空间分析(2009-2010-2：8)：空间插值与地统计

1 1 1 1 1 1 1 0.16 41.23 35.35 40.00 20.00 44.72 92.19 i 1d i
• • • ∑ =1 4 最大 6 最小
Point No. 0 1 2 3 4 5 6
Northing 110.0 70.0 115.0 150.0 110.0 90.0 180.0
设Zi(xi，yi)表示某一地理特征值在空间上的 分布。其中(xi，yi)为平面上点的坐标。任一 观测点Zi可分解为两个部分，即：
趋势面 剩余面
Zi ( xi , yi ) Ti ( xi , yi ) ei ˆ Ti ( xi , yi ) f ( x, y) zi ( xi , yi ) z ˆi ei zi z
一、一阶方法
1. 倒距离权重（IDW）插值 2. 趋势面分析
1. 倒距离权重(IDW)插值
IDW 插值方法假定每个输入点都有着局部影响，这种 影响随着距离的增加而减弱。步骤: a) 计算未知点到所有点的距离； b) 计算每个点的权重： 权重是距离倒数的函数。
i
1 di (
i 1 n
10
• 结构性
– 可以用均值和常数趋势表示
• 空间相关
– 数据通常呈现正空间相关性
• 随机性
数据点
– 测量误差，其他误差
实际值
elevation
结构性
随机性
distance
协方差函数与变异函数
• 数学期望、方差和协方差
– 数学期望：一阶原点矩
随机变量
与时间有关的 随机函数 带有多个(2个以上)自 变量的随机函数
随机函数
随机过程
随机场
以空间点的三个直角坐标为自变量
区域化变量
Professor Georges Matheron (1930-2000.8.7) 法国数学家和地质学家
http://cg.ensmp.fr/Presentation/Matheron/Matheron_en.shtml
2. 趋势面分析
趋势面分析(trend surface analysis)：用数学 模型来模拟（或拟合）地理数据的空间分 布及其区域性变化趋势的方法。
确定性插值
• 函数拟合 • 最普通的形式：多项式
e.g y = ax2+bx+c – 局部（local）：分段地 – 全局（global）
local 1st order
二、二阶方法
• 区域化变量 • 协方差函数 & 半变异函数
地统计学是以区域化变量理论为基础，以 变异函数为主要工具，研究那些在空间分 布上既有随机性又有结构性，或空间相关 和依赖性现象的学科。
协方差函数和变异函数是以区域化变量理 论为基础建立起来的地统计学的两个最基 本函数。地统计学的主要方法之一，克里 金方法(Kriging)就是建立在变异函数理论 和结构分析基础之上的。
IDW插值的缺点
IDW不能得到大于样本最大 值或小于样本最小值的估计。 对于高程表面，这‘抹平’ 了峰和谷。（除非它们的高 点和低点是样本的一部分。 因为估计值为均值，得到的 表面将不通过样本点
IDW插值在ArcGIS中的实现
IDW插值在ArcGIS中的实现
IDW插值在ArcGIS中的实现
Idaho州降雨量等直线图
该曲面模型有16个待定系数（Cij, i,j=0,1,2,3;）。通 常用 4 个数据点（规则格网的 4 个顶点）的 4个函数 值组成的 4×4 方程组求解（如图）。这 4 个函数值 是高程Z、 x方向斜率R、 y方向斜率S，以及扭矩T：
Z f ( x, y ) R Z (0 1 2 x 3 x 2 )C (1 y y 2 y 3 )T x S Z (1 x x 2 x3 )C (0 1 2 y 3 y 2 )T y T Z Z (0 1 2 x 3 x 2 )C (0 1 2 y 3 y )T x y
当一个变量的取值与其空间位置有关时， 就称为区域化变量（regionalized variable）。 区域化变量常常反映某种空间现象的特征， 用它来描述的现象称之为区域化现象。 区域化变量，亦称区域化随机变量， Matheron(1963)将它定义为以空间点x的三 个直角坐标为自变量的随机场 Z ( x) Z (xu ,xv ,xw ) 区域化变量具有两个最显著，也是最重要 的特征：随机性和结构性。
i
1 / dij
α α
,
ij
λ = 1
i i =1
n
– – –
对所有或选定的 i 进行计算 典型地，α 的取值是1或2 除以距离权重的和，保证了权重加起来等于1
例：倒距离加权(IDW)插值结果
100
4
3 2 200 160
2018/12/6
河南大学环境与规划学院 zhaoy@henu.edu.cn
n
Z 0 0.15 115.4 0.17 123.1 0.15 113.8 0.31 110.5 0.139 107.2 0.06 131.7
Z0 (110,150) 112.36
IDW插值的一般模型
zj =
λ z ,
i i i
λi =
1 / d
2 2
b6 x b7 x y b8 xy b9 x
3 2 2 3
b10 x3 y b11 xy 3 b12 x 2 y 2 b13 x 4 b14 y 4
二阶趋势面 Second Order Trend Surface
(1, x, y, x2, y2 , xy)T
区域化变量的功能： 由于区域化变量是一种随机函数，因而能同时反 映空间变量的结构性和随机性。
一方面，当空间点 x
固定后，Z(x)就是一个随 机变量，这体现了其随机性。 x 与 x+h 处的区 域化变量值具有某种程度的相关性，这体现了 其结构性。
另一方面，在空间两个不同点
区域化变量的组成部分
Deterministic Solutions
Predicted Model Measured
First Order Polynomial Interpolation
Second Order (third, fourth, etc.) Polynomial Interpolation
Local Polynomial Interpolation
趋势面分析在ArcGIS中的实现
趋势面分析在ArcGIS中的实现
趋势面分析在ArcGIS中的实现
Idaho州降雨量等直线图
二、二阶方法
IDW插值和趋势面方法的缺陷：
• IDW： 距离权重函数的选择和“邻居”的定 义是其“致命缺陷”（Achilles’ heel）。 • 趋势面分析：In a sense, trend surface analysis lets the data speak for themselves, whereas IDW interpolation forces a set structure onto them.
