2010重庆文数(含答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学 (文史类)数学试题卷（文史类）共4页。

满分150分。

考试时间l20分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的． （1）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（A ）4（B ）6（C ）10（D ）20（2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（A ）5（B ）6（C ）8（D ）10（3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =，则实数m 的值为（A ）32-（B ）32（C ）2 （D ）6（4）函数y =的值域是（A ）[0,)+∞（B ）[0,4]（C ）[0,4)（D ）(0,4)（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（A ）7 （B ）15 （C ）25 （D ）35（6）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （A ）sin(2)2y x π=+（B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+（D ）cos()2y x π=+（7）设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为（A ）0（B ）2（C ）4（D ）6（8）若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为 （A）(2 （B）[2（C）(,2(22,)-∞++∞（D）(2（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A ）只有1个（B ）恰有3个（C ）恰有4个（D ）有无穷多个（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A ）30种（B ）36种（C ）42种（D ）48种二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）设{}{}|10,|0A x x B x x =+>=<，则AB =____________ .（12）已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ .（13）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，2AF =，则BF =_ _ .（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n项和n T .（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.（18）（本小题满分13分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数. (Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间上的最大值和最小值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题（21）图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ： 1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OG OH 的值.参考答案1-10 BADCB ACDDC二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）解析：{}{}{}|1|0|10x x x x x x >-⋂<=-<<（12）解析：241142(0)t t y t t t t-+==+-≥->，当且仅当1t =时，min 2y =-（13）解析：由抛物线的定义可知12AF AA KF === AB x ∴⊥轴 故AF =BF =2（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=（15）解析：232312311coscossinsincos33333ααααααααα++++-=又1232αααπ++=，所以1231cos32ααα++=-三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）解：（I ）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列，所以,212)1(219+-=--=n n a n2)1(19++=∆n n n S（II ）由题意,31+=-n n n a b 所以,1+=n n b b.21320)331(21-++-=++++=-n n n n n n S T（17）解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有3026=A 种等可能的结果。

（I ）设A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”则A 包含的结果有623=A 种，故所求概率为.51306)(==A P （II ）设B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”则B 表示甲、乙两单位序号相邻，B 包含的结果有10!25=⨯种。

从而.3230101)(1)(=-=-=B P B P （18）解：（I ）由余弦定理得,3222cos 222=-+=bc a c b A又.31cos 1sin ,02=-=<<A A A 故π （II ）原式AA A 2cos 1)4sin()4sin(2-+-+=πππAA A 2sin 2)4sin()4sin(2ππ++=AA A A A 2sin 2)cos 22sin 22)(cos 22sin 22(2-+=.27sin 2cos sin 222-=-=A A A （19） 解：（Ⅰ）由题意得.23)(2b x ax x f ++='因此)(.)2()13()()()(22x g b x b x a ax x f x f x g 因为函数+++++='+=是奇函数，所以,),()(x x g x g 即对任意实数-=-有],)2()13([))(2())(13()(2223b x b x a ax b x b x a x a +++++-=+-++-++-从而的解析表达式为因此解得)(,0,31,0,013x f b a b a =-===+.31)(23x x x f +-=（Ⅱ）由（Ⅰ）知2,0)(,2)(,231)(122-=='+-='+-=x x g x x g x x x g 解得令所以，),2[],2,()(,0)(,22,22+∞--∞<'>-<=在区间从而时或则当x g x g x x x 上是减函数；当,22时<<-x ,0)(>'x g 从而)(x g 在区间]2,2[-上是增函数。

由前面讨论知，,2,2,1]2,1[)(时取得能在上的最大值与最小值只在区间=x x g而.34)2(,324)2(,35)1(===g g g 因此上的最大值为在区间]2,1[)(x g324)2(=g ，最小值为.34)2(=g（20）（I ）证明：如答（20）图1，由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AB ，由PA=AB 知PAB ∆为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB 由题意知BC ⊥AB ，又AB 是PB 在面ABCD 内的射影， 由垂线定理得BC ⊥PB ，从而PC ⊥平面PAB ， 因AE ⊥BP ，AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面PBC 。

（II ）解：由（I ）知BC ⊥平面PAB ，又AD//BC ，得AD ⊥平面PAB ，故AD ⊥AE 。

在PAB Rt ∆中，PA=AB=2，.1212122=+==AB PA PB AE 从而在2.2,22==+=∆CD BC BE CE CBE Rt 又中，所以CED ∆为等边三角形，取CE 的中点F ，连接DF ，则.CE DF ⊥因BE=BC=1，且BC ⊥BE ，则EBC ∆为等腰直角三角形，连接BF ，则BF ⊥CE ，所以BFD ∠为所求的二面角的平面角。

连接BD ，在RFD ∆中，.3,2221,263sin 22=+====⋅=CD BC BD CE BF CD DF π所以.332cos 222-=⋅⋅-+=BF DF BD BF DF BFD 故二面角B —EC —D 的平面角的余弦值为.33- 解法二：（I ）如答（20）图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A —xyz.设D （0，a ，0），则)0,,2(),0,0,2(a C B)22,0,22(),2,0,0(E P . 于是)0,,0(),22,0,22(a BC AE == )2,,2(-=a PC则0,0=⋅=⋅，所以AE ⊥平面PBC.（II ）解：设平面BEC 的法向量为n ，由（I ）知，AE ⊥平面BEC ， 故可取)22,0,22(1--==n 设平面DEC 的法向量),,(2222z y x n =，则02=⋅n ，.02=⋅DE n由 ||AD =1，得)0,1,2(),0,1,0(C D 从而),22,1,22(),0,0,2(-== 故⎪⎩⎪⎨⎧=+-=02222,02222z y x x 所以.2,0222y z x == 可取)2,1,0(,122==n y 则 从而.33||||,cos 212121-=⋅⋅=n n n n n n 所以二面角B —EC —D 的平面角的余弦值为.33-（21）（本题12分）解：（I ）设C 的标准方程是)0,0(12222>>=-b a by a x ， 则由题意.25,5===a c e c 因此,1,222=-==a c b aC 的标准方程为.1422=-y x C 的渐近线方程为.0202,21=+=-±=y x y x x y 和即 （II ）解法一：如图（21）图，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+442=+E y y 故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E E设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=+,02,4402,44y x y y x x y x y y x x E E E E 及 解得.2224,22,24⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=E E N E E N E E C E E C y x y y x x y x y y x x 故E E E E E E E E y x y x y x y x OG OG 22222424-⋅+--⋅+=⋅ .41222EE y x -= 因为点E 在双曲线.44,142222=-=-E E y x y x 有上 所以.341222=-=⋅EE y x 解法二：设),(E E y x E ，由方程组得⎩⎨⎧=+=+,44,442211y y x x y y x x 解得,,)(4122121122112y x y x x x y y x y x y y x E E --=--= 故直线MN 的方程为).(411x x y x y y EE --=-注意到,4411=+E E y y x x 因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E ， 下同解法一.。