等边三角形
什么是等边三角形
什么是等边三角形等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，每个角度都是60度。
在几何学中，等边三角形是最简单和最基本的形状之一。
本文将介绍等边三角形的定义、性质和一些应用。
一、定义等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
由于三条边的长度相等，所以该三角形的三个内角也相等，每个内角都为60度。
等边三角形可以看作是一种特殊的等腰三角形，即有两条边相等的三角形。
二、性质1. 边长性质：等边三角形的三条边长度相等，记为a，a，a，其中a 为边长。
2. 角度性质：等边三角形的三个内角都相等，每个角度为60度。
3. 对称性质：等边三角形具有三条边和三个角的对称性，任意一条边的延长线上存在一个等边三角形的顶点。
三、应用等边三角形在几何学中有一些重要的应用和性质。
1. 利用等边三角形的性质，可以推导出正三角形的面积公式。
正三角形的面积等于边长的平方乘以根号3的除以4倍，即S = a^2 * √3 / 4，其中a为边长。
2. 等边三角形也是一种稳定的结构，常用于建筑设计和桥梁工程中。
由于等边三角形的每个边都相等，所以在力的均衡状态下具有很好的稳定性。
3. 等边三角形还经常出现在艺术和图案设计中。
它的对称性和美观性常被应用于各种图形和装饰品中，如现代艺术、纹身设计等。
综上所述，等边三角形是一种具有三边相等和每个角度都为60度的特殊三角形。
它有着独特的性质和应用，不仅在几何学中有重要地位，还在建筑设计和艺术领域中广泛应用。
了解等边三角形的定义和性质能够帮助我们更好地理解几何学的基础知识，并应用于实际问题中。
等边三角形
垂心定理的逆定理
总结词
应用广泛、全面
详细描述
垂心定理的逆定理是一种更为通用的判定等边三角形的 方法。它的表述是：如果一个三角形有三条高，且其中 两条高相等，那么这个三角形就是等边三角形。这个方 法的应用非常广泛，因为它只需要用到三角形的高这一 基本性质就可以判定等边三角形。同时，它还可以用来 解决各种与等边三角形相关的问题，如求解角度、长度 等。
02
等边三角形的对称性和稳定性使其成为描述粒子运动的理想工具，可以帮助科 学家更好地理解粒子的性质和行为。
03
在物理学中，等边三角形还可以用于描述电磁波的传播和光学系统的成像规律 等领域。
06
等边三角形的相关拓展问题
等边三角形的变种
等边三角形
三边相等，三个角相等的三角 形。
黄金等边三角形
一个等边三角形，其三条边的比 例为1:1:√3。
利用三角形中位线定理构造等边三角形
总结词
通过三角形中位线定理构造等边三角形，需要利用三 角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 的性质。
详细描述
首先，在平面上确定两个点，分别作为等边三角形的 顶点。然后，连接这两个点形成一个线段。接着，在 线段的中点处作平行于线段的直线，得到一个平行四 边形。利用三角形中位线定理，我们知道平行四边形 的对角线等于原线段的一半，并且平行于原线段。利 用这个性质，我们可以得到一个等边三角形。
利用正弦定理构造等边三角形
总结词
通过正弦定理构造等边三角形，需要利用正弦定理的变 形公式sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c来计算角度和边长 。
详细描述
首先，在平面上确定三个点，分别作为等边三角形的顶 点。然后，利用正弦定理的变形公式 sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c来计算角度和边长。其中 ，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C 表示三角形的三个角度。通过已知的边长和角度，可以 计算出其他两个角度和对应的边长。最后，利用计算出 的边长和角度构造出等边三角形。
什么是等边三角形？
什么是等边三角形？等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，同时对应的三个角也相等。
在几何学中，等边三角形是最简单的多边形之一，也是最常见的几何形状之一。
下面，我将以科普的方式，向大家介绍关于等边三角形的一些基本知识与特点。
一、等边三角形的特点1. 边长相等：等边三角形的三条边长度完全相等，当然，只有边长相等才能称之为等边三角形。
这个特点使得等边三角形具有一定的对称性，从而在图形的构造和性质推导中起到了重要作用。
2. 角度相等：与边长相等的三个边对应的三个角度也完全相等。
具体而言，等边三角形的每一个角都等于60度。
这是因为在一个平面中，三个角度和必定是180度，而在等边三角形中，三个角度相等，因此每个角度都等于180度除以3，即60度。
①等边三角形的内角都相等，每个内角都等于60度；②等边三角形的外角也都相等，每个外角都等于120度。
3. 反映对称性：等边三角形具有一定的对称性。
在等边三角形中，任意两条边的中点以及三角形的重心、外接圆心都重合。
这个性质使得等边三角形在许多问题的解决中起到了重要的辅助作用。
二、等边三角形的性质与应用1. 面积计算：等边三角形的面积计算相对简单。
可以利用等边三角形的高与边长之间的关系，使用公式：面积 = （边长 ×边长）× √3 / 4。
2. 平面刚体的稳定性：等边三角形在工程设计中具有重要的应用。
例如，在建筑物或桥梁的结构设计中，为了保证其稳定性，常常使用等边三角形的形状。
因为等边三角形的稳定性要比其他形状的三角形更好。
3. 几何推理：等边三角形在几何推理中具有独特的作用。
通过等边三角形的各种性质，可以推导出一系列几何定理，并在解决几何问题时起到重要的指导作用。
三、总结等边三角形作为最简单的多边形之一，在几何学中具有重要的地位。
通过对等边三角形的形状特点的了解，我们可以更好地理解与应用等边三角形。
它是其他更大规模、更复杂的几何形状的基础，对于我们学习和理解几何学都具有重要的意义。
等边三角形的认识与性质
等边三角形的认识与性质等边三角形是一种特殊的三角形，其在几何学中有着重要的地位和意义。
本文将就等边三角形的定义、性质和相关定理进行详细讨论，以深入认识等边三角形。
