第7章 刚体力学

故：
mi i cosi mi xi
I A Ic md 2
mxc 0
——平行轴定理
(2)垂直轴定理（正交轴定理）
z
Iz I x I y
O
x
yi m i
i xi
y
(3)可叠加原理 若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成， 则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形 体对同一转轴的转动惯量之叠加.
F
O
l
x
解：以过O点垂直于纸面的O轴为 转轴，向外为正方向。
C
mg
1 2 I ml 3

3g cos M 由定轴转动定理 I 2l
M mgxC 1 mgl cos 2
d d d d dt d dt d 3g cos 3g sin d d ＝ 2l l 0 0
1 1 1 2 2 Ek Eki m i v i mi ri 2 ( m i ri 2 ) 2 2 2 2
Eki 1 m i v i2 2
1 Ek I z 2 2
2. 定轴转动刚体的动能定理
M z I z
A外i 0
Δ
M外iz d
1.转轴为对称轴 如图,对O点
L1 r1 m1v1 L2 r2 m2v2
L1 r1m1v1 m2v2 L2 r2
r1
z L
L2 L1
r2
r1 r2 r 故总角动量 L Lk m2v2 cos L r1m1v1 cos r2
[解](1)由机械能守恒得
FN
1 mgh c I 2 2 1 1 2 hc l I ml 2 3
为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
图(a)
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和支点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]
需拉力是多少？
FT
W
图(b)
[解]（1）以弧形闸门及钢架 y FN 为隔离体，受力如图(a)所示. O 建立直角坐标系Oxy， 根据质心运动定理
I C i mi
2
i i
I A i mi
2
2
x
由图
2 2 2 i i d 2i d cosi
I A i mi
2 2 m ( d i i 2i d cos i )
mi i2 mi d 2 mi i cos i 2d
§7.3 刚体定轴转动的角动量· 转动惯量
§7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量 §7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量
§7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 §7.3.4 刚体的重心 §7.3.5 典型例子
§7.3 刚体定轴转动的角动量· 转动惯量
§7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量
因 m1= m2= m
m1 m2 r2 r1 O
2mr 2
k v1 v2 r

2.转轴为非对称轴
如图, k 对O点同样有
L1 r1 m1v1 L2 r2 m2v2 L L1 L2
运用质心运动定理，对质心C：
ˆ n F1
ˆ t
F F 2
O
l
x
C
ˆ : F1 mg sin man n ˆ t : F2 mg cos mat
2
mg
l 2 3g sin a n r 2 2l l 3g cos at r 2 4 F1 2 2 F F1 F2 arctan F 2
FT
FT FN W mac
图(a)
W
x
向x及y轴投影得
FNx mac x
FT mg FNy mac y
根据转动定理
起动时
acx
2 7 FT R mg R mR 2 z 3 9 2 a a R 0 z cy z R 3
转轴.因为刚体静止,所以诸体元重力对C 轴合力矩为零.
y
A B C D D B C W
z
A
x C
W
Wi
Wi ( xi xc ) 0
ห้องสมุดไป่ตู้
xc
Wi x i W
yc
Wi y i W
zc
Wi zi W
若取
Wi mi g
则重心坐标与质心坐标同，但概念不同. 质心是质量
中心，其运动服从质心运动定理. 重心是重力合力作
P231, 例题7-5
§7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
刚体对定轴的角动量
i
Lz ΔLiz ( mi ri2 ) I z z
i
角动量定理微分形式
dLz d M iz dt dt I z z
角动量定理积分形式
M z d t I z z I z z 0
[解]分别以质点 m 和转动系统 I+I0 作为研究对象，
受力分析如图.
FT1r ( I I 0 )
FN
y
FT2 x FT1
W
mg FT2 ma
O
a r
h
FT1 FT2
1 2 at 2
gt 2 I mr ( 1) I 0 2h
2
【补充例题】均匀直杆质量为m长为l，初始水平静止， 轴光滑，求：杆下摆角后的角速度和轴对杆作用力。
1 1 1 1 1 2 2 2 m2 gh m2v I m2 v ( m1 R 2 ) 2 2 2 2 2 2
约束关系 联立得
R h
v2
v R
m 2 gh m1 2 m 2
[例题2]均质杆的质量为m，长为l,一端为光滑的支点.最
初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示. （1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v； （2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力. O
L1 r1m1v1 m2v2 L2 r2
L
L2
m1
z

