【新教材人教A版数学第一册】集合与常用逻辑用语(章末复习)

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09-章末培优专练高中数学必修一人教A版

card ∪ = card + card − card ∩ .某校举办田径运动会,
= {|是高三（2）班参加田赛的学生},card = 11, = {|是高三
（2）班参加径赛的学生}，card = 10, = {|是高三（2）班既参加
田赛也参加径赛的学生}，card = 4,那么高三（2）班参加田径运动会
的学生人数为( D )
A.25
B.14
C.15
D.17
【解析】由题意得 = ∩ ，且 ∪ = {|是高三（2）班参加田径
运动会的学生},所以
card ∪ = card + card − card ∩ = 11 + 10 − 4 = 17.
2.（多选）[2024黑龙江龙东五地市联考]中国古代重要的数学著作《孙子
+2 = 5 × 46 + 3 = 7 × 33 + 2,故233 ∈ ∩ ∩ ,故D正确.
3.已知是非空数集，若非空集合1，2满足以下三个条件，则称 1, 2
为集合的一种真分拆，并规定 1, 2 与 2, 1 为集合的同一种真分拆.
①1 ∩ 2 = ⌀ ；②1 ∪ 2 = ；③ = 1,2 的元素个数不是中的元素.
C.∁ ∩
D. ∪ ∁
【解析】 ∪ = {| < 2},所以∁ ( ∪ ) = {| ≥ 2},故选A.
8.[2023新课标Ⅱ卷·2,5分]设集合 = {0,−}, = {1, − 2,2 − 2}，若
⊆ ，则 =( B
A.2
)
B.1
2
C.
> 0且 ≠ 1，为使最小，则 = {0，± ，±+1 ，±+2 } ∈ ,此

(新教材)部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总(附答案)

