第7章 刚体力学
刚体的平衡
第七章 刚体力学
y
F
Fy j
C
C´
E
Fxi30W°
B W
x
A FN
M z EA FN sin30 W (EB cos 30 CB sin30 )
W (EB cos 30 CB sin30 ) 0
解以上三方程得 FN 8.75 kN
Fx 4.38 kN, Fy 2.08 kN F Fx2 Fy2 4.85 kN, tan 0.4748
Fiy 0
Miz 0
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第七章 刚体力学
其中
Miz 0
是力对z轴力矩的代数和为零,z是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
(1) 诸力对任意轴的力矩和为零. 在力的作用平面内选O
和O´ 两个参考点，OO´ 连线不与Ox轴正交
Fix 0
Miz 0
Miz 0
(2) 在力的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点，
O、O´ 和O´´ 三点不共线
Miz 0
Miz 0
Miz 0
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§7.6.2 杆的受力特点
第七章 刚体力学
在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对 光滑铰链联结,只有通过节点的压力.
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第七章 刚体力学 [例题2]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下, 已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分
别为1 和2 ，为使质量为m2 的人爬到梯子顶端时,梯
子尚未发生滑动.试求梯子与地面间的最小夹角.
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y
第七章 刚体动力学(讲义)
MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。
最新《力学》漆安慎(第二版)答案07章
力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章 刚体力学 一、基本知识小结⒈刚体的质心定义：∑⎰⎰==dm dm r r mr m r c i i c //求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。
⒉刚体对轴的转动惯量定义：∑⎰==dm r I r m I ii 22平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y.常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理∑==c c a m F v m p⒋刚体对轴的角动量和转动定理∑==βτωI I L⒌刚体的转动动能和重力势能c p k mgy E I E ==221ω⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτ（不必考虑惯性力矩）动能：221221cc c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程∑=0F， 对任意轴∑=0τ二、思考题解答7.1 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。
若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。
但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。
7.2 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即0i c F ma ==∑时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。
所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩i i iM M r F ==⨯∑∑不一定为零。
由刚体的转动定律M J α=可知，刚体将发生转动。
比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。
刚体力学
三、教学重点与难点：
重点： 刚体运动的描述方法；刚体定轴转动的运动学与动力学；刚体的平 衡。 难点： 转动惯量的理解和计算；学生学习思维方式的转变；刚体转动的角 动量，应用刚体力学有关规律解决实际问题。 教材分析：（分为6个单元） 1、刚体运动学（§7—1）； 2、刚体平动的动力学（§7—2）； 3、刚体定轴转动动力学（§7—3、§7—4）是全章的重点； 4、刚体的平面平行动力学（§7—5）； 5、刚体的平衡（静力学）（§7—6）; 6、刚体的自转与旋进（7—7）
积分限为：
z=0
z=R
例题2：已知图中物体由均匀等厚的两个半径不同的圆板和刚性细杆组 成,三个部分的质量均为M,尺寸如图所示.试求质心的位置.
解: 因为物体均匀等厚,且具有对称性,,所以质心在其几何对称轴上,建立图 示的坐标系: 。
二、刚体的动量与质心运动定理
1、刚体的动量： 特殊的质点组 2、动量守恒定律 若刚体所受外力矢量和为零，即,则=恒量 3、刚体的质心运动定理 例题1:教材P201[例1] 解: 例题2:如图所示:长为L的匀质杆在力F和光滑地面支持力的作用下保持 平衡,当外力撤消后,杆子倒下.试求杆子A端的运动方程。
(4)应用转动定理解题的基本方法（隔离体法）一般步骤为： 1． 将运动系统用假想平面分成若干个作定轴转动的刚体和质点的隔 离体.分别应用不同定理解题 2． 分析各隔离体的受力情况，作出受力图 3． 建立适当的坐标系 4． 建立动力学方程 ( 转动刚体根据转动定理列方程 质点根据牛 二定律列方程) 5． 建立各个隔离体之间的动力学和运动学关系 6． 由联立方程求解 例题: 如图所示是一阿特武德机，绳子一端悬挂一重物m1=500g，另一 端悬挂一重物m2=460g，半径r=5.0cm 的滑轮绕水平光滑轴转动，自静 止开始释放重物、并测得m1在5.0s内下降75cm，试由这些数据确定定滑 轮的转动惯量。（不计绳的质量及伸长，且绳与滑轮之间无相对滑动）
