初三数学暑假讲义第2期
暑期备课笔记-初三数学第2讲(教师版)
第二讲二次函数的图象与性质1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线c bx ax y ++=2的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.其中ab ac k a b h 4422-=-=，.2、抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向： 几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧。
简称为左同右异（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点； 当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴.3、抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点..1、用配方法导出一般二次函数的顶点式，并能利用顶点式解决问题。
2、会用配方法求二次函数的对称轴和顶点。
3、能根据抛物线图形判定c b a 、、的符号，能根据c b a 、、的符号确定抛物线的大概位置。
4、能灵活利用抛物线的对称性解决问题例1、把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x ______时，y 随x 增大而减小；x ______时，y 随x 增大而增大．解析：配方法求一般二次函数的顶点公式，利用图象判定二次函数的增减性。
初三数学二次函数讲义
学科教师辅导讲义体系搭建(a ＞0)(a ＜0) 开口向上 开口向下 直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a⎛⎫b 4ac －b 2⎛⎫b 4ac －b 2（3）当Δ＞0时，有两个不同的交点；当Δ＝0时，有一个交点；当Δc＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点一：二次函数的定义例1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A．±3B．﹣3C．+3D．0例2、下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型的是（）A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B．我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与半径之间的关系考点二：二次函数的图像与性质例1、一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0 ；③4ac﹣b2＜8a ；④＜a＜；⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤例3、将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式（）A．y=2（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣1）2D．y=2（x﹣1）2考点三：二次函数的表达式例1、把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（）A．y=﹣（x﹣2）2+2B．y=﹣（x﹣2）2+4C．y=﹣（x+2）2+4D．y=﹣（x﹣1）2+3例2、二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=x2+2x+4C．y=﹣x2﹣2x+4D．y=﹣x2+2x+3考点四：二次函数的应用例1、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A．20B．1508C．1550D．1558例2、如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，反映y与x之间函数关系的大致图形是（）A．B．C．D．例3、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？考点五：二次函数与一元二次方程例1、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A．0＜k＜4B．﹣3＜k＜1C．k＜﹣3或k＞1D．k＜4例2、如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（41，m）在此“波浪线”上，m的值为（）A．2B．﹣2C．0D．实战演练➢课堂狙击1、若y=（a2+a）是二次函数，那么（）A．a=﹣1或a=3B．a≠﹣1或a≠0C．a=3D．a=﹣12、下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3B．直线x=﹣2C．直线x=﹣1D．直线x=04、如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13B．y=（x﹣5）2﹣3C．y=（x﹣5）2﹣13D．y=（x+1）2﹣3 6、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（）A．B．C．D．7、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④8、若二次函数y=﹣x2+2x+m2+1的最大值为4，则实数m的值为（）A．B．C．±2D．±19、某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？10、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．➢课后反击1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A．±3B．﹣3C．+3D．02、在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（）A．B．C．D．3、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4、已知二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣15、若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A．y=﹣（x﹣2）2﹣1B．y=﹣（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2﹣1D．y=（x﹣2）2﹣16、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+37、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销量y（件）之间关系如表所示：x/元130150165y/件70 50 35若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？8、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m=0．（1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB=4，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y=x没有交点，请直接写出b的取值范围．直击中考1、【2016•广州】对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点2、【2016•赤峰】函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．3、【2016•临沂】二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣4、【2016•兰州】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45、【2016•武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲6a20200乙201040+0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．重点回顾二次函数的定义；二次函数的图像与性质；二次函数的表达式与应用；二次函数与一元二次方程。
九年级上第02讲 一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)讲义+练习
因式分解法解一元二次方程.
【知识导图】
1、观察一元二次方程 ，结合我们上节课学的知识解此方程.
2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法？
3、今天我们学习一元二次方程另外的解法：公式法、因式分解法.
1、形成表象,提出问题
用配方法解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
一元二次方程的解法
（配方法和因式分解法）
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、根的判别式；
2、公式法解一元二次方程；
3、因式分解法解方程.
教学目标
1、掌握公式法解一元二次方程的方法.
2、掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点
能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得x2-4=0，
对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．
我们知道：
∴x+2=0，x-2=0．
即x1=-2，x2=2．
初三数学暑期标准课讲义(教师版)
目录入门检测:1.一次函数21y x =-的图象与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 ．<2分钟>【答案】(1,02)，(0,1-)2. 已知一次函数y=kx+b ，y 随着x 的增大而减小，且kb ＞0，则这个函数的大致图象是( )<2分钟>A ．B ．C ．D ．【答案】B3. 将正比例函数y=3x 的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（ ）． <2分钟>A ．34y x =+B ．34y x =-C ．3(4)y x =+D ． 3(4)y x =-【答案】B4. 如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，－2）. （1）求直线AB 的解析式；（2）若点C 是第一象限内的直线上的一个点，且△BOC 的面积为2，求点C 的坐标. <5分钟>【答案】解：（1）设直线AB 的解析式为)0(≠+=k b kx y , ∵直线AB 经过点A （1，0），点B （0，－2），∴0,2,k b b +=⎧⎨=-⎩解得2,2.k b =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为22-=x y .(2) ∵△BOC 的面积为2，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∴CD=2.又∵点C 在第一象限内，∴点C 的横坐标是2. 代入22-=x y ，得到点C 的纵坐标是2. ∴点C 的坐标是（2，2）.5. 已知等腰三角形周长为12，其底边长为y ，腰长为x. （1）写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象. <5分钟>【答案】解：(1)依题意212y x +=，212y x ∴=-+.x ，y 是三角形的边，故有002x y x y >⎧⎪>⎨⎪>⎩，将212y x =-+代入，解不等式组得36x <<.(2)-2 -1 -7-6 -5-4-3 -3 -4 -5 -6 -7 12 3 4 5 6 7-1 -2 76 5 4 3 2 1 o yx-2-1-7-6-5-4-3-3-4-5-6-71234567-1-27654321oyx第一讲 二次函数的概念与解析式1.1二次函数的定义及图像 二次函数的定义一般地，形如2(,,0)y axbx c a b c a =++≠是常数，的函数，叫做二次函数，其中，x 是自变量，,,a b c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【例1】已知函数y=（m+2）x 2m m+是关于x 的二次函数，则满足条件的m 值为______．【答案】m=1【练习1.1】若y=（m －3）232m m x -+是二次函数，求m 的值．【答案】m=0【例2】若y=（k －3）22k x -+x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】分情况讨论：当k －3=0，即k=3时，y=x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=2且k －3+1≠0，即k=－2时，y=－4x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=1时，即k=±3时，y=x 2+（3－4）x+1，或y=x 2－（3+4）x+1均是二次函数，还有k 2－2=0时综合上知k=3或－2或±3或±2【练习2.1】若y=（k －2）22k x -+4x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】21.2 二次函数的性质 与a 有关的性质一函数形式：2(0)y ax a =≠开口：0a >，开口向上；0a <,开口向下.a 相同⇔抛物线的形状大小相同.a越大开口越小，a越小开口越大.