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观察上面两个函数,与一次函数比 较,你能发现有什么区别的地方吗?
我们把形如 y ax2 bx c(其中a, b, c是 常数，且a 0)的函数叫做二次函数。
称：a为二次项系数， c为常数项， b为一次项系数，
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢? 注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
1 ( , m) 2
(1, n)
在对称轴的右边y随x的增大而减 小 1 因为 2 < 1 所以 m>n
y=-2x2
课堂小结
通过本节的学习你有哪些收获呢？
家庭作业:练习1、2、3、4
驶向胜利 的彼岸
画一画：函数y＝x2和y＝-x2、y＝2x2和y＝-2x2、
y＝3x2和y＝-3x2，
（1）你发现它们之间有什么关系呢？ （2）你能从函数y＝ax2和y＝－ax2得出什么结论呢？
2 S 6 a (a 0) 其中S是a的二次函数； 解: （1）由题意得
x2 ( x 0) 其中y是x的二次函数； （2）由题意得 y 4
（3）由题意得 S 二次函数
1 1 x(26 x) x 2 13 x(0 x 26) 其中S是x的 2 2
为二次函数，
解：因为该函数为二次函数，
则
解（1）得：m=2或-1 解（2）得：
所以m=2
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm） 之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函 数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系。
解： (1) y x(20 2 x)
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?
2 x 2 20x
(o<x<10)
(2) y 2 32 20 3 42m
做一做:
（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2） 是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的关系式。 (2) y (4 x)(3 2x) 2x 2 11x 12 解：（ 1 ）y x 2
y ax2 (a 0)
画一画：(1)函数
时,
，当a取1、2、3、4
……
函数的开口大小有什么变化呢？ 2 y ax (a 0)，当a取-1、-2、-3、-4 ……时, (2)函数 函数的开口大小有什么变化呢？
试一试: 要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形 的花圃，设与墙垂直的一边为xm,矩形的面积为y 试(1)写出y关与x的函数关系式。
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二次函数
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙， 围成一个矩形的花圃，怎么样围 法才能使围成的花圃的面积最大？
二次函数y=ax2的图象和性质
一次函数 y 2 x 1 的图象是一条直线； 3 y 反比例函数 的图象是两支双曲线 ；
x
问题1：二次函数y=x2的图象是什么呢？ 问题2：如何画二次函数y=x2的图象呢？
2 y x2 3
在 对称轴的右 侧，y随着x的增大而增大； 在 对称轴的左 侧，y随着x的增大而减小，
当x= 0
时，函数y的值最小，是 0
。
2 2 向下 ，对称轴是 y轴 ，顶点是 （ 0， 0） （2）抛物线 y 3 x 的开口方向 ；
当x>0时，y随着x的增大而 减小 ； 增大 当x<0时，y随着x的 增大而 ； 当x=0时，函数y的值最大，是 0 .
须根据题意确定自变量的取值范围。
做一做:
函数y ax2 bx c(其中a, b, c是常数)，当a, b, c满足什么条件时 （ 1 ）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
解：（ 1 ）a 0
(2)a 0, b 0
(3)a 0, b 0, c 0
（2）因为 4 2(1)2 不在此抛物线上。
1
，所以点（-1 ，-4） (-2,-8)
（3）因为点 (1, m)和 ( 2 , n) 在抛物线y= -2x2上 2 所以当 x 1 时，m 2 1 2 2 1 1 1 当 x 时， n 2 2 2 2 因此 m<n
下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x 2 2
1 ( 2) y x x
2
(是 )
(
否) 是 否
)
(3) y ( x 2)(x 3)
( ) (
(4) y x 2 2 x 3
(5) y ( x 2)(x 2) ( x 1)2
(否 )
例1、若函数 求m的值。
函数图象画法
描点法
列表
描点
连线
x … -2 -1.5 -1 y＝x2 … 4 2.25 1
-0.5 0.25
0 0
0.5 0.25
1 1
1.5 2.25
2 4
… …
y x2
画函数y＝x2的图象
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时 所经过的路线叫做抛物线 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点
关于y轴对称
2、已知二次函数y=ax2（a≠0）的图像经过点（-2，-8）。 （1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式； （2）判断点（-1，-4）是否在此抛物线上； 1 ( （3）点(1, m) 和 2 , n) 在此抛物线上，试比较a和b的大小。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2, 所求函数解析式为y= -2x2.
二次函数y=ax2的性质
函数 a > 0 图象 开口方向 向上 对称轴 y轴（直线x＝0） 顶点坐标 （ 0， 0） 增减性 最值 当x＝0时，y最小值为0 向下
y轴 （直线x＝0）
y＝ax2 a < 0
（ 0， 0）
当x＝0时，y最大值为0
y 2x2
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的开口方向 向上 , （0，0） 对称轴是 y轴 ，顶点坐标 ；