普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社刚体力学习题解答
第七章刚体力学习题解答7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。
⑵在此时间内，发动机转了多少转？解：⑴21260/2)12003000(/7.15s rad t===-∆∆πωβ⑵rad 27.152)60/2)(12003000(21039.26222202⨯===∆⨯--πβωωθ对应的转数=42010214.3239.262≈⨯=⨯∆πθ7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。
求t 时刻的角速度和角加速度。
解：23212643ct bt ct bt a dtd dtd -==-+==ωθβω7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy 坐标系，原点在轴上，x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向。
边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t 2 (θ:rad,t:s)。
⑴t=0时，⑵自t=0开始转45º时，⑶转过90º时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影。
解：0.222.1==+==dtd dtd t ωθβω⑴t=0时，s m R v v y x /12.01.02.10,2.1=⨯====ωω2222/2.01.00.2/144.01.0/12.0/sm R a a s m R v a a y y n x =⨯===-=-=-=-=βτ⑵θ=π/4时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/ssm R v s m R v y x /15.02/21.014.245sin /15.02/21.014.245cos =⨯⨯=︒=-=⨯⨯-=︒-=ωω222222222222/182.0)14.20.2(1.0)(45sin 45sin 45sin /465.0)14.20.2(1.0)(45cos 45cos 45cos s m R R R a s m R R R a y x -=-⨯=-︒=︒-︒=-=+⨯-=+︒-=︒-︒-=ωβωβωβωβ⑶θ=π/2时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s2222/77.01.078.2/2.01.00.20/278.01.078.2s m R a s m R a v s m R v y x y x -=⨯-=-=-=⨯-=-==-=⨯-=-=ωβω7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速率ω=10rad/s 逆时针转动，求臂与铅直成45º时门中心G 的速度和加速度。
第七章 刚体力学习题及解答
第七章刚体力学习题及解答7。
1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度。
估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）。
解：7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min。
（1）假设转动是匀加速转动,求角加速度.（2）在此时间内,发动机转了多少转？解：（ 1）（ 2)所以转数 =7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为球 t时刻的角速度和角加速度.解：7.1.4 半径为0。
1m的圆盘在铅直平面内转动,在圆盘平面内建立坐标系,原点在轴上。
x和y轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上,该点的角坐标满足求（1）t=0时，(2)自t=0开始转时，（3）转过时，A点的速度和加速度在x和y轴上的投影。
解:（ 1）( 2) 时，由（ 3）当时，由7。
1。
5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速度逆时针转动，求臂与铅直时门中心G的速度和加速度.解:因炉门在铅直面内作平动，门中心 G的速度、加速度与B或D点相同.所以：7。
1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板。
拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进。
压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上,因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反.已知收割机前进速率为 1。
2m/s，拔禾轮直径1.5m，转速22rev/min，求压板运动到最低点挤压作物的速度.解：取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。
取收割机前进的方向为坐标系正方向7。
1.7 飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm,发动机转速2000rev/min。
（1)桨尖相对于飞机的线速率等于多少？（2）若飞机以250km/h的速率飞行,计算桨尖相对于地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。
第七章 刚体力学
i
rc
mi ri
i
即：重心和质心重合。
M
注意：
① 该结论成立的条件是：刚体不是特别
大，各处的重力加速度相同。 ②重心仅在重力场中存在，若物体失重， 则无重心；但质心仍存在，故质心比重心更常 用到。
§7.2 刚体的平衡
刚体所受合外力为零，对任意参考点的力矩为零，则刚 体平衡。其充分必要条件可以表示为： Fi 0
解：
Q T1 T2