（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。

人教A版(2019)数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语

人教A版（2019）数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={1,3,5}，B={0,1,2,3,4}，则A∪B=（）A．∅B．{1,3,5}C．{0,1,2,3,4}D．{0,1,2,3,4,5}2．（2分）集合A={x∈N|-1＜x＜4}的真子集个数为（）A．8B．15C．16D．173．（2分）已知集合A={x|x2−x−6<0}，B={x|x2+2x−8>0}，则A∩B=() A．(−∞,3)B．(−2,3)C．(2,3)D．[2,3]4．（2分）已知集合A={x|x2−x−6<0}，集合B={x|x−1>0}，则(∁R A)∩B=（）A．(1,3)B．(1,3]C．[3,+∞)D．(3,+∞)5．（2分）已知x∈R，则“ x<−1”是“ x2>1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（2分）命题“ ∀x≥0,x2−1≥−1”的否定是（）A．∀x≥0,x2−1<−1B．∀x<0,x2−1<−1C．∃x≥0,x2−1<−1D．∃x<0,x2−1<−17．（2分）“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（2分）若{a2,0,−1}={a,b,0}，则a2019+b2019的值为（）A．0B．1C．-1D．29．（2分）已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是()A．1B．−1C．0，1D．−1，0，1 10．（2分）已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，若集合A∩B有4个子集，则实数m=（）A．0、1或3B．1或3C．1或√3D．0或311．（2分）已知A={y|y=x2−2x−1,x∈R}，B={x|y=√−x2+2x+8}，则集合A与B 之间的关系是()A．A⊆B B．B⊆AC．A=B D．A与B关系不确定12．（2分）设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6二、填空题(共6题；共6分)13．（1分）若集合A={x|0<x<3}，集合B={x|x<2}，则A∩B=14．（1分）A={x|x≤−1或x≥1}，则C R A用区间表示为.15．（1分）已知集合A={m,2}，集合B={2，m2}，若A∪B={−1，1，2}，则实数m= 16．（1分）设p：x<2，q：x<a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.17．（1分）设集合A={x{x−3≥0},B={x|x≤a−1或x≥a+5}，若B是A的真子集，则ax+2的取值范围为.（结果用区间表示）18．（1分）命题“∃x0∈R, 4x02−ax0+1<0”为假命题，则实数a的取值范围是．三、解答题(共4题；共30分)19．（5分）已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．20．（10分）已知A={x|6−x>0}，B={x|(x−1−a)(x−1+a)≤0}．x−2（1）（5分）当a=2时，求A∩B；（2）（5分）当a>0时，若A∪B=B，求实数a的取值范围．21．（10分）设全集A={(x,y)|2x−y=0},B={(x,y)|3x+y=0},C={(x,y)|2x−y=3}.（1）（5分）求A∩B；（2）（5分）求(A∩B)∪(B∩C).22．（5分）已知p：m<a+1<m2+2；q：函数f(x)=log2x−a在区间(1,4)上有零4点.（Ⅰ）若m=1，求使p∨q为真命题时实数a的取值范围；（Ⅱ）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】集合A={1,3,5}, B={0,1,2,3,4}由并集运算可得A∪B={1,3,5}∪{0,1,2,3,4}={0,1,2,3,4,5}故答案为：D【分析】根据集合并集运算,即可求得A∪B.2．【答案】B【解析】【解答】由题意，集合A={x∈N|−1<x<4}={0,1,2,3}，所以集合A的真子集的个数为24−1=15个.故答案为：B.【分析】求得集合A={0,1,2,3}，根据集合真子集个数的计算方法，即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】由A中不等式解得：﹣2<x<3，即A＝（﹣2，3）；由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）>0，解得：x＜﹣4或x>2，即B＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），则A∩B＝（2，3），故答案为：C．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．4．【答案】C【解析】【解答】因为x2−x−6<0,所以x∈(−2,3)即A=(−2,3),所以∁R A=(−∞,−2]∪[3,+∞),又因为B=(1,+∞),所以(∁R A)∩B=[3,+∞).故答案为：C.【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A中表示元素范围,然后计算出∁R A的范围,最后根据交集的含义计算(∁R A)∩B的结果.5．【答案】A【解析】【解答】解不等式x2>1,可得x>1或x<−1则由充分必要条件的判定可知“ x<−1”是“ x2>1”的充分不必要条件故答案为：A【分析】根据充分必要条件的判定,即可得解.6．【答案】C【解析】【解答】所给命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，同时要否定结论，所以所给命题的否定为∃x≥0,x2−1<−1 .故答案为：C【分析】利用全称命题的否定解答即得解.7．【答案】B【解析】【解答】由“p∧q为真命题”可得到“p∨q为真命题”；但“p∨q为真命题”不一定得到“p∧q为真命题”，故“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】p∧q为真命题可得到p∨q为真命题，反之不成立.8．【答案】A【解析】【解答】由题,若a2=a,−1=b,则解得{a=1b=−1,{a=0b=−1,又由集合的互异性, a2≠0,故{a=1b=−1；当a2=b,−1=a时, {a=−1b=1也满足题意.所以a2019+b2019=12019+(−1)2019=0.故答案为：A.【分析】根据集合相等的性质,分情况a2=a,−1=b和a2=b,−1=a讨论,再计算a2019+b2019即可.9．【答案】D【解析】【解答】集合A有且仅有两个子集,即为∅和集合A本身,故集合A中的元素只有一个,即方程ax2+2x+a=0只有一个解,当a=0时, 原方程为2x=0,即x=0,符合题意；当a≠0时，令Δ=22−4a2=0, ∴a=±1综上, a=−1，a=0或a=1可符合题意故答案为：D【分析】由集合A有且仅有两个子集,得知集合A中只有一个元素,即方程ax2+2x+a=0只有一个解,分类讨论a=0和a≠0的情况,求解a值即可10．【答案】D【解析】【解答】由题集合A∩B有4个子集，所以A与B的交集有两个元素，则m=3或m=√m，当m=√m时，可得m=0或1，当m=1时，集合A={1,3,1}，B={1,1}，不满足集合的互异性，故m=0或3．故答案为：D【分析】集合A∩B有4个子集，则m=3或m=√m，进而可得答案．11．【答案】B【解析】【解答】A={y|y=x2−2x−1,x∈R}={y|y≥−2}={x|x≥−2}，B={x|y=√−x2+2x+8}={x|−x2+2x+8≥0}={x|−2≤x≤4}，显然B⊆A故答案为：B.【分析】首先，化简集合A，求解函数y=x2−2x−1，x∈R的值域，然后，化简集合B，求函数y=√−x2+2x+8的定义域，利用集合之间的基本关系进行判断即可．12．【答案】B【解析】【解答】当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素。

人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(33)