L1 2 m2
r2
总角动量与转轴成角.
r1 1 O

刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量 与角速度方向相同.一般情况，刚体定轴转动对轴上 一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之 成一定夹角.
§7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量
L
R
1 I ml 2 12 ω
R2
R1
圆柱 I
1 mR 2 2
1 2 2 圆筒 I m( R1 R2 ) 2
ω
圆球 R I 2 mR 2
ω
球壳 R
5
2 I mR 2 3
4.反映转动惯量性质的定理 (1)平行轴定理
A轴平行C 轴（质心轴） 对C 对A
i
A d C
B m i
二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒
转动惯量的决定因素：
总质量； 质量连续 转轴的位置;
质量分布.
分布的刚体
线 dm dl I r 2 dm 面dm dS 体dm dV
其中、、分别为质量的线密度、面密度和体 密度.
[例1]求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的
第七章部分习题
P264（习题）： 7.3.6，7.3.8，7.4.2
第七章
§7.1 §7.2
刚体力学 (9学时)
刚体运动的描述 刚体的动量和质心运动定理
刚体定轴转动的角动量· 转动惯量 刚体定轴转动的动能定理
§7.3 §7.4
§7.5
§7.6 §7.7
刚体平面运动的动力学
刚体的平衡 自转与转动
m( mi yi ) g m
Ep mgyc
刚体的重力势能与质量集中在重心上的一个质点
的重力势能相同.
[例题1]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，
重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落并带动 柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率v，不计阻力， 不计绳的质量及伸长.
[解] 方法1. 利用质点和刚体转
用线通过的那一点.
§7.3.5 典型例子
[例题2]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图
中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴
9
2 R 处， 3
闸门及钢架对质点的总转动惯量为 I 7 mR 2 ,可用钢
丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢 架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g
动的动能定理求解. 由质点动能定理
R m1
1 m 2 gh FT h m2 v 2 2 由刚体动能定理 1 1 2 FT R I m1 R 2 2 2 4
m2
h
约束关系 联立得
R h
v R
m 2 gh v2 m1 2 m 2
方法2. 利用质点系动能定理求解 将转动柱体、下落物体视作质点系 由质点系动能定理
1.转动惯量
质点系对点的角动量
L ri mi vi
i
设刚体绕Oz 轴转动，刚体角动量在 z 轴的投影
Lz Liz
i
( mi ri2 )
i
viz ri z
刚体对 z 轴角动量
Lz I z z
刚体对 z 轴转动惯量
I z mi r22
ML2
kg m2 转动惯量是转动惯性的量度. 单位：
转动惯量 . [解] 盘由许多环组成 dr r x z y
dI r 2dm
I r 2dm r 2 2πr h dr
2πh r 3dr
0
R
1 1 4 πhR mR 2 2 2
2.几种典型形状刚体的转动惯量 O´ ω
m R
l
细圆棒
O 圆环 I=mR2
§7.4刚体定轴转动的动能定理
§7.4.1力矩的功
§7.4.2 刚体定轴转动的动能定理
§7.4.3 刚体的重力势能
§7.4.1力矩的功
刚体中P点在力F 的作用下位移 dr 则力元功
dA F dr F dr F rd
对有限角位移
z
Fz
A
Δ
0
刚体定轴转动 I = 常量
刚体定轴转动的转动定理
Miz I z z
说明： (1) M I与F ma地位相当
(2) 式中各量对同一转轴
（3）I 常量, 则 M , 若M 0，
0， 恒量.
验证刚体定轴转动定理的演示实验
§7.3.4 刚体的重心
重心——刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那 一点. 如图,被悬挂刚体处于静止,C为重心,因C不动,可视为
29 FNx 0 FNy mg 90 67 mg ，质点O 对闸门钢 即起动瞬时绳对闸板的拉力为
FT
90
67 mg 90
架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90. 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应 (2) 用FT
用牛顿第二定律，得：
FT
mg ma FT
11 mg 10 比较上面结果，可见提升弧形闸门 FT
W
所用的拉力较小.
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上， 线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定 滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动 惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线 的长度不变. I0 r m h I

I zd
d Iz d I z d 0 dt

A外 A外i
1 1 2 2 I z I z 0 2 2
作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等 于刚体绕定轴转动动能的改变量.
§7.4.3 刚体的重力势能
刚体的重力势能
Ep mi gyi ( mi yi ) g
F rd
Δ
0
M z d
作用于刚体的外力的功，可用外 力对转轴的力矩 所做的功来计算.
d
Or
dr
F
F
P
Fr
力矩的功率：
dA d P Mz M z z dt dt
§7.4.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 定轴转动刚体的动能 当刚体绕定轴转动时,其动能为所有质点作圆 周运动动能的总和. 任意质元的动能为： 刚体的动能