一、等边三角形的定义等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
简单来说，等边三角形就是具有三条边相等的三角形。
二、等边三角形的性质1. 角度性质等边三角形每个角都是60度。
由于三角形的内角和等于180度，因此等边三角形的每个角都等于180度/3 = 60度。
2. 边长性质等边三角形的三条边长度都相等，因此可以用一个边长来表示，例如：若三角形三边的长度都是a，则可表示为△ABC（AB=BC=AC=a）。
3. 对称性质等边三角形具有三个对称轴，分别是三条边，即通过任意一边的中垂线可以把等边三角形分成两个对称的等腰三角形。
4. 高线性质等边三角形的高线、中位线和角平分线都重合，且高线也就是对边的中线。
这意味着等边三角形的高线、中位线和角平分线都是同一条线段。
5. 面积性质等边三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (边长^2 * √3) / 4。
等边三角形的面积公式中的√3是一个常数，边长的平方是面积与边长的关系。
三、等边三角形的相关定理1. 等边三角形的高等边三角形的高等于边长乘以sin60度，即高 = 边长* √3/2。
2. 等边三角形的中线等边三角形的中线等于边长乘以√3/2，即中线 = 边长* √3/2。
3. 等边三角形的外接圆等边三角形的外接圆半径等于边长的1/√3倍，即外接圆半径 = 边长/√3。
4. 等边三角形的内切圆等边三角形的内切圆半径等于边长的1/√3倍，即内切圆半径 = 边长/√3。
以上定理可以通过推导和几何性质的证明得出，可以帮助我们计算等边三角形的相关参数或构造等边三角形。
总结：等边三角形是三边相等的特殊三角形，具有独特的性质和特点。
其每个角都为60度，边长相等，有三个对称轴、高线与对边中线重合，面积和边长有特殊的关系。
等边三角形
1 2 3
E
B
D
C
如图， ABC是等边三角形 分别延长CA AB， 是等边三角形. CA， 如图， △ABC是等边三角形.分别延长CA，AB， BC到 BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′. △ CC A′B′C′是等边三角形吗？请说明理由。 是等边三角形吗？请说明理由。
A′ A C C′
1.等边三角形三条对称轴的交点到各边的 1.等边三角形三条对称轴的交点到各边的 距离都相等吗?请说明理由. 距离都相等吗?请说明理由.
A
F O
E
B
D
C
如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC与D.以AD为 如图，在等边三角形ABC中 AD⊥BC与D.以AD为 ABC 一边作等边三角形ADE ADE， DE与AC垂直吗 垂直吗？ 一边作等边三角形ADE，则DE与AC垂直吗？请说 明理由。 明理由。
O B C
等边三角形性质探索: 等边三角形性质探索 3.等边三角形是轴对称图形吗？若是， 等边三角形是轴对称图形吗？若是， 有几条对称轴？ 有几条对称轴？
结论:等边三角形是轴对称图形， 是轴对称图形， 结论 是轴对称图形 有三条对称轴. 有三条对称轴
等边三角形的性质
1.等边三角形的内角都相等 且等于 ° 等边三角形的内角都相等,且等于 等边三角形的内角都相等 且等于60 2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 等边三角形是轴对称图形 3.等边三角形各边上中线 高和所对角的平分 等边三角形各边上中线,高和所对角的平分 等边三角形各边上中线 线都三线合一. 线都三线合一
A
C
等边三角形的判定方法: 等边三角形的判定方法
1.三边相等的三角形是等边三角形 三边相等的三角形是等边三角形. 三边相等的三角形是等边三角形 2.三个内角都等于 °的三角形是等边 三个内角都等于60 三个内角都等于 三角形. 三角形 3.有两个内角等于 °的三角形是等边 有两个内角等于60 有两个内角等于 三角形. 三角形 4.有一个内角等于 °的等腰三角形是 有一个内角等于60 有一个内角等于 等边三角形. 等边三角形
等边三角形的性质
等边三角形的性质等边三角形是指所有边的长度相等的三角形。
它具有一些特殊的性质，下面将对等边三角形的性质进行详细论述。
1. 边长性质：等边三角形的三条边长度相等。
设等边三角形的边长为a，则三边长度均为a。
2. 角度性质：等边三角形的三个角均为60度。
由于三角形内角和等于180度，而等边三角形中的三个角相等，因此每个角为60度。
3. 对称性：等边三角形具有对称性。
对于等边三角形ABC，以A 点为中心，将三角形旋转180度，即可得到另外两个顶点B和C。
同样地，以B或C点为中心旋转180度，也能得到等边三角形。
4. 中线重合性：等边三角形的三条中线重合。
每条边的中线连接对边的中点形成三个等边三角形，由于这些三角形的边长相等，因此三条中线重合于一个点，即重心。
5. 高线重合性：等边三角形的三条高线重合。
由于等边三角形的三个角均为60度，所以每条边的垂直平分线也是高线。
这些垂直平分线交于一个点，即垂心。
6. 角平分线性质：等边三角形的三条角平分线重合。
等边三角形的每个角的角平分线也是中线和高线，因此三条角平分线交于一个点，即内心。
7. 外心性质：等边三角形的外心与三个顶点重合。
由于等边三角形的每个角都为60度，所以它的外接圆半径等于边长的一半，即外心与三个顶点重合。
8. 内切圆性质：等边三角形的内切圆与三角形三边相切。
等边三角形的内切圆半径等于边长的1/3，且与三角形的三条边相切。
以上是等边三角形的一些主要性质。
等边三角形作为特殊的三角形，具有独特的几何特征。
在解决几何问题时，我们可以利用这些性质来简化计算和推理，快速得出结论。
总而言之，等边三角形的性质包括边长相等、角度相等、对称性、重心、垂心、内心、外心以及内切圆等特点。
在几何学和数学中的应用中，这些性质为我们提供了重要的助力。
等边三角形定义
等边三角形定义
等边三角形：
1、定义
等边三角形，即三个相等的边组成的三角形，它的三个内角都是60°。
也称为等外角三角形、正三角形或正60度三角形。