对称轴：y 轴（0x =）顶点：原点（0,0）【例3】二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( ) ； (2)221x y =如图( )； (3)y ＝－x 2如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )．【答案】(1)D ，(2)C ，(3)A ，(4)B ，(5)F ，(6)E ．【练习3.1】若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或3【答案】B⏹ 与a 有关的性质二【例4】已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 3【答案】C【练习4.1】若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则m ___n （填“<”或“=”或“>”）【答案】>⏹ 与a 、b 有关的性质对称轴在y 轴左侧，,a b 同号；对称轴在y 轴右侧，,a b 异号.（左同右异） 对称轴在y 轴上，b=0.【例5】判断下列二次函数的对称轴的位置 (1)y ＝x 2＋6x ＋10 (2)y ＝3x 2－2x (3)y ＝100－5x 2 (4)y ＝(x －2)(2x ＋1)(5)y ＝ax 2－6bx ＋10（a<0,b<0）【答案】左，右，0，右，右【练习5.1】已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0）的图象如右图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x =1和x =3时，函数值相等；③4a +b =0；④当y =－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B与c 有关的性质抛物线与y 轴正半轴相交，0c >；负半轴相交，0c <.抛物线经过原点，c=0【例6】判断下列二次函数与y 轴的交点的位置 (1)y ＝2x 2＋3x ＋10 (2)y ＝－3x 2－2x －3 (3)y ＝100x －5x 2(4)y ＝(x －3)(2x ＋1) (5)y ＝x 2－6x ＋a 2+2a+3【答案】正，负，原点，负，正.【练习6.2】已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②a+b+c>0；③a-b+c<0；其中正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C1.3二次函数的解析式的求法一般式【例7】已知抛物线c bx x y ++=2经过点（1，-4）和（-1，2）.求抛物线解析式.【答案】解：设抛物线解析式为：由题意知：⎩⎨⎧=--=+15b c b c解得：⎩⎨⎧-=-=32b c∴抛物线解析式为232--=x x y【练习7.1】已知：如图，二次函数22y axbx =+-的图象经过A 、B 两点，求出这个二次函数解析式.【答案】解：（1）由图可知A （－1，－1），B （1，1） 依题意，得21,21a b a b --=-⎧⎨+-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴ y ＝2x 2＋x －2．顶点式【例8】以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式.【答案】解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+， 抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++.【练习8.1】已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．【答案】解：设这个二次函数的关系式为2)1(2--=x ay得：2)10(02--=a 解得：2=a∴这个二次函数的关系式是2)1(22--=x y ， 即224.y x x =-双根式【例9】已知抛物线与x 轴相交于两点A(1，0)，B(-3，0)，与y 轴相交于点C(0，3)． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)如果点3,2D m ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的一点，求△ABD 的面积．【答案】解：(1) ∵抛物线与y 轴相交于点C(0，3),∴设抛物线的解析式为23y ax bx =++. ∵抛物线与x 轴相交于两点(1,0),(3,0)A B -， ∴30,9330.a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：1,2.a b =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为：232y x x =-+-. （2）∵点3(,)2D m 是抛物线上一点，∴2(23339)224m =-⨯+=--. ∴119942242ABD D S AB y ∆==⨯⨯=.【练习9.1】已知抛物线过点A (2,0),B (－1,0),与y 轴交于点C ,且OC ＝2.则这条抛物线的解析式是（ ）A.22y x x =--B.22y x x =-++C.22y x x =--或22y x x =-++D.22y x x =---或22y x x =++【答案】C1.4二次函数与图形变换 ⏹ 平移【例10】将函数234y x x =+-向左平移3个单位，向下平移2个单位后的解析式为．【答案】276y x x =++【练习10.1】将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A ．25(2)3y x =++B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-【答案】A【练习10.2】把抛物线y ＝－x 2＋4x －3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是( ) A ．y ＝－(x ＋3)2－2 B ．y ＝－(x ＋1)2－1 C ．y ＝－x 2＋x －5D ．前三个答案都不正确【答案】B⏹ 对称【例11】抛物线234y x x =+-关于x 轴对称的图像解析式为，关于y 轴对称的图像解析式为，关于原点对称的图像解析式为.【答案】234y x x =--+；234y x x =--；234y x x =-++【练习11.1】某抛物线先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折得到新的解析式为223y x x =+，则原抛物线解析式为.【答案】223y x x =-+ 旋转【例12】填空(1)将抛物线21y x =+绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为. (2)将抛物线223y x x =++绕点（1,1）旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为.【答案】（1）21y x =--（2）269y x x =-+-【练习12.1】将抛物线 224=+y x 绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）A ． 22=-y xB ． 224=-+y xC ． 224=--y xD ． 224=-y x【答案】C课后作业:1. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+【答案】C2.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．函数有最小值 B ．当－1 <x < 2时，0y > C ．0a b c ++< D ．当12x <，y 随x 的增大而减小【答案】B3.已知抛物线y =x 2－4x +5，求出它的对称轴和顶点坐标.【答案】解：y =x 2－4x +5 = x 2－4x +4+1 =(x －2)2+1.∴抛物线的对称轴为x =2.顶点坐标为（2，1）.4. 抛物线22y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．【答案】解：设平移后抛物线的表达式为22y x bx c =++．∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ，∴3,382.c b c =⎧⎨=++⎩解得4,3.b c =-⎧⎨=⎩所以平移后抛物线的表达式为2243y x x =-+．解二：∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线1x =. ∴设平移后抛物线的表达式为()221y x k=-+．∴()23221k=⨯-+．∴1k =．所以平移后抛物线的表达式为()2211y x =-+．5.已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）的值为 ； （2）若1()A p y ，，2(1)B p y +，两点都在该函数的图象上，且0p <，试比较1y 与2y的大小.【答案】解：（1）m = 0 . （2）0p <，11p p ∴<+<，又因为抛物开口向上，对称轴为1x =， ∴12y y >.6.已知直线y=mx+n 经过抛物线y=ax2+bx+c 的顶点P(1，7)，与抛物线的另一个交点为M （0，6），求直线和抛物线的解析式【答案】解：（1）∵ 直线y mx n =+经过点P （1，7）、M （0，6），∴7,6.m n n +=⎧⎨=⎩解得 1,6.m n =⎧⎨=⎩∴ 直线的解析式为6y x =+． ∵ 抛物线2y ax bx c=++的顶点为P （1，7），∴ 2(1)7y a x =-+．∵ 抛物线经过点M （0，6）， ∴2(01)76a -+=．解得1a =-．∴ 抛物线的解析式为226y x x =-++．7.抛物线2y x bx c =++（b ，c 均为常数）与x 轴交于(1,0),A B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ．．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若P 是抛物线上一点，且点P 到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P 的坐标．【答案】解:(1) ∵抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,3)C , ∴c=3 .∴23y x bx =++.又∵抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A , ∴b=-4 .∴243y x x =-+. （2）点P 的坐标为(5,8)或(1,8)-．入门检测:1. 下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( )①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．<1分钟>A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A2. 已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ，则一定有（）<2分钟> A ．042>-ac b B ．042=-ac b C ．042<-ac b D ．042≤-ac b【答案】A3．在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象为( ) <2分钟>【答案】B4. 抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（）<2分钟> A .b ＝2，c ＝2 B.b ＝2，c ＝0 C .b ＝－2，c ＝－1 D.b ＝－3，c ＝2 【答案】B5．将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．<2分钟> A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-【答案】D6．抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x… 2-1-0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法正确的个数是（）<4分钟>①抛物线与x 轴的一个交点为(20)-，②抛物线与y 轴的交点为(06)， ③抛物线的对称轴是：1x = ④在对称轴左侧y 随x 增大而增大 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C7．若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（）<1分钟> A ．0，5 B ．0，1 C ．—4，5 D ．—4，1 【答案】D8．由二次函数y ＝－x 2＋2x 可知（）<2分钟>A ．其图象的开口向上B ．其图象的对称轴为x ＝1C ．其最大值为－1D ．其图象的顶点坐标为（－1，1） 【答案】B。
