平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的判定定理
2) 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
Aα
D
β
B
α A
D
β
B
C
C
问题 发现练猜习2想 证明 证明过程 结论 注注
课后思考 在刚才的三个条件中，直 直线 线 AA平 平 BB 面 面 β α 平面平 α面β
再选取两个条件作为前提，另一个条件作为结论构造命题，即
证明：
C是圆周上A B异是于 圆OA的、的直B一 径 点BCAC
PA平 BC平
面 面AABBCCB
C P
A
A C平 面 P AC平 ，面 PA P A A CP AA
BBCC 平 平面 面PPBA CC平面PA平 C 面P
例例22题题目目 1) 例2解答 2) 例2解答
性质定理
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A平面 ， AB⊥CD且AB ∩ CD=B。
求证：直线AB⊥平面β。
α A
D
B C
在平面β内过B点作BE⊥CD
β
E
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
β
B C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论 注
性质定理
1) 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
平面与平面垂直的判定定理 和性质定理
引入 问题 问引题2入
判定定理
平面与平面垂直的判定定理是：
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直。
平面与平面垂直的性质和判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直的判定方法① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥平面与平面垂直的性质一、 选择题：1、下列命题中，不正确的是（ ）A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 平面的垂线一定与平面相交C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内；③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。
其中真命题是：（ ）A. ②B. ③C. ①、④D. ②、③3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ）A. 2.5B. 5C. 10D. 84、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,6、若m n ，是两条不同的直线，α、β、γ三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=,n βγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥二、填空题7、两个平面互相垂直，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是8、设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论证:①α⊥l ；②βα⊥；③l ∥β从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是9、下面四个命题： ①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。
线面面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线和平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面和该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
面面垂直的判定和性质定理
面面垂直的判定和性质定理面面垂直是几何学中一个重要的概念，它在几何证明和解题中扮演着重要的角色。
本文将介绍面面垂直的判定和性质定理，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、面面垂直的判定面面垂直的判定有以下几种常见的方法：1. 垂直平分线判定法如果两个平面的垂直平分线相交于一点，那么这两个平面就是垂直的。
垂直平分线是指一个平面同时平分另外两个平面，并且相交于同一个点。
2. 垂直相交线判定法如果两个平面有一条相交线同时垂直于这两个平面，那么这两个平面就是垂直的。
垂直交线是指一个平面与另外两个平面相交，且与这两个平面的交线的方向垂直。
3. 法线向量判定法如果两个平面的法线向量互相垂直，那么这两个平面就是垂直的。
法线向量是指一个向量垂直于平面，其方向由平面的法线确定。
二、面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理可以用于解决几何题目，以下是几个常见的定理：1. 两个垂直平面的截线是垂直的如果两个平面垂直，那么它们的任意一个截线与另一个截线的垂直切线是垂直的。
2. 两个垂直平面的夹角是锐角或钝角两个平面垂直的夹角是锐角或钝角，而不可能是直角或平角。
3. 直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面上法线的夹角是相等的。
4. 直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的如果一条直线与一个平面垂直，那么直线上的任意一点到平面的距离都是最短的。
总结：面面垂直的判定包括垂直平分线判定法、垂直相交线判定法和法线向量判定法。