m1 g T1 m1a T m g m a 2 2 1 2 T1 R T2 R J a R , J MR 2 / 2
( m1 m 2 ) g a m1 m 2 M / 2
R
M
R
T1 '
Mg T ' 2
2
连续体的转动惯量： J
dm dl ：质量线密度 dm dS ：质量面密度 dm dV ：质量体密度
3.决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的体密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
r 2 dm
dm ：质量元
即：与刚体的质量、质量的分布、以及转轴位置 有关。
P
R O m
4、垂直轴定理
如果薄板位于o-xy平面内, 则 J z J x J y
J z mi ri mi xi mi yi J y J x
2 2 2
z
yi
xi x
ri
y
mi
5. 常见对称刚体绕对称轴的转动惯量：
单个质点： I mr ，如图 7.2.2-1 (a)所示。
2
第7章-刚体力学
d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有
普通物理学第二版第七章课后习题答案
第七章 刚体力学7.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s 估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）.[解 答]7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.（1）假设转动是匀加速转动，求角加速度.(2)在此时间内，发动机转了多少转[解 答]（1）22(30001200)1/601.57(rad /s )t 12ωπβ⨯-⨯===V V（2）222220()(30001200)302639(rad)2215.7πωωθβ--===⨯所以 转数=2639420()2π=转7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为球t 时刻的角速度和角加速度.[解 答]7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立O-xy 坐标系，原点在轴上.x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足21.2t t (:rad,t :s).θθ=+求（1）t=0时，（2）自t=0开始转45o 时，（3）转过90o时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影.[解 答]（1） A ˆˆt 0,1.2,R j 0.12j(m/s).0,0.12(m/s)x y ωνωνν====∴==v（2）45θ=o时，由2A 1.2t t ,t 0.47(s)42.14(rad /s)v R πθωω=+==∴==⨯v v v得（3）当90θ=o时，由7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速度10rad/s ω=逆时针转动，求臂与铅直45o 时门中心G 的速度和加速度.[解 答]因炉门在铅直面内作平动，门中心G 的速度、加速度与B 或D点相同。
所以：7.1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板.拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进.压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反. 已知收割机前进速率为1.2m/s ，拔禾轮直径1.5m ，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度.[解 答]取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。
第7章 刚体力学习题课
Cm
h
mg 1 2 hm2 v1 2I11 21 2I22 2
不打滑：有 vR1 1R2 2
考虑到： I11 2m 1R1 2 I21 2m 2R2 2
得 v2
mgh
m1 m2 2m
解二：应用牛顿第二定律和转动定律
A： T1R1I11
（1）
m1, R1
A
T O 1
1
T1 m2, R2
解:在剪断的瞬间:
Fix0, FiymgT
acy
mg T m
(质心运动定理)
T
L 2
1 12
mL2
(转动定理)
acy
L
2
解得:
a
cy
3 4
g
F
1 4
mg
例12.如图,知A: m,l,质量均匀,开始时水平静止
B:m , , A竖直时被碰,然后
滑行距离S.
m
A
l
O
求 :碰后A的质心可达高度h.
第7章 刚体力学习题课
例2.均匀细棒 oA 可绕通过其一端 o 而与棒垂直
的水平固定光滑轴转动,如图所示.今使棒从水
平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位
置的过程中,下列情况哪一种说法是正确的?
（ A）
(A) 角速度从小到大,角加速度从大到小.
(B) 角速度从小到大,角加速度从小到大.
(C) 角速度从大到小,角
aR
I 1 MR2 2
（4）
m2
M,R
T1 m1
m1g T 2
m1
M,R
T1
m2
T2
联立方程，求解得：a Nhomakorabeam1g
漆安慎《力学》教案第07章 刚体力学
Δt0 Δt dt
在定轴转动中, 只有两个转向
第七章 刚体力学
P(t+t )
+ P(t)
O
x
逆时针转动时 >0； 顺时针转动时 < 0.
角速度用每分 n 转表示时： 2πn πn rad/s
60 30
类似地可得： 角加速度
lim Δ d
d (t)dt
t
0
(t)dt
0
d (t) dt
t
0
(t)dt
0
匀速转动时 =常量
匀变速转动时 =常量
0 t 0 t
0
t
1 t2
2
2 02 2（ 0）
与质点作匀速或匀变速直线运动的公式完全对应!!!
特点
(1) 刚体可以看成由许多质点组成的质点 系，每一个质点叫做刚体的一个质元
(2) 刚体内任意两点间的距离保持不变. 所以将刚体称为“不变质点系”.
研究刚体的基本方法 将刚体看作质点系，并运用已知的质
点系的运动规律去研究.
