控制理论(状态空间表达式)讲解
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第
一
章
控制系统状态空间表达式
§1-0 概述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态向量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数阵 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
§1-0 概 述
§1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
§1 – 0
概
述
在经典控制理论中，对一个线形定常系统，可用 常微分方程或传递函数加以描述，可将某个单变量作 为输出，直接和输入联系起来．实际上系统除了输出 量这个变量之外，还包含有其他独立变量，而微分方
程或传递函数对这些内部的中间变量是不便描述的，
因而不能包含系统的所有信息．
在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是
§１－１状态变量及状态空间表达式
一．状 态 变 量
足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变 量为状态变量.一个用n阶微分方程描述的系统,就有n 个独立变量,当n个独立变量的时间响应都求得时,系 统的运动状态就被揭示无疑了.因此可以说该系统的
状态变量就是n阶系统的n个独立变量.
同一系统中,究竟选取哪些变量作为独立变量,这 不是唯一的,重要的是这些变量应该是相互独立的,且 其个数应等于微分方程的阶数;又由于微分方程的阶 数唯一的取决于系统中独立储能元件的个数,因此状 态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数.
众所周知，n阶微分方程式要有唯一的解，必须 知道n个独立的初始条件，很明显，这个独立的初始 条件就是一组状态变量在初始时刻的值． 状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个 数又是最小的一组变量，当其在t=to时刻的值已知， 则在给定t≥to时间的输入作用下，便能完全确定系
统在任何t≥to时间的行为．
和经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信 号的传递关系． 将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为 如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。
§1-0 概 述 §1-1 状态变量及状态空间表达式
§1-2 状态空间表达式的建立
§1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
x1 a11 x1 a12 x2 x2 a21 x1 a22 x2 xn an1 x1 an 2 x2
输出方程：
a1n xn b1u a2 n xn b2u ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2
cn xn
用向量矩阵表示状态空间表达式则为：
一．从系统方块图出发建立状态空间表达式 三个步骤： 第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通 过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器 （1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）组 成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形
式组成整个控制系统。
第二步：将上述变换过的方块图中的每个标准积
分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分
根据函数向量的不同情况，一般控制系统可以分 为如下四种：
线性定常(时不变)系统
线性时变系统； 非线性定常系统；
非线性时变系统。
在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。 这时，系统的动态方程可以表示如下:
单输入－单输出定常系统，其状态变量为 x1 , x2 , 则状态方程的一般形式为：
xn
用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的．它能 反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系 统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始 条件．这样，在设计控制系统时，不再只局限于输入 量，输出量，误差量，为提高系统性能提供了有力的 工具．
§1-0 概 述
§1-1 状态变量及状态空间表达式
§1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
xn (t ) wk.baidu.com
T
三.状态空间
以状态变量 x1 , x2 , 空间，称为状态空间． 四.
xn 为坐标轴所构成的n维
状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为
系统的状态方程．
五. 输出方程
在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间
的函数关系式,称为系统的输出方程.
六. 状态空间表达式
状态方程和输出方程总和起来,构成对一个系统 完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式.
二．状态矢量
如果n个状态变量用X1(t),X2(t), …,Xn(t)表示，并
把这些状态变量看作是矢量X(t)的分量，则X(t)就称 为状态矢量．
x1 (t ) x ( t ) 2 x (t ) xn (t )
x(t ) x1 (t )
x2 (t )
x Ax bu y C x
T
对于一个复杂系统，具有r个输入，m个输出， 此时状态方程和输出方程变为：
写成矢量矩阵形式:
上式中，Anxn称为系统矩阵，Bnxr称为 输入(或控制)矩阵。A由系统内部结构及其 参数决定，体现了系统内部的特性，而B则 主要体现了系统输入的施加情况。 • Cmxn矩阵称为输出矩阵，它表达了输 出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称 为直接传递矩阵，表示了控制向量U直接转 移到输出变量Y的转移关系。 •
§１－２状态空间表达式的建立
用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系 统的状态空间表达式．这个表达式一般可以从三 个途径求得：一是由系统方块图 来建立，即根据 系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空间 表达式；二是从系统的物理或化学的机理 出发进 行推导；三是由描述系统运动过程的高阶微分方 程或传递函数 予以演化而得．
一
章
控制系统状态空间表达式
§1-0 概述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态向量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数阵 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
§1-0 概 述
§1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
§1 – 0
概
述
在经典控制理论中，对一个线形定常系统，可用 常微分方程或传递函数加以描述，可将某个单变量作 为输出，直接和输入联系起来．实际上系统除了输出 量这个变量之外，还包含有其他独立变量，而微分方
程或传递函数对这些内部的中间变量是不便描述的，
因而不能包含系统的所有信息．
在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是
§１－１状态变量及状态空间表达式
一．状 态 变 量
足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变 量为状态变量.一个用n阶微分方程描述的系统,就有n 个独立变量,当n个独立变量的时间响应都求得时,系 统的运动状态就被揭示无疑了.因此可以说该系统的
状态变量就是n阶系统的n个独立变量.