精品 2019年九年级数学暑假讲义+同步提高练习
第01课二次函数2axy=图象性质定义：一般地，形如，（a,b,c常数，且）的函数为二次函数。
其中x是自变量，a是_______，b是_______，c是_________．复习：画一个函数图象的一般过程是①；②；③。
21xy=，222xy=21xy-=,222xy-= x -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 y1y1y2y2图象性质⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧开口大小：最值：增减性：顶点坐标：对称轴：开口方向：图象性质⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧开口大小：最值：增减性：顶点坐标：对称轴：开口方向：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=开口大小：最值：增减性：顶点坐标：对称轴：开口方向：图象基本性质：2axy例1.已知3-2)4-(2-3-2x m y m m+=是二次函数,求m 的值.例2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．例3.已知函数42)2(-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 的值；(2)m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时x 为何值时,y 随x 的增大而增大? (3)m 为何值时,抛物线有最高点?求出这个最高点?这时x 为何值时,y 随x 的增大而减小?例4.求直线y=2x+8与抛物线y=x 2的交点坐标A 、B 及△AOB 的面积．例5.已知点A(1,a)在抛物线y=x2上.（1）求A的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P,使△OAP是等腰三角形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.例6.已知二次函数y=ax2经过点A（-2，4）(1)求出这个函数关系式；(2)写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B的坐标，并求出S△AOB；(3)在抛物线上是否存在另一个点C，使得△ABC的面积等于△AOB面积的一半？如果存在，求出点C 的坐标；如果不存在，请说明理由．课堂练习：1.下列函数中，是二次函数的是（ ） A.y=x 2-1B.y=x-1C.y=8xD.y=8x22.函数2ax y =与b ax y +=-的图象可能是（ ）3.抛物线y=-x 2不具有的性质是（ ）A.开口向下B.对称轴是 y 轴C.与 y 轴不相交D.最高点是原点4.如图,函数y=ax 2 与y=-ax+b 的图像可能是( ).5.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y=200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+； ⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。
暑假初三数学讲义第2讲
第二讲 二次函数（四）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 解析式的确定1．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式________________；②顶点式________ __________；③双根式__________________________(b 2－4ac ≥0)． 2．若二次函数y ＝x 2－2x ＋a 2－1的图象经过点(1，0)，则a 的值为______． 3．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为),0,23( 则它与x 轴的另一个交点为______．4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，求：(1)对称轴方程____________； (2)函数解析式____________； (3)当x ______时，y 随x 增大而减小； (4)由图象回答：当y ＞0时，x 的取值范围______； 当y ＝0时，x ＝______；当y ＜0时，x 的取值范围______．5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．7．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．8．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－2，5)，且当x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．10．抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x＋2＝0，且在x轴上截得线段的长度2求抛物线的解析式．为,211．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．12．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式．13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式．14．已知函数y 1＝ax 2＋bx ＋c ，它的顶点坐标为(－3，－2)，y 1与y 2＝2x ＋m 交于点(1，6)，求y 1，y 2的函数解析式．15．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为A ，B (B 在A 左侧)，与y 轴的交点为C ，OA ＝OC ．下列关系式中，正确的是( )A ．ac ＋1＝bB ．ab ＋1＝cC ．bc ＋1＝aD ．c ba=+1（五）用函数观点看一元二次方程1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有交点，则b 2－4ac ______0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0两根为x 1，x 2，则二次函数可表示为y ＝_________ ____________．2．若二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴只有一个交点，则m ＝______．3．若二次函数y ＝mx 2－(2m ＋2)x －1＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______．4．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过P (1，0)点，则a ＋b ＋c ＝______． 5．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝0，则这条抛物线必经过点______．6．关于x 的方程x 2－x －n ＝0没有实数根，则抛物线y ＝x 2－x －n 的顶点在第______象限．7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A ．没有实根B ．只有一个实根C ．有两个实根，且一根为正，一根为负D ．有两个实根，且一根小于1，一根大于28．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点( )A．只有一个B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个D．无交点9．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根10．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A．a＞0，∆＞0 B．a＞0，∆＜0C．a＜0，∆＞0 D．a＜0，∆＜011．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．12．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．13．已知直线y＝5x＋k与抛物线y＝x2＋3x＋5交点的横坐标为1，则k＝______，交点坐标为______．814．当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为⋅915．直线y＝4x＋1与抛物线y＝x2＋2x＋k有唯一交点，则k是( )A．0 B．1 C．2 D．－116．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x轴( )A．有两个交点B．有一个交点 C．没有交点 D．可能有一个交点17．y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )1 A．0 B．－1 C．2 D．418．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是( )A ．无实根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根19．已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0，a )，与x 轴交点坐标为(b ，0)和(－b ，0)，若a ＞0，则函数解析式为( ) A ．a x b ay +=2B ．a x b a y +-=22C ．a x ba y --=22 D ．a x ba y -=22 20．若m ，n (m ＜n )是关于x 的方程1－(x －a )(x －b )＝0的两个根，且a ＜b ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是( ) A ．m ＜a ＜b ＜n B ．a ＜m ＜n ＜b C ．a ＜m ＜b ＜n D ．m ＜a ＜n ＜b21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 是常数)的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的哪一个______． ①223,02121<<<<-x x ②252,21121<<-<<-x x③252,02121<<<<-x x ④223,21121<<-<<-x x22．m 为何值时，抛物线y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋m －1与x 轴没有交点?23．当m 取何值时，抛物线y ＝x 2与直线y ＝x ＋m(1)有公共点；(2)没有公共点．24．已知抛物线y ＝－x 2－(m －4)x ＋3(m －1)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求m 的取值范围．(2)若m ＜0，直线y ＝kx －1经过点A 并与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式．。
新人教版九年级数学上册暑期讲义
二次根式例1.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例2.已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值．例 3.已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
例4.若│2012-a │+2013-a =a ，求a-20122的值．课堂练习题：1.求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x2.如图，数轴上A,B 两点表示的数分别为1和，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知t<1，化简1212---+t t t 得( ) A ．22-t B ．2t C ．2 D ．04.若12x ，则224421x x x x -++++化简的结果是（ ）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -35.若a<0，b>0，则3a b -化简得（ ）A ．-a ...abB a abC a abD a ab --- 6.已知：115252a b ==-+，，则227a b ++的值为（ ） A.5B.6 C ．3 D ．4 7.估算50232+的值（ ） A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间 8.有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.cm 41B.cm 34C.cm 25D.cm 359.已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝10.如果0＜a ＜a ，那么a 的取值范围是________11.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是______12.设4-2的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为_______ 13.如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为___14.化简：2242242222-++++++a a a a a a 15.5710141521++++16.已知：7878+-=x ，7878-+=y ，求：yx xy y x +++2的值。