2、周长
因为三边相等，所以周长应为三倍的边长。
3、面积
等边三角形的面积可以通过根号3除以4乘以边长的平方计算得出，即面积公式为：S＝√3/4·a²。
4、特性
等边三角形有许多重要的特点，包括但不仅限于：
（1）它是直角三角形，且内角都是60°；
（2）它没有内角大于其它两个内角；
（3）它的三条边相等；
（4）它的外角都大于其它两个外角；
（5）其面积可以通过平方计算得出；
（6）它的三角锐角均相等；
（7）它的中心角是120°。
5、应用
等边三角形广泛应用于工程、日常生活中，如维修机械中的图形几何，土建工程用于屋面盖檐等处，更常见的是缝纫工艺中的蚕丝绣、皮革
工艺中的铆钉和沙发缝合等地方。
除此之外，等边三角形还可以用于
平面设计，以及各种摆件、装饰物的做法，让整体空间更加美观大方。
等边三角形的定义
等边三角形的定义等边三角形(又称正三角形)，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
以下是店铺分享给大家的关于等边三角形的定义，希望能给大家带来帮助!等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形(equilateral triangle)，也属于等腰三角形。
等边三角形的尺规作法：第一种：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长)，再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
第二种：在平面内作一条射线AC，以A为固定端点在射线AC上截取线段AB=等边三角形边长，然后保持圆规跨度分别以A,B为端在AB同侧点作弧，两弧交点D即为所求作的三角形的第三个顶点。
等边三角形的性质：(1)等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
(2)等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合(三线合一)(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
(四心合一)(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
(因为等边三角形是特殊的等腰三角形)等边三角形的判定方法：(1)三边相等的三角形是等边三角形(定义)。
(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形。
(3)有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。
(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形。
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
提示：【1】三个判定定理的前提不同，判定(1)和(2)是在三角形的条件下，判定(3)是在等腰三角形的条件下。
等边三角形概念
等边三角形概念等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
它是一种特殊的三角形，在几何学中具有重要的地位和性质。
本文将对等边三角形的定义、性质以及应用进行详细介绍。
一、定义等边三角形是指三边边长相等的三角形。
在一个等边三角形中，任意两边的长度相等，任意两个角度也相等。
等边三角形的每一个内角都是60度。
二、性质1. 边长性质：等边三角形的三边边长相等，任意两边长度都相等。
2. 角度性质：等边三角形的每个内角都是60度，每个外角都是120度。
3. 对称性质：等边三角形具有对称性质，即它的任意两条边以及每个角的角度都具有对称性。
4. 高度性质：等边三角形的高度是等边三角形边长的平方根乘以根号三的一半。
5. 面积性质：等边三角形的面积可以通过高度公式或海伦公式计算。
三、应用等边三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
1. 建筑设计：等边三角形在建筑设计中经常被用来构造稳定性强的结构，如高塔、桥梁等。
2. 地理测量：在地理测量中，等边三角形的性质可以用来计算地球上某一地点的位置和距离。
3. 导航系统：等边三角形的性质在导航系统中有重要的应用，可以帮助人们确定方向和距离。
4. 三角函数：等边三角形是三角函数常见的特殊角，通过等边三角形可以推导出正弦、余弦和正切等三角函数的性质和定理。
5. 数学证明：等边三角形的性质在数学证明中经常被引用，用来辅助证明其他几何定理和问题。
四、举个例子以等边三角形ABC为例，假设边长为a，则每个角度都是60度。
此外，等边三角形还有三条高，它们相等且垂直于各边。
等边三角形的面积可以通过高度计算公式S=（根号3/4）*a^2进行计算，其中S 表示等边三角形的面积。
五、总结等边三角形是指三边边长相等的三角形，具有边长相等、角度固定等性质。
它在几何学中具有重要的应用和意义，可以用于建筑设计、地理测量、导航系统、数学证明等领域。
通过学习等边三角形的概念和性质，可以更好地理解和应用几何学知识。
等边三角形
根绝条件判断下列三角形是否为等边三角形。 不 是
（1） （2）
是
（3）
是
是
（4）
（5）
是
例题：
如图, △ABC是等边三角形， DE ∥BC，分别交AB，AC于 点D，E。 求证： △ADE是等边三角形。
拓展练习：
如图, △ABC和△ADE是等边 三角形，连结EC、BD 求证： EC=BD
动手操作：
合阳中学:蒋永强
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形的定义：
三条边都相等的特殊的等腰三角形 叫做等边三边形。
等边三角形的性质：
边：三条边都相等 角：三个内角都相等，并且每
一个角都等于60 °
（1）等边三角形的每个外角是 120 度。 （2）等边三角形的边长是2cm，则该三角 形的周长是 6cm 。 （3）如图： △ABC和 △ADE是等边三角形,BC=5， DE=3，则BD= 2 ， CE= 2 .
