不定方程选讲

不定方程选讲

一、一次不定方程（组）

1．求不定方程x +y +z =2007正整数解的个数。 2．求不定方程2x +3y +5z =15的正整数解。 3．解不定方程11x +15y =7。 4．解不定方程50x +45y +36z =10。

5．解不定方程组⎩⎨⎧5x +7y+2z ＝24，

3x －y －4z ＝4．

6．解不定方程6x +15y +21z +9w =30。

7．求有多少个正整数对(m ,n )，使得7m +3n =102004，且m ︱n 。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8．求满足方程2x 2+5y 2=11(xy －11)的正整数数组(x ，y )。 9．解不定方程14x 2－24xy +21y 2+4x －12y －18=0。 10．解不定方程3x 2+5y 2=345。

11．解不定方程x 2－5xy +6y 2－3x +5y －11=0。 12．求方程xy －2x +y =4的整数解。

13求能使等式3m + 5

n =1成立的所有正整数m ，n 。

14．求方程2xy －2x 2+3x －5y +11=0的整数解。 15．求方程3xy +y 2－6x －2y =2的整数解。 16．求方程x 2+y = x 2y －1000的正整数解。 17．求所有的整数对(x ，y )，使得x 3 = y 3+2y 2 +1。 18．求方程x 2+y 2= z 2中0＜z ＜10的所有互质的解。 三、证明不定方程无解

19．求证方程x 2+y 2= 2007没有整数解。

20．试证：不定方程x 2－3y n =－1 (n 是正整数)没有正整数解。 21．求证方程x 2－3y 2=17没有整数解。

22．求证方程x 2－2xy 2+5z +3=0没有整数解。 23．证明方程x 14+x 24+x 34+……+x 144=2015无整数解。 24．求证方程x 2+y 2=1992没有整数解。 25．证明方程x 2+y 2－19xy －19=0无正整数解。 四、其他不定方程的解

26．求下面方程组的正整数解：⎩⎨⎧6x －y －z ＝18，

x 2+y 2+z 2＝1987．

27求使(a 3+b )(a+b 3)= (a+b )4成立的所有整数对(a,b )。(04年澳大利亚数学奥林匹克) 28．解不定方程xyz +xy +yz +zx +x +y +z =2008。 29．解不定方程5x 2+2y 2=98。

30．求不定方程4xyz =5(xy +yz +zx )的正整数解。 31．解不定方程y 2+y =x 4+x 3+x 2+x 。

32．求方程 2x ·3y －5z ·7w = 1 的所有非负整数解(x ，y ，z ，w )。(05年中国数学奥林匹克) 练习：

1．不定方程7x －15y =31的解为 。

2．不定方程组⎩⎨

⎧=+-=++.

452,1032z y x z y x 的解为 。 3．不定方程5x －14y =11的正整数解为 。 4．不定方程4x 2－4xy －3y 2=21的正整数解为 。 5．方程x 2－dy 2=1，d =－1时的非负整数解为 。 6．不定方程x 2－18xy +35=0的正整数解为 。

7．取1分、2分、5分的纸币共10张，付给1角8分钱，问有几种不同的取法？ 8．求x 2+y 2= z 2中0

9．求不定方程组⎩⎨⎧x +y +z ＝0，x 3+y 3+z 3＝－18

的整数解。

10．求不定方程5x －3y =2的正整数解。

11．证明：不定方程x 2+y 2+z 2+3(x +y +z )+5=0没有有理数解。 12．求不定方程1

2

(x +y )(y +z ) (z +x )+(x +y +z )3=1－xyz 的所有整数解。

练习答案

1．⎩⎨⎧+-=+=.731,1563t y t x 2．⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=--=.

23,3,

85t z t y t x (t 为整数)。3．)0(.51,145≥⎩⎨⎧+=+=t t t y t x 为整数，且。 4．由4x 2

－4xy －3y 2

=21得：(2x +y )(2x －3y )=21，故解为：⎩⎨⎧==,5,8y x ⎩

⎨

⎧==.1,

3y x 5．x =0，y =1和x =1，y =0。

6．由x 2－18xy +35=0得：18y =35

x +x ，x 是35的约数，得⎩

⎨⎧==⎩

⎨⎧==.

2,35,2,1y x y x 。 7．解：设1分、2分、5分的纸币分别有x 张，y 张，z 张，得：⎩⎨

⎧=++=++.

1852,

10z y x z y x

消去z 得：4x +3y =32。因为x ，y ，z 是非负整数，所以不同的取法有：⎪⎩

⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===.0,8,2;1,4,5;2,0,8z y x z y x z y x 8．解： a 2+b 2＜60，a ＞b ＞0，得a ≤7。又因为a ，b 一奇一偶，求出a ，b 的值即得所有解。所有互质的解列表如下：

9．解：由原方程组中x +y +z =0得z =－(x +y )，代入x 3+y 3+z 3=－18得:xy (x +y )=6，故xyz =

－6，x 、y 、z 都是6的约数，并且只有一个是负数，从而得其整数解为：x =－3，y =2，z =1。

10．解：显然x =1，y =1是原方程的解，若x ≠1，则y ≠1。

因≡x

51(m od4)，)4(mod )1(3y y -≡，1－)4(mod 2)1(≡-y

，故y =2y 1+1是奇数(y 1∈N )

因)9(mod 03≡y

，故)9(mod 25≡x

。因)9(mod 25),9(mod 15),9(mod 155

6

3

≡≡-≡，