第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共12题）1. 若命题 p:∃x 0∈Z ，e x 0<1，则 ¬p 为 ( ) A ． ∀x ∈Z ，e x <1 B ． ∀x ∈Z ，e x ≥1 C ． ∀x ∉Z ，e x <1D ． ∀x ∉Z ，e x ≥12. 已知 a,b ∈R ，则“1∣b −1∣”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的否命题是 ( ) A ．若 a ，b 都是偶数，则 a +b 不是偶数 B ．若 a ，b 都是偶数，则 a +b 不是偶数 C ．若 a ，b 不全是偶数，则 a +b 不是偶数 D ．若 a +b 不是偶数，则 a ，b 不全是偶数4. 已知 x ∈R ，则“x 2>x ”是“x >1”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5. 下列表示正确的个数是 ( )（1）0∉∅；（2）∅⊆{1,2}；（3）{(x,y )∣∣∣{2x +y =10,3x −y =5}={3,4}；（4）若 A ⊆B 则 A ∩B =A A ． 3 B ． 4 C ． 2 D ． 16. 命题“∀x ∈R ，(13)x>0”的否定是 ( ) A ． ∃x 0∈R ，(13)x 0<0B ． ∀x ∈R ，(13)x≤0 C ． ∀x ∈R ，(13)x<0D ． ∃x 0∈R ，(13)x 0≤07. 已知集合 A ={x∣x ≤1}，B ={x∣−1<x <2}，则 (∁RA )∩B 等于 ( ) A ． {x∣1<x <2}B ． {x∣x >1}C ． {x∣1≤x <2}D ． {x∣x ≥1}8. 已知集合 M 中的元素 x 满足 x =a +√2b ，其中 a,b ∈Z ，则下列实数中不属于集合 M 中元素的个数是 ( )① 0；② −1；③ 3√2−1；④ 3−2√2；⑤ √8；⑥ 1−√2A ． 0B ． 1C ． 2D ． 39. 设 x ，y 均为实数，则“x =0”是“xy =0”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10. 已知集合 U =R ，A ={x ∣x 2<5,x ∈Z }，B ={x ∣∣x <2且x ≠0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ． {2}B ． {1,2}C ． {0,2}D ． {0,1,2}11. 已知集合 A ={x∣ x =3n +2,n ∈N }，B ={6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为 ( ) A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 212. 命题“∀x ∈R ，2x 2−1≤0”的否定是 ( ) A ． ∀x ∈R ，2x 2−1≥0 B ． ∃x ∈R ，2x 2−1≤0 C ． ∃x ∈R ，2x 2−1>0D ． ∀x ∈R ，2x 2−1>0二、填空题（共4题）13. 若对于两个由实数构成的集合 X ，Y ，集合的运算 X ⊕Y 定义为：X ⊕Y ={x +y∣ x ∈X,y ∈Y }；集合的运算 X ⊗Y 定义为：X ⊗Y ={x ⋅y∣ x ∈X,y ∈Y }，已知实数集合 X ={a +b √2∣ a,b ∈Q}，X ={a +b √3∣ a,b ∈Q}．试写出一个实数 m ，使得 m ∈X ⊗Y 但 m ∉X ⊕Y ，则 m = ．14. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y =2a 与函数 y =∣x −a ∣−1 的图象只有一个交点，则 a的值为．15. 若 f (x ) 是偶函数，其定义域为 (−∞,+∞)，且在[0,+∞) 上单调递减，设 f (−32)=m ，f (a 2+2a +52)=n ，则 m ，n 的大小关系是．16. 已知集合 M ={x∣ x >2}，集合 N ={x∣ x ≤1}，则 M ∪N = ．三、解答题（共6题）17.判断下列命题中p是q的什么条件．(1) p:x>1，q:x2>1；(2) p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是正三角形；(3) 若a,b∈R，p:a2+b2=0，q:a=b=0．18.设集合A={x∈N∣ x<4}，B={3,4,5,6}．(1) 用列举法写出集合A．(2) 求A∩B和A∪B．19.已知集合A={x∣ x2−ax+a2−19=0}，B={x∣ x2−5x+6=0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：（1）A≠B；（2）A∪B=B；（3）∅⫋(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．20.用列举法表示下列给定的集合．(1) 大于1且小于6的整数组成的集合A．(2) 方程x2−9=0的实数根组成的集合B．(3) 小于8的质数组成的集合C．(4) 一次函数y=x+3与y=−2x+6的图象的交点组成的集合D．21.真子集对于两个集合A，B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B 的真子集，记为或，读作“ ”或“ ”．问题：真子集与子集有什么区别？22.已知集合A={x∣ −4<x<6}，B={x∣ x2−4ax+3a2=0}．