暑假初三讲义
第一讲圆的有关性质一、圆的有关定义和性质：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做半径。
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为优弧、劣弧、等弧三类2、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；推论2：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，且平分这条弦所对的另一条弧；推论3：弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧．3、在同圆或等圆中，等弦等弧等圆心角等圆周角4、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．5、半圆（或直径）所对的圆周角为90°，90°的圆周角所对的弦是直径。
6、圆内接四边形的对角互补．二、例题分析例题剖析1：⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若，则⊙O的半径为（）．A．B．C．D．例题剖析2.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝_________.例题剖析3.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，求∠ACD的度数．例题剖析4.一个圆形人工湖如图所示，弦AB为湖上一座桥，已知桥长AB＝100m ，测得圆周角∠ACB＝45°，求这个人工湖的直径AD的长．三、课堂练习1．如图，⊙O 的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD=6，那么BD=_______.3.如图，⊙O 的直径CD=10，弦AB=8，AB ⊥CD ，垂足为点M ，则DM 的长为__________.4.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．65.已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，则AB 、CD 之间的距离为（ ）cm ．A ．17B ．7C ．12D ．17或7 6.已知，弦BD 与AC 相交于点P ，∠BPC ＝80°，则∠ACD 为（ ）A ．40°B ．30°C ．25°D ．20°O M A B8.如图，△ABC为⊙O 的内接三角形，AB为⊙O 的直径，点D为⊙O 上一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__________．9.如图，已知AB为⊙O 的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，连AC、OC、BC．（1）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的半径；（2）求证：∠ACO＝∠BCD．四、课后作业1．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（）A．28° B．36°C．60° D．62°2，BD=3，2．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2则AB的长为（）A．2 B．3C．4 D．53.如图，⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm．4．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC.（1）求证：AC平分∠OAB（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长.第二讲点和圆、直线和圆的位置关系一、知识要点1、点和圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d：若点P在圆外d＞r，若点P在圆上d＝r，若点P在圆内d＜r．2、直线和圆的位置关系：①、设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：d＞r直线l与圆相离；d＝r直线l与圆相切；d＜r直线l与圆相交．②、切线的判定方法：①定义；②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．③、切线的性质：①切线和圆心的距离等于半径；②切线垂直于过切点的半径；④、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3、圆与圆的位置关系：大圆半径为R，小圆半径为r①外离<=>d＞R＋r②外切<=>d＝R＋r③相交<=>R－r＜d＜R＋r④内切<=>d＝R－r⑤内含<=>d＜R－r二、例题分析例1．在数轴上，点A 表示实数3，点B 表示实数a ，⊙A 的半径为2，下列说法不正确的是（ ）A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外例2．两圆的圆心距为3，两圆半径分别为方程0342=+-x x 的两根，则两圆位置关系是（ ）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切例3．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若∠APB=60°，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为____________.例4.如图，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，且∠OBA ＝40°，求∠ADC 的度数．例5.如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA ，CB 于点E ，F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．例6.如图，△ABC 内接于⊙O ，CA ＝CB ，CD ∥AB 且与OA 的延长线交于点D ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若∠ACB ＝120°，OA ＝2，求CD 的长．三、课堂训练：1．图中圆与圆之间不同的位置关系是（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）A ．与x 轴相离、与y 轴相切B ．与x 轴、y 轴都相离C ．与x 轴相切、与y 轴相离D ．与x 轴、y 轴都相切3．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．8≤AB ≤10 B ．AB ≥8C ．8＜AB ≤10D ．8＜AB ＜104．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB=2，OD=3，则BC 的长为（ ）A ．32 B ．23 C ．23 D ．225．如图，在Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA 、BC 为半径的圆形成一圆环，则该圆环的面积为__________.6．如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使AB BP 21 ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是AC 上和点C 不重合的一点，则∠D 的度数为__________.7.如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB ，AC ，切点分别为B ，C ，且⊙O 的直径BD ＝6，连CD ，AO ．求证：CD ∥AO ．四、课后作业1、两圆的圆心坐标分别为和（0，1），它们的半径分别为3和5，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切2、在平面直角坐标系中，以点（－3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离（3、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B＝25°，则∠D＝（）A．25°B．40°C．30°D．50°4、已知两圆的半径R，r分别为方程x2－5x＋6＝0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系为（）A．相离B．内切C．相交D．外切5、如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P，CP交⊙O于点D．求证：AP＝AC；6、如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．求证：CD 是⊙O的切线；第三讲弧长和扇形面积一、知识要点：1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为；2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为或（其中l表示扇形的弧长）；3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形；4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh；5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为S＝πr2＋πar．二、例题分析例1、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F．（1）若弧CF长为，求圆心角∠CBF的度数；（2）求圆中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）．例2、如图，AB切⊙O于点B，，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为（）A．B．C．π D．例3、如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径为（）A．1 B．C． D．例4、如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．（1）证明：△AFO≌△CEB；（2）若EB＝5cm，，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积．例5、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是多少？三、课堂训练1．如图，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A ．π4cm 2B ．π6 cm 2C ．π9cm 2D ．π12 cm 22．边长为a 的正六边形的面积等于（ ）A ．243a B ．a 2 C ．2233a D ．233a 3．挂钟分针的长为10cm ，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（ ）A ．cm 215πB ．π15cmC ．275πcm D ．π75cm 4.如图，AB 为⊙O 的切线，半径OA ＝2，OB 交⊙O 于点C ，∠B ＝30°，则劣弧的长是__________．5.如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长为________．6．如图，一个圆锥的高为33cm，侧面展开图是半圆.求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）求∠BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留 ）7.如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积．．四、课后作业：1、若一个圆锥的底面圆的周长为4π cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为（）A．40° B．80°C．120°D．150°2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6cm，CD⊥AB于D，以C 为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为（）cm2．A．B．C． D．3、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，若把△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，所得的几何体的表面积为（）A．4πB．C．8πD．4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A、C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个图形，则剩余（阴影）部分的面积为__________cm2．