面面垂直的性质定理包括两个垂直平面的截线是垂直的、两个垂直平面的夹角是锐角或钝角、直线与垂直平面的夹角等于直线与平面上法线的夹角以及直线与垂直平面的交点到平面的距离是最短的。
这些定理在几何证明和解题中有着广泛的应用，对于深入理解和应用面面垂直概念非常有帮助。
结论：通过面面垂直的判定和性质定理，我们能够准确判断两个平面是否垂直，并且了解到垂直平面的一些重要性质。
平面与平面垂直的性质定理课件
椭圆和圆性质
通过平面与平面垂直的性质定理，可以证明椭圆和圆的切线与直径 垂直。
直线斜率公式
利用平面与平面垂直的性质定理，可以推导出直线斜率公式，即线的 倾斜角正切值等于该线上两点的纵坐标差与横坐标差之商。
04
平面与平面垂直的性质定理扩展
所以假设不成立，两个平面α和β垂直。
03
平面与平面垂直的性质定理应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明三角形内角和为180度。
四边形内角和定理
利用平面与平面垂直的性质定理， 可以推导出四边形内角和为360度。
平行线判定定理
通过平面与平面垂直的性质定理， 可以证明两条直线平行时，它们所 在平面的交线与这两条直线平行。
利用三角形中位线定理证明
如果三角形ABC的边AB和边AC分别在两个平面α和β上， 且BC是这两个平面的交线，那么三角形ABC的中位线DE 平行于交线BC。
如果平面α和β不垂直，那么交线BC与平面α不垂直。
但DE是三角形ABC的中位线，所以DE与平面α垂直。 这与前面的结论矛盾。
根据直线的性质，由于DE平行于BC，所以DE与平面α不 垂直。
练习题 三
总结词
在一个平面内，垂直于两个平行平面的直线必定垂直于这两个平行平面。
详细描述
设两个平行平面分别为α和β，直线m垂直于α和β。设γ是α和β的公垂线，且γ 与m不平行。因为m垂直于α和β，所以m与γ也垂直。因此，m必定垂直于α和β。
谢谢您的聆听
THANKS
两平面垂直的充要条件是它们的法向量互 相垂直。 两平面垂直的充要条件是它们的法向量内 积为零。 在空间坐标系中，如果两个平面的法向量 内积为零，则它们互相垂直。
两个平面垂直的判定和性质
P F
P
ABC 90 , 是 ABC 所在平面外一点，
PA PB PC
求证：平面 PAC 平面 ABC
P
A
O
C B
若条件加为 AB AC ？
小结：
（1）两个平面垂直的定义； （2）两个平面垂直的判定： ① 定义法：找出这两个平面所成的二 面角证 明其为直二面角； ② 判定定理：线面垂直 面面垂直 即 l ,l
（2）面 ACFE 面 BB1 D1 D
（3）面 ACG 面 BB1 D1 D
A1 D1 C1
F
E B1
G
D
A B
C
PA 面ABC 例3 P 为ABC 所在平面外一点，
AE PB 于 E ABC 90 ，
AF PC 于 F ，求证 ，
（1）平面AEF 平面
PBC
（2）平面AEF 平面 PAC
入袅诚申殿,俺也不会有意见,虽然是俺将他从雪伦国接回来の.”女娲淡淡の语气说道.“哈哈,好！”袅诚殿主笑了壹声说道.在他看来,鞠言已经是他の囊中之物.他袅诚,在鸿钧天宫资格老,底蕴丰厚,无论从哪壹个方向来说,都不是女娲殿主能比の.那鞠言只要不傻,肯定不会放着袅诚 申殿不选而选女娲申殿.女娲申殿只是壹个新建立の申殿,进去能有哪个前途?“女娲殿主,鞠言此事安顿在何处?不如,俺们现在就过去见见他,看他是哪个想法.”袅诚殿主又说道.他是想快刀斩乱麻.鞠言是女娲殿主带回来の,二人肯定有了壹定の熟悉.袅诚也是担心,拖延事间后,女娲暗 中劝说鞠言加入女娲申殿.现在他让女娲带着立刻去见鞠言,就没有呐种顾虑了.“能够,那俺带袅诚殿主过去.”女娲点头,没有迟疑就答应了下来.“俺也去看看呐个鞠言.”“哈哈,俺现在也没事,壹起过去.”倒是还有两位殿主,都想跟着女娲殿
平面与平面垂直的判定 和性质
两直线所成角的取值范围： （0o, 90o ]
直线和平面所成角的取值范围： [ 0o, 90o ] o, 180o ] [ 0 平面和平面所成的角的取值范围：
线面垂直判定定理：
B
l
m n
A
mα nα m∩n=B l⊥m l⊥n
l ⊥α
观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直，记 作：α ⊥β 。
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
a
A α b
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
P
l α
l
α
探究
已知AB 面BCD, BC CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
A1
D
E
B
C
A
β
如果α⊥β
填空：
无数 个平面 1.过平面α的一条垂线可作_____ 与平面α垂直. 无数个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作____
平面和平面垂直的判定性质定理
l
3．画二面角
⑴ 平卧式：
A
A
l
l
B
B
A ⑵ 直立式：
l
B
4．二面角旳平面角
在二面角-l-旳棱l上任
l
B
取一点O，如图，在半平面 和 内，从点 O 分别作垂
O
A
直于棱 l 旳射线OA、OB，射线
OA、OB构成∠AOB．则 AOB
叫做二面角 -l- 旳平面角
5．二面角旳大小
二面角旳大小能够用它旳平面角来度量．即二面角 旳平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． ① 二面角旳两个面重叠： 0o； ② 二面角旳两个面合成一种平面：180o； 二面角旳范围：[ 0o, 180o ]． ③ 平面角是直角旳二面角叫直二面角．
A D
E
CB
归纳小结：
(1)鉴定面面垂直旳两种措施： ①定义法 ②根据面面垂直旳鉴定定理
(2)面面垂直旳鉴定定理不但是鉴定两个平面 相互垂直旳根据，而且是找出垂直于一种平 面旳另一种平面旳根据；
(3)从面面垂直旳鉴定定理我们还能够看出面 面垂直旳问题能够转化为线面垂直旳问题来
处理.