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第七章 刚体力学
§7.1 刚体运动的描述
刚体最基本的运动形式有： ⑴平动；⑵绕固定轴的转动；⑶平面运动
r j
z
r k
其中
x
dx
dt
y
dy
dt
z
dz
dt
当刚体作定轴转动时，可令转轴与 z 轴重合，
则有
x y 0 x y
r
z
r k
刚体力学
25
4.定轴转动的动能定理和机械能守恒定律 一. 力矩的功
ｄ A ＝ F ｄ r ＝ FC ｏ ｓ ｄ ｓ ＝ FS ｉ ｎ ｒ ｄ ＝ M Zｄ
刚体力学
主要内容： 1.刚体定轴转动的描述 2.力矩、刚体定轴转动定律、转动惯量
3.刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律
*4.刚体定轴转动的角动量定理、角动量守恒定律
1
1. 刚体的平动、转动和定轴转动 一.刚体
1.定义：在任何条件下大小和形状都不发 生变化的物体称为刚体。 2.说明：刚体与质点、理想气体、点电荷等一样是
m
J
2
2
m 2 R d mR 2
2
15
例2.3 试计算质量均匀分布的薄圆盘的垂直于盘面
的中心轴的转动惯量。设圆盘质量为ｍ，半径为R。
解：
J ＝∫ ｒ ｄ ｍ
２
ｄ ｍ ＝ •2ｒ ｄ ｒ
J＝ ∫
R 0
2 ｒｄ ｒ
３ 4
R 1 2 ＝ ＝ ｍR 2 2
16
例2.4
在质量为 M ，半径为 R 的匀质
例3.3 在倾角为θ 的斜面顶端固定一滑轮，用一根绳子 缠绕数圈后引出与M连接，M与斜面摩擦系数为μ （如图）， 设滑轮质量为ｍ，半径为R，轴处无摩擦。试分析M作加速 运动的条件。 Ｎ‘
解: 由牛顿第二定律
Ｏ ｍｇ ｆ
Ｔ
Ｎ
M ｇ s in θ － T － μ N ＝ M a
0第七章 刚体静力学基础
二、理想约束类型和确定约束力方向的方法
（一） 理想刚性约束的常见类型 1.光滑接触面约束 2.光滑铰链约束 （1）固定铰链支座 （2）滚动铰链支座 （3）铰链 （4）球形铰链
1.光滑接触面约束 约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力物体
P P
N N NA
NB
N
N
凸轮顶杆机构
N
2.光滑铰链约束 （1）固定铰支座 物体与固定在地基或机架上的支座有相同直径的孔，用 一圆柱形销钉联结起来，这种构造称为固定铰支座。
1. 不要漏画力 除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受 力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触， 接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对 2. 不要多画力 于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出 它是哪一个施力体施加的。
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两
力作用线汇交于一点，则另一力的作
用线必汇交于同一点，且三力的作用 线共面。（必共面，在特殊情况下，
力在无穷远处汇交—平行力系。） [证] ∵ F1 , F2 , F3 为平衡力系，
∴ FR , F3 也为平衡力系。 又∵ 二力平衡必等值、反向、共线， ∴ 三力 F , F , F 必汇交，且共面。 1 2 3
固定铰支座
固定铰支座
铰
固定铰支座
（2）滚动铰链支座 工程结构中为了减少因温度变化而引起的约束力，通 常在固定铰链支座的底部安装一排辊轮或辊轴，可是支座 沿固定支承面只有移动，这种约束称为滚动铰链支座。
滚动铰链支座
上摆
销钉 底板 滚轮
滚动铰链支座
滚动铰链支座
物理 刚体力学
2、说明 、
转动惯量是标量； 转动惯量是标量； 转动惯量是标量 转动惯量有可加性； 转动惯量有可加性； 转动惯量有可加性 单位：kgm2 单位： 单位
Δ mi
3、转动惯量的计算 、
若质量离散分布 若质量连续分布
J＝∑ m i ri
i
2
J = ∫ r dm
2
故
∑ M ＝∑ m r
i
2
i i
α 可写为：
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比 2、内力矩 、 两个内力的合力矩为零。 两个内力的合力矩为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 f f’
d
3、刚体的情况 、
把刚体看成是由许多质点所组 成的，对于质点i， 成的，对于质点 ，假设它的质 量为△ 所受的外力为F 量为△mi，所受的外力为 i， 内力为f 内力为 i，则 2 i i i
