第3章线性代数矩阵的初等变换与线性方程组PPT课件

a11 A a21
a12 a22
a13 a23
c2c3
a11 a21
a13 a23
a12 a22 B
a31 a32 a33
a31 a33 a32
a11 a12 a131 0 0 Ba21 a22 a230 0 1
a31 a32 a330 1 0
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 kc 3
1 0 0 4 5 60 1 0 0 0 1 7 8 90 0 1
1 2 320081
4 5 620084 7 6 920087
根据“左行右列”原则和“等价标准形定理”
Amn EOr
O O
得一些有用的推论：
推论1 存在有限个初等矩阵 P1,P2, ,Ps和 Q 1,Q 2, ,Q t使得
P s P 2P 1A1Q Q 2 Q t E O r O O
0 0 2 0 1 0
2 1 0 1 0 0 将A 0 2 1右乘0 0 1,所得等于______。 _
0 0 2 0 1 0
2 1 0
1 0
2、A 0 2 1左乘矩阵 0 0
0 0 2
0 1
1 0 0 右乘矩阵 0 1 3 ______.
0 0 1
0 1 ______，接着 0
思考
0 1 020018 2 31 0 12008
c3kc1
a11 a21
a12 a22
a13ka11 a23ka21B
a31 a32 a33
a31 a32 a33ka31
a11 a12 a131 0 k Ba21 a22 a230 1 0
a31 a32 a330 0 1
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！
3 3 0 1 0 0 1.将A 0 2 1左乘0 0 1,所得等于______； _
-10-
例如：
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
r1r3
a31 a21
a32 a22
a33 a23 B
a31 a32 a33
a11 a12 a13
0 0 1a11 a12 a13 B0 1 0a21 a22 a23
1 0 0a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！
a31 a32 a33
a11 a12 ka13 a21 a22 ka23 B a31 a32 ka33
a11 a12 a131 0 0 Ba21 a22 a230 1 0
a31 a32 a330 0 k
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的右边！
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
kr2
a31 a32 a33
a11 ka21 a31
a12 ka22 a32
a13 ka23 B a33
1 0 0a11 a12 a13 B0 k 0a21 a22 a23
0 0 1a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！
E (i(k) )1E (i(k 1)) E (i,j(k ) 1 ) E (i,j( k ))
1 0 0 1 0 0
0
1
0
0
1 0 ?
k 0 1 k 0 1
-9-
定理 (左行右列原则) 对一个矩阵施行一次初等行变换，相当于在它 的左边乘以一个相应的初等矩阵；对一个矩阵施行 一次初等列变换，相当于在它的右边乘以一个相应 的初等矩阵。
1 0 0
1 0 0
0
1
0
kr 3
0
1
0
kc 3
0
1
0
0 0 1
0 0 k
0 0 1
E(3(k))
1
0
0
0 1 0
0
1
0
r3k1r
0
1
k
0 1 0
0
0
1
1 c1kc3 0
0
0 1 0
0
0
1
E(3,1(k))
-8-
定理 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是 同一种初等矩阵。 E (i,j)1E (i,j)
a11 A a21
a12 a22
a13 a23
r3kr1
a11 a21
a12 a22
a13 a23 B
a31 a32 a33
a31k1a1a32k1a2 a33k1a3
B
1 0 0a11 a12 a13 0 1 0a21 a22 a23 k 0 1a31 a32 a33
把单位矩阵作同样变换得到 的矩阵放在A的左边！
设 A 是可逆矩阵,则A-1也是可逆矩阵,由推论2， A-1 可分解为初等矩阵的乘积：A1Pl P2P 1
A 1 A E P l P 2 P 1 A E 把上式用左行右列原则看又得：
推论3 A 可逆的充要条件是 A rE.
根据以上分析， (1) 用可逆矩阵P左乘矩阵A , 相当于对A作了一
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
-2-
§3.2 初等矩阵
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是 什么？
1
E
(i(k
))
k
i行
1
1
i列
(3) 对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵.
i列
j列
1
百度文库
E
(i
,
j(k
))
1
i行
k
1
j行
1
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0
1
0
r1 r3
0
1
0
c1c3
0
1
0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
E(1,3)
1 0 0
AB, 如何把它们用等号联系起来？
-3-
定义 由单位矩阵E经过一次初等变换，得到的矩阵称
为初等矩阵。 初等矩阵有下列3种:
-4-
(1) 对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵.
i列
j列
1
0 1
i行
1
E
(i,
j
)
1
1 0
j行
1
(2) 对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵.
1
在推论 1 中如果 A 可逆, 右边的标准形是什么？ P s P 2 P 1 A 1 Q 2 Q Q t E
A P 1 1 P s 1 Q t 1 Q 1 1
注意到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得
推论2 任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵 的乘积。从而, 矩阵可逆的充要条件是它可分解为 有限初等矩阵的乘积。
系列的初等行变换，反之…. (2) 用可逆矩阵Q右乘矩阵A , 相当于对A作了一
系列的初等列变换，反之….
推论4 A 与 B 等价(即 A B)的充要条件是存在