(1) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围；(2) 若A∪B=A，求实数a的取值范围．答案一、选择题（共12题） 1. 【答案】B【解析】若命题为 p:∃x 0∈Z ，e x 0<1，则 ¬p:∀x 0∈Z ，e x ≥1．故选：B ．【知识点】全（特）称命题的否定2. 【答案】B【解析】因为 a −1>∣b −1∣⇔1−a ∣b −1∣ 成立；当 a −1>∣b −1∣ 成立时，如取 b =12，a =2，此时 1∣b −1∣ 的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件3. 【答案】C【解析】否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的否命题为：若 a ，b 不都是偶数，则 a +b 不是偶数．【知识点】全（特）称命题的否定4. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】D【解析】全称命题“∀x ∈R ，(13)x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并对结论进行否定，把“>”改为“≤”，即“∃x 0∈R ，(13)x 0≤0”.【知识点】全（特）称命题的否定7. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】A【解析】当 a =b =0 时，x =0；当 a =−1，b =0 时，x =−1；当 a =−1，b =3 时，x =−1+3√2；3−2√2=√2)(3−2√2)(3+2√2)=6+4√2，即 a =6，b =4；当 a =0，b =2 时，x =2√2=√8；1−√2=√2(1−√2)(1+√2)=−1−√2，即 a =−1，b =−1．综上所述：0，−1，3√2−1，3−2√2，√8，1−√2 都是集合 M 中的元素．【知识点】元素和集合的关系9. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】C【解析】因为集合 U =R ，A ={x ∣x 2<5,x ∈Z }={−2,−1,0,1,2}，B ={x ∣∣x <2且x ≠0}，∁U B ={x ∣∣x ≥2且x =0}，所以图中阴影部分表示的集合为 A ∩(∁U B )={0,2}．【知识点】集合基本运算的Venn 图示11. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】C【知识点】全（特）称命题的否定二、填空题（共4题）13. 【答案】可填“(1+√2)(1+√3)”等【知识点】交、并、补集运算14. 【答案】 −12【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 m ≥n【知识点】抽象函数、函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】 (−∞,1]∪(2,+∞)【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为“x>1”能推出“x2>1”，即p⇒q，但“x2>1”推不出“x>1”，如x=−2，即q⇏p，所以p是q的充分不必要条件．(2) 因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”，即p⇏q，但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．(3) 若a2+b2=0，则a=b=0，即p⇒q；若a=b=0，则a2+b2=0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】(1) 因为集合A={x∈N∣ x<4}，所以A={0,1,2,3}．(2) 因为B={3,4,5,6}，所以A∩B={3}，A∪B={0,1,2,3,4,5,6}．【知识点】交、并、补集运算、集合的表示方法19. 【答案】假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B={2,3}．因为A∪B=B，所以A⊆B，即A=B或A⫋B．由条件（1）A≠B，可知A⫋B．又因为∅⫋(A∩B)，所以A≠∅，即A={2}或{3}．当A={2}时，代入得a2−2a−15=0，即a=−3或a=5．经检验a=−3时，A={2,−5}，与A={2}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={2}矛盾，舍去．当A={3}时，代入得a2−3a−10=0，即a=5或a=−2．经检验a=−2时，A={3,−5}，与A={3}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算20. 【答案】(1) A={2,3,4,5}．(2) B={−3,3}．(3) C={2,3,5,7}．(4) D={(1,4)}．【知识点】集合的概念21. 【答案】A⊆B；A⫋B；B⫌A；A真包含于B；B真包含A在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x满足x∈B，但x∉A，也就是说集合B至少要比集合A多一个元素．【知识点】包含关系、子集与真子集22. 【答案】(1) a≤−4或a≥6．<a<2．(2) −43【知识点】交、并、补集运算。

