高数下公式总结

高等数学下册公式总结

1、N 维空间中两点之间的距离公式：1212,,,n ,,,n p(x x ...x ),Q(y y ...y )的距离

PQ =

2、多元函数z f(x,y)=求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时

看作常量。比如，z

x

∂∂表示对x 求偏导，计算时把y 当作常量，只对x 求导 就可以了。

3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即22z z

x y y x

∂∂=∂∂∂∂。 4、多元函数z f(x,y)=的全微分公式： z z dz dx dy x y

∂∂=

+∂∂。 5、复合函数z f(u,v),u (t),v (t)φϕ===，其导数公式：

dz z du z dv

dt u dt v dt

∂∂=+

∂∂。 6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： X y

F dy

dX F '=-'，其中x y F ,F ''分别表示对x,y

求偏导数。 方程组的情形：0

F(x,y,u,v){

G(x,y,u,v)==的各个偏导数是：

F F v x

G G

u x v x F F

u v G G u v

∂=-∂，F F u x G G v u x

x F F

u v G G u v

∂=-∂，F F y v G G y v u y F F u v G G u v

∂=-∂，

F F y u

G G u y

v

y F F

u v G G u v

∂=-

∂。 7、曲线Γ的参数方程是：x (t),y (t),z (t)ϕφω===，则该曲线过点

000M(x ,y ,z )的法平面方程是：

0000000(t )(x x )(t )(y y )(t )(z z )ϕφω'''-+-+-=

切线方程是：

000000(x x )(y y )(z z )

(t )(t )(t )

ϕφω---=='''。

8、曲面方程(,,)F x y z ＝0在点000M(x ,y ,z )处的 法线方程是：

000x y z (x x )(y y )(z z )

F F F ---==

'''

， 切平面方程是：0000x

y z F (x x )F (y y )F (z z )'''-+-+-=。 9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤：

第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y 的值 第二步：求出000000xx xy yy f (x ,y )A,f (x ,y )B,f (x ,y )C ===

第三步：判断AC-B 2的符号，若AC-B 2大于零，则存在极值，且当A 小于零是极大值，当A 大于零是极小值；若AC-B 2小于零则无极值；若AC-B 2等于零则无法判断 10、二重积分的性质： （1）(,)(,)D

D

kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰

（2）[(,)(,)](,)(,)D

D

D

f x y

g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰

(3)

1

2

(,)(,)(,)D

D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

(4)若(,)(,)f x y g x y <，则(,)(,)D

D

f x y d

g x y d σσ<⎰⎰⎰⎰

（5）

D

d s σ=⎰⎰，其中s 为积分区域D 的面积

（6）(,)m f x y M <<，则(,)D

ms f x y d Ms σ<<⎰⎰

（7）积分中值定理：

(,)(,)D

f x y d sf σεη=⎰⎰，其中(,)εη是区域D 中的点

11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y ，后对x 的积分或先对x ，后对y 的积分形式）

2211()

()

()

()

(,)(,)(,)P x P y b

d

D

a

P x c

P y f x y d dx f x y dy dy

f x y dx σ==⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

，有的积分可以随意选择积分次序，

但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定

12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法 13、曲线、曲面积分：

（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f （x,y ）在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为

{

x (t)y (t)

ϕφ==，(t )αβ<<

，则

L

f(x,y)ds f[(t),β

α

ϕφ=⎰

⎰

（2）格林公式：

D

L

L

Q P

(

)dxdy Pdx Qdy x y

∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰⎰

14、向量的加法与数乘运算：111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，则有111(,,)ka kx ky kz =，