5、如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．6、如图，已知点A，B，C，D均在已知图上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．第一讲圆的有关性质一、知识要点：1、反比例函数的定义：一般地，形如 y＝( k是常数, k≠0) 的函数叫做反比例函数．反比例函数解析式有三种常见的表达形式：（A）y＝（k≠0），（B）xy＝ k（k ≠ 0），（C）y＝kx－1（k≠0）.2、反比例函数的图象和性质：（1）反比例函数的图象是双曲线．当k>0时，双曲线分别位于第一、三象限；当k<0时, 双曲线分别位于第二、四象限内．（2）反比例函数性质：当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大．二、例题分析例1、若函数是反比例函数，则的值为（）A．B．C．或D．且例2、在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（）A．B．C．D．例3、如图所示，在函数的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是矩形，点B、P在曲线上，下列说法不正确的是（）A．矩形FOEP和正方形COAB面积相等B．点B的坐标是（4，4）C．点B在直线y＝x上D．矩形BCFG和矩形GAEP面积相等例4、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应（）A．小于m3B．大于m3C．不小于m3D．小于m3例5、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象相交于A、B 两点.（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.三、课堂训练：1、已知是的反比例函数，当时，，那么当时，的值为______.2、若反比例函数的图象经过二、四象限，则k＝_______.3、已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围（）A．B．C．D．4、已知反比例函数，下列结论中不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．随的增大而减小C．图象在第一、三象限内D．若，则5、如图，正比例函数y＝kx (k >0)与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，求△ABC的面积．6、如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，如果A点坐标为（2，0），点C、D分别在第一、三象限，且OA＝OB，点C的横坐标为4. 求：（1）一次函数的关系式；（2）点C的坐标；（3）反比例函数的关系式；（4）点D的坐标；（5）请观察图象回答：当x取何值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.四、课后作业1、正比例函数y＝2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，4），则另一个交点坐标为（）A．（2，－4）B．（－2，－4）C．（－2，4）D．（－2，－2）2、若m<－1时，则在下列函数①，②，③y＝mx，④中，y值随x值的增大而增大的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④3、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么k1和k2的关系一定是（）A．k1<0，k2>0 B．k1>0，k2<0C．k1、k2同号 D．k1、k2异号4、是y关于x的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m 的值为___________；5、考察的图象，当时，x的取值范围为________.6、在函数为常数）的图象上有三点，，，则y1，y2，y3的大小关系是________.7、设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则k的取值范围是________.8、已知反比例函数的图象经过点A（－2，1），一次函数的图象经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B.（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式.（2）求点B的坐标.9、反比例函数的图象与一次函数的图象交于A（1，5），B（n ，－1）两点.（1）求反比例函数与一次函数的解析式.（2）当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？10、若一次函数y＝2x－1和反比例函数的图象都经过点（1，1）.（1）求反比例函数的解析式.（2）已知点Ａ在第三象限，且同时在两个函数的图像上，求点A的坐标.。
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第1讲一元二次方程1.1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.知识网络图⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.1．（2018•绍兴一模）利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x ﹣1=，两边平方得（x ﹣1）2=（）2，所以x 2﹣2x+1=2，即x 2﹣2x ﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（ ）A ．4x 2+4x+5=0B ．4x 2+4x ﹣5=0C ．x 2+x+1=0D ．x 2+x ﹣1=01．（2018•深圳模拟）已知α、β是方程x 2﹣2x ﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．22D ．302．（2017秋•平顶山期末）若a+c=b ，那么方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）必有一根是（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．小试牛刀再接再厉1.2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .1．（2017•济宁二模）我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i ，使其满足i 2=﹣1（即x 2=﹣1方程有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n ，我们可得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1，那么，i+i 2+i 3+i 4+…+i 2016+i 2017的值为（ ）知识概述小试牛刀A ．0B ．1C ．﹣1D ．i2．（2018•龙岗区一模）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a 2﹣2ab+b 2，根据这个规则求方程（x ﹣4）*1=0的解为______________．1．（2018春•嘉兴期中）给出一种运算：对于函数y=x n ，规定y ′=nx n ﹣1．例如：若函数y=x 4，则有y ′=4x 3．已知函数y=x 3，则方程y ′=12的解是______________．2．（2017春•明光市期中）若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两根分别为m+1与2m ﹣4．（1）求m 的值；（2）求的值．3．（2016秋•长泰县期中）已知一元二次方程（x ﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，求△ABC 的周长．再接再厉4．（2017秋•怀柔区期末）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x﹣2）2=25．解题思路：我们只要把3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或3x﹣2= ________．分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．（2）解方程．1.3 配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.1．（2017秋•苍溪县期末）解方程：（1）x 2﹣2x ﹣4=0（2）用配方法解方程：2x 2+1=3x2．（2017秋•卢龙县期末）解方程：（1）（y+2）2=（3y ﹣1）2知识概述小试牛刀（2）x 2+4x+2=0（配方法）1．（2018春•瑶海区期中）解一元二次方程（配方法）：x 2﹣6x ﹣7=0．2．（2017秋•句容市月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x （x+4）=6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．（x+2）2﹣22=6，（x+2）2=6+22，（x+2）2=10．直接开平方并整理，得．x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a ）﹣b][（x+a ）+b]=5．（x+a ）2﹣b 2=5，（x+a ）2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，_____，_____，_____．（2）请用“平均数法”解方程：（x ﹣5）（x+3）=6．再接再厉1.4 公式法1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.1．（2017秋•前郭县期末）用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．知识概述小试牛刀1．（2017秋•安陆市期中）以x=为根的一元二次方程可能是（ ）A ．x 2+bx+c=0B ．x 2+bx ﹣c=0C ．x 2﹣bx+c=0D ．x 2﹣bx ﹣c=02．（2017秋•惠民县期末）（1）用配方法解方程：3x 2﹣12x+9=0．（2）用公式法解方程：3x 2﹣9x+4=0．1.5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.再接再厉知识概述1．（2017秋•沈河区期末）解方程（1）x 2﹣7x ﹣18=0 （2）2（x ﹣3）2=x 2﹣9．2．（2017秋•沭阳县期末）（x+3）（x ﹣1）=12．1．（2017秋•梁子湖区期末）解下列方程：（1）x 2+3x ﹣1=0；（2）x （2x ﹣5）=4x ﹣10．小试牛刀再接再厉2．（2017秋•槐荫区期末）在方程x2﹣3x=0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x（x ﹣3）=0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x=0或x﹣3=0，解这两个一次方程得：x=0或x=3．所以原方程的解有两个，分别为：x=0或x=3．上述将方程x2﹣3x=0转化为x=0或x﹣3=0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．规范书写如下：解：x2﹣3x=0x（x﹣3）=0x=0或x﹣3=0∴x=0或x=3仿照上面的方法和规范，解决下列问题：（1）解方程9x2﹣4=0（2）解方程a2﹣2a﹣3=0；类比上面的思路，解决下列问题．（3）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式a2﹣2a﹣3＞0的解集．第1讲一元二次方程1.1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识网络图⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．（2018•马鞍山二模）已知a 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的一个根，则代数式2a 2﹣4a ﹣1的值为（ ）A ．1B ．﹣2C ．﹣2或1D ．22．（2018•岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2﹣5m+3=0有一个根为1，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．0D ．1或33．（2017秋•潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x ﹣3）=5x 的一次项系数是（ ）A ．﹣5B ．﹣9C ．0D ．51．（2018•荆门二模）已知2是关于x 的方程x 2﹣（5+m ）x+5m=0的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．9或12D ．6或12或15小试牛刀再接再厉2．（2018•河北模拟）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（ ）A．