复数的基本知识(2020年10月整理).pdf

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关于复数的知识点总结

关于复数的知识点总结1. 什么是复数复数是由实数与虚数组合而成的数。

其中，实数包含所有我们熟知的实际数值，如1、2、3、4等等；而虚数则是以虚部单位i表示的数，其中i是一个虚数单位，定义为i2=−1。

复数的一般表示形式为a + bi，其中a表示实部，b表示虚部，i表示虚数单位。

2. 复数的运算法则2.1. 加减法规则复数的加减法规则与实数的加减法类似，实部分别相加减，虚部分别相加减。

例如： - (2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i - (2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i2.2. 乘法规则复数的乘法规则遵循分配律，实部相乘减虚部相乘，且i2=−1。

例如： - (2 + 3i) × (4 + 5i) = 8 + 22i + 15i^2 = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i2.3. 除法规则复数的除法规则可以通过乘以共轭进行简化。

- 共轭复数：一个复数的共轭是改变虚部符号所得到的复数。

例如： - (2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) × (4 - 5i) / (4 + 5i) × (4 - 5i) = (-8 + 23i) / 41 = -8/41 + 23i/41 = -0.195 + 0.561i3. 复数的性质3.1. 实部和虚部对于一个复数a + bi，实部即a，虚部即bi。

实部和虚部可以分别表示为re(z)和im(z)，其中z表示复数。

例如： - 实部：re(2 + 3i) = 2 - 虚部：im(2 + 3i) = 33.2. 共轭复数对于一个复数a + bi，其共轭复数可以表示为a - bi。

共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。

例如： - 共轭复数：conjugate(2 + 3i) = 2 - 3i3.3. 复数大小比较复数大小比较的方法是比较两复数的模。

模是复数的绝对值，可以使用|z|表示。

(完整版)复数知识点归纳

复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。

复数全章知识点

复数全章知识点一、知识概述《复数》①基本定义：复数就是把实数和虚数合在一起的数。

比如，3是实数，但如果写成3 + 0i，这就是复数了。

其中i是虚数单位，规定i的平方等于-1。

就好像有一个神秘的数字世界，原本只有像1、2、3这些实实在在能看到摸到的实数，但科学家为了解决一些问题，发现还得有像i这么个神奇的东西，当它和实数组合起来就成了复数。

②重要程度：在数学学科里可是非常重要的，很多数学问题，特别是和方程、函数相关的，如果没有复数的概念，就没办法完整解决。

像在高等数学、物理学中的交流电计算等领域它可都是大功臣。

③前置知识：要掌握好实数的知识，像有理数、无理数，它们的运算规则，四则运算这些基本功。

因为复数也会用到实数的运算规则。

④应用价值：在电工学里，计算交流电的时候，如果只考虑实数，很多计算是没办法进行的。

因为交流电是有相位差的，而这个相位差就是复数里虚数部分在现实中的体现。

在信号处理里，也经常用到复数，把信号分解成实部和虚部来分别处理。

二、知识体系①知识图谱：复数在数学学科里算是数系扩充后的内容，它是实数系的扩展。

如果我们把数系比作一个家族，实数是家族的一大部分，那复数就是把这个家族又扩大了一些，把像i这种很奇怪的成员也包含进来了。

②关联知识：和方程、函数特别是多项式函数有很大联系。

许多多项式方程在实数范围内无解，但在复数范围内就有解了。

还和向量有点联系。

可以把复数看成一种特殊的向量，实部和虚部分别是向量的两个分量。

③重难点分析：- 掌握难度：我刚学的时候觉得有点难的就是虚数单位i这个概念，有点抽象。

它不像实数那么直观。

- 关键点：理解复数的实部、虚部，还有i的平方等于-1这条铁律。

能熟练进行复数的四则运算。

④考点分析：- 在考试中，如果是基础数学考试，会重点考查复数的基本运算，像加、减、乘、除。

比如出一道题让你计算(2 + 3i)+(1 - 2i),这种简单的计算。

如果是稍难一点的或者高等数学考试，会考查复数在方程中的应用，比如解一个在实数内无解的二次方程在复数范围内的解。

复数相关知识点总结

复数相关知识点总结1. 复数的构成在英语中，构成名词复数形式的方法有几种，主要取决于名词本身的词尾。

一般来说，名词的复数形式可以通过以下几种方式构成：- 在名词后面加上-s- 在以s, sh, ch, x, 或是以o结尾的名词后面加-es- 以辅音字母+y结尾的名词，变y为i再加-es- 以f或fe结尾的名词，通常变f为v再加-es- 不规则变化，比如man变为men，woman变为women等。