同一系统中,究竟选取哪些变量作为独立变量,这 不是唯一的,重要的是这些变量应该是相互独立的,且 其个数应等于微分方程的阶数;又由于微分方程的阶 数唯一的取决于系统中独立储能元件的个数,因此状 态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数.
众所周知，n阶微分方程式要有唯一的解，必须 知道n个独立的初始条件，很明显，这个独立的初始 条件就是一组状态变量在初始时刻的值． 状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个 数又是最小的一组变量，当其在t=to时刻的值已知， 则在给定t≥to时间的输入作用下，便能完全确定系
统在任何t≥to时间的行为．
和经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信 号的传递关系． 将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为 如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。
§1-0 概 述 §1-1 状态变量及状态空间表达式
§1-2 状态空间表达式的建立
§1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
x1 a11 x1 a12 x2 x2 a21 x1 a22 x2 xn an1 x1 an 2 x2
输出方程：
a1n xn b1u a2 n xn b2u ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2
cn xn
用向量矩阵表示状态空间表达式则为：
一．从系统方块图出发建立状态空间表达式 三个步骤： 第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通 过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器 （1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）组 成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形
式组成整个控制系统。
第二步：将上述变换过的方块图中的每个标准积
分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分
根据函数向量的不同情况，一般控制系统可以分 为如下四种：
线性定常(时不变)系统
线性时变系统； 非线性定常系统；
非线性时变系统。
在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。 这时，系统的动态方程可以表示如下:
单输入－单输出定常系统，其状态变量为 x1 , x2 , 则状态方程的一般形式为：
xn
用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的．它能 反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系 统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始 条件．这样，在设计控制系统时，不再只局限于输入 量，输出量，误差量，为提高系统性能提供了有力的 工具．
§1-0 概 述
§1-1 状态变量及状态空间表达式
§1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
xn (t ) wk.baidu.com
T
三.状态空间
以状态变量 x1 , x2 , 空间，称为状态空间． 四.
xn 为坐标轴所构成的n维
状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为
系统的状态方程．
五. 输出方程
在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间
的函数关系式,称为系统的输出方程.
六. 状态空间表达式
状态方程和输出方程总和起来,构成对一个系统 完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式.
二．状态矢量
如果n个状态变量用X1(t),X2(t), …,Xn(t)表示，并
把这些状态变量看作是矢量X(t)的分量，则X(t)就称 为状态矢量．
x1 (t ) x ( t ) 2 x (t ) xn (t )
x(t ) x1 (t )
x2 (t )
x Ax bu y C x
T
对于一个复杂系统，具有r个输入，m个输出， 此时状态方程和输出方程变为：
写成矢量矩阵形式:
上式中，Anxn称为系统矩阵，Bnxr称为 输入(或控制)矩阵。A由系统内部结构及其 参数决定，体现了系统内部的特性，而B则 主要体现了系统输入的施加情况。 • Cmxn矩阵称为输出矩阵，它表达了输 出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称 为直接传递矩阵，表示了控制向量U直接转 移到输出变量Y的转移关系。 •
§１－２状态空间表达式的建立
用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系 统的状态空间表达式．这个表达式一般可以从三 个途径求得：一是由系统方块图 来建立，即根据 系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空间 表达式；二是从系统的物理或化学的机理 出发进 行推导；三是由描述系统运动过程的高阶微分方 程或传递函数 予以演化而得．