2016B．2018C．2020D．20223．（2017秋•武城县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）A．0B．1C．2D．1或24．（2017秋•蓬溪县期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax+1﹣a2=0有一个根是0，则a=（ ）A．1B．﹣1C．±1D．05．（2017秋•常熟市期末）已知一元二次方程x2﹣x﹣2=0的一个根是m，则2018﹣m2+m的值是（ ）A．2015B．2016C．2018D．20201.2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .1．（2017春•费县校级月考）解方程：（1）25x 2﹣36=0 （2）4（2x ﹣1）2=36．知识概述小试牛刀1．（2017秋•天宁区校级月考）解方程：（1）（x+2）2﹣16=0 （2）x 2﹣2x ﹣4=0．1.3 配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.1．（2018•临沂）一元二次方程y 2﹣y ﹣=0配方后可化为（ ）再接再厉知识概述小试牛刀A ．（y+）2=1B ．（y ﹣）2=1C ．（y+）2=D ．（y ﹣）2=2．（2018•旌阳区模拟）用配方法解方程x 2﹣x ﹣1=0时，应将其变形为（ ）A ．（x ﹣）2=B ．（x+）2=C ．（x ﹣）2=0D ．（x ﹣）2=3．（2018•中江县模拟）用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0．1．（2018•秀洲区二模）在《九章算术》“勾股”章里有求方程x 2+34x ﹣71000=0的正根才能解答的题目，以上方程用配方法变形正确的是（ ）A ．（x+17）2=70711B ．（x+17）2=71289C ．（x ﹣17）2=70711D ．（x ﹣17）2=712892．（2017秋•定安县期末）将一元二次方程x 2﹣4x ﹣6=0化成（x ﹣a ）2=b 的形式，则b 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103．（2018•宁河县一模）解下列方程：（1）x 2+10x+25=0（2）x 2﹣x ﹣1=0．再接再厉4．（2017•广东模拟）解方程：（x+1）（x ﹣1）+2（x+3）=8．1.4 公式法1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.1．（2016秋•通江县月考）下列方程适合用求根公式法解的是（ ）A ．（x ﹣3）2=2B ．325x 2﹣326x+1=0知识概述小试牛刀C ．x 2﹣100x+2500=0D ．2x 2+3x ﹣1=02．（2016秋•惠安县校级期中）用求根公式法解方程x 2﹣2x ﹣5=0的解是（ ）A ．x 1=1+，x 2=1﹣B ．x 1=2+，x 2=2﹣C ．x 1=1+，x 2=1﹣D ．x 1=2+，x 2=2﹣3．（2018•和平区模拟）解方程：（x ﹣3）（x ﹣2）﹣4=0．1．（2018•高新区模拟）解方程3x 2+5x+1=0．2．（2017秋•九江期末）用公式法解一元二次方程：2x 2﹣7x+6=0．3．（2017•江汉区校级模拟）4x 2﹣3=12x （用公式法解）4．（2016秋•潮州期末）用公式法解方程：2x 2+3x=1．再接再厉1.5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.1．（2018•泸县模拟）解方程：x （x ﹣1）=4x+6．2．（2017秋•白银期末）解方程：（1）3（x ﹣1）2=x （x ﹣1）（2）x 2+1=3x．知识概述小试牛刀1．（2017秋•凤翔县期末）解方程（1）4x 2﹣8x+3=0（2）x （x+6）=72．（2017秋•莘县期末）解方程：2（x ﹣3）2=5（3﹣x ）．3．（2017秋•遵义期末）解方程：3x （x ﹣1）=2（x ﹣1）．4．（2017秋•雁塔区期末）解下列方程：（1）x （x+5）=14；（2）x 2﹣2x ﹣2=05．（2017秋•新罗区期末）用适当的方法解方程：（1）x 2+3x ﹣4=0（2）x （x ﹣2）+（x ﹣2）=0．再接再厉第1讲一元二次方程1.1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识网络图⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．（2018春•鄞州区期中）一元二次方程3x 2﹣3x=x+2化为一般形式ax 2+bx+c=0后，a 、b 、c 的值分别是（ ）A ．3、﹣4、﹣2B ．3、﹣3、2C ．3、﹣2、2D ．3、﹣4、22．（2018•中江县模拟）关于x 的方程（a ﹣1）x |a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）A ．a ≠±1B ．a=1C ．a=﹣1D ．a=±13．（2018•绥化模拟）下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．xy+2=1B ．C ．x 2=0D ．ax 2+bx+c=04．（2018•盐城）已知一元二次方程x 2+k ﹣3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．4小试牛刀1．（2017秋•凉山州期末）将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5x2，﹣4x2．（2018•平顶山二模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根0，则a值为（ ）A．1B．﹣1C．±1D．03．（2017秋•邵阳期末）关于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a 的取值范围为（ ）A．a≠0B．a＞0C．a≠2D．a＞24．（2017秋•铜梁区期末）方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．6，2，9B ．2，﹣6，9C ．2，﹣6，﹣9D ．﹣2，6，95．（2018春•杭州期中）已知关于x 的方程（m+1）x+2x ﹣3=0是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．不能确定1.2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .知识概述1．（2017秋•雁塔区期末）一元二次方程（x ﹣1）2﹣2=0的根是（ ）A ．x=B ．x 1=﹣1，x 2=3C ．x=﹣D ．x 1=1+，x 2=1﹣2．（2017•白云区一模）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）A ．x 2﹣1=0B ．x 2=0C ．x 2+4=0D ．﹣x 2+3=03．（2017•包河区校级模拟）解方程：（x ﹣5）2=16．1．（2017秋•漳州期末）关于x 的方程（x+1）2﹣m=0（其中m ≥0）的解为（ ）A ．x=﹣1+mB ．x=﹣1+C ．x=﹣1±mD ．x=﹣12．（2018春•包河区期中）解方程：（4x ﹣1）2﹣9=03．（2017秋•秦淮区期中）解方程（x ﹣1）2﹣4=0．小试牛刀再接再厉4．（2018春•西城区校级期中）解方程：（2x ﹣1）2=3．1.3 配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.1．（2018•定兴县二模）一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为（ ）A ．（x+4）2=17B ．（x+4）2=15C ．（x ﹣4）2=17D ．（x ﹣4）2=152．（2018•常州模拟）解下列方程：（1）x 2﹣2x ﹣2=0；（2）（x ﹣1）（x ﹣3）=8．知识概述小试牛刀1．（2017秋•潮南区期末）用配方法解方程：x 2﹣4x+1=0．2．（2016秋•宁德期末）小明同学解一元二次方程x 2﹣4x ﹣1=0的过程如图所示解：x 2﹣4x=1…①x 2﹣4x+4=1 …②（x ﹣2）2=1…③x ﹣2=±1…④x 1=3，x 2=1…⑤（1）小明解方程的方法是__________，他的求解过程从第__________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；（2）解这个方程．再接再厉1.4 公式法1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.1．（2018春•包河区期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程﹣4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a=﹣4，b=5，c=3B ．a=﹣4，b=﹣5，c=3知识概述小试牛刀C ．a=4，b=5，c=3D ．a=4，b=﹣5，c=﹣32．（2017•淄川区一模）用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=1．（2017秋•昌平区校级期中）方程x 2﹣x ﹣1=0的根是（ ）A ．x 1=，x 2=B ．x 1=，x 2=C ．x 1=，x 2=D ．没有实数根2．（2016秋•盱眙县校级月考）用公式法解方程x 2﹣4x ﹣2=0，其中b 2﹣4ac 的值是（ ）A ．16B ．24C ．8D ．43．（2018•金乡县模拟）x 2﹣2x ﹣15=0．（公式法）再接再厉1.5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.1．（2018•花都区一模）解方程：x 2﹣6x+5=0． 2．（2017秋•工业园区期末）解方程：（x+1）2=3（x+1）3．（2018•湘桥区模拟）解方程：x 2﹣4x ﹣5=0．知识概述小试牛刀1．（2017秋•市中区期末）解方程：x 2+8x ﹣9=0．2．（2017秋•南平期末）解方程：（1）x 2+2x=0（2）3x 2+2x ﹣1=03．（2017秋•宝安区期末）x 2﹣8x+12=0．4．（2017秋•丹徒区期末）解下列方程（1）x 2﹣4x ﹣5=0（2）2（x ﹣1）+x （x ﹣1）=0再接再厉第2讲 一元二次方程的实际问题2.1 根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．1．（2018•宜宾）一元二次方程x 2﹣2x=0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2为（ ）A ．﹣2B ．1C ．2D ．0知识网络图⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩根与系数的关系问题变化率问题实际问题利润问题其他问题知识概述)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21小试牛刀2．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9=0的两根，则+的值是（ ）A ．B ．﹣C ．﹣D ．3．（2018•番禺区一模）若α、β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣2D ．4．（2018•盐城模拟）已知方程x 2﹣x ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，则代数式x 1+x 2+x 1x 2的值为（ ）A ．﹣3B ．1C ．3D ．﹣15．（2018•黄石模拟）设x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则的值是（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣6 或﹣5D ．6 或56．（2018•奎文区二模）已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m 的值是（ ）A ．3或﹣1B ．3C ．1D ．﹣3或1 再接再厉7．（2018•罗平县一模）若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（ ）A．1B．2C．﹣D．﹣8．（2017秋•五莲县期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6=0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（ ）A．3B．15C．﹣3D．﹣159．（2018春•绍兴期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）A．10B．9C．8D．710（2018•江西）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2．则x12﹣4x1+2x1x2的值为_____．11．（2018•河北区一模）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为___．2.2增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)1．（2018•宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A ．