2. 不可数名词另外，需要注意的是，有些名词是不可数名词，它们是没有复数形式的，通常表示抽象的概念、液体、或是非可数的物质。

对于这些名词，不能用来表示复数，可以使用量词来表示数量，比如“a bottle of milk”。

3. 动词和代词的变化当名词变成复数形式时，相应的动词和代词也需要做出相应的变化。

例如，在句子中，当主语是复数名词时，谓语动词也需要变成复数形式，而且代词也需要相应的变化。

4. 特殊情况同时，也有一些名词的复数形式是跟着不同的含义的。

比如，“child”变为“children”，“foot”变为“feet”，“mouse”变为“mice”等。

这些形式需要特别注意。

5. 复数的用法在日常交流中，复数名词通常用来表示两个或两个以上的人、事物或概念，而且复数名词通常需要搭配相应的定冠词、不定冠词或其他修饰语使用。

需要注意的是，名词前的不定冠词a/an在复数名词前通常用some.6. 注意事项在使用英语时，需要特别注意名词的单复数形式，因为一些名词的单复数形式变化不规则，可能与其词义有关，需要通过熟练的积累和运用来掌握。

同时，在表达时也需要注意名词与动词、代词的一致性，即名词是单数形式时，相应的动词和代词也需要保持单数形式，反之亦然。

总之，复数是英语中的一个基础概念，掌握好名词的单复数形式是学习语言的重要部分。

通过不断的积累和运用，我们可以更加熟练地使用复数形式，从而更准确地表达自己的意思。

(完整版)复数知识点归纳

(完整版)复数知识点归纳完整版：复数知识点归纳复数是英语中用来表示多个数量的形式。

在英语中，名词的复数形式并不总是简单地在单数形式后面加上“-s”。

实际上，还有很多规则和例外需要我们掌握。

在这篇文章中，我们将对复数的一些主要知识点进行归纳总结。

一、一般规则1. 大多数名词在单数形式后面加上“-s”构成复数形式。

例如：book - books, dog - dogs, cat - cats2. 以s、x、ch、sh和o结尾的名词，在单数形式后面加上“-es”构成复数形式。

例如：box - boxes, match - matches, potato - potatoes3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加上“-es”构成复数形式。

例如：baby - babies, country - countries4. 以f或fe结尾的名词，通常将f或fe改为v，再加上“-es”构成复数形式。

例如：knife - knives, leaf - leaves5. 特殊规则：5.1 不规则名词的复数形式需要特殊记忆，例如：child - children, tooth - teeth, mouse - mice5.2 以-o结尾的名词有一些是按照一般规则加“-s”的，例如：piano - pianos, photo - photos，但也有一些是按照“-es”规则变化的，例如：potato - potatoes, tomato - tomatoes二、特殊名词除了一般规则之外，还有一些名词的复数形式是非常特殊的。

下面列举几个常见的例子：1. 人称代词的复数形式：I - weyou - youhe - theyshe - theyit - they2. 不列举变化的名词：例如：sheep（羊）、fish（鱼）、deer（鹿）等，它们在复数形式和单数形式相同。

3. 以“-is”结尾的名词，复数形式将“-is”改为“-es”：例如：thesis（论文）- theses（论文）4. 以“-us”结尾的名词，复数形式将“-us”改为“-i”：例如：cactus（仙人掌）- cacti（仙人掌）5. 以“-o”结尾的名词，复数形式有时将“-o”改为“-i”，有时加“-es”：例如：photo（照片）- photos（照片），radio（无线电）- radios （无线电）6. 以“-f”结尾的名词，复数形式将“-f”改为“-ves”：例如：leaf（叶子）- leaves（叶子）三、复数形式的用法1. 表示数量：例如：There are three cats in the garden.（花园里有三只猫。

