倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计

摘要：为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定控制，将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。利用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒立摆系统设计控制器。由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，设计的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干扰能力。

关键词：倒立摆、极点配置、MATLAB仿真

引言：倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所具有的高阶次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人员一直将他视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给直线型一级倒立摆系统设计控制器

1．数学模型的建立

倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

1.1微分方程的数学模型

在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：

图1：直线一级倒立摆模型

设系统的相关参数定义如下：

M：小车质量

m：摆杆质量

b：小车摩擦系数

l：摆杆转动轴心到杆质心的长度

I：摆杆质量

F：加在小车上的力

x：小车位置

Φ：摆杆与垂直方向上方向的夹角

θ：摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下）

如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图2：小车和摆杆受力分析图

应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：

M x F b x N ••

=--

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：

2

2(sin )d N m x l dt

θ=+

将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：

2

()cos sin M m x b x ml ml F θθθθ••

•

••

•+++-=

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：

2

2(cos )d P mg m l dt

θ-=-

力矩平衡方程如下：

sin cos Pl Nl I θθθ••

--=

注意：此方程中力矩的方向，由于

cos cos sin sin θπφ

φθφθ

=+=-=- 故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：

2

()sin cos I ml mgl ml x θθθ••

••

++=-

设θ=π+φ，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小时，即Φ<<1时，则可以进行如下近似处理：

2

cos 1sin ()0d dt

θθφθ=-=-= 线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：

2

()()I ml mgl ml x

M m x b x ml u

φφφ•••

•••••

⎧+-=⎪⎨⎪++-=⎩

1.2状态空间数学模型

控制系统的状态空间方程可写成如下形式：

X AX Bu Y CX Du

•

=+=+ 解代数方程可得如下解：

2222222

222()()()()()()()()()x x

I ml b m gl I ml x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mlb mgl M m ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ••

•••••

•••⎧=⎪⎪-++=++⎪++++++⎪

⎨⎪=⎪-+⎪=++⎪++++++⎩

整理后可得系统的状态空间方程：

222

2

2

2

2

2

2

201

00()00()()()00010()00()()()x x I ml b

m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml mlb

mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ••••••••⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++++++⎣

⎦⎣⎦

u ⎥1000000100x x x y u φφφ••⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

对于质量均匀分布的摆杆，其转动惯量为：

21

3

I ml = 代入微分方程模型中得：

22

1()3

ml ml mgl ml x φφ••••+-= 化简后可得：

3344g x l l

φφ••

••=+

设[],T

X x x u x φφ••

••

==则有：