指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点

根式的概念：

①定义：若一个数的n 次方等于),1(*

∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若

a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，

1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；

2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作

)0(>±a a n .

②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)

0()

0(||a a a a a a n

幂的有关概念：

①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n

(ΛN *

， 2）)0(10

≠=a a ，

n 个 3）∈=-p a

a

p p

(1

Q ，4）m a a a n m n m

,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s

r s

r

,0(>=⋅+、∈s Q ），

2）r a a

a s

r s

r ,0()(>=⋅、∈s Q ），

3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r

r

r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用.

例 求值

（1）

3

28

（2）2

125

- （3）()5

21- （4）()

43

8116-

例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

(1)43a a ⋅ （２）a a a （３）32

)(b a -

（４）43

)(b a + （５）32

2b a ab + （6）42

33

)(b a +

例.化简求值

（1）0

121

32322510002.08

27）（）（）（）（-+--+----

（2）2

11

5

3125.05

25

.231

1.0)32(256)

027.0(⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+-⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-- （3）=⋅÷

⋅--3133

73

32

9a a a a

（4）21

1511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

=

（5

）

指数函数的定义：

①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x

且称指数函数，

1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞，

3）当10<a 时函数为增函数.

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

（1）2

2

x y += （2）(2)x y =- （3）2x

y =-

（4）x y π= （5）2y x = （6）2

4y x =

（7）x y x = （8）(1)x

y a =- （a ＞1，且2a ≠）

例：比较下列各题中的个值的大小

（1）1.72.5 与 1.7

3

( 2 )0.1

0.8

-与0.2

0.8

-

( 3 ) 1.70.3

与

0.93.1

例：已知指数函数()x

f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求

(0),(1),(3)f f f -的值.

思考：已知0.7

0.9

0.8

0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c .

例 如图为指数函数x

x

x

x

d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则

d c b a ,,,与1的大小关系为

（A ）d c b a <<<<1 （B ）c d a b <<<<1

（C ）d c b a <<<<1 （D ）c d b a <<<<1

1、函数21

21

x x y -=+是（ ）

A 、奇函数

B 、偶函数

C 、既奇又偶函数

D 、非奇非偶函数 2、函数1

21

x

y =

-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞U C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞U 3、已知01,1a b <<<-,则函数x

y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限

例．求函数x

x y +⎪⎭

⎫ ⎝⎛=221的值域和单调区间

例 若不等式3ax

x

22

->(

3

1)x +1

对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______. .f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞

∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______. 考查分段函数值域.

【解析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1

≤1, ∴－2

x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2

x

e e e

e f ，则函数)(x f 的值域是_____________

例 点（2，1）与（1，2）在函数()2ax b f x +=的图象上，求()f x 的解析式

例.设函数11

()2

x x f x +--=，求使()f x ≥的x 取值范围．

例 已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；