2
m
2 J = ∫ dJ = ∫ dm r 2 3
2m 4 = 3 ∫ r dr R 0 2 = mR2 5
R
4、几种刚体的转动惯量 、
垂直于杆的轴通过杆的中心 垂直于杆的轴通过杆的中心 杆的端点 对通过盘心垂直盘面的转轴 对通过盘心垂直盘面的转轴 J=M l 2/12 J=M l 2/3 J=MR 2/2
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动 转轴不随时间变化 z ω,α v r P
定轴转动的特点： 定轴转动的特点：
轴 时间 转 动 动 轴
向 刚体 O 定轴 r
参 考 方
3、刚体的一般运动 、
一个汽车轮子在地 上的滚动 A、B、C、…各点的 、 、 、 各点的 运动都不相同
刚体力学
dω M = Jβ = J dt
ω2
ω1
1 1 2 = J ω2 − J ω12 = Ek 2 − Ek 1 J ω dω 2 2
在定轴转动中，合外力矩作功等于刚体转动动能的增量
三、刚体的重力势能
E p = ∑ mi gzi
Z
mi
C O
i i
∑m z = mg
dω M = Jβ = J dt
ω M ∫0 J dt = ∫0 dω
t
o
F
得
ω = ∫ 50tdt = 25rad/s
0
1
例：已知杆质量 m，长l，绕一端点转动， 1 2 J = ml ，初水平静止，求位于任意 3
N
)θ
n
角θ时，ω、β为多少？
受力：轴支持力 N、重力mg
解 1 用 动 理 M = Jβ 法： 转 定 求
dM = dF⋅ r = µdm ⋅ r g
dr r O R
m 2m dr r dm= 2 ⋅ 2πr ⋅dr = 2 πR R
2
2m gr dr µ dM = R2 2 r2 m µ gr dr 2 M = ∫dM = ∫ = µ gR m 2 0 R 3
dω −M = J dt
2 1 2 dω − µm = m gR R 3 2 dt
重力矩 轴力矩
t
θ
mg
mgl M= cos θ (向内） 2
M =0
d ω d ω dθ ω d ω = = β= dθ dt dθ dt
ω dω = β dθ
积分得
mgl cos θ M 3g 2 β= = = cos θ (与θ 有关） 1 2 J 2l ml 3
刚体力学 (7)
描述刚体转动的物理量
质点P 质点P的角坐标 P = P ( r , θ ) θ 角速度 ω = ddt 角加速度 d 2θ
在刚体定轴转动中，角 速度和角加速度方向 只有沿转轴的两个方 向，所有常作标量处 理计算。
β=
dt 2
v =ω×r a = β ×r +ω×v aτ = rβ an = rω
2
dI = r dm
2
I ≡ ∑ ri ∆mi = ∫ r dm
2 2 i =1 ma ) Mz = r × f a = β ×r +ω ×v
圆环的转动惯量
例子3 例子3-3
圆环转动惯量
表
续表
其他
平行轴定理
图3-10
I = I c + md
2
正交轴定理
图3-11
Iz = Ix + Iy
切向加速度 法向加速度
定轴转动定律，转动惯量 定轴转动定律，
力矩
M =r× f
若有几个力同时作用于定轴 转动的刚体，则刚体受的合 力矩大小力矩的代数和。 一对相互作用力对同一转轴 的力矩之和为零。 大小相等方向相反不在同一 直线上的一对力，他们对同 一转轴的力矩之和不为零。
转动惯量
定轴转动定律 是合外力矩对刚体的瞬时作 用规律。必须是 同一时刻对同一刚体、同一 转轴而言。否则没有意义。 在定轴转动中由于合外力矩 Mz和角加速度β的方向均 Mz和角加速度β 在转轴方位，通常用代数 量表示。
刚体力学基础
刚体运动的基本形式 定轴转动定律，转动惯量 刚体定轴转动的机械能和力矩的功 角动量定理及角动量守恒定律
刚体运动的基本形式
平动 刚体上任一给定直线 (或任意两质点间 连线) 连线)在运动中空 间的方向始终不变 而保持平行，这样 的运动称为平动。
刚体力学
8
附：定轴转动时刚体总角动量为 L Ri m i v i m i Ri Ri
注意到质量元的位矢和角速度分量表示为
Ri xi，yi，zi ， 0， 0，
按矢积运算规则展开
Ri Ri xi zii yi zij xi2 yi2 k
刚体的重力势能:作为质点系，刚体的重力势能应为各质元 重力势能之和
E p mi gy i m i y i g mghc
可见刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点的 重力势能相同，只由质心的位臵决定，而与刚体的具体方 位无关. 若刚体在转动过程中, 只有重力矩做功, 则刚体系统机械 能守恒.
