初中数学方程组的解法及应用

第7讲方程组的解法及应用

◆考点链接

1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义．2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．

3．会解简单的三元一次方程组．

＊4．会解简单的二元二次方程组．

5．能利用方程组解应用题．

注：标有“＊”号的是选讲内容．

◆典例精析

【例题1】已知

21

11

x ax by

y x ay b

=-=

⎧⎧

⎨⎨

=--=-

⎩⎩

是方程组的解，求a，b的值．

解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组．答案：a=2，b=－3

【例题2】解方程组：

（1）

22

6210

*(2)

23

20

4()5()2;

x y x y

x y x

x y

x y x y

+-

⎧⎧

+=--+=⎪

⎨⎨

-=

⎩

⎪+--=

⎩

解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x．

答案：（1）

2

72

3

(2)

111

3

x

x x

y y

y

⎧

=

⎪

==⎧⎧

⎪

⎨⎨⎨

==⎩⎩

⎪=

⎪⎩

【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围．

解：由原方程组得7

070250,250x m x m y m y m =-+>-+>⎧⎧⎧∴⎨

⎨⎨

=->->⎩⎩⎩

，解得5

2

【问题1】（重庆）某出租车公司有出租车100辆，•平均每天每车消耗的汽油为80元．为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4 000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：•已改装后的车辆每天的燃料费占

剩下未改装车辆每天燃料费的

3

20

，公司第二次再改造同样多的车辆后，所有改造后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的2

5

．

问：（1）公司共改装了多少辆出租车？•改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了多少？

（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节约的燃料费中收回成本？ 解题思路：抓住改装后的车辆每天的燃料费占未改装车辆每天燃料费的分率，建立方程组是解此题的关键．

解：设公司第一次改装了y 辆出租车，•改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x ．

3(1)80(100)8020

22(1)80(1002)80,531

(100)(1002),25250%5

20.

y x y y x y y y x y ⎧

-⨯=-⨯⎪⎪⎨

⎪-⨯=-⨯⎪⎩-=-⎧

==⎪⎨⎪=⎩由题意得化简得解得

答：公司第一次改装了20辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%．

（2）设公司一次性将全部出租车改装，m 天后就可以从节约的燃料费中收回成本． 则100×80×40%×m=4000×100，解得m=125． 答：125天后，就可以从节省的燃料费中收回成本． 【问题2】（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表：

张强两次共购买香蕉50kg （第二次多于第一次），共付款264元，•请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？

解：设张强第一次购买香蕉x （kg ），第二次购买香蕉y （kg ），由题意，得0

（1） 由0

50

14

65264,36.x y x x y y +==⎧⎧⎨

⎨+==⎩⎩

解得 （2）当040时，由题意，得 50

32

64264,18.

x y x x y y +==⎧⎧⎨

⎨

+==⎩⎩解得（不合题意，舍去） （3）当20

综合（1）（2）（3）可知，张强第一次购买香蕉14kg ，第二次购买香蕉36kg ． 评析：充分利用表中信息，分段讨论及解答是解此类题的关键．

◆中考演练 一、选择题

1．下列各方程中，是二元一次方程的为（ ）． A ．x 2+2y=9 B ．x+

1

y

=2 C ．xy －1=0 D ．2x +y=4

2．若21x y =⎧⎨=⎩

是方程kx －y=3的解，那么k 值是（ ）．

A ．2

B ．－2

C ．1

D ．－1

3．（济南）如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1，y 2的图象，设y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2，

则方程组111

222

y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是（ ）．

A ．22

.23x x B y y =-=-⎧⎧⎨

⎨

==⎩⎩ 3

3

..3

4x x C D y y =-=-⎧⎧⎨

⎨==⎩⎩

二、填空题

1．已知关于x 、y 的方程x m －

2－4y n －

3=0是二元一次方程，则2m+n=________．

2．已知方程3x+6y=8，则用含x 的代数式表示y ，则y=_______．

3．若一个二元一次方程的解为2

1x y =⎧⎨=-⎩

，则这个方程可以是______（只要求写出一个）．

三、解答题 1．解方程组： （1）41

6525(2)216;3420;

x y x z x y x z -=-+=⎧⎧⎨⎨

+=+=⎩⎩