如
由单位矩阵E经过一次初等变 换得到的矩阵称为初等矩阵.
E(i j)表示对调单位矩阵E的第 i j两行(列)得到的初等矩阵.
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
天
津
师 范
§3.1 矩阵的初等变换
大
学 计 算
§3.2 初等矩阵
机
与 信
§3.3 矩阵的秩
息
工 程 学
§3.4 线性方程组的解
院
郑 陶 然
§3.1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨 中都可起重要的作用.
线性代数 第三章矩阵初等变换与线性方程组
3 7 2 7 0 0
13 7 4 7 0 0
13 7 4 7 0 0
13 3 13 x1 x3 x4 7 7 7 x 4 2 x 4 x 7 7 3 7 4 2
令
x3 c1 , x4 c2 (c1 , c2为任意常数）
18
3 0 0
2
k
k2 4 0 1 2 k 3 3 1 2
3 0 0
k 2 5 18 5k 2 1 k 3 3 2
2 1 0 k 2 4 1 2 k k 1 3 3
18 5k
线性方程组的解
设一般线性方程组为
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am 1 x1 am 2 x2
பைடு நூலகம்
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
(1)
线性方程组有解，我们称它们是相容的；如果无解，则 称它们是不相容的。 方程（1）对应的矩阵方程为
定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程 （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程 （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得 到的新的线性方程组与原方程组同解。 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩 阵；做初等行变换
B ( A, b )
最后一行有
0 x3 1,
8
可知方程组无解。
x1 2 x2 3 x3 x2 x3 例：解线性方程组 x1 3 x2 7 x2 3 x3
1 0 解： ( A, b ) 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 2 4 2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 4 1 3 1 1 0 1 0
线性代数课件_第3章_矩阵的初等变换与线性方程组
-13-
定理 (等价标准形定理 等价标准形定理) 等价标准形定理 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形 等价标准形（ 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称 相抵标准形）： 相抵标准形）：Er Fra bibliotek O O
等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
-14-
例2
（接例1） 接例 ）
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 3 6 9 7
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
-10-
只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 定理 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一， 唯一。 唯一。
-8-
在 m × n 的矩阵集合 R 中的一个等价关系? 中的一个等价关系
m×n
A r 中, 如果
B ,
具有行相抵的关系,问行相抵是不是 行相抵的关系 则称 A 与 B 具有行相抵的关系 问行相抵是不是 R m × n
Gauss消元法的思想又可表述为 在与方程组增 消元法的思想又可表述为, 消元法的思想又可表述为 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的 找一个最简单的,然后求解 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组. 这个最简单的矩阵所对应的方程组 以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行 最简阶 以后我们把这个最简单的矩阵叫做 行)最简阶 梯形矩阵. 梯形矩阵
a11 = a 21 a 31
a12
a 22 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E (i(k) )1E (i(k 1)) E (i,j(k ) 1 ) E (i,j( k ))
1 0 0 1 0 0
0
1
0
0
1 0 ?
k 0 1 k 0 1
-9-
定理 (左行右列原则) 对一个矩阵施行一次初等行变换，相当于在它 的左边乘以一个相应的初等矩阵；对一个矩阵施行 一次初等列变换，相当于在它的右边乘以一个相应 的初等矩阵。
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
r3kr1
a11 a21
a12 a22
a13 a23 B
a31 a32 a33
a31k1a1a32k1a2 a33k1a3
B
1 0 0a11 a12 a13 0 1 0a21 a22 a23 k 0 1a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！
a31 a32 a33
a11 a12 ka13 a21 a22 ka23 B a31 a32 ka33
a11 a12 a131 0 0 Ba21 a22 a230 1 0
a31 a32 a330 0 k
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
1
E
(i(k
))
k
i行
1
1
i列
(3) 对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵.