说明： I c 为刚体绕质心轴的转动惯量； d 为两平行轴间距离。 现以薄板为特例给以证明平行轴定理
z
d
zc
c
如图，质量元对 0点位矢为 Ri ，对质 心c的位矢为 ric，注意到矢量三角形有
Ri ric d
0 Ri
ric
mi
2 Ri Ri Ri ric d ric d 2 2 ric d 2d ric
R 2 R 2 2
㈢
刚体定轴转动定律和功能关系
一. 刚体定轴转动定律
将质点系角动量定理应用于刚体定轴转动，得到轴向分量 Lz 的角动量的变化率为
dLz Mz dt
考虑到
Lz I ，得
d I Mz I dt
该式即为定轴转动定理.充分显露出转动惯量的本性 体在定轴转动时表现出来的惯性的一种量度. 刚
角位移，角速度和角加速度均相同
刚体定轴转动的动能定理
dm 积分遍及刚体体积V，
分几种情况：
dV , ( x, y, z )
1、刚体具有对称中心，对称中心就是质心；
2、若刚体无对称中心，但可以划分为几部分，而每一部 分都有对称中心，各部分的中心就是各部分的质心，这些质心 形成为分立的质点组，则刚体的质心就归结为这一质点组的质 心； 3、前二个条件都不具备，这时就必须求积分，计算刚体 的质心。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ，j 是任意两个质元，所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度，各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动，门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系，而转轴的方向在变动，这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明：刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动（定 轴转动或定点转动）的叠加，例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面，如图所示，通过分析，转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了，整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，用矢径 r 与Ox 轴间
唯一确定。总之，为描述平面运动，必须给出
rB rB (t ) xB (t )i yB (t ) j, 或 xB xB (t ), yB yB (t )
第七章刚体力学
第七章刚体力学在前面几章的学习中，我们先后讨论了质点、质点组在外力和内力作用下的运动规律。
在本章的学习中，我们将讨论质点组内各质点间无相对运动的一种特殊情况——刚体在外力作用下的运动规律。
刚体：在任何情况下形状大小都不发生变化的质点及合或各质点间没有相对运动的特殊质点系。
0,≡j i r d（i,j=1,2, ）刚体这一概念虽然是一种理想化抽象模型，但却十分有用，因此又必要将刚体力学作一番深入地探讨。
同质点力学的情况相同，我们也是从两方面研究刚体力学。
刚体力学今天学习的内容：§7﹒1刚体运动的描述所做的工作：讨论刚体定轴转动和平面运动的运动学特征。
§7﹒1刚体运动的描述与质点力学的情况相同，所谓对刚体运动进行描述，就是研究刚体内任一点随时间的变化情况——研究刚体内任一点的速度、加速度随时间的变化规律。
目前，我们着重讨论前三种类型的刚体运动。
（一） 刚体的平动刚体最基本的运动形式是平动和绕固定轴的转动。
所以在学习刚体运动学时，都是从研究平动和绕固定轴的转动开始的。
所谓平动指的是：在运动过程中，刚体中任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行或平行与自身的运动。
如图7-1所示，对刚体上任意二质点之间有关系式：ij i j r r r+=平动≡⇒ij r恒矢量，故而dtr d dt r d j i =及2222dt r d dt r d j i=所以，刚体平动时体内各质元的速度、加速度相等——任一点的运动均可代表整体的运动。
（二） 刚体绕固定轴的转动定轴转动，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动，且圆心在该直线上，并称该直线为转轴。
刚体运动学：研究刚体的运动情况以及如何对刚体的运动进行描述 刚体动力学：研究引起刚体运动状态发生变化的原因，进而阐明各种运动是如何由所受外力产生的。
刚体运动可分为五种类2、定轴转动 1、平动3、平面平行运动4、定点转动5、一般运动图7-1x图7-2建立直角坐标系，令z 轴与转轴重合，如图7-2有相同的x-y 坐标但z 不同质点都有相同的运动状态（a v,），任截面的运动可以代表整体的运动。
力学习题-第7章刚体(上含答案)