复数的考点知识点归纳总结

复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。

3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。

4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。

5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。

6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。

三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。

2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。

3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。

复数的知识点总结

复数的知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它扩展了实数系统，允许我们处理平方根为负数的情况。

以下是复数的知识点总结：1. 复数的定义：复数是实数和虚数的组合，通常表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

2. 复数的分类：- 实数：当b=0时，复数a+bi退化为实数a。

- 纯虚数：当a=0时，复数a+bi被称为纯虚数bi。

- 复数：当a和b都不为0时，a+bi是一个完整的复数。

3. 复数的表示：- 代数形式：a+bi，其中a是实部，b是虚部。

- 极坐标形式：r(cosθ + isinθ)，其中r是模，θ是幅角。

- 指数形式：r(cosθ + isinθ) = re^(iθ)。

4. 复数的四则运算：- 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i- 减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i- 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i- 除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (c^2+d^2)] + [(bc-ad) / (c^2+d^2)]i5. 复数的共轭：对于复数a+bi，其共轭为a-bi，记作a+bi*。

6. 复数的模：复数a+bi的模是|a+bi| = √(a^2+b^2)，表示复数在复平面上到原点的距离。

7. 复数的幅角：复数a+bi的幅角是θ，满足tanθ = b/a，且θ的取值范围通常在[0, 2π)。

8. 复数的极坐标表示：复数可以表示为极坐标形式r(cosθ +isinθ)，其中r是模，θ是幅角。

9. 复数的指数形式：复数的指数形式是re^(iθ)，其中r是模，θ是幅角。

10. 复数的代数基本定理：任何非零复数都可以分解为若干个线性因子的乘积。

11. 复数的解析函数：在复数域上，如果一个函数在某区域内处处可导，则该函数在该区域内是解析的。

(完整版)复数基础知识点

1、复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，形如a +bi (a 、b ∈R )的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集⎧⎧⎧整数⎪⎪有理数⎨实数(b =0)⎨⎪⎩分数⎪⎪复数a +bi (a ,b ∈R )⎨小数)⎩无理数(无限不循环⎪虚数(a ≠0)⎪虚数(b ≠0)⎧纯⎨⎪虚数(a =0)⎩非纯⎩3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

复平面内的点Z （a,b ）复数z =a +bi平面向量OZ4.两个复数相等的定义：a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地，a +bi =0⇔a =b =0.5.复数的四则运算设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i（1）加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i 即实部与实部相加，虚部与虚部相加；，（2）减法：z 1-z 2=(a 1-a 2)+(b 1-b 2)i ，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；（3）乘法：z 1⋅z 2=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 2b 1+a 1b 2)i ，特别z ⋅z =a 2+b 2；c +di（a ,b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方a +bi法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：（4）除法z =c +di c +di a -bi (ac +bd )+(ad -bc )iz ==⋅=；a +bi a +bi a -bi a 2+b 2（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

复数的知识点公式总结

复数的知识点公式总结一、复数的基本概念1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部与虚部：复数z=a+bi中，a称为实部，b称为虚部，通常用Re(z)和Im(z)表示。

3. 纯虚数：实部为0的复数，称为纯虚数，如bi，则bi为纯虚数。

4. 共轭复数：设z=a+bi是一个复数，如果将z的虚部b改变符号，得到一个新的复数z’=a-bi，称z’是z的共轭复数。

二、复数的表示形式1. 代数形式：z=a+bi，即由实部a和虚部b构成的复数形式。

2. 幅角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|为复数的模，θ为复数的辐角。

3. 按模辐角表示：z=r·exp(iθ)。

4. 柯西-黎曼公式：当z=x+yi时，可表示为z=r(exp[i(θ+2kπ)]), k=0,±1,±2,...。

三、复数的运算规则1. 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

2. 减法：(a+bi)-(c+di)=(a+c)-(b+d)i。

3. 乘法：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

4. 除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)。

5. 复数的乘方：(a+bi)²=a²-b²+2abi。

6. 复数的幂运算：zⁿ=(r·exp(iθ))ⁿ=rⁿ·exp(iθn)。

7. 复数的共轭：z=a+bi的共轭为z*=a-bi。

8. 复数的倒数：z=a+bi的倒数为1/z=1/(a+bi)。

四、复数的性质1. 除法：任一非零复数z=a+bi，存在有唯一的复数1/z=1/(a+bi)，满足z(1/z)=1。

2. 复数的模：|z|=√(a²+b²)，其中|z|为z的模。

完整版复数知识点归纳

精心整理复数【知识梳理】一、复数的基本看法1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②i 21；这样方程 x2 1 就有解了，解为 x i 或 x i2、复数的看法（1）定义：形如 a bi (a， b∈ R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位， a 叫做， b 叫做。