2%B ．4.4%C ．20%D ．44%2．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%知识概述(1)na xb +=(1)n a x b -=小试牛刀3．（2018•邻水县三模）某超市将某品牌书包的售价从原来80元/个经两次调价后调至64.8元/个．若该超市两次调价的降价率相同，则降价率是（ ）A ．10%B ．20%C ．80%D ．90%4．（2018•蒙城县一模）某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%5．（2018•江阴市二模）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%6．（2018•拉萨一模）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为_____．7．（2018•泸县模拟）某地2015年为做好“精准扶贫”工作，投入资金2000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年投入资金2880万元，求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．8．（2018•南关区校级二模）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年，县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2016年投资了7.2亿元人民再接再厉币，问：每年投资的增长率是多少？2.3利润问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数1．（2018•石家庄模拟）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（ ）元．A ．3B ．2.5C ．2D ．52．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为____件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？知识概述小试牛刀。
新人教版九年级数学上册暑期讲义
二次根式例1.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例2.已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值．例 3.已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
例4.若│2012-a │+2013-a =a ，求a-20122的值．课堂练习题：1.求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x2.如图，数轴上A,B 两点表示的数分别为1和，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知t<1，化简1212---+t t t 得( ) A ．22-t B ．2t C ．2 D ．04.若12x ，则224421x x x x -++++化简的结果是（ ）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -35.若a<0，b>0，则3a b -化简得（ ）A ．-a ...abB a abC a abD a ab --- 6.已知：115252a b ==-+，，则227a b ++的值为（ ） A.5B.6 C ．3 D ．4 7.估算50232+的值（ ） A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间 8.有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.cm 41B.cm 34C.cm 25D.cm 359.已知x ，y 是实数，且3x ＋4＋y 2－6y ＋9＝0，则xy ＝10.如果0＜a ＜a ，那么a 的取值范围是________11.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是______12.设4-2的整数部分为a ，小整数部分为b ，则ba 1-的值为_______ 13.如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为___14.化简：2242242222-++++++a a a a a a 15.5710141521++++16.已知：7878+-=x ，7878-+=y ，求：yx xy y x +++2的值。
武汉市九年级数学暑期讲义好题精选(word
暑期讲义好题精选（代数部分）第1讲一元二次方程的概念与解法1、关于x的一元二次方程(a -1) x 2 +x +a 2 -1 = 0 有一根为0，则a的值是．2、方程(2019x )2 - 2019 ⨯ 2019 x -1 = 0 的较大根为r，方程2019x2 - 2019 x +1 = 0的较小根为s，则s－r 的值为．3、解含参方程：ax2＋(a2－1)x－a＝04、若x2 +xy +y = 14 ，y2 +xy +x = 28 ，则x＋y 的值为．5、已知a，b 都是负实数，且111a b a b+-=-，那么ba的值是．6、设x、y 为实数，求代数式5x2 + 4 y 2 - 8xy + 2 x + 4 的最小值是．7、已知m 、n 是方程x2 - 2x - 1 = 0 的两根，且(7m2-14m +a )(3n2- 6n - 7 )= 8 ，求a的值.8、已知a，则a3 - 2a + 2019 的值为．9、已知a2 + 4a +1 = 0 且42321322a maa ma a-+=++，求m的值．第2讲一元二次方程根的判别式1、关于x的方程a x2 - (a + 2)x + 2 = 0 只有一解，则a的值为．2、关于x的方程(a - 6) x 2 - 8x + 6 = 0 有实数根，则整数a的最大值是．3、若某直角三角形的三边为a，b，c，∠B＝90°，那么关于x的方程a( x2 -1) -2( x +b)( x2 +1) = 0 （）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4、下列命题：①若a+b +c = 0 ，则b2 - 4ac ≤0；②若b>a +c ，则一元二次方程a x2 +bx +c = 0 有两个不相等的实数根；③若b= 2a + 3c ，则一元二次方程a x2 +bx +c = 0 有两个不相等的实数根；④若一元二次方程a x2 +bx +c = 0 有两个不相等的实数根，则方程cx2 +bx +a= 0 也一定有两个不相等的实数根. 其中正确的命题的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个5、已知，关于x的一元二次方程m x2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 （m为实数）．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的取值．6、若实数x, y 满足x2 - 2x - 4 y = 5 ，求x- 2 y 的最大值．7、已知实数a, b, c 满足a+b +c = 0 ，a bc = 2 ，那么a b c++的最小值是第3讲一元二次方程的根与系数关系1、已知x1 ，x2 是关于x的方程12- x 2－（k－1）x＋2＝0 的根，若x1 ，x2 满足x1 ＋2 x2 ＝0，则实数k的值为.2、设x1 ，x2 是二次方程x2+x - 3 = 0 的两根，则x1- 4x2 + 19 ＝．第1页/共4页3、已知 m ，n 是方程 x 2 - 3x + 1 = 0 的两根，则 m 23n -=4、实数 a ，b 满足 a 2＝2－2a ，b 2＝2－2b ，则b a a b +=5、已知 x 1 ， x 2 是关于 x 的方程 x 2 - (k - 7)x + (k - 1)2+ 2 = 0 的两个不相等的实数根，是否存在实数 k ，使得12x x +=k 的值，若不存在，请说明理由. 6、若关于 x 的方程 x 2－ax ＋2＝0 在 x ≥1 的范围内有两实根，求实数 a 的取值范围.7、已知实数 a 、b 、c ，a ≥b ≥c ，且 a ＋b ＋c ＝2，abc ＝4，则 a 的最小值为 ． 第 4 讲 二次函数的图象与性质1、使抛物线 y = 3(x - 1)2 - 2 平移后经过点（1，4），则可以将此抛物线（ ）A ． 向 下 平 移 2 个 单 位B ． 向 上 平 移 6 个 单 位C ． 向 右 平 移 1 个 单 位D ． 向 左 平 移 2 个 单 位2、在抛物线 y ＝a x 2 ＋ax －2a 上有 A （－1，y 1），B （－0.6，y 2）和 C （1，y 3）三点，若抛物线与 y 轴 的交点在负半轴上，则 y 1，y 2 和 y 3 的大小关系为（） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 2＜y 3＜y 13、已知两点 A （－4，y 1），B （2，y 2）均在抛物线 y ＝a x 2 ＋bx ＋c （a ≠0）上，点 C （x 0，y 0）是该抛物线 的顶点，若 y 1＜y 2≤y 0，则 x 0 的取值范围是 ．4、已知抛物线 y ＝mx 2＋4x ＋m ＋3 开口向下，且与坐标轴的公共点有且只有 2 个，则对于 m 的取值为（ ） A ．m ＝－4 B ．m ＝－3 或－4 C ．m ＝－3，－4，0 或 1 D ．－4＜m ＜05、如果函数 y ＝(a －1)x 2＋3x ＋51a a +-的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么 a 的取值范围是6、如图，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是 x ＝﹣1．且过点(12，0) ，有下列结论： ①abc ＞0；②a ﹣2b ＋4c ＝0；③25a ﹣10b ＋4c ＝0；④3b ＋2c ＞0；⑤a ﹣b ≥m （am ﹣b ）；其中所有正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①③⑤7、如图，二次函数 y ＝a x 2 ＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线 x ＝1，下列结论： ①ab ＜0；② b 2 ＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0．其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②④ C ．①②③ D ．①②③④第 5 讲 二次函数的图象与性质（2）1、已知二次函数解析式 y ＝x 2－2x －3，求将改二次函数的图象作如下变换后的解析式． （1）关于 x 轴对称； （2）关于 y 轴对称； （3）关于顶点对称； （4）关于原点对称．2、已知抛物线 y ＝（m ＋1）x 2－4mx ＋4 总经过两个定点，求出这两个定点坐标．3、已知抛物线 y ＝ax 2＋2x ＋1 的顶点 P 在某直线 m 上运动，求直线 m 的解析式.4、已知函数 y ＝x 2－2x ＋3，在 0≤x ≤m 时有最大值为 3，最小值为 2，求实数 m 的取值范围．5、（2019 年武汉四调）已知关于x的二次函数y＝（x－h）2＋3，当1≤x≤3 时，函数有最小值2h，则h的值为（）A．13- B．13-或2 C．74或6 D．2、13或66、已知函数y＝x2－2x＋2在t≤x≤t＋1范围内的最小值为s.①求s的值（用关于t的代数式表示）；②直接写出出s的取值范围（不要过程）.7、已知a＜b，函数y=-x 2 +x （a≤x≤b）的最大、最小值分别为2b 和2a，则a＋b＝.第6讲二次函数的图象与直线1、如图1，点P是抛物线y 14x 2 在第二象限内的一动点，直线P Q：y＝kx－k ＋1 交抛物线于另一点Q．（1）求直线P Q 经过的定点A的坐标；（2）如图1，若A P＝3AQ，求点P的坐标．2、已知抛物线C的解析为y＝x2－2x－3.（1）若直线线l的过点P（1，－5），且和C 有且只有一个公共点，求l的解析式；（2）若直线m＝3x＋n，且和C交于不同的两点A和B（A 在B左侧），若AB＝，求n的值．3、如图，过点C（0，3）的直线交抛物线y＝x2 于A、B 两点，若S△AOB＝6，求点A、B 的坐标．4、（2019 武汉中考）抛物线L：y＝－x2＋bx＋c 经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1 交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图，过定点的直线y＝kx－k＋4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN 的面积等于1，求k 的值．第4页/共4页。
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目录第一讲客观性题目的解题技巧（一） (2)概述 (2)自我检测 (6)第二讲客观性题目的解题技巧（二） (7)第三讲配方法 (10)第四讲因式分解法 (13)知识点梳理 (13)自我检测 (15)第五讲判别式法与韦达定理（一） (17)第六讲判别式法与韦达定理（二） (22)走进中考专题训练 (22)自我检测 (26)第七讲待定系数法及数形结合法（一） (27)知识点梳理 (27)例题讲解 (27)走进中考专题训练 (28)自我检测 (32)第八讲待定系数法及数形结合法（二） (33)第九讲几何变换法 (39)第十讲综合讲训（一） (43)自我检测 (47)第十一讲综合讲训（二） (49)第十二讲走进中考模拟专题 (53)第一讲客观性题目的解题技巧（一）概述选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型，是历年中考占30分左右的分值的必考题型。
