5外文翻译原文

Contents lists available at ScienceDirect , 2015, 528: 17-24.

半正定矩阵的乘积

Jianlian Cui , Chi-Kwong Li , Nung-Sing Sze

Department of Mathematics, Tsinghua University, Beijing 100084, PR China Department of Mathematics, College of William and Mary, Williamsburg,VA 23187, USA Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University,Hong Kong

摘 要 已知每个具有非负性决定因子的复方阵是正半定矩阵的乘积.在乘积中存在需要两个或五个半正定矩阵的矩阵的表征.然而，缺少乘积中需要三个或四个半正定矩阵的矩阵的表征. 在本文中，我们给出了这两种类型矩阵的完整表征.有了这些结果，我们给了一个确定方阵是否可以表示为k 半正定矩阵的乘积的算法,k = 1,2,3,4,5. 关键词 半正定矩阵，数值范围

1 介绍

令n M 为n n ⨯个复数矩阵的集合.在[3]中，作者表明，具有非负决定因子的n M 中的矩阵总是可以写成五个或更少的半正定矩阵的乘积.这是对[1]的结果的延伸，n M 中具有的决定因素的每个矩阵都是五个或更少正定矩阵的乘积.类似于[1]中的分析，[3]的作者研究那些可以表示为两个，三个或四个半正定矩阵的乘积.特别地，对于矩阵可以表示为两个半正定矩阵的乘积，也有人表示不是zI 形式的任何矩阵，其中z 不是非负数，可以写成四个半正定矩阵的乘积.此外，[3，定理3.3] 已被证明.如果应用单

一相似性来改变方阵形式12*0n T T M T ⎡⎤=∈⎢⎥

⎣⎦，使得1T 是可逆的，2T 是零矩阵，并且如果1T 是三个正定矩阵的乘积，则T 可以表示为三个半正定矩阵的乘积.反之并不如此.以下示例显然不是这样.

例题1.1让9900T --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,那么9313151132151811T -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦⎣⎦是三个半正定矩阵的

乘积. 然而1[9]T =-不是它的乘积三个正定矩阵，因为1det()0T <.

当然，可以强制1det()0T >这个明显必要条件推测是否符合额外的假设. 然而，通过修改示例1.1

2

221222322299()()()00I

I T I A I A I A I --⎡⎤

⊗==⊗⊗⊗⎢⎥⎣⎦

, 使用因式分解123T A A A =.在修改示例中，我们有129T I =-和220T =.由[1，定理4]，

129,T I =-是不小于5的正数的乘积确定矩阵.

在下一节中，我们将给出可以写为三个半正定矩阵的乘积的矩阵的完整表征，此外，我们添加一个必要和足够的可逆矩阵的条件，可以写成三个正定矩阵的乘积. 通过这些结果，可以使用给定矩阵的Jordan 形式及其数值范围来决定是否可以表示为二，三，四或五个半正定矩阵的乘积.

2 三个半正定矩阵的乘积

我们将证明以下内容.

定理2.1.假设120T R T T ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

使得1T 是可逆的. 那么T 是三个半正定矩阵的乘积，当且仅当满足以下条件：

2()00.a R T ≠≠或

2()0,0,b R T ≠=1T 是三个正定矩阵的乘积. 我们通过一些引理来证明定理2.1

引理2.2 令,n A S M ∈，使得S 是可逆的.那么当且仅当 * S AS 是时，A 是奇数个半正定矩阵的乘积.

在下一个引理中，我们需要矩阵n A M ∈的数值范围的概念被定义为

{}

()*:,*1.n W A x Ax x C x x =∈=

数值范围是研究矩阵的有用工具. 可以看到[2，第1章]为数值范围的基本属性.

引理2.3 假设100p T R T ⎡⎤=⎢⎥⎣

⎦使得1m T M ∈是可逆的，并且R 是非零的.那么T 是三个

半正定矩阵的乘积.

证明：首先，我们表明存在一个p m ⨯矩阵S ，使得1T RS +是三个正定矩阵的乘积.

如果1m =，则存在p S C ∈，使得10T RS +>.假设1m >并且R 具有奇异值分解

*

*

111k k k

R s x y s x y =+

+，其中1,...,k s s 是非零奇异的R 和1,...,m k x x C ∈和1,..,p k y y C ∈是相应的右和左单位奇异向量. 让{}1,...,m e e 是m C 的标准基.取一个U ，使11Ux e =. 由于

1T 是可逆的，所以*11ˆT UTU =也是可逆的. 假设*1ˆt 是1T 的第一行. 令12ˆv t e ε=+，并且1

ˆ()T ε是通过用*v 替换其第一行而从1T 获得的m m ⨯矩阵. 取足够小0ε>，使得v 不是1e 的倍数，矩阵1

ˆ()T ε仍然是可逆的. 令1*11i S s re y v U θ

-=且0r >，[0,2)θπ∈.且

****1111

ˆ().i U T RS U UTU URSU T re e v θ+=+=+ 由于v 不是1e 的倍数，所以矩阵*1e v 的秩不正常，因此*1()W e v 是具有焦点0和1

v

0>，其中1v 是v 的第一个条目; 例如，见[2，

定理1.3.6]. 由于图()X

W X 是连续的，对于足够大的0r >，

*11

ˆ(/)i W e v e T r θ-+ 仍然包含0作为任何[0,2)θπ∈的内点.那么令

*

*

1111ˆˆ()().i i i e W T re e v re W e v T r

θ

θ

θ

-+=+ 此外，可以选择值r 使得11

ˆˆdet()/det(())r T T ε>. 现在由行列式相对于第一行的线性度，

**111111

ˆˆˆdet()det(())det()det()det(())i i T RS U T RS U T re e v T re T θθε+=+=+=+ 因为11

ˆˆdet()det(())i T re T θε<，存在[0,2)θπ∈，使得1det()0T RS +>.通过[1，定理3](另见命题2.4)，1T RS +是三个正定矩阵的乘积.