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD旳中点， 求证：平面AEC⊥平面角大小旳环节为： （1）找出或作出二面角旳平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算.
6. 平面与平面垂直 两个平面相交，假如它们所成旳二
面角是直二面角，就说这两个平面相互
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
问题：
怎样检测所砌旳墙面和地面是否垂直？
猜测：
假如一种平面经过了另一 种平面旳一条垂线，那么这两 个平面相互垂直.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（线面垂直面面垂直）
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量．（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上。
1。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之欧侯瑞魂创作
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条
直线与这个平面平行。
符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号暗示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们
的交线平行。
符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，那么这条直线垂直这个平面。
符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号暗示： 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
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C
平面PAC∩平面ABC＝AC,
Байду номын сангаас
BC 平面ABC
A
O
B
∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。
（1）若b ,则b 。× （2）若 =l,b l则b 。×
√ （3）若b ,则b垂直于平面内的无数条直线。
l
例2： 如图，在两个互相垂直的平面α 和β 的
交线上有两个点A、B，AC、BD分别是在两个面
内，且垂直于AB，已知AB=4cm，AC=3cm，
BD=12cm，求CD的长.
又 AOB 90 即b OB而b l b
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平
面内垂直于交线的直线
与另一个平面垂直.
符号表示：
b
l
bl
b
简述为：
面面垂直
bl
线面垂直
四、知识应用举例
例1、已知：两个平面与 互相垂直，判断下列命题是否正确：
一个命题：
b
b
该命题正确吗？
b
Ⅰ. 观察实验
两个平面垂直，其 中一个平面的直线 不一定垂直于另一 个平面。
（1）观察黑板所在的平面
和地面，它们是互相垂直的 ，那么黑板所在的平面里的
D’
任意一条直线是否就一定和
地面垂直？
A’
C’ B’
D
（2）观察长方体ABCD-
C
A`B`C`D`中，平面AA`D`D与 平面ABCD垂直，你能否在
2、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。
思考、平面与互相垂直， m，P ，P m，判断：
（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？ （2）过点P且垂直于的直线l与是什么位置关系？并证明 （3）过点P且平行于的直线c一定垂直于吗？
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示：
b
bb
线面垂直
面面垂直
如果将
b b
中的条件 b
与
结论 的位置调换一下，构造这样的
例3：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同 于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)求证：BC⊥平面PAC。
(2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直，并证明。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， P C是圆周上不同于A，B的任
意一点
∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，
解：连接 AD, ， AB，
AC , AC AB， AC ,且AC AD.
C
A
D
B
又在RtABD中，AD2 AB2 BD2 16 144 160.
在RtCAD中，CD AC2 AD2 9 160 13(cm).
A
B
平面AA`D`D中找一条直线垂 直于平面ABCD？
两个平面垂直，其中 一个平面内垂直于交
线的直线垂直于另一
个平面。
Ⅱ.概括结论
b
l
b
bl
A
bl
a
O
B
分析：
设直线b即AO交直线l于O，在平面内过O作直线OB l；
b lAOB即为与所成的二面角的平面角。
再加上一个什么条件可以使直线c一定垂直于
n
l
d
c
a
P
m
b