高三一轮复习《平面向量公式和基本方法》

第四部分：平面向量公式和基本方法
平面向量是高一所学内容，这是一个比较有特点的知识，其在物理的“力的分解”上也有所涉及，高中数学
对于平面向量的考察形式主要有两方面：1）向量知识、公式相关题型的考察；2）结合三角函数出题或者出现在解析几何的条件中。

1、平面向量相关主要知识点
1）单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则||1e =|
|a a 同向的单位向量。

零向量：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】。

相等向量：长度和方向都相同的向量。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB BA =-。

2）向量的加减法：
三角形法则
AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）
()()()12122211,,,,,y y x x AB y x B y x A --=⇒
平行四边形法则：
以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那
条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段
就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法
的三角形法则可推广至多个向量相加：
3）共线（平行）定理：//a b a b λ=⇔。

当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。

4）向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+2
2||a a =，2||()a b a b +=+
5）设()()2211,,,y x b y x a ==则：
数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅2121y y x x +=； cos ||||
a b
a b θ⋅=
⋅
这儿要注意“夹角”的定义！
b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0
平行与垂直：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0
0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=
6）向量夹角为锐角：不共线且且b a b a ,,01cos ,0cos >⋅⇔≠>θθ；
向量夹角为钝角：不共线且且b a b a ,,01cos ,0cos <⋅⇔-≠<θθ。

7）C B A y x OC y OB x OA ,,1,⇒=++=共线。

8）⇒=++0QC QB QA Q 是三角形ABC 的重心（重心分中线的两段比值是2:1）。

9）P PA PC PC PB PB PA ⇒⋅=⋅=⋅是三角形ABC 的垂心。

10）P AC AC
AB AB
AP ⇒+
)|
|||//(
在角A 的平分线上。

11）AD AB AD AB -=+说明AB ⊥AD
2、主要题型
1、普通直接套公式的题目比较简单，只要公式记对记全就可以了，不过也有需要注意的地方： 已知三角形ABC 的边AB=3，AC=4，BC=5，则BC AB ⋅=
2、平面向量基本定理：向量加减法法则的应用。

主要是图形类题目中会用到，题中会出现一些特殊的分点，利用“三角形法则”“平行四边形法则”进行拆分、合并，简单的考察是用已知向量去表示要求的向量，不过这类题一旦难，就需要能在多补的表示中方向清楚，不至于到最后绕不出来。

例1、如图，四边形OABC 是以向量b OB a OA ==,为边的平行四边形，又,3
1
,31CD CM BO BN ==
试 用b a ,表示向量MN ON OM ,,；
例2、设D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的点，且AB AF 21=
BC BD 3
1
=，CA CE 4
1
=
，若记m AB =，n CA =，试用m ，n 表示DE 、EF 、FD 。

3、求数量积：
常规有三个方法：（1）||||cos a b a b θ⋅=⋅；（2）2121y y x x b a +=⋅；（3）用已知向量去表示要求的 向量；
一般这类题分为两类：坐标题和图形题。

如果已知条件是坐标，那么就直接用相关坐标公式去解题。

如果是图形题，那么就要考虑是用“建系”坐标解题，还是使用普通向量公式了。

相对来说，这两个方法 各有各的优劣，前者计算量相偏大，后者相对比较难推导。

不过，如果遇到特殊图形题，或者可以假设成 特殊图形的话，坐标法相对会好一些。

但是，如果思维已经养成倾向性，那么可以遵循自己的喜好，建议 两种方法都要会。

1）比较基础的题
（1）若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3
，则|→a +2→
b | ．
（2）已知非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为 ． 1
（3）已知向量a ，b 的夹角为45°，且1||=a ，10|2|=-b a ，则||b = ．23
2）图形类问题
例、如图，在矩形ABCD
中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =， 则AE BF 的值是 ．
B
A
C
D
例、如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =AD BC = .83
-
例、如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 1
2
AE EB =, 若1
2
BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅= ．
例3、在△ABC 中，若AB =1，AC 3，||||AB AC BC +=，则||
BA BC BC ⋅= ．
例4、在菱形ABCD 中，23AB =,23
B π
∠=,3BC BE =,3DA DF =,则EF AC ⋅= ．
例5、如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m MN 的最小值是 .
A
B
M
N
E
F
例6、在ABC ∆中，AB=1，AC=2，O 为ABC ∆外接圆圆心，则=⋅BC AO
变式：在ABC ∆中，AB=1，AC=2，O 为ABC ∆外接圆圆心，M 为BC 中点，则=⋅AM AO
例7、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AC y AB x AD +=，则 x = ，y =
例8、已知平面向量，αβ()0≠≠,ααβ满足β
=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的取值范围
是 .
例9、如图所示,△ABC 中,已知P 为线段AB 上的一点，OP=x OA+y OB 。

（1）若BP=PA ，求x ，y 的值；
（2）若BP=3PA ，OA =4，OB =2，且OA 与OB 的夹角为60°时，求OP AB 的值
4、向量的夹角
例1、设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 __ ____。

例2、已知向量a 、b 不共线，且||||b a =，则b a +与b a -的夹角为 __________。

例3、已知OP =)1,2(，OA =)7,1( ，OB =)1,5(，设M 是直线OP 上一点，O 是坐标原点 ⑴求使MB MA •取最小值时的OM ； ⑵对（1）中的点M ，求AMB ∠的余弦值。

5、较难题
例1、若点O 是△ABC 所在平面内一点，满足30OA OB OC ++=，则ABO
ABC
S S ∆∆的值是 ．1:5
例2、在ABC ∆中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，
AN y AC =（0xy ≠），则4x y +的最小值是 ．9
4
3、与其他知识相结合
（1）一般会出现在三角函数的条件中，比如：“已知()b a x f x x b x x a ⋅=-==),cos ,sin 2(),cos ,(sin ”或者“b a b
a ⊥//”然后求值，这块主要就是涉及平面向量的坐标相关公式，难度一般的。

（2）有时候会出现在解析几何的条件中，比如“FB AF 2=”，也会出现“平行， 垂直”“锐角”“钝角”按内容，用平面向量去解决； 还有就是用平面向量去解决“垂直”要比用“斜率”要好，起码不用涉及存不存在。

这个在后面的三角和解析几何中会有相关题目。