例：如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c的图像， 则下列结论正确的结论有 。（填序号）
（1） b2-4ac>0 （2） abc>0
（3） 2a-b=0
（4） a>b-c （5）3a+c<0
y=ax2+bx+c(a≠0)图像与a、b、c符号的关系
如何判断b2-4ac的符号？ 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
对称轴在y轴左侧 a、b同号
a、b异号
b=0
y=ax2+bx+c(a≠0)图像与a、b、c符号的关系
等边三角形的特点
等边三角形的特点等边三角形是一种特殊的三角形，它具有以下几个特点。
一、三边相等等边三角形的最显著特点就是三边长度相等。
这意味着等边三角形的三条边长完全相同，如ABC为等边三角形，那么AB=BC=AC。
这个特点也是等边三角形名称的来源。
二、三个内角相等在等边三角形中，每个内角的度数也是相等的。
由于任何三角形的三个内角之和为180度，而等边三角形的三个内角相等，所以在等边三角形中，每个内角的度数为60度。
三、对称性等边三角形具有对称性。
以等边三角形的任意一个顶点为中心，可以画出两条与底边相交的对称中线，这两条中线也是对等的。
在等边三角形中，还存在其他多条对称中线，都是相等的。
这种对称性给等边三角形带来了美观的外观。
四、全等与相似等边三角形之间具有全等和相似的关系。
当两个三角形的三边长度完全相等时，它们是全等三角形。
而当两个三角形的三边长度成比例时，它们是相似三角形。
等边三角形之间具有全等和相似的关系，这是因为它们满足了全等三角形和相似三角形的所有条件。
五、面积计算等边三角形的面积可以通过不同的方法计算。
一种常用的方法是使用等边三角形的边长公式：面积等于边长的平方再乘以根号3再除以4。
假设等边三角形的边长为a，则它的面积S可以计算为S=a²√3/4。
六、应用领域等边三角形在实际生活和工作中有着广泛的应用。
其中一个典型的应用领域是建筑和设计。
等边三角形具有稳定、均衡的形状，因此在建筑和设计中常常被用于搭建强度高、稳定性好的结构，如桥梁和塔楼等。
此外，等边三角形还经常用于制造对称美观的艺术品和装饰品。
总之，等边三角形是一种具有独特特点的几何形状。
它的三边相等、三个内角相等以及对称性等特点使它在数学和实际应用中占有重要地位。
了解等边三角形的特点和性质，有助于我们更好地理解三角形的各类性质和应用。
等边三角形
探索星空： 探索星空：探究性质一
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么? 等边三角形的内角都相等吗?为什么? ∵ AB=AC=BC
B A
∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个 ∠A=∠B=∠C(在同一个 三角形中等边对等角 三角形中等边对等角) 等边对等角) ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∠A=∠B=∠C=60°
等腰三角形
2. 三个角都相等的三角 A 形是等边三角形. 形是等边三角形.
等边三角形 B C
有一个角是60 60° 3 . 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形. 三角形是等边三角形.
∵ ∠B=600 ， AB=BC ∴△ABC是等边三角 是等边三角 形
这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴 这是两个等边三角形 那么请移动三根火柴 那么请移动 ,将此图变成四个等边三角形 将此图变成四个等边三角形. 将此图变成四个等边三角形
C
等边三角形的三个内角都相等并且每一个内角 。 都等于60 都等于
A
符号语言： 符号语言：
∵ AB=AC=BC
B C
∴ ∠A= ∠ B=∠C= 60
。
探索星空： 探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什 等边三角形有“三线合一”的性质吗? 么? A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角 每条边上的中线, 的平分线都三线合一。 的平分线都三线合一。 都三线合一
如图；已知 平分 如图；已知CE平分
∠ACB, ∠DAC = ∠B, ∠BAD = 60 求证:△AEF是等边三角形
等边三角形
等边三角形∙等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。
是特殊的等腰三角形。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。
∙性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)∙判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。
三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。
等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等边三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
等边三角形的特点
等边三角形的特点等边三角形是一种特殊的三角形，它具有以下的特点：1. 边长相等：等边三角形的三条边长度都相等，即三边相等。
2. 角度相等：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60度。
3. 对称性：等边三角形具有高度的对称性，其中心和重心均相互重合。
4. 周长计算：等边三角形的周长可以通过三边长之和求得，即周长=3边长。
5. 面积计算：等边三角形的面积可以通过公式Area = (边长^2 * √3) / 4来计算。
6. 存在直角三角形的特殊情况：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，当其两边都为等边时，可以成为一个直角三角形，其中直角位于等边的底边上。
等边三角形在几何学和数学中具有重要的应用和特性。
其常见的应用包括：1. 建筑设计：等边三角形的稳定性和对称性使其在建筑设计中常被用作基础和支撑结构。
2. 地理测量：等边三角形可以作为地理测量中的参考标志或基准点。
3. 计算机图形学：等边三角形在计算机图形学中被广泛运用，作为图形图像的基本构造单元。
4. 数学研究和证明：等边三角形的性质和特点是数学研究和证明的基础，为其他形状和概念的研究提供了启示。
等边三角形是三角形中一种简单而特殊的形态，其具有均衡和对称的美感。
它的特点使得它在几何学、建筑学、地理学和计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。
通过研究和理解等边三角形的特性，我们可以深入了解三角形的性质，并且将其应用于实际问题中。
无论是在日常生活还是学术研究中，等边三角形都有着重要的地位和价值。
在几何学的学习中，我们经常会接触到等边三角形。
通过深入了解等边三角形的特点和性质，我们可以更好地理解三角形的相关概念和定理，并且能够应用于实际问题中。
因此，对于等边三角形的研究和理解具有重要的意义。
无论是在几何学的学习中还是实际应用中，我们都需要掌握等边三角形的特点和相关知识，以便能够熟练地运用它们解决问题。
总之，等边三角形是一种独特和重要的三角形形态。
它的特点包括边长相等、角度相等、对称性等。
第17讲 等边三角形