全体复数所成的会集 C 叫做复数集。

复数平时用字母z 表示，即z a bi (a，b∈R)关于复数的定义要注意以下几点：① z a bi (a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中bi 表示 b 与虚数单位 i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：满足条件 (a， b 为实数 )a＋ bi 为实数 ?b＝ 0复数的分类a＋ bi 为虚数 ?b≠ 0a＋ bi 为纯虚数 ?a＝ 0 且 b≠ 0例题：当实数 m 为何值时，复数 (m 5m 6) ( m23m)i 是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等注意：只有两个复数所有是实数，才能够比较大小，否则无法比较大小例题：已知 (x y 3) ( x 4)i 0 求x, y的值三、共轭复数a bi 与 c di 共轭 a c,b d (a, b, c, d R)z__a2b2 a bi 的共轭复数记作 z a bi ，且 z z四、复数的几何意义1、复平面的看法建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

页脚内容精心整理2、复数的几何意义复数 z a bi 与复平面内的点Z ( a, b)及平面向量OZ(a, b) (a, b R) 是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既能够表示一个点，也能够表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数例题：（1）当实数m为何值时，复平面内表示复数z (m28m 15) ( m25m 14)i 的点①位于第三象限；②位于直线y x 上（ 2）复平面内AB( 2,6) ，已知CD// AB，求CD对应的复数3、复数的模：向量OZ 的模叫做复数 z a bi 的模，记作 z 或 a bi ，表示点( a,b)到原点的距离，即z a bi a2b2， z z若 z1a bi ， z2c di ，则z1z2表示(a,b)到(c, d )的距离，即 z1 z2( a c) 2(b d) 2例题：已知 z 2i ，求 z1i 的值五、复数的运算（1）运算法规：设 z1＝＋bi ， 2＝＋di，，，，∈a z c abcd R① z1z2 a bi c di ( a c) (b d )i② z1z2(a bi )( c di )( ac bd ) (bc ad )i③z1( a bi )(a bi )(c di )( ac bd )(bc ad )i z2( c di )(c di ) (c di )c2 d 2（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法规进行 .如图给出的平行四边形OZ1ZZ2能够直观地反响出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－ . 六、常用结论（1） i ，i21， i 3i ， i 41求 i n，只要将 n 除以4看余数是几就是i的几次例题： i 675（2）(1 i )22i ， (1 i) 22i（3）(13i) 31， (13 i )31 2222【思虑辨析】判断下面结论可否正确 (请在括号中打“√”或“×”) 2(1)方程 x ＋x＋1＝ 0 没有解 .()..(2)复数 z＝a＋bi(a， b∈ R)中，虚部为 bi.()(3)复数中有相等复数的看法，因此复数能够比较大小.()(4)原点是实轴与虚轴的交点.()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()【考点自测】1.(2015 安·徽 )设 i 是虚数单位，则复数 (1－i)(1 ＋2i) 等于 ()A.3 ＋3iB. －1＋＋iD. －1＋i2.(2015 课·标全国Ⅰ)已知复数 z 满足 (z－1)i＝ 1＋ i，则 z 等于 ()A. － 2－ iB.－ 2＋iC.2 －＋ i3.在复平面内，复数6＋5i，－ 2＋3i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是()A.4 ＋＋＋＋i已知，∈，是虚数单位若a＋i ＝2－bi，则 (a＋bi)2等于()4. a b R i.A.3 －＋－＋3i5.已知 (1＋2i) ＝4＋3i，则 z＝ ________.【题型解析】题型一复数的看法例 1 (1)设 i 是虚数单位 .若复数 z＝ a－ (a∈R)是纯虚数，则 a 的值为 ()A. － 3B.－(2)已知 a∈ R，复数 z ＝2＋ai，z ＝ 1－ 2i，若为纯虚数，则复数的虚部为 ()12(3)若 12＋ m＋1)＋(m2＋m－ 4)i(m∈R)，z2＝－，则“＝”是“1＝ 2”的() z ＝ (m 3 2i m 1z zA. 充分不用要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不用要条件引申研究1.对本例 (1)中的复数 z，若 |z|＝，求 a 的值 .2.在本例 (2)中，若为实数，则a＝________.思想升华解决复数看法问题的方法及注意事项..