第八讲 空间插值与地统计
一．一阶方法
1. 倒距离权重(IDW)插值 2. 趋势面分析
二．二阶方法
1. 区域化变量 2. 协方差函数, 变异函数, 变异函数模型 3. 交叉验证
三．地统计：克里金(Kriging)方法
1. 概述：理解不同的克里金方法 2. 几种不同的克里金方法
普通克里金(OK)、简单克里金(SK)、泛克里金(UK) 指示克里金（IK）、协克里金（Ck）
Radial Basis Function (Spline) Interpolation
• 趋势面的性质与特点
–是一种光滑的数学曲面，能集中地代表地理 数据在大范围内的空间分布变化趋势。 –与实际地理曲面不同，它只是实际曲面的一 种近似。
–实际曲面包括趋势面和剩余曲面两部分，即：
实际曲面 ＝ 趋势面 + 剩余曲面
Fra Baidu bibliotek
三阶趋势面 Third Order Trend Surface
(1, x, y, x2, y2 , xy, x3, y3 , x2y, xy2)T
趋势面的具体计算方法与步骤：
① 原始数据列表； ② 等间隔选取纵横坐标网，将原始数据点
入坐标； ③ 按多元线性回归分析方法求出趋势面的 正规方程组，解出参数； ④ 从趋势值等值线图中，获得地理要素的 区域性变化规律； ⑤ 用F分布对趋势面进行拟合程度检验。
多项式趋势面的数学模型
1. z b0 b1 x b2 y 2. z b0 b1 x b2 y b3 x b4 xy b5 y
2 2 2
3. z b0 b1 x b2 y b3 x b4 xy b5 y
2
b6 x3 b7 x 2 y b8 xy 2 b9 x 3 4. z b0 b1 x b2 y b3 x b4 xy b5 y
双三次多项式（样条函数）插值
即用双三次多项式拟合趋势面。
C00 , C01 , C02 , C03 1 C , C , C , C y 11 12 13 2 3 10 z (1, x, x , x ) C20 , C21 , C22 , C23 y 2 3 C30 , C31 , C32 , C33 y
global 1st order
• 趋势面分析是一种整体内插法，该方法假设 一般趋势与局部变化无关，并利用曲面方程 来模拟待定点附近地形表面的一般趋势。 • 通常使用的是 1次、 2 次、 3 次趋势面，过高 次的趋势面不利于反映空间趋势，并可能存 在趋势面的“畸变”。其中，2次趋势面可用待定
点附近的6个数据点来计算方程式系数。
Easting 150.0 140.0 115.0 150.0 170.0 190.0 210.0
Elevation ? 115.4 123.1 113.8 110.5 107.2 131.78
ˆ ( X 0 , Y0 ) i Z ( X i , Yi ) Z
i 1
n
i 1
i 1
n
• 按建立多元线性方程的方法，使Q对系数b0， b1，…，bn求偏导，并令这些偏导数等于零， 得趋势面的正规方程组，解正规方程组，即可 求出系数，从而得到趋势面方程。
因为任何函数在一定范围内总可以用多项 式来逼近，并可调整多项式的次数来满足 趋势面分析的需要，一般来说，多项式的 次数越高则趋势值越接近于观测值，而剩 余值越小。
n
41.23 35.35 40.0 20.00 44.72 92.19
1 1 1 1 41.23 0.15 2 35.35 0.17 3 40.0 0.155 0.16 0.16 0.16 1 1 1 4 20.0 0.31 5 44.72 0.139 6 92.19 0.067 0.16 0.16 0.16
一阶趋势面 First Order Trend Surface
一阶趋势面残差 Residuals from First Order Trend Surface
趋势面参数的确定（最小二乘法） • 使每一个观测值与趋势值的残差平方和最小， 即
ˆi ) min Q ( zi z
2 i 1
5
6
7
8
16
1
2
9
15
3
4
10
14
13
12
11
• 其中Z保证曲面通过格网的4个数据点，R、S、T 保证曲面在这4个数据点处光滑连续。 • 双三次多项式（样条函数）内插法是规则格网插 值的常用方法之一。这种方法通过一系列曲面片 段来拼接地形表面，最终得到一个1阶、2阶连续 的表面。该方法属于局部插值，计算负担中等； 对于平滑表面拟合效果最好，对于起伏的表面拟 合效果最差。
c) 计算结果：
ˆ ( X ,Y ) Z ( X ,Y ) Z 0 0 i i i
i 1 n
260 22.9
.8
17
21.1
.4
1 ) di
P0 Unknown
480 420
240
18.3
170
示例：IDW插值（求图中0点的值）
点 距离
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6