i列
j列
1
E(i,j(k))1 i行
k
1
j行
1
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0
1
0
r1 r3
0
1
0
c1c3
0
1
0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
E(1,3)
1 0 0
1 0 0 4 5 60 1 0 0 0 1 7 8 90 0 1
1 2 320081
4 5 620084 7 6 920087
根据“左行右列”原则和“等价标准形定理”
Amn EOr
O O
得一些有用的推论：
推论1 存在有限个初等矩阵 P1,P2, ,Ps和 Q 1,Q 2, ,Q t使得
P s P 2P 1A1Q Q 2 Q t E O r O O
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
c2c3
a11 a21
a13 a23
a12 a22 B
a31 a32 a33
a31 a33 a32
a11 a12 a131 0 0 Ba21 a22 a230 0 1
a31 a32 a330 1 0
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 kc 3
在推论 1 中如果 A 可逆, 右边的标准形是什么？ P s P 2 P 1 A 1 Q 2 Q Q t E
A P 1 1 P s 1 Q t 1 Q 1 1
注意到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得
推论2 任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵 的乘积。从而, 矩阵可逆的充要条件是它可分解为 有限初等矩阵的乘积。
-10-
例如：
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
r1r3
a31 a21
a32 a22
a33 a23 B
a31 a32 a33
a11 a12 a13
0 0 1a11 a12 a13 B0 1 0a21 a22 a23
1 0 0a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！
设 A 是可逆矩阵,则A-1也是可逆矩阵,由推论2， A-1 可分解为初等矩阵的乘积：A1Pl P2P 1
A 1 A E P l P 2 P 1 A E 把上式用左行右列原则看又得：
推论3 A 可逆的充要条件是 A rE.
根据以上分析， (1) 用可逆矩阵P左乘矩阵A , 相当于对A作了一
系列的初等行变换，反之…. (2) 用可逆矩阵Q右乘矩阵A , 相当于对A作了一
系列的初等列变换，反之….
推论4 A 与 B 等价(即 A B)的充要条件是存在
1 0 0
1 0 0
0
1
0
kr 3
0
1
0
kc 3
0
1
0
0 0 1
0 0 k
0 0 1
E(3(k))
1
0
0
0 1 0
0
1
0
r3k1r
0
1
k
0 1 0
0
0
1
1 c1kc3 0
0
0 1 0
0
0
1
E(3,1(k))
-8-
定理 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是 同一种初等矩阵。 E (i,j)1E (i,j)
AB, 如何把它们用等号联系起来？
-3-
定义 由单位矩阵E经过一次初等变换，得到的矩阵称
为初等矩阵。 初等矩阵有下列3种:
-4-
(1) 对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵.
i列
j列
1
0 1
i行
1
E
(i,
j
)
1
1 0
j行
1
(2) 对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵.
1
0 0 2 0 1 0
2 1 0 1 0 0 将A 0 2 1右乘0 0 1,所得等于______。 _
0 0 2 0 1 0
2 1 0
1 0
2、A 0 2 1左乘矩阵 0 0
0 0 2
0 1
1 0 0 右乘矩阵 0 1 3 ______.
0 0 1
0 1 ______，接着 0
思考
0 1 020018 2 31 0 12008
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
-2-
§3.2 初等矩阵
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是 什么？
c3kc1
a11 a21
a12 a22
a13ka11 a23ka21B
a31 a32 a33
a31 a32 a33ka31
a11 a12 a131 0 k Ba21 a22 a230 1 0
a31 a32 a330 0 1
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！
3 3 0 1 0 0 1.将A 0 2 1左乘0 0 1,所得等于______； _
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
kr2
a31 a32 a33
a11 ka21 a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 B a33
1 0 0a11 a12 a13 B0 k 0a21 a22 a23
0 0 1a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！
1 0 0 1 0 0
0
1
0
0
1 0 ?
k 0 1 k 0 1
-9-
定理 (左行右列原则) 对一个矩阵施行一次初等行变换，相当于在它 的左边乘以一个相应的初等矩阵；对一个矩阵施行 一次初等列变换，相当于在它的右边乘以一个相应 的初等矩阵。
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
r3kr1
a11 a21
a12 a22
a13 a23 B
a31 a32 a33
a31k1a1a32k1a2 a33k1a3
B
1 0 0a11 a12 a13 0 1 0a21 a22 a23 k 0 1a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！
a31 a32 a33
a11 a12 ka13 a21 a22 ka23 B a31 a32 ka33
a11 a12 a131 0 0 Ba21 a22 a230 1 0
a31 a32 a330 0 k
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
1
E
(i(k
))
k
i行
1
1
i列
(3) 对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵.