精心整理(1)复数的分类及对应点的地址都能够转变成复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只要把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式 )组即可 .(2)解题时必然要先看复数可否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数 z＝ (x2－1)＋ (x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为()A. － 1B.0C.1D.－ 1 或 1(2)(2014 浙·江 )已知 i 是虚数单位， a， b∈ R，则“ a＝b＝1”是“ (a＋bi) 2＝ 2i”的 ()A. 充分不用要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不用要条件题型二复数的运算命题点 1复数的乘法运算例 2 (1)(2015 湖·北 )i 为虚数单位， i 607的共轭复数为 ()A.iB. －iC.1D. －1(2)(2015 北·京 )复数 i(2 －i) 等于 ()A.1 ＋－ 2iC.－1＋2iD.－ 1－ 2i命题点 2复数的除法运算例 3 (1)(2015 湖·南 )已知＝ 1＋ i(i 为虚数单位 )，则复数 z 等于 ()A.1 ＋iB.1 －iC.－ 1＋ iD.－ 1－ i(2)()6＋＝ ________.命题点 3复数的运算与复数看法的综合问题例 4 (1)(2015 天·津 )i 是虚数单位，若复数 (1－ 2i)(a＋ i)是纯虚数，则实数 a 的值为 ________.页脚内容..(2)(2014 江·苏 )已知复数 z＝ (5＋2i)2(i 为虚数单位 )，则 z 的实部为 ________.命题点 4复数的综合运算例 5 (1)(2014 安·徽 )设 i 是虚数单位，表示复数z的共轭复数 .若 z＝ 1＋ i，则＋ i ·等于 ()A. － 2B.－(2)若复数 z 满足 (3－ 4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为 ()A. － 4B.－C.4D.思想升华复数代数形式运算问题的常有种类及解题策略(1)复数的乘法 .复数的乘法近似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法 .除法的要点是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数看法的综合题，先利用复数的运算法规化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法规化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算 .分别运用复数的乘法、除法法规进行运算，要注意运算序次，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的...精心整理(1)(2015 山·东 )若复数 z 满足＝ i，其中 i 为虚数单位，则 z 等于 ()A.1 －iB.1 ＋iC.－ 1－ iD.－ 1＋ i(2)2016＝ ________.(3)＋2016＝________.题型三复数的几何意义例 6 (1)(2014 重·庆 )实部为－ 2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的 ()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)△ABC 的三个极点对应的复数分别为z1，z2， z3，若复数 z 满足 |z－ z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则 z 对应的点为△ ABC 的 ()A. 内心B. 垂心C.重心D.外心思想升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，也许用向量相等直接给出结论即可.页脚内容..(1)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ()(2)已知 z 是复数，z＋2i、均为实数 (i 为虚数单位 )，且复数 (z＋ ai) 2在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围 .【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例已知 x，y 为共轭复数，且 (x＋y)2－3xyi＝ 4－6i ，求 x，y.思想点拨(1)x，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转变成实数问题.温馨提示(1)复数问题要掌握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的要点是先把 x、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解 .这是常用的数学方法 .