选择题的题型构思精巧，形式新颖，覆盖面广，考查全面，解法灵活，评分客观，在中考中占有十分重要地位。
填空题是标准化考试的重要题型之一，是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的试题，它同选择题一样同属客观性试题，具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷客观、公正、准确、迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。
下面介绍几种客观性试题的解题方法，都是初中数学学习中的常用方法。
（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。
（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。
当遇到定量命题时，常用此法。
（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。
这种方法叫特殊元素法。
（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。
图解法是解选择题常用方法之一。
（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。
例题讲解例1、直接推演法： 4的算术平方根是（ ）A. 2B. ±2C. -2D.例2、排除法：1、如图1，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ C ）A.()2222a b a ab b-=-+B.()2222a b a ab b +=++C.22()()a b a b a b -=+-D.2()a ab a a b +=+ 2、分式方程131x x x x +=--的解为（ D ）排除法，代入法 A ．1x =B ．1x =-C ．3x =D ．3x =-例3、特殊值代入法：1、若01x <<，则1-x 、x 、2x 的大小关系是（ ）A ．21x x x<<- B ．12-<<x x xC ．12-<<x x xD ．x x x <<-12例4、图解法： 反比例函数)0(1>-=x xy 随着x 值的增大，y 值（ ） A ．增大 B ．减小 C ．不变 D ．先增大后减小走进中考专题训练1. 生活处处皆学问.如图1，自行车轮所在两圆的位置关系是（ C ） A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 内含图1图12. 下列几何体中，正视图、左视图、俯视图完全相同的是（ D ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 球 3．若1=x ，21=y ，则2244y xy x ++的值是（ A ）． A ．2 B ．4 C ．23 D ．214.函数y =中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ）d5. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n ），规定以下两种变换： ①(,)(,)f m n m n =-，如(2,1)(2,1)f =-；②(,)(,)g m n m n =-- ，如(2,1)(2,1)g =--.按照以上变换有：()()()3,43,43,4f g f =--=-⎡⎤⎣⎦，那么()3,2g f -⎡⎤⎣⎦等于（ A ） A.（3，2） B.（3，-2） C.（-3，2） D.（-3，-2） 6. 如图4，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由 A→M→N→C 的小路（M 、N 分别是AB 、CD 中点）.极 少数同学为了走―捷径‖，沿线段AC 行走，破坏了草坪， 实际上他们仅少走了（ B ）A. 7米B. 6米C. 5米D. 4米7．如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°， 则菱形ABCD 的周长为（ C ）A ．20B ．18C ．16D ．158．某同学五天内每天完成家庭作业的时间（单位：小时）分别为2、2、3、2、1，则这组数据的众数和中位数分别为（ A ）A ．2、2B ．2、3C ．2、1D ．3、1 9．长方体的主视图、俯视图如图3所示（单位：m ）， 则其左视图面积是（ D ）A ．42m B ．122m C ．12m D ．32m图 4图310．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（c）A．3、4、5B．6、8、10C2D．5、12、1311．已知⊙O1、⊙O2的半径分别是12r=、24r=，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ B ）A．2 B．4 C．6 D．812．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（DA．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．AC BC=D．∠BAC=30°13. 如图，直线l1与l2相交于点O，1OM l⊥，若44α∠=︒，则β∠A．56︒B．46︒C．45︒D．44︒14.下列运算，正确的是（A ）A．523aaa=⋅B．abba532=+C．326aaa=÷D．15.要判断小刚的数学考试成绩是否稳定，A．方差B．中位数C．平均数D．众数16.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD AB⊥于E，则下列结论中不成立．．．的是（）dA．A D∠=∠B．CE DE=C．90ACB∠= D．CE BD=y2=的图象大致是（）b 18. 如图，梯形ABCD中，AD BC∥，点E在BC上，AE BE=，点F是CD的中点，且AF AB⊥，若 2.746AD AF AB===，，，则CE的长为（ B ）A． B. 2.3 C. 2.5 D. 1B第16题-1 2自我检测1. 下列运算正确的是（）dA ．()b a b a +=+--B ．a a a =-2333C ．01=+-aa D ． 323211=⎪⎭⎫⎝⎛÷- 2．函数y=211-+-x x 中，自变量x 的取值范围是（ ）dA.x≥-1B.x ＞2C.x ＞-1且x≠2D. x≥-1且x≠23. 下列图形是正方体的表面展开图的是（ ） 4．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE =2cm ，则BC 的长是（ ） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm5．不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为（ ）A ．{12x x >-≤ B ．{12x x ≥-< C ．{12x x ≥-≤ D ．{12x x <-≥6．下列说法中,你认为正确的是（ ）A ．四边形具有稳定性B ．等边三角形是中心对称图形C ．任意多边形的外角和是360oD ．矩形的对角线一定互相垂直7．国家体育场―鸟巢‖工程总占地面积21公顷，建筑面积2580002m ．将举行奥运会、残奥会开闭幕式、田径比赛及足球比赛决赛．奥运会后将成为北京市具有地标性的体育建筑和奥运遗产．其中，258 0002m 用科学计数法表示为( ) A ．258×310 B ．25.8×410C ．2.58×510D ．0.258×6108．下列美丽图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D．4个A B C D第二讲 客观性题目的解题技巧（二）例题讲解例1、直接推演法： 1、若,x y为实数，且20x +=，则2010()x y +的值为___________．12、已知13x x +=，则代数式221x x +的值为_________．7 3、如图，一个宽为2 cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺 的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是 ―2‖和―10‖（单位：cm ），那么该光盘的直径是 cm.例2、图解法：1．实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则| a |、| b |的大小关系是 ．2．已知反比例函数1my x-=的图象如图，则m 的取值范围是 ．3.直线y=mx+n 和抛物线y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的位置如图所示,那么不等式mx+n ﹤ax 2+bx+c ﹤0的解集是_________例3、特殊元素法：如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则DO AO等于走进中考专题训练1. 截止到2010年5月31日，上海世博园共接待8 000 000人，用科学记数法表示是 人．2. 请写出符合以下两个条件的一个函数解析式 . ①过点（-2，1）； ②在第二象限内，y 随x 增大而增大.A BFCDE O3．计算102)7(-++π=_______．4．如图，已知直线a ∥b ，∠1=40°，则∠2= ．5．已知函数xy 6-=，当2-=x 时，y 的值是______．6．已知关于x 的方程423=-m x 的解是m x =，则m 的值是______．7． 一组数据31,0,,3--，x 的平均数是1，则这组数据的极差为 ． 8．如图5，在直角梯形ABCD 中， AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB=1cm ，AD=6cm ，CD=9cm ，则BC= cm ．9．有一组数列：2，3-，2，3-，2，3-，2，3-，…… ，根据这个规律，那么第2010个数是_______． 10．如图6，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，且∠OBA=40°，则∠ADC= ．11．等腰梯形的上底是4cm ，下底是10 cm ，一个底角是60︒，则等腰梯形的腰长是 cm ．12．2010年4月14日青海省玉树县发生7.1级大地震后，湘江中学九年级（1）班的60名同学踊跃捐款．有15人每人捐30元、14人每人捐100元、10人每人捐70元、21人每人捐50元．在这次每人捐款的数值中，中位数是 . 13. 分解因式：m 3 – 4m = .14. 如图3，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则12∠+∠= 度．15．不等式的312x +<-解集是_________.16.如图，已知平行四边形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，连结DE 交BC 于点F ，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDF BEF △≌△，这个条件是 ．（只要填一个） 17. 在函数121--=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．18. 已知ba ba b a ab b a -+>>=+则且,0622的值为 . 19.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55 cm ， 此时木桶中水的深度是 cm ．20．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠， 则图中①②③④四个三角形的周长之和为21第14题ABEFDC 第16题第19题自我检测1．因式分解：322a a a ++= ．2．已知一组数据：－3、－3、4、－3、x 、2；若这组数据的平均数为1，则这组数据的中位数是 ．3．使2-x 有意义的x 的取值范围是 ．4．已知点M ()y x ,与点N ()3,2--关于x 轴对称，则______=+y x .5．自上海世博会开幕以来,中国馆以其独特的造型吸引了世人的目光．据预测,在会展期间,参观中国馆的人次数估计可达到14 900 000,此数用科学记数法表示是 ．6．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元．下列所列方程中正确的是7．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是 ．8．若22=-b a ，则b a 486-+= ． 9.某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设m x 管道，那么根据题意，可得方程 ．()()12030012030120%120180301.2x xx x -+=++=或10.在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米／时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 ． 40千米/时第三讲 配方法知识点梳理所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。