高三一轮复习《平面向量公式和基本方法》

第四部分：平面向量公式和基本方法

平面向量是高一所学内容，这是一个比较有特点的知识，其在物理的“力的分解”上也有所涉及，高中数学

对于平面向量的考察形式主要有两方面：1）向量知识、公式相关题型的考察；2）结合三角函数出题或者出现在解析几何的条件中。

1、平面向量相关主要知识点

1）单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =|

|a a 同向的单位向量。

零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】。 相等向量：长度和方向都相同的向量。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 2）向量的加减法：

三角形法则

AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）

()()()12122211,,,,,y y x x AB y x B y x A --=⇒

平行四边形法则：

以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那

条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段

就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法

的三角形法则可推广至多个向量相加：

3）共线（平行）定理：//a b a b λ=⇔。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 4）向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+2

2||a a =，2||()a b a b +=+

5）设()()2211,,,y x b y x a ==则：

数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅2121y y x x +=； cos ||||

a b

a b θ⋅=

⋅

这儿要注意“夹角”的定义！

b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0

平行与垂直：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0

0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=

6）向量夹角为锐角：不共线且且b a b a ,,01cos ,0cos >⋅⇔≠>θθ；

向量夹角为钝角：不共线且且b a b a ,,01cos ,0cos <⋅⇔-≠<θθ。 7）C B A y x OC y OB x OA ,,1,⇒=++=共线。

8）⇒=++0QC QB QA Q 是三角形ABC 的重心（重心分中线的两段比值是2:1）。 9）P PA PC PC PB PB PA ⇒⋅=⋅=⋅是三角形ABC 的垂心。 10）P AC AC

AB AB

AP ⇒+

)|

|||//(

在角A 的平分线上。

11）AD AB AD AB -=+说明AB ⊥AD

2、主要题型

1、普通直接套公式的题目比较简单，只要公式记对记全就可以了，不过也有需要注意的地方： 已知三角形ABC 的边AB=3，AC=4，BC=5，则BC AB ⋅=

2、平面向量基本定理：向量加减法法则的应用。

主要是图形类题目中会用到，题中会出现一些特殊的分点，利用“三角形法则”“平行四边形法则”进行拆分、合并，简单的考察是用已知向量去表示要求的向量，不过这类题一旦难，就需要能在多补的表示中方向清楚，不至于到最后绕不出来。

例1、如图，四边形OABC 是以向量b OB a OA ==,为边的平行四边形，又,3

1

,31CD CM BO BN ==

试 用b a ,表示向量MN ON OM ,,；

例2、设D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的点，且AB AF 21=

BC BD 3

1

=，CA CE 4

1

=

，若记m AB =，n CA =，试用m ，n 表示DE 、EF 、FD 。

3、求数量积：

常规有三个方法：（1）||||cos a b a b θ⋅=⋅；（2）2121y y x x b a +=⋅；（3）用已知向量去表示要求的 向量；

一般这类题分为两类：坐标题和图形题。如果已知条件是坐标，那么就直接用相关坐标公式去解题。

如果是图形题，那么就要考虑是用“建系”坐标解题，还是使用普通向量公式了。相对来说，这两个方法 各有各的优劣，前者计算量相偏大，后者相对比较难推导。不过，如果遇到特殊图形题，或者可以假设成 特殊图形的话，坐标法相对会好一些。但是，如果思维已经养成倾向性，那么可以遵循自己的喜好，建议 两种方法都要会。 1）比较基础的题

（1）若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3

，则|→a +2→

b | ．

（2）已知非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为 ． 1

（3）已知向量a ，b 的夹角为45°，且1||=a ，10|2|=-b a ，则||b = ．23

2）图形类问题

例、如图，在矩形ABCD

中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =， 则AE BF 的值是 ．