新教材人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语知识点考点汇总及解题方法规律提炼

第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念 (1)1.1.2集合的表示 (4)1.2集合间的基本关系 (8)1.3.1并集与交集 (13)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (17)1.4.1充分条件与必要条件 (20)1.4.2充要条件 (24)1.5.1全称量词与存在量词 (28)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (32)1.1.1集合的概念要点整理1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个 B．2个 C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案] (1)C (2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案] －1[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－ 2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．1.1.2集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．题型一用列举法表示集合【典例1】用列举法表示下列集合：(1)方程x (x －1)2＝0的所有实数根组成的集合；(2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么，还要弄清集合中的元素个数．[解] (1)方程x (x －1)2＝0的实数根为0,1，故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．题型二用描述法表示集合【典例2】用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．(4)不等式3x－2<4可化简为x<2，所以不等式3x－2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．题型三集合表示方法的应用【典例3】(1)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )A．1 B．4 C．0 D．0或1(2)已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．[思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1)①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}；②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数a的值为0或1.故选D．(2)∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求a的取值范围．(2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝64－64a >0，解得a <1，且a ≠0.(2)∵－2∉A ，∴－2k ＋2≤0，得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B 且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念温馨提示：在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x ∈B，但x∉A.4.空集的概念题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解] (1)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论假设集合A 中含有n 个元素，则有： ①A 的子集的个数为2n 个； ②A 的真子集的个数为2n －1个； ③A 的非空真子集的个数为2n －2个．【典例3】已知集合A ＝{x |－3<x <4}，B ＝{x |1－m <x ≤2m －1}，且A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[思路导引] A ⊆B ，即集合A 中的数在集合B 中，特别注意A ＝∅的情况． [解] 由A ⊆B ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示，则⎩⎨⎧1－m ≤－3，1－m <2m －1，4≤2m －1，解得m ≥4.故m 的取值范围是{m |m ≥4}．[变式] (1)本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围．(2)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．[解] (1)由B ⊆A ，将集合A ，B 分别表示在数轴上，如图所示．∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，1－m ≥2m －1，解得m ≤23；当B ≠∅时，有⎩⎨⎧2m －1>1－m ，2m －1<4，1－m ≥－3，解得23<m <52.综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <52. (2)由A ⊆B ，按m 2＝1和m 2＝2m －1两种情况分类讨论． ①若m 2＝1，则m ＝－1或m ＝1.当m ＝－1时，B 中元素为1,3，－3，适合题意；当m ＝1时，B 中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾． ②若m 2＝2m －1，则m ＝1，由①知不合题意．综上所述，m ＝－1.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．1.3.1并集与交集1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案] (1)A (2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案] (1)A (2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】 (1)设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．(2)已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |2－k ≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ；若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .[解] (1)如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .若B ＝∅，则2－k >2k －1，得k <1；若B ≠∅，则⎩⎨⎧2－k ≤2k －1，2－k >－3，2k －1≤4，解得1≤k ≤52.综上所述，k ≤52.[变式] 本例(2)若将“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧2－k ≤－3，2k －1≥4，解得k ≥5.由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B .(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．1.3.2补集及集合运算的综合应用要点整理1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－U3<x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．U[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁U A＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式] (1)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁U B)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}．(1)若A∪(∁R B)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁R B)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1<x<3}，B＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁R因而要使A∪(∁R B)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|x<a}，∁R B＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁R B)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.1.4.1充分条件与必要条件要点整理1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p 的必要条件；②如果命题：“若p ，则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．显然，p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p ⇒q ，只是说法不同而已．题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】 (1)已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：0<x <3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，B ＝{x |x ＋2m ≥0}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且q 是p 的必要条件，求实数m 的取值范围．[思路导引] p 是q 的充分条件转化为对应集合A ⊆集合B ，q 是p 的必要条件转化为集合A ⊆集合B .[解] (1)记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的充分条件，则A ⊆B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A ⊆B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0，要使A ⊆B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≥0，3＋m 2≤3，m >0，解得0<m ≤3. 综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)由已知可得 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈R ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y | y ≥－54， B ＝{x |x ≥－2m }．因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以－2m ≤－54，所以m ≥58，即m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m ≥58. [变式] 本例(1)中若将“若p 是q 的充分条件”改为“p 是q 的必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x | 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |0<x <3}，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A .应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m 2≤0，3＋m 2≥3，解得m ≥3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p ，q 等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p 、q 分别对应集合A 、B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．1.4.2充要条件要点整理充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q .此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇔q，则p是q的充要条件．③若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．④若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．⑤若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p 是s的充要条件．题型一充要条件的判断【典例1】在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[思路导引] 判断是否p⇒q，q⇒p.[解] (1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p 是q的充要条件．[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？[解] 作出“⇒”图，如右图所示，。