第七章刚体单元测验题一、选择题1.长为l 的不均匀细杆的线密度λ=bx ，x 为离杆的一端O 的距离，b 为常数.该杆对过O 端并垂直于杆的轴的转动惯量是A.22bl ; B.32bl ; C.33bl ; D.44bl 答案：D解：转动惯量：2J dJ x dm==⎰⎰其中，bxdxdx dm ==λ积分得：4==420∫bl bxdx x J l2.半径为R 、质量为m 的均质圆盘可绕过其中心且与盘面垂直的铅垂轴转动，圆盘对此转轴的转动惯量为A.2mR ;B.221mR ;C.232mR ;D.3mR 答案：B解：距离转轴r 、宽度为dr 的小圆环的转动惯量为222)2(==r dr r Rm dmr dJ ππ整个圆盘的转动惯量为2=)2(==22200∫∫mR r dr r R m dJ J RR ππ3.半径为R 、质量为m 的均质圆盘可绕过其中心且与盘面垂直的铅垂轴转动，圆盘与水平面间的摩擦系数为μ，则圆盘受到的摩擦力矩大小为A.μmgR μ21;C.mgR μ32;D.2mgR μ答案：C解：距离转轴r 、宽度为dr 的小圆环所受摩擦力对转轴的力矩为：r g dr r RmdM )2(=2ππμ总的摩擦力对转轴的力矩：32=)2(==2200∫∫mgR gr dr r R m dM M R Rμππμ4.一块边长为a 、质量为m 0的正三角形薄板对过其一边的轴的转动惯量为A.20=a m J ;B.2021=a m J ;C.2031=a m J ;D.2081=a m J 答案：D 解：如图建立坐标系在x dx 、平行于y 轴的细条质元，其质量为：23dm ydx xdx ρρ==该细条质元绕一边的转动惯量为：2)2dJ a x dm =-积分得所求转动惯量：3222001)238J dJ x xdx m a ρ ==-=⎰⎰.5.下列关于定轴转动刚体的运动特点，正确的是A.刚体（非转轴）上的任一质点都作平面圆周运动.B.刚体（非转轴）上的不同质点转动速度大小相等.C.刚体上距离转轴近的质点转动角速度小、距离转轴远的质点转动角速度大.D.质量小的刚体转动得快、质量大的刚体转动得慢.答案：A二、填空题1.如图，质量分别为m 1=200g 、m 2=250g 的两个物体用不可伸长的轻绳相连，绳子套在质量m 0=100g ，半径r =10cm 的质量均匀的圆盘形滑轮上，绳的质量及滑轮轴承处、物体与桌面间的摩擦均可忽略不计，绳与滑轮之间无滑动.m 1的加速度a =m/s2.（结果保留一位小数）.3.8~4.0）解：设滑轮转动的角加速度为α对1m 应用牛顿第二定律：111T m g F m a-=对2m 应用牛顿第二定律：am F T 22=对0m 应用转动定律：12T T F r F r J α-=其中，定滑轮的转动惯量：2012J m r =绳与滑轮无滑动条件：a r α=联立解得：210122 3.9m s 22m g a m m m ==++三、判断题1.刚体转动有限大的角位移可以看做矢量答案：错2.刚体转动无限小的角位移可以看做矢量答案：对3.定轴转动刚体的转动动能等于其质心运动的动能答案：错4.定轴转动刚体的转动动能与其转动角速度的平方成正比答案：对。
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29 FNx 0 FNy mg 90 67 mg ，质点O 对闸门钢 即起动瞬时绳对闸板的拉力为
FT
90
67 mg 90
架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90. 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应 (2) 用FT
用牛顿第二定律，得：
FT
mg ma FT
1.转动惯量
质点系对点的角动量
L ri mi vi
i
设刚体绕Oz 轴转动，刚体角动量在 z 轴的投影
Lz Liz
i
( mi ri2 )
i
viz ri z
刚体对 z 轴角动量
Lz I z z
刚体对 z 轴转动惯量
I z mi r22
ML2
kg m2 转动惯量是转动惯性的量度. 单位：
F
O
l
x
解：以过O点垂直于纸面的O轴为 转轴，向外为正方向。
C
mg
1 2 I ml 3
3g cos M 由定轴转动定理 I 2l
M mgxC 1 mgl cos 2
d d d d dt d dt d 3g cos 3g sin d d ＝ 2l l 0 0
转轴.因为刚体静止,所以诸体元重力对C 轴合力矩为零.
y
A B C D D B C W
z
A
x C
W
Wi
Wi ( xi xc ) 0
xc
Wi x i W
yc
Wi y i W
zc
Wi zi W
若取
Wi mi g
则重心坐标与质心坐标同，但概念不同. 质心是质量
中心，其运动服从质心运动定理. 重心是重力合力作
运用质心运动定理，对质心C：
ˆ n F1
ˆ t
F F 2
O
l
x
C
ˆ : F1 mg sin man n ˆ t : F2 mg cos mat
2
mg
l 2 3g sin a n r 2 2l l 3g cos at r 2 4 F1 2 2 F F1 F2 arctan F 2
FT
FT FN W mac
图(a)
W
x
向x及y轴投影得
FNx mac x
FT mg FNy mac y
根据转动定理
起动时
acx
2 7 FT R mg R mR 2 z 3 9 2 a a R 0 z cy z R 3
刚体定轴转动 I = 常量
刚体定轴转动的转动定理
Miz I z z
说明： (1) M I与F ma地位相当
(2) 式中各量对同一转轴
（3）I 常量, 则 M , 若M 0，
0， 恒量.