第17讲等边三角形知识导航1．等边三角形三个内角均为60°．2．等边三角形三条边相等．3．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．4．三个角都相等的三角形是的等边三角形．5．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．【板块一】等边三角形的性质方法技巧（1）运用等边三角形角的数量特征和边的相等关系解题．（2）共顶点的两个等边三角形（也称手拉手图形）组成的图中，必定有全等三角形．题型利一与等边三角形有关的角度的计算．【例1】如图，△ABC是等边三角形，CD⊥BC，CD＝BC，求∠DAC和∠ADB的度数．题型二共顶点的等边三角形（手拉手图形）【例2】如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）求证：△DBC≌△EAC；（2）求证：AE∥BC．【例3】如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F．（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFB的度数；（3）求证：CF平分∠AFD；（4）直接写出EF，DF，CF之间的数量关系．题型三平面直角坐标系中的等边三角形【例4】如图，，点A（－2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB＝30°，延长DB至E，使BE＝BD，点P为x轴正半轴上一动点（点P在点C的右边），点M在EP上，且∠EMA＝60°，AM交BE于点N．（1）求证：BE＝BC；（2）求证：∠ANB＝∠EPC；（3）当点P运动时，求BP－BN的值．针对练习11．如图，等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B’处，DB’，EB’分别交AC于点F，G，若∠ADF＝80°，求∠EGC的度数．2．如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，DC于BE交于点M．（1）求证：BE＝CD；（2）求∠AMD的度数．3．如图1，等边△ABC中，点D是AB上一点，以CD 为一边，向上作等边△EDC，向下作等边△DCF，连接AE，BF．（1）求证：AB＝AE＋BF；（2）当点D在BA延长线上时，如图2，若AE＝10，BF＝4，求AC的长．图1图24．已知点D，E分别是等边△ABC的边BC，AB上的点，∠ADE＝60°．（1）如图1，当点D是BC的中点时，求证：AE＝3BE；（2）如图2，当点M 在AC 上，满足∠ADM ＝60°，求证：BE ＝CM ；（3）如图3，过C 作CF ∥AB 交ED 延长线于点F ，探究线段BE ，CF ，CD 之间的数量关系，并给出证明．图1图2图35.在平面直角坐标系中，已知点A 在y 轴的正半轴上，点B 在第二象限，AO =a ，AB =b ，BO 与x 轴正方向的夹角150°，且220a -b a-b +=.⑴判断△ABO 的形状；⑵如图1，若BC ⊥BO ，BC =BO ，点D 为CO 的中点，AC 、BD 交于点E ，求证:AE =BE +CE ；⑶如图2，若点E 为y 轴的正半轴上一动点，以BE 为边作等边△BEG ，延长GA 交x 轴于点P ，AP 与AO 之间有何数量关系?试证明你的结论.6.△ABC 为等边三角形，BC 交y 轴于点D ，A (a ，0)，B (b ，0)，且a ，b 满足()230a+.(1)如图1，求点A ，B 的坐标及CD 的长；(2)如图2，P是AB的延长线上一点，点E是CP右侧一点，CP=PE，且∠CPE=60°，连接EB，求证:直线EB必过点D关于x轴对称的对称点；(3)如图3，若点M在CA的延长线上，点N在AB的延长线上，且∠CMD=∠DNA，求AN-AM的值.【板块二】60°角的用法◆方法技巧◆合理利用60°角构造等边三角形得到相等线段，再进行推理.题型一过60°角一边上一点作平行线构造等边三角形.方法技巧:过60°角一边上一点，作平行线构造等边三角形，转化边与角.【例5】如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E，F分别在BC，AB的延长线上，∠EDF=120°.(1)求证:DE=DF；(2)若AB=5，求CE-BF的值.题型二在60°角的两边上截取两条相等线段构造等边三角形方法技巧:在60°角的边上截取两条相等线段后构成等边三角形，然后产生新的全等三角形，从而找到解决问题的突破口.【例6】如图，△ABC为等边三角形，∠ADB=60°.(1)如图1，当∠DAB=90°时，直接写出DA，DC，DB之间的数量关系_______；(2)如图2，当∠DAB≠90°时，①中的关系式是否成立?说明理由.题型三利用60°角的一边上的点向另一边做垂线构造30°，60°，90°的直角三角形方法技巧:利用30角所对的直角边等于斜边的一半，作高.+，求△ABC的面积.【例7】如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=2，BC=31題型四利用60°角延长构造等边三角形方法技巧；向外延长60”角的一边，在外部构造等边三角形.【例8】已知点D，点E分別等边△ABC边BC，AC上的点，CD=AE，AD与BE交于点F.(1)如图1，求∠AFE的度数；(2)点G边AC中点，∠BFG=120°，如图2，求证:AF=2FG.针对练习21.如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，求AP的长.2.如图.在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系?请说明理由.3.点D为BC上任一点，∠ADE=60°，边ED与∠ACB外角的平分线交于点E，求证:AD=DE；4.已知△ABC 是边长为5的等边三角形.(1)如图1，若点P 是BC 上一点，过点C ，点P 分别作AB ，AC 的平行线，两线相交于点Q ，连接BQ ，AP 的延长线交BQ 于点D .试问:线段AD ，BD ，CD 之间是否存在某种确定的数量关系?若存在，请写出它们之间数量关系并证明你的结论；若不存在，说明理由；(2)如图2，若点P 是BC 延长线上一点，连接AP ，以AP 为边作等边△APE (点E 、点A 在直线BC 同侧)，连接CE 交AP 于点F ，求CE -CP 的值.5.如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，以BC 为边在△ABC 的同侧作等边△DBC ，BD ，AC 相交于点E ，连结AD .(1)如图1，若A 2AC AB=,求证：△ABC ≌△ADC(2)如图2，若3AC AB =，求AB AD的值. 6.如图1，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE =BD ，连接CE 、DE .⑴求证：EC =ED ；⑵如图2，EO ⊥CD 于点O ，点N 在EO 上，△DNM 为等边三角形，CM 交EO 于F ，若FO =1，求FM -FN 的值.7.如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是AB 中点，点E 在BC 上，△DEF 为等边三角形，(1)当点E为BC中点时，直接写出FE与FC的数量关系为_______________.(2)当点E不为BC中点时，(1)结论还是否成立?请说明理由；(3)如图2，当∠DAF=90°时，求证:BE=3EC.[板块三)30°角的用法方法技巧构造30°角的直角三角形，算边长与面积.题型一已知30°角连线巧得隐直角.【例9】如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，试探究BE与CE之间的数量关系.题型二利用30°作高构造直角三角形.【例10】如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB，∠ACD=30°，求证:AC=2BC.题型三已知30°和90°角补形构造直角三角形【例11】如图，四边形ABCD中，∠C=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，若AB=2，CD=8，求AD的长.题型四利用底角为15°的等腰三角形构造30°角的直角三角形【例12】如图，∠AOC=15°，OC平分∠AOB，点P为OC上一点，PD/∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若OD=4cm，求PE的长.