高中数学(新人教A版)必修第一册：第1章章末集合与常用逻辑用语【精品课件】

达标检测
1.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p：“对任意一个实数x，均有x2≥0”，则命题的否定p为( C ) (A)存在x0∈R，使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R，均有x2≤0 (C)存在x0∈R，使得 x02 <0 (D)对任意x∈R，均有x2<0
解题技巧： 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重复.
【跟踪训练1】设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素的个数为( )
解：CU B x x 1或x>2 可画数轴如下：
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时，同一集合画同一高度，
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧：
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系的联系
方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借助于Venn 图，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来

人教高中数学必修一A版《集合间的基本关系》集合与常用逻辑用语说课教学课件复习

栏目导引
第一章集合与常用逻辑用语
3．集合相等的概念一般地，如果集合 A 的___任__何__一__个__元__素_____都是集合 B 的元素，同时集合 B 的___任__何__一__个__元__素_____都是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，记作_A__＝__B_，也就是说，若_A__⊆_B__，且 _B__⊆_A__，则 A＝B.
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第一章集合与常用逻辑用语
(1)求集合子集、真子集个数的 3 个步骤
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第一章集合与常用逻辑用语
(2)与子集、真子集个数有关的 4 个结论假设集合 A 中含有 n 个元素，则有 ①A 的子集的个数有 2n 个； ②A 的非空子集的个数有 2n－1 个； ③A 的真子集的个数有 2n－1 个； ④A 的非空真子集的个数有 2n－2 个．
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第一章集合与常用逻辑用语
若集合 A {1，2，3}，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若 A 中含有一个奇数，则 A 可能为{1}，{3}，{1，2}， {3，2}；若 A 中含有两个奇数，则 A＝{1，3}．答案：5
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第一章集合与常用逻辑用语
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第一章集合与常用逻辑用语
4．真子集的概念文字语言
如果集合 A⊆B，但存在元素___x_∈__B_，__且___x_∉_A____，就称集合 A 是 B 的真子集
符号语言
A______B (或 B A)
图形语言
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第一章集合与常用逻辑用语
■名师点拨 (1)若 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之，如果 A＝B，则 A⊆B，且 B⊆A. (2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关． (3)在真子集的定义中，A B 首先要满足 A⊆B，其次至少有一个 x∈B，但 x∉A.