(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能够将复数问题转变成实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数 z＝a＋ bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转变成实数问题的主要方法.关于一个复数 z＝a＋bi(a， b∈ R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看作一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法规，其方向是应注意的问题，平移经常和加法、减法相结合 ...精心整理【失误与防范】1.判断复数是实数，仅侧重虚部等于0 是不够的，还需考虑它的实部可否有意义.2.两个虚数不能够比较大小 .3.注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数 b，即虚部是一个实数 .【牢固练习】1.(2015 福·建 )若(1＋i)＋ (2－3i)＝ a＋ bi(a，b∈R，i 是虚数单位 )，则 a，b 的值分别等于 ()A.3 ，－ 2B.3,2，－ 3 D.－1,42.设 z＝＋ i，则 |z|等于 ()3.(2015 课·标全国Ⅱ)若 a 为实数，且 (2＋ai)(a－2i)＝－ 4i，则 a 等于 ()A. －4.若 i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数 z，则表示复数的点是 ()5.(2014江·西 )是 z 的共轭复数，若 z＋＝ 2， (z－)i ＝2(i 为虚数单位 )，则 z 等于 ()A.1 ＋iB. －1－iC. －1＋－ i6.(2015江·苏 )设复数 z 满足 z2＝3＋4i(i 是虚数单位 )，则 z 的模为 ________.7.若＝ a＋ bi(a，b 为实数， i 为虚数单位 )，则 a＋b＝________.8.复数 (3＋i)m－(2＋ i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是 ________.9.计算： (1)；(2)； (3)＋； (4).10.复数 z1＝＋ (10－a2)i ， z2＝＋ (2a－5)i ，若1＋z2是实数，求实数 a 的值 .【能力提升】11.复数 z1，z2满足 z1＝m＋ (4－m2)i ，z2＝ 2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈ R)，并且 z1＝z2，则λ的取值范围是 ()A. [－1,1]B.C.D.12.设 f(n)＝n＋n(n∈N* )，则会集 { f(n)} 中元素的个数为 ()A.1B.2C.3D. 无数个13.已知复数 z＝x＋yi，且 |z－ 2|＝，则的最大值为 ________.14.设 a∈R，若复数 z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋ y＝ 0 上，则 a 的值为 ____________.15.若 1＋i 是关于 x 的实系数方程 x2＋ bx＋c＝0 的一个复数根，则b＝________，c＝________.页脚内容..【牢固参照答案】1A.2.B.3.B.4.D.5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－ 1－3i.(2)＝＝＝＝＋ i.(3)＋＝＋＝＋＝－ 1.(4)＝＝＝＝－－ i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋ (a2＋ 2a－15)i.∵1＋z2 是数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋ 5)(a－1)≠ 0，∴a≠－5 且 a≠1，故 a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化得4－ 4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－ 4cos2θ－ 3sinθ＋4＝－ 4(1－sin2θ)－ 3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝ 42－，因 sinθ∈ [－ 1,1]，因此 4sin2θ－3sinθ∈ .答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋ (－i) n，f(1)＝0，f(2)＝－ 2， f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，⋯∴会集中共有 3 个元素 .答案C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－ 2)2＋y2＝ 3.由可知max＝＝ .14.解析∵z＝＋＝＋ i，∴ 依意得＋＝ 0，∴a＝0.15.解析∵ 系数一元二次方程 x2＋＋＝0的一个虚根＋，bx c 1 i ∴其共复数 1－i 也是方程的根 .由根与系数的关系知，∴b＝－ 2， c＝ 3...。