验证刚体定轴转动定理的演示实验
§7.3.4 刚体的重心
重心——刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那 一点. 如图,被悬挂刚体处于静止,C为重心,因C不动,可视为
1 1 1 1 1 2 2 2 m2 gh m2v I m2 v ( m1 R 2 ) 2 2 2 2 2 2
约束关系 联立得
R h
v2
v R
m 2 gh m1 2 m 2
[例题2]均质杆的质量为m，长为l,一端为光滑的支点.最
初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示. （1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v； （2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力. O
故：
mi i cosi mi xi
I A Ic md 2
mxc 0
——平行轴定理
(2)垂直轴定理（正交轴定理）
z
Iz I x I y
O
x
yi m i
i xi
y
(3)可叠加原理 若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成， 则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形 体对同一转轴的转动惯量之叠加.
I C i mi
2
i i
I A i mi
2
2
x
由图
2 2 2 i i d 2i d cosi
I A i mi
2 2 m ( d i i 2i d cos i )
mi i2 mi d 2 mi i cos i 2d
§7.4刚体定轴转动的动能定理
§7.4.1力矩的功
§7.4.2 刚体定轴转动的动能定理
§7.4.3 刚体的重力势能
§7.4.1力矩的功
刚体中P点在力F 的作用下位移 dr 则力元功
dA F dr F dr F rd
对有限角位移
z
Fz
A
Δ
0
1.转轴为对称轴 如图,对O点
L1 r1 m1v1 L2 r2 m2v2
L1 r1m1v1 m2v2 L2 r2
r1
z L
L2 L1
r2
r1 r2 r 故总角动量 L Lk m2v2 cos L r1m1v1 cos r2
L1 r1m1v1 m2v2 L2 r2
L
L2
m1
z
L1 2 m2
r2
总角动量与转轴成角.
r1 1 O
刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量 与角速度方向相同.一般情况，刚体定轴转动对轴上 一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之 成一定夹角.
§7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量
§7.3 刚体定轴转动的角动量· 转动惯量
§7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量 §7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量
§7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 §7.3.4 刚体的重心 §7.3.5 典型例子
§7.3 刚体定轴转动的角动量· 转动惯量
§7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量
m( mi yi ) g m
Ep mgyc
刚体的重力势能与质量集中在重心上的一个质点
的重力势能相同.
[例题1]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，
重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落并带动 柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率v，不计阻力， 不计绳的质量及伸长.
[解] 方Байду номын сангаас1. 利用质点和刚体转
因 m1= m2= m
m1 m2 r2 r1 O
2mr 2
k v1 v2 r
2.转轴为非对称轴
如图, k 对O点同样有
L1 r1 m1v1 L2 r2 m2v2 L L1 L2
为重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
图(a)
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和支点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]
需拉力是多少？
FT
W
图(b)
[解]（1）以弧形闸门及钢架 y FN 为隔离体，受力如图(a)所示. O 建立直角坐标系Oxy， 根据质心运动定理
二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒
转动惯量的决定因素：
总质量； 质量连续 转轴的位置;
质量分布.
分布的刚体
线 dm dl I r 2 dm 面dm dS 体dm dV
其中、、分别为质量的线密度、面密度和体 密度.
[例1]求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的
[解](1)由机械能守恒得
FN
1 mgh c I 2 2 1 1 2 hc l I ml 2 3
P231, 例题7-5
§7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
刚体对定轴的角动量
i
Lz ΔLiz ( mi ri2 ) I z z
i
角动量定理微分形式
dLz d M iz dt dt I z z
角动量定理积分形式
M z d t I z z I z z 0
11 mg 10 比较上面结果，可见提升弧形闸门 FT
W
所用的拉力较小.
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上， 线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定 滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动 惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线 的长度不变. I0 r m h I
第七章部分习题
P264（习题）： 7.3.6，7.3.8，7.4.2
第七章
§7.1 §7.2
刚体力学 (9学时)
刚体运动的描述 刚体的动量和质心运动定理
刚体定轴转动的角动量· 转动惯量 刚体定轴转动的动能定理
§7.3 §7.4
§7.5
§7.6 §7.7
刚体平面运动的动力学
刚体的平衡 自转与转动
I zd
d Iz d I z d 0 dt
A外 A外i
1 1 2 2 I z I z 0 2 2
作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等 于刚体绕定轴转动动能的改变量.
§7.4.3 刚体的重力势能
刚体的重力势能
Ep mi gyi ( mi yi ) g