高中数学章末过关检测一集合与常用逻辑用语新人教A版必修第一册

章末过关检测(一) 集合与常用逻辑用语一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．[2022·福建福州高一期中]下列关系中，正确的有( )A．∅{0} B．{0，1}＝{(0，1)} C．Q∈Z D．{0}∈{0，1，2}2．已知集合M＝{1，2}，则集合M的子集个数为( )A．1 B．2 C．3 D．43．命题“∀x∈R，x2＋1>0”的否定是( )A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0C．∀x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤04．已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝( )A．{x|1<x≤3} B．{x|0≤x<4} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0<x<4}5．“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{－2，－1，0，2，4}，则(∁R A)∩B＝( )A．∅ B．{－1，2} C．{－2，4} D．{－2，－1，4}7．设U为全集，则“A∩B＝∅”是“A⊆∁U B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是( ) 8．已知命题：A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知集合A，B是非空集合且A⊆B，则下列说法正确的是( )A．∃x∈A，x∈B B．∀x∈A，x∈BC．A∩B＝A D．A∩(∁U B)≠∅10．下列命题中是假命题的有( )A．∀x∈R，x3≥0 B．∃x∈R，x3＝3C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈Z，1<4x<311．下列说法中正确的有( )A．“x>3”是“x>2”的必要条件B．“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件C．“x＝2或x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的充要条件D．“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件12．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件( )A．a≥3 B．a≥5 C．a≤－3 D．a<1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．命题“∀x>0，2x＋1≥0”的否定是________．14．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，若A∪B＝{－1，a，1}，则a＝________．15．方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件为________．16．已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)命题p：有一对实数(x，y)，使x－3y＋1<0.(2)命题q：∀x∈R，x2－4x＋3>0.18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋3＝0}，(1)若1∈A，求实数a的值．(2)若集合B＝{x|2x2－bx＋b＝0}，且A∩B＝{3}，求A∪B.19.(本小题满分12分)已知全集为R，集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<m或x>2m＋1，m>0}．(1)当m＝2时，求A∩B；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)已知命题p：∃x∈R，使x2－4x＋m＝0为假命题．(1)求实数m的取值集合B；(2)设A＝{x|3a<x<a＋4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|m－1<x<m2}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．22．(本小题满分12分)证明：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．章末过关检测(一) 集合与常用逻辑用语1．解析：空集是任何非空集合的真子集，故A正确；{0，1}的元素为0，1，{(0，1)}的元素为(0，1)，故B错误；因为Z⊆Q，故C错误；因为{0}{0，1，2}，故D错误．答案：A2．解析：集合M＝{1，2}，子集有：∅，{1}，{2}，{1，2}，共4个．答案：D3．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，并将结论加以否定，所以命题“∀x ∈R，x2＋1>0”的否定是：∃x∈R，x2＋1≤0.答案：B4．解析：由A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝{x|0≤x<4}．答案：B5．解析：由a＝1可推出|a|＝1，由|a|＝1，即a＝1或a＝－1，推不出a＝1，故“a＝1”是“|a|＝1”的充分不必要条件．答案：B6．解析：因为A＝{x|－1<x≤2}，B＝{－2，－1，0，2，4}，所以∁R A＝{x|x≤－1或x>2}，所以B∩(∁R A)＝{－2，－1，4}．答案：D7．解析：因为U为全集，若A∩B＝∅，则A⊆∁U B；若A⊆∁U B，则A∩B＝∅；所以“A∩B＝∅”是“A⊆∁U B”的充要条件．答案：C8．解析：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得：a ≤4.答案：B9．解析：因为集合A，B是非空集合且A⊆B，所以∀x∈A，x∈B，即选项B正确，因此∃x∈A，x∈B，所以选项A正确；因为A⊆B，所以有A∩B＝A，因此选项C正确；当A＝B时，显然A⊆B成立，而A∩(∁U B)＝A∩(∁U A)＝∅，所以选项D不正确．答案：ABC10．解析：对选项A，当x＝－1时，x3＝－1<0，所以∀x∈R，x3≥0为假命题．对选项B，若x3＝3，则x＝33，所以∃x∈R，x3＝3为真命题．对选项C ，若x 2－1＝0，则x ＝±1，不满足∀x ∈R ，x 2－1＝0，所以∀x ∈R ，x 2－1＝0为假命题．对选项D ，1<4x <3，则14<x <34，所以不存在x ∈Z ，满足14<x <34，即∃x ∈Z ，1<4x <3为假命题．答案：ACD11．解析：对于A ，“x >2”成立，“x >3”不一定成立，A 错误；对于B ，“x >1”可以推出“x 2>1”，取x ＝－2，得x 2>1，但－2<1，所以“x 2>1”不能推出“x >1”，B 正确；对于C ，x 2＋x －6＝0的两个根为x ＝2或x ＝－3，C 正确；对于D ，“a >b ”不能推出“a 2>b 2”，同时“a 2>b 2”也不能推出“a >b ”，D 错误．答案：BC12．解析：p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，q 是p 的充分不必要条件，故a ≥1，范围对应集合是集合{a |a ≥1}的子集即可，对比选项知AB 满足条件．答案：AB13．解析：因为命题“∀x >0，2x ＋1≥0”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即为∃x >0，2x ＋1<0.答案：∃x >0，2x ＋1<014．解析：因为A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，A ∪B ＝{－1，a ，1}，所以a ＝a 2，解得a ＝0或a ＝1(舍去，不满足集合元素的互异性).答案：015．解析：由题意可得Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1.答案：a ≤116．解析：因为集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S 中无“孤立元素”的4个元素的子集有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个．其中一个可以是{0，1，2，3}．答案：6 {0，1，2，3}17．解析：(1)命题p 是存在量词命题．当x ＝0，y ＝1时，x －3y ＋1＝－2<0成立，故命题p 是真命题．(2)命题q 是全称量词命题由x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)>0，得x <1或x >3.只有当x <1或x >3时，x 2－4x ＋3>0成立，故命题q 是假命题．18．解析：(1)因为1∈A ，故可得1－a ＋3＝0，解得a ＝4.故实数a 的值为4.(2)因为A ∩B ＝{3}，故3是方程x 2－ax ＋3＝0的根，则9－3a ＋3＝0，解得a ＝4，此时x 2－4x ＋3＝0，即(x －1)(x －3)＝0，解得x ＝1或x ＝3，故A ＝{1，3}；又3是方程2x 2－bx ＋b ＝0的根，则18－3b ＋b ＝0，解得b ＝9，此时2x 2－9x ＋9＝0，即(2x －3)(x －3)＝0，解得x ＝3或x ＝32，故B ＝{3，32}；故A ∪B ＝{1，3，32}． 19．解析：(1)当m ＝2时，B ＝{x |x <2或x >5}，又A ＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}；(2)因为B ＝{x |x <m 或x >2m ＋1，m >0}，所以∁R B ＝{x |m ≤x ≤2m ＋1}，又A ⊆∁R B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12≤2m ＋1，解得12≤m ≤1，即m ∈[12，1]. 所以实数m 的取值范围为[12，1]. 20．解析：(1)由题意，得关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0无实数根，所以Δ＝16－4m <0，解得m >4，即B ＝{m |m >4}；(2)因为A ＝{x |3a <x <a ＋4}为非空集合，所以3a <a ＋4，即a <2，因为x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则3a ≥4，即a ≥43，所以43≤a <2. 21．解析：(1)因为A ＝{x |－2≤x ≤4}，x ∈Z ，所以A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，A 中共有7个元素，则A 的非空真子集的个数为27－2＝126；(2)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，因为m 2－m ＋1＝(m －12)2＋34>0，故B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤4m －1≥－2，解得：－1≤m ≤2，从而实数m 的取值范围为[－1，2]. 22．证明：充分性：若m <0，则关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根，证明如下：当m <0时，Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m >0，所以方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的实根，设两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝m <0，所以方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根”，则m <0，证明如下：设方程x 2－2x ＋m ＝0一正一负根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－2）2－4m ＝4－4m >0x 1x 2＝m <0，所以m <0，所以若“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根”，则m <0，故必要性成立，所以“m <0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根”的充要条件．。