题型五利用150°构造30°角的直角三角形【例13】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，以AD为腰作等腰△ADE，且AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，连接CE，若BD=2，CD=5，求△DCE的面积.题型六30°直角三角形斜边上的高方法技巧：30°角的直角三角形斜边上的高中，有3个30°的直角三角形，选取最小的和最大的两个直角三角形进行计算.【例14】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠A=30°，AD=6，求BC的长.针对练习31.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a元，求购买这种草皮至少需要多少元?2.在△ABC中，∠B=30°，AB=AC=8，P为BC上一点，求AP的最小值.3.如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，CD=CE，∠ACE=60°.(1)求证:△BCD≌△ACE；(2)延长BD交AE于点F，连接CF，若AF=CF，猜想线段BF，AF的数量美系，并证明你的猜想.4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为三角形内一点，且AB=AC=BD，∠ABD=30°.求证:AD=CD，5.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=60°，点D为BC上一点，∠ADC=60°，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF相交于点H.(1)求证:△DFC≌△HFA；(2)若DF=2，AF3EH的值.6.如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.(1)求证:CM=2BM；(2)如图2，点F为AB上方一点，连接BF，AF，CF，点B关于直线AF的对称点E在CF上，连接BE.求证:△BEF为等边三角形.。
等边三角形
CAB等边三角形考点 方法 破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ． (1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC 与等边三角形EBC ∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°∴ ∠ACE ＝∠DCB∴在△ACE 和△DCB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE DCB ACE DC AC ，∴△ACE ≌△DCB(2) ∵∠ACE ≌∠DCB , ∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA ＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD ＝∠ACD ＝60°(3) 在△ACM 和△DCN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠6012DCN ACM DC AC∴△ACM ≌△DCN ∴CM ＝CN又∵∠DCN ＝60°∴△CMN 是等边三角形． 【变式题组】01．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度02．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQQC04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠PAB ＝∠PAC ＝22°，求∠APC 的度数【解法指导】 由于∠PAB ＝∠PAC ,因而PA 平分∠BAC ,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB 边上截取；方法二：延长AC 边，又由于∠BPA ＝150°是特殊角，考虑∠BPA 的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接PD 、BD ,∵∠PBA ＝8°∠PAB ＝22°∴∠BPA ＝150°，在△ABP 和△ADP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AP AP DAP BAP AD AB ∴△ABP ≌△ADP ∴∠APB ＝∠APD ＝ 150°，BP ＝DP ,∠PBA ＝∠APD ＝8°∴∠BPD ＝60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC ＝30° ∴∠PBC ＝∠DBC在△PBC 和△DBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BC DBC PBC BD BP∴△PBC ≌△DBC , ∴PC ＝CD ∴∠CPD ＝∠CDP ＝8° ∴∠APC ＝∠APD 一∠CPD ＝150°一8°＝142° 【变式题组】01．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数．02．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．CBADCBACBB【例3】如图(1)，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．(1)探究：MN 、NC 之间的关系，并加以证明;(2)若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB 中，有∠DBM ＝∠DBC ＋∠CBA ＝30°＋60°＝90° 为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D 点顺时针旋转120°得到△DGC ．如图(3)．从而有MB ＝GC ．而此时恰又有△MND ≌△GND ·得MN ＝NG ＝NC ＋CG ＝NC ＋BM ．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN ＝CN 一BM解(1)关系为MN ＝BM ＋NC证明：延长AC 到G ，使CG ＝BM ，连接DG ，如图(3)∠ABD ＝∠ABC ＋∠CBD ＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD ＝90° 在△DMB 和△DGC 中； DB ＝DC ．BM ＝CG∴△DMB ≌△DGC ∴DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC ．在△MND 和△GND 中，ND 公用，DM ＝DG ，∠MDN ＝60° ∠GDN ＝∠GDC ＋∠DCN ＝∠MDB ＋∠CDN ＝60°∴△MND ≌△GND ∴ MN ＝GN ＝GC 十NC ＝BM ＋NC(2)此时．图形如图(4)，有关系式MN ＝CN —BM 理由如下：在CN 上截取GG ＝BM ．连接DG ，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD ＝∠ACD ＝90°．且Rt △DMB ≌△DGC ，得DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC 仍与(1)中情况娄似，可推得△MND ≌△GND ．就有MN ＝GN ＝NC —CG ＝NC —BM ． 【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合．