单摆运动的描述

单摆运动的描述

（1）无阻尼单摆（小角度）

20

+*sin()0θωθ= 上式中令 sin()θθ=，201ω=得到如下方程：

+0θθ=

上述方程即为相图的方程，可由此方程画出无阻尼单摆在小角度下的相图：

代码如下：

%w0=2

%E=2时

syms x y ;%x 表示角度,y 表示角速度

ezplot('x.^2+4*y.^2-4'),hold on

%E=3时

syms x y ;

ezplot('x.^2+4*y.^2-6'),hold on

%E=4时

syms x y ;

ezplot('x.^2+4*y.^2-8'),hold on

%E=0.5时

syms x y

ezplot('x.^2+4*y.^2-1'),hold on

xlabel('角度')

ylabel('角速度')

title('无阻尼小角度单摆运动相图')

上图中不同的同心椭圆表示在不同的能量下单摆的运动相图，在画上图时，令02ω=，改变能量E 得到一簇同心椭圆。改变0ω会改变椭圆的形状，当01ω=时，椭圆变成圆。

下面时无阻尼小角度单摆的运动轨迹分析：

此时只要求解上述的微分方程，然后改变其中的初始条件00(,)θω即可，其中求解微分方程的代码如下：

%w0=1时

%初始角度为pi/4时

dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y 表示角度，Dy 表示角速度 %初始角度为pi/3时

dsolve('D2y1+y1=0','y1(0)=pi/3,Dy1(0)=0','t')%此时令y1为角度

%初始角度为pi/2时

dsolve('D2y2+y2=0','y2(0)=pi/2,Dy2(0)=0','t')%此时用y3表示角度 画图的代码如下：

%初始角度为pi/4时

t=0:pi/50:4*pi;

y=(pi*cos(t))/4;

plot(t,y),hold on

%初始角度为pi/3时

y=(pi*cos(t))/3;

plot(t,y,'r'),hold on

%初始角度为pi/2时

y=(pi*cos(t))/2;

plot(t,y,'g'),hold on

xlabel('时间')

ylabel('角度')

title('无阻尼小角度单摆在不同初始角度下的运动轨迹')

legend('初始角度为pi/4的图','初始角度为pi/3的图','初始角度为pi/2的图') 出的图如下：

当初始角度固定不变，改变初始角速度时，也会画出图，此时将初始角度固定为pi/4，画这些图首先需要求解运动方程，求解方法和上述相同，求解微分方程的代码如下：

%研究初始角度相同，初始角速度不同的时候单摆的运动轨迹

%此时都令初始的角度为pi/4

%初始角速度为0时

dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y表示角度，Dy表示角速度

%初始角速度为1时

dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=1','t')%用y表示角度，Dy表示角速度

%初始角速度为2时

dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','t')%用y表示角度，Dy表示角速度

%初始角速度为3时

dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=3','t')%用y表示角度，Dy表示角速度

下面是画图的代码：

t=0:pi/50:4*pi;

%w0=0

y=(pi*cos(t))/4;

plot(t,y),hold on

%w0=1

y=sin(t) + (pi*cos(t))/4;

plot(t,y,'r'),hold on

%w0=2

y=2*sin(t) + (pi*cos(t))/4;

plot(t,y,'g'),hold on

%w0=3

y=3*sin(t) + (pi*cos(t))/4;

plot(t,y,'c'),hold on

xlabel('时间')

ylabel('角度')

title('相同初始角度，不同初始角速度下的运动轨迹')

legend('初始角速度为0的图','初始角速度为1的图','初始角速度为2的图','初始角速度为3的图')

画出的图如下：

（2）倒立摆分析 倒立摆的方程为-=0ϕϕ ，和小角度摆相同的是，同样通过求解方程得出运动轨迹，

根据上式直接画出相图。

画图的代码如下：

%倒立摆的运动相图绘制

%w0=1

syms y x ;

%E=0时

h=ezplot('y^2-x^2'),hold on

set(h,'color','c')

%E=1时

ezplot('y^2-x^2-2'),hold on

%E=2时

h=ezplot('y^2-x^2-4'),hold on

set(h,'color','r')

%E=3时

h=ezplot('y^2-x^2-6'),hold on

set(h,'color','b')

%E=4时

h=ezplot('y^2-x^2-8'),hold on

set(h,'color','k')

xlabel('角度')

ylabel('角速度')

title('倒立摆的相图')

legend('E=0的图','E=1的图','E=2的图','E=3的图','E=4的图')画出的图如下：

其中E=0的图表示渐近线。

下面分析倒立摆的运动轨迹：

<1>固定初始角速度为0，改变初始角度

求解微分方程代码如下：

%倒立摆的运动轨迹求解

%初始角速度为0,改变初始角度

%初始角度为pi/4

dsolve('D2y-y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')