第七章弯曲变形第二节叠加法

第四节 计算弯曲变形的叠加法 （Beam deflections by superposition ） 一、叠加原理 （Superposition）
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1
F1a3 F1a3 3EI 2EI 5F1a3 6EI
a
A
B1
B
C
B F
1
a
C1
B
C
a
a
F2
2）在F2 和单独作用下
F1
A
B
C
wC F
2

F1 2a 3EI
3
a
a
F2
C2
wC wC F wC F
1
2
5F1a3 8F2a3 6EI 3EI
[例5] 图示简支梁由 No. 18 工字钢制成，长度 l = 3 m ，受 q = 24 kN/m 的均布载荷作用。材料的弹性模量 E = 210 GPa ，许用应 力 [ ] = 150 MPa ，梁的许可挠度 [w ] = l / 400 。试校核梁的强度 和刚度。
w
q
B
l
x
解： 1）强度校核 最大弯矩
是叠加原理.
1.载荷叠加（Superposition of loads）
多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起 的变形的代数和.
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
l /2
l /2
F
A
B
M e Fl / 2
C
F
A
B
C
C2 F
B2 F

F l / 2
3
3EI 3Fl 3 16 EI
7 Fl 3 48EI
A
M e Fl / 2
B2 M e
B
C
C2 M e
[例3] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角C ， 设梁的抗弯刚度 EI 为常量。 解：
A
F
wmax
B
2）刚度计算 最大挠度发生于跨中截面，为
w max Fl 3 48EI z
l /2
l /2
根据梁的刚度条件
w max
Fl 3 l ≤ w 48EI z 500
得梁截面对中性轴的惯性矩
500 Fl 2 Iz ≥ 2.92 105 m4 48E
查型钢表，No. 22a 工字钢的 Wz = 3.09 104 m3、Iz =3.40105 m4 ，
100MPa
结论：该梁的强度符合要求
M e Fl / 2
C
F
2
w
B2
Me

M e l / 2 4EI
e
A
w
C2 M e
wB M B M l / 2
e
B2 F
B
C
C2 F
Ml M ll e e 16EI 4EI 2 3M el 2 16EI
2
A
M e Fl / 2
F
A
l
B
C
a
[例4] 如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷 q ，试用叠加 法计算截面 C 的挠度 wC 。设梁的抗弯刚度 EI 为常量。 解：
A
q
C
l /2 l /2
B
叠加法的要点 ——
1）叠加法适用前提：线弹性、小变形 2）记住常用结论 3）必须画出叠加变形图
4）掌握叠加法的常用技巧
第五节 弯曲刚度计算
A
M ຫໍສະໝຸດ Baiduax
ql 27 103 N m 8
2
查型钢表，Wz = 186 cm3， 根据弯曲正应力强度条件
max
M max 27 103 146 MPa < 150 MPa 6 Wz 185 10
故梁的强度满足要求
w
q
wmax
2）梁的刚度校核
A
l
B
x
2.结构形式叠加（逐段刚化法）
[例1] 图示悬臂梁，同时承受集中载荷 F1 和 F2 的作用。设梁的 抗弯刚度为 EI，试用叠加法计算自由端 C 的挠度 wC 。 解：1）在F1 和单独作用下
F1
A
B
B F
1
F1a 2EI
2
C
a
F1
A
1
a
F2
wB F
1
F1a3 3EI
1
wC F wB F B F a
同时满足梁的强度和刚度要求，故可选取No. 22a 工字钢。
q
第六节 简单超静定梁
A
B
l
求解简单超静定梁的基本步骤 —— 1. 解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静 定梁的相当系统； 2. 根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；
3. 计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得 补充方程；
4. 由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。
[例3] 图示圆形截面梁，承受集中力 F 作用。已知 F = 20 kN，跨度 l = 500mm，截面直径 d = 60 mm，材料的许用应力 [ ] = 100 MPa，
试校核该梁的强度。
解： 1）解除多余约束 2）建立变形协调方程
wB 0
B
F
C
EI
l /2
F
l /2
2）令BC 不变形，只考虑AB变形
B
C1
C
F
A
B
M e Fl / 2
C
2）令BC 不变形，只考虑AB变形 （ a ）在F作用下
A
3
2EI
B
F
EI
C
w
C2
F

5F l / 2 6 2 EI
l /2
l /2
F
A
B
（ b ）在Me作用下 Me l / 2 B2 Me 2 EI
查型钢表，得 Iz = 1660 cm4
梁的最大挠度发生在中间截 面，为
w max
由于
5ql 4 7.26 103 m = 7.26 mm 384 EI
w max
l 7.26 mm < w 7.5 mm 400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F = 35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] = l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
B2 M e
B
C
C2 M e
2）令BC 不变形，只考虑AB变形
wC2 wC2


Me
2
wC2

3
A
F
2EI
B
F
EI
C
3M el 5Fl 16 EI 96 EI 3 Fl / 2 l 2 5Fl 3 16EI 96EI 7 Fl 3 48 EI wC wC1 wC2
3）建立补充方程
11Fl 3 FBl 3 wB 0 96 EI 6 EI
4）求解多余未知力
解得
11F FB 13.75 kN 16
FB 13.75 kN
5） 强度计算 作弯矩图
最大弯矩
M max 2.03 kN m
根据梁的弯曲正应力
强度条件
max
M max 95.7 MPa Wz
A
a
F1 B
C
a
F2
[例2] 阶梯悬臂梁如图，试求自由端端 C 的挠度 wC 。已知 BC 段 梁的抗弯刚度为为 EI、AB 段梁的抗弯刚度为为 2EI。
解：该梁可看做由悬臂梁AB和固定在横截面B上的悬臂梁BC组成
1）令AB不变形，只考虑BC变形
wC1 F l / 2 3EI
3
A
2EI
解： 1）强度计算
最大弯矩
M max Fl 3.5 104 N m 4
F
A
B
l /2
l /2
根据梁的正应力强度条件，得梁的抗弯截面系数
Wz ≥
M max

3.5 104 N m 4 3 2.19 10 m 160 106 Pa
Wz ≥ 2.19 104 m3
一、梁的刚度条件
w max ≤ w
式中，[w] 为梁的许用挠度
二、提高梁的弯曲刚度的措施 1. 合理选材 选用弹性模量 E 较高的材料 结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义 2. 采用合理的截面形状 选用具有较高 Iz / A 比值的截面形状 结论：工字形截面较为合理 3. 减小梁的跨度