两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E ，F 时，(如图1)，通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(1)D CBA(2)DCBA(3)GDBA(4)NDC(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点F 时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．02．如图．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°求证：AC ＝BC ＋DC ．巩固练习 反馈提高01．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图 第2题图02．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD 平分∠ABC ② AD ＝21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( )A ．4个B 3个C 2个D 1个03．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线D C B A BE D C ABE DDE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm04．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________．05．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．07．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F(1)求证：△ACD ≌△BAE ： (2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．08．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ．求证：△ADE ≌△DFCE DB FCA FE DBCAODB PC AD E B F C A第3题图 第4题图 第5题图09．如图：△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CA 、AB 的延长线上， AD ＝BE ．DB 的延长线交EC 于F ．求证：(1)DB ＝EC ；(2) ∠BFC ＝60°10．(常德)如图1，若△ABC 与△ADE 为等边三角形，M 、N 分别是EB 、CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．(1)当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD ＝BE 是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；(2) 当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．FDC A(2)DBCA(1)。
等边三角形(基础)知识讲解
等边三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．【答案与解析】证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝12BP＝13BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．2、已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝60°，AD ＝CE ，求∠BPD 的度数.【答案与解析】证明：在ABC ∆中， AB ＝AC ，∠ABC ＝60°∴ABC ∆为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴AC ＝BC ，∠A ＝∠ECB ＝60°在ADC ∆和CEB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已证已证CE AD ECB A CB ACADC ∆≌CEB ∆（SAS ）∴21∠∠＝（全等三角形对应角相等）23DPB ∠∠∠＝＋（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴13DPB ACB ∠∠∠∠＝＋＝∴∠DPB ＝60°.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.举一反三：【变式】△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且BM=CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠AQN 等于多少度？【答案】解：证法一．∵△ABC 为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB 和△BNC 中，△AMB≌△BNC（SAS ），∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），∴∠ANB+∠MAN=120°，又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），=180°﹣120°=60°，∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．证法二．∵△ABC为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB和△BNC中∴△AMB≌△BNC（SAS）∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC∠MAN=∠BAC﹣∠MAB又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）∴∠ANB+∠MAN=120°又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）=180°﹣120°=60°3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．【思路点拨】（1）由于△O CD 和△OAB 都是等边三角形，可得OD ＝OC ＝OB ＝OA ，进而求出∠BDA 与∠CAD 的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD 与△AOC 仍然保持全等，∠ACO ＝∠BDO ，∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB ＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝120°，从而得到∠AEB 的值.【答案与解析】证明：（1）∵O 是AD 的中点，∴AO ＝DO又∵等边△AOB 和等边△COD∴AO ＝DO ＝CO ＝BO ，∠DOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°∴∠CAO ＝∠ACO ＝∠BDO ＝∠DBO ＝30°∴∠AEB ＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°（2）∵∠BOD ＝∠DOC ＋∠BOC ，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC∴∠BOD ＝∠AOC在△BOD 与△AOC 中，BO AO BOD AOC DO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOD ≌△AOC （SAS ）∴∠ACO ＝∠BDO∵∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝60°＋60°＝120°∴∠AEB ＝180°－∠AED ＝60°.