i列
j列
1
E(i,j(k))1 i行
k
1
j行
1
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0
1
0
r1 r3
0
1
0
c1c3
0
1
0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
E(1,3)
1 0 0
1 0 0 4 5 60 1 0 0 0 1 7 8 90 0 1
1 2 320081
4 5 620084 7 6 920087
根据“左行右列”原则和“等价标准形定理”
Amn EOr
O O
得一些有用的推论：
推论1 存在有限个初等矩阵 P1,P2, ,Ps和 Q 1,Q 2, ,Q t使得
P s P 2P 1A1Q Q 2 Q t E O r O O
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
c2c3
a11 a21
a13 a23
a12 a22 B
a31 a32 a33
a31 a33 a32
a11 a12 a131 0 0 Ba21 a22 a230 0 1
a31 a32 a330 1 0
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 kc 3
在推论 1 中如果 A 可逆, 右边的标准形是什么？ P s P 2 P 1 A 1 Q 2 Q Q t E
A P 1 1 P s 1 Q t 1 Q 1 1
注意到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得
推论2 任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵 的乘积。从而, 矩阵可逆的充要条件是它可分解为 有限初等矩阵的乘积。
-10-
例如：
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
r1r3
a31 a21
a32 a22
a33 a23 B
a31 a32 a33
a11 a12 a13
0 0 1a11 a12 a13 B0 1 0a21 a22 a23
1 0 0a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！
设 A 是可逆矩阵,则A-1也是可逆矩阵,由推论2， A-1 可分解为初等矩阵的乘积：A1Pl P2P 1
A 1 A E P l P 2 P 1 A E 把上式用左行右列原则看又得：
推论3 A 可逆的充要条件是 A rE.
根据以上分析， (1) 用可逆矩阵P左乘矩阵A , 相当于对A作了一
系列的初等行变换，反之…. (2) 用可逆矩阵Q右乘矩阵A , 相当于对A作了一
系列的初等列变换，反之….
推论4 A 与 B 等价(即 A B)的充要条件是存在
1 0 0
1 0 0
0
1
0
kr 3
0
1
0
kc 3
0
1
0
0 0 1
0 0 k
0 0 1
E(3(k))
1
0
0
0 1 0
0
1
0
r3k1r
0
1
k
0 1 0
0
0
1
1 c1kc3 0
0
0 1 0
0
0
1
E(3,1(k))
-8-
定理 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是 同一种初等矩阵。 E (i,j)1E (i,j)
AB, 如何把它们用等号联系起来？
-3-
定义 由单位矩阵E经过一次初等变换，得到的矩阵称
为初等矩阵。 初等矩阵有下列3种:
-4-
(1) 对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵.
i列
j列
1
0 1
i行
1
E
(i,
j
)
1
1 0
j行
1
(2) 对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵.
1
0 0 2 0 1 0
2 1 0 1 0 0 将A 0 2 1右乘0 0 1,所得等于______。 _
0 0 2 0 1 0
2 1 0
1 0
2、A 0 2 1左乘矩阵 0 0
0 0 2
0 1
1 0 0 右乘矩阵 0 1 3 ______.
0 0 1
0 1 ______，接着 0
思考
0 1 020018 2 31 0 12008
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
-2-
§3.2 初等矩阵
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是 什么？
c3kc1
a11 a21
a12 a22
a13ka11 a23ka21B
a31 a32 a33
a31 a32 a33ka31
a11 a12 a131 0 k Ba21 a22 a230 1 0
a31 a32 a330 0 1
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！
3 3 0 1 0 0 1.将A 0 2 1左乘0 0 1,所得等于______； _
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
kr2
a31 a32 a33
a11 ka21 a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 B a33
1 0 0a11 a12 a13 B0 k 0a21 a22 a23
0 0 1a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！