完整版)复数知识点总结

完整版)复数知识点总结复数一、复数的概念1.虚数单位i虚数单位i的平方等于1，即i²= 1.实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律。

i的乘方：i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=1，i⁴ⁿ⁺³=i，n∈N*，它们不超出bi的形式。

2.复数的定义形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，a,b分别叫做复数的实部与虚部。

3.复数相等a+bi=c+di，即a=c且b=d，那么这两个复数相等。

4.共轭复数当z=a+bi时，z的共轭复数为z=a bi。

性质：z=z；z₁±z₂=z₁±z₂；z₁×z₂=z₁×z₂；(z₂≠0)二、复平面及复数的坐标表示1.复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴。

2.复数的坐标表示点Z(a,b)表示复数z=a+bi。

3.复数的向量表示向量OZ表示复数z。

4.复数的模在复平面内，复数z=a+bi对应点Z(a,b)，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模，记作|z|。

由定义知，|z|=√(a²+b²)。

三、复数的运算1.加法a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁+z₂对应的向量为OZ₁+OZ₂=(a+c,b+d)。

因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释。

2.减法a+bi)(c+di)=(a c)+(b d)i。

几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁z₂对应的向量为OZ₁OZ₂=Z₂Z₁=(a c,b d)。

z₁z₂=(a c)+(b d)i=(a c)²+(b d)²表示Z₁、Z₂两点之间的距离，也等于向量Z₁Z₂的模。

(完整版)复数知识点总结

(完整版)复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，特别是在代数和几何中扮演着重要角色。

以下是复数的知识点总结：1. 定义：复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。

2. 实部与虚部：对于复数 z = a + bi，a 称为它的实部（Re(z)），b 称为它的虚部（Im(z)）。

3. 共轭复数：一个复数 z 的共轭复数表示为 z* 或者z̅，定义为a - bi。

共轭复数在复平面上关于实轴对称。

4. 模与辐角：复数 z 的模（|z|）是其实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a² + b²)。

辐角（arg(z)）是从正实轴到复数在复平面上表示的向量的角度，通常用θ 表示。

5. 复数的乘法与除法：- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i6. 欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。

这个公式将复指数函数与三角函数联系起来。

7. 德摩弗定理：对于任何复数 z 和非零复数 w，有 (z/w) = (z - w) / (1 - wz)，这个定理在处理复数序列和级数时非常有用。

8. 复数的极限与连续性：复数的极限定义与实数类似，但需要考虑复平面上的点。

复数函数的连续性也可以用类似实数函数的方式定义。

9. 解析函数：如果一个复数函数 f(z) 在某个区域内的每一点都可微分，则称 f(z) 在该区域内解析。

柯西-黎曼方程是判断一个复函数是否可微分的必要条件。

10. 级数展开：复数函数可以通过泰勒级数或劳朗级数在复平面上展开。

复数知识点总结

复数一、数系的扩充和复数的概念：1.复数的定义：形如),(R b a bi a ∈+的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位。

其中a 叫作复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(其中12-=i )。

2.复数分类：复数⎩⎨⎧=≠=∈+)0)(0()0(),(时为纯虚数当虚数实数a b b R b a bi a 。

3.数集之间的关系：4.复数相等的充要条件：d b c a di c bi a ==⇔+=+且。

特别的：0,00,,==⇔=+∈b a bi a R b a 。

二、复数的几何意义：1.复平面：如图，点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ，复数bi a z +=可用点Z （a ，b ）表示。

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。

实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2.复数与向量的对应：如图所示：复数−−−→←∈+=一一对应),(R b a bi a z 平面向量OZ , 这时复数的另一种几何意义。

3.复数的模：向量OZ 的模叫做复数),(R b a bi a ∈+的模或绝对值，记作z 或bi a +。

即22b a bi a z +=+=。

4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

复数z 的共轭复数用z 表示。

注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于x 轴对称。

三、复数的运算：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=是任意两个复数。

复数的加法运算：i d b c a di c bi a z z )()()()(21+++=+++=+；复数的减法运算：i d b c a di c bi a z z )()()()(21-+-=+-+=-；复数的乘法运算：i bc ad bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅；复数的除法运算：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++；加法运算律：交换律：1221z z z z +=+；结合律：)()(321321z z z z z z ++=++；乘法运算律：交换律：1221z z z z ⋅=⋅；结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；乘法对加法的分配率:3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+.四、复数的三角形式（选学）1.复数的代数形式转化为三角形式：代数形式),(R b a bi a z ∈+=可化为三角形式)sin (cos θθi r z +=。

复数知识点与公式总结

复数知识点与公式总结复数这玩意儿，在数学里可有点意思。

咱今天就好好来捋一捋复数的那些知识点和公式。

先来说说啥是复数。

你就想象吧，有一天数学世界觉得实数不够玩了，于是就创造出了复数。

复数呢，一般写成 a + bi 的形式，其中 a 叫实部，b 叫虚部，i 呢，就是那个神奇的家伙，i² = -1 。

比如说 3 + 2i ，这就是一个复数。

那复数有啥用呢？我给你讲个事儿。

有一次我去商场买东西，看中了一款耳机，标价 50 块，但是又看到一款音箱，价格挺奇怪，标着 30 - 10i 元。

我就纳闷了，这咋还有虚数呢？后来才知道，这是商家搞的一个促销噱头，其实就是想说这个音箱的价格在 30 元上下有一定的波动，用虚数来增加点神秘感。

这时候复数就成了一种表示不确定性或者说范围的工具。

咱再看看复数的运算。

复数的加法，那就是实部加实部，虚部加虚部。

比如说 (2 + 3i) + (1 + 4i) ，就等于 (2 + 1) + (3 + 4)i ，也就是 3 + 7i 。

减法也差不多，实部减实部，虚部减虚部。

复数的乘法，那可得好好说道说道。

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²，因为 i² = -1 ，所以化简一下就是 (ac - bd) + (ad + bc)i 。