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.举一反三：【变式】如图，已知△ABC 和△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 交于点F ，求∠AFB 的度数.【答案】解：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，又∵∠ACB ＋∠BCD ＝∠ECD ＋∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE ，设AD 与BC 相交于P 点，在△ACP 和△BFP 中，有一对对顶角，∴∠AFB ＝∠ACB ＝60°．类型二、含30°的直角三角形4、如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD 交OE于点F ，若∠AOB=60°．（1）求证：△OCD 是等边三角形；（2）若EF=5，求线段OE 的长.【答案与解析】解：（1）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，∴DE=CE ，在Rt △ODE 和Rt △OCE 中，DE CE OE OE =⎧⎨=⎩∴Rt △ODE ≌Rt △OCE （LH ）∴OD=OC ，∵∠AOB=60°，∴△OCD 是等边三角形；（2）∵△OCD 是等边三角形，OF 是角平分线，∴OE ⊥DC ，∵∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵∠ODF=60°，ED ⊥OA ，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF=10，∴OE=2DE=20.【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键。
等边三角形的性质
等边三角形的性质等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
它具有一些独特的性质和特点，下面将详细介绍等边三角形的相关知识。
一、定义等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角也都相等，每个内角都为60度。
二、性质1. 边长相等：等边三角形的三条边相等，即a=b=c，其中a、b、c分别表示三角形的三条边的长度。
2. 角度相等：等边三角形的三个内角都相等，每个内角都为60度。
3. 对称性：等边三角形具有对称性，即三个顶点对称。
对称轴为三条高。
4. 面积计算：等边三角形的面积可以使用海伦公式进行计算，即S= √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))，其中s为半周长，a、b、c分别为三角形的三条边的长度。
三、性质证明等边三角形的性质可以通过几何推理和数学证明得出。
1. 边长相等证明：假设等边三角形的三条边分别为a、b、c。
根据等边三角形的定义，可以得出：a = b, b = c。
再由传递性可得：a = b = c。
2. 角度相等证明：假设等边三角形的三个内角分别为A、B、C。
根据等边三角形的定义，可以得出：A = B, B = C。
再由传递性可得：A = B = C。
因为三角形的内角和为180度，所以A + B + C = 180度。
将A、B、C代入可得：A + A + A = 180度。
即3A = 180度，解得：A = 60度。
所以等边三角形的三个内角都为60度。
3. 对称性证明：假设等边三角形的三个顶点分别为P、Q、R。
由于三角形的三条边相等，所以PQ = QR = RP。
可以通过旋转等边三角形来证明对称性，即将等边三角形绕顶点P 旋转120度，得到新的三角形P'Q'R'。
显然，PQ = P'Q'，QR = Q'R'，RP = R'P'。
因此，等边三角形具有对称性。
等边三角形的性质
一、等边三角形的概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
二、等边三角形的性质
（1）等边三角形是一个特殊的等腰三角形． 等边三角形三边都相等，每个内角都等于60∘ ． （2）每条边上的中线、高线、所对角的角平分线互相重合（三线合一）． （3）等边三角形也是轴对称图形，它有三条对称轴，三线合一所在的直线即为等边三角形的对称轴，对称轴的交点 是等边三角形的中心点． （4）在直角三角形中，30∘ 所对的直角边等于斜边的一半． （5）等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高．
AB = AC = BC
2018/06/12
∘
， 智康 ∠A = ∠B = ∠C = 60
，三线合一、中心点，CD =
爱
1 AD
2
，P E + P F
+ P H 作等边三角形C DE，连接AE，BE，则∠AEB的度数
．
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已知：AD是∆ABC的中线，点D在 AC的垂直平分线上，∠B=60 °. 求证： ∆ABD是等边三角形.
A E
B F
D
C
如图，等边三角形ABC中， AD是BC上的高，∠1=∠2=60 °， A 图中有哪些与BD相等的线段？
E
F
1
B D
2
C
角: 等边三角形的三个内角都相等， 并且都等于60 °. １.性质 边: 等边三角形的三条边都相等.
D
C
一个三角形满足什么条件就是 等边三角形？
等边三角形的三个 内角相等，那么反 过来呢？
一个等腰三角形再添加什么条 件就是等边三角形？
A
如图，∆ABC是等腰三角形， ∠A=60 =60 ° ° .. 其中AB=AC∠Ｂ ， 证明：∵ AB=AC B ∴∠B=∠C ∵∠A=60° ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A =∠B=∠C=60 ° ∴ ∆ABC是等边三角形
1 2
B D C
5.三个外角都相等的三角形是
等边
三角形.
A
6.如图，∠1=∠2=∠3，则⊿ABC是 等边 三角形.
2
B
1
3
C
还有没有其它 证明方法？
例４ 如图12.3-7，⊿ABC是等边三角形， DE∥BC，交AB，AC于D，E. 求证⊿ADE是等边三角形. 证明：∵⊿ABC是等边三角形 A ∴∠A=∠B=∠C ∵DE∥BC 2 1 E ∴∠1=∠B，∠2=∠C D ∴∠A=∠1=∠2 B C ∴⊿ADE是等边三角形 图12.3-7
C
A
1.如图，⊿ABC是等边三角形， ∠1=∠ 3 =∠2= 60° .
2
B
1
3
C
2.如图，在⊿ABC中，AB=AC=BC， ∠1= 60 ,°∠2= 120 ° 1
A
2
B C D
3. 有一个外角是１２０°的等腰三角形是 等边 三角形.
4.如图，⊿ABD≌⊿ACD，且∠2=2∠1， A 则⊿ABC是 等边 三角形
角: 三个角都相等的三角形是等边三角形.
2. 判定 边: 三条都相等的三角形是等边三角形.
(定义)
边角结合: 有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形.
图 片 欣 赏
图 片 欣 赏
图 片 欣 赏
等边三角形
图 片 欣 赏
图 片 欣 赏
等腰三角形和等边三角形比较有 什么异同？
A
A
B
C
B
C
1.等边三角形是 轴对称图形吗？ 如果是, 指出 它的对称轴.
A
2.等边三角形三条中线 交于一点,找出图中所 E 有的全等三角形,说明 理由.
B
O
F
①⊿ABD≌⊿ACD≌⊿BAF≌⊿BCF≌⊿CAE≌⊿CBE ②⊿AEO≌⊿AFO≌⊿BEO≌⊿BDO≌⊿CFO≌⊿CDO ③⊿AOB≌⊿AOC≌⊿BOC