比如说 (2 + 3i)(1 + 4i) ，算一下就是 2×1 + 2×4i + 3i×1 + 3i×4i = 2 + 8i + 3i - 12 = -10 + 11i 。

除法稍微麻烦点，得把分母实数化。

比如说 (2 + 3i)÷(1 + 4i) ，分子分母同时乘以分母的共轭复数 1 - 4i ，化简之后就能得到结果。

共轭复数也挺重要，对于复数 a + bi ，它的共轭复数是 a - bi 。

共轭复数在解决一些问题的时候特别有用，比如说求复数的模。

(完整版)复数知识点总结

复数知识点小结1、复数的概念复数 (,)z a bi a b R =+∈Re Im a z b z ⎧⎨⎩——实部————虚部——，其中21i =-，i 叫做虚数单位. 2、复数的分类 (0) (,)(0) (0b z a bi a b R b a =⎧=+∈⎨≠=⎩实数复数虚数特别地，时为纯虚数)3、两个复数相等定义：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。

复平面中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。

5、复数的向量表示OZ Z 向量复平面上点复数↔↔+=),(b a bi a z6、复数的模复数模（绝对值）的定义，几何意义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。

|z|=|a+bi|=022≥+b a .[说明] ||||z z a ==为实数时，，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。

当且仅当a=b=0时，|z|=07、复数的四则运算性质：R d c b a ∈,,,1）、加法：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++2）、减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+3）、乘法：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++4）、除法：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++ （目的：分母实数化） [要点说明]①计算结果一律写成),(R b a bi a ∈+的代数形式；②复数的加法满足交换律、结合律；③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律；交换律：1221z z z z ⋅=⋅结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅分配律：3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即n n n mn n m n m n m z z z z z z z z z N n m C z z z 2121*321)(,)(,,,,,=⋅==∈∈+时：8、i 的整数指数幂的周期性特征：414243441, 1, , 1k k k k k i i i i i i ++++==-=-=若为非负实数，则（）；024*******=+++++++k k k k i i i i ）（9、||21z z -的几何意义：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 则2221)()(|)()(||)()(|||d b c a i d b c a di c bi a z z -+-=-+-=+-+=-几何意义：对应复平面上点12(,), (,)Z a b Z c d 两点间距离22)()(d b c a d -+-=10、共轭复数1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为bi a z -=问题：当R z ∈时，是否有共轭复数？两者关系如何？z z R z =⇔∈2）运算性质：结论可推广到n 个2121)1(z z z z ±=± 2121)2(z z z z ⋅=⋅ )0()()()3(22121≠=z z z z z 3）模的运算性质：① 121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；② 1212z z z z ⋅=⋅，可推广至有限多个，特别地n n z z= ③ 2121z z z z = ④ 22z z z z ==，特别地，当1=z 时，1=z z 即 1z z=. 11、复数的平方根：在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根.从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.12、复数的立方根设i 2321+-=ω，则： 322331322(1) 1; (2) 10 ; (3) ;(4) 1,{}3.n n n nT ωωωωωωωωωωω++=++======即是的等比数列 13、实系数一元二次方程根的情况1）20(0)ax bx c a ++=≠实系数一元二次方程在复数集内根的情况：① 0 ,∆>当时有两个不相等的实根；② 0 ∆=当时，有两个相等的实根； ③ 0 ∆<当时，有两个共轭虚根.2）0∆<当时，2212112122Re ,||||b c x x x x x x x a a+==-⋅=== 3）120||x x a∆≥-=当时，；120||||22||b i b i x x a a a --∆<-=-=当时，12||x x -=综上：。