人教A版高中数学必修第一册第一章章末重构拓展课件

第一章集合与常用逻辑用语
章末重构拓展
巩固层·知识重构
提升层·题型探究
类型1 集合的基本概念 1．理解集合的概念、集合中元素的特性、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换． 2．掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
5．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3}，集合B＝{3， 4，6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中涂色部分所表示的集合用列举法表示为( ) A．{1，2，5}
√B．{4，6}
7．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，
N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝( )
√A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．∅
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
充分条件．故选B．
法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a
＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关
系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2
＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第一章集合与常用逻辑用语章末复习课

【例1】 (1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元
素的个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A.1
B.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.5
D.9
解析 (1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，故选C. (2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y ＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x －y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时， x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个. 答案 (1)C (2)C
【训练4】 (1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为 ________. (2) 若－ a<x< － 1 成立的一个充分不必要条件是－ 2<x< － 1 ，则 a 的取值范围是 ________.
解析 (1)p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3. q：ax＋1＝0，当 a＝0 时，方程无解；当 a≠0 时，x＝－1a. 由题意知p q，q p，故a＝0舍去；
当 a≠0 时，应有－1a＝2 或－1a＝－3，解得 a＝－12或 a＝13. 综上可知，a＝－12或 a＝13. (2)根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有{x|－2<x<－1} {x|－a<x< －1}，故有a>2. 答案 (1)－12或13 (2)a>2

人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(32)

第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共26题）一、选择题（共10题）1. 已知集合 A =(−2,5]，B =[m +1,2m −1]，若 B ⊆A ，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (−3,3] B ． [−3,3] C ． (−∞,3] D ． (−∞,3)2. “a ≤0”是“函数 f (x )=∣(ax −1)∣x 在区间 (0+∞) 内单调递增”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若集合 A ={x∣ a <x <2a −1}，B ={x∣ 1<x <3}，且 A ⫋B ，则 a 的取值范围是 ( ) A ． a ≤1 B ． a <2 C ． 1<a <2 D ． a ≤24. “a >0”是“∣a ∣>0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若方程组 {3a 1x +2b 1y =5c 1,3a 2x +2b 2y =5c 2 的解集是 {(x,y )∣ (3,4)}，则方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 的解集是( ) A ． {(x,y )∣ (4,8)} B ． {(x,y )∣ (9,12)} C ． {(x,y )∣ (15,20)}D ． {(x,y )∣ (95,85)}6. 设集合 S ，T ，S ⊆N ∗，T ⊆N ∗，S ，T 中至少有两个元素，且 S ，T 满足： ①对于任意 x,y ∈S ，若 x ≠y ，都有 xy ∈T ； ②对于任意 x,y ∈T ，若 x <y ，则 y x∈S ．下列命题正确的是 ( ) A ．若 S 有 4 个元素，则 S ∪T 有 7 个元素 B ．若 S 有 4 个元素，则 S ∪T 有 6 个元素 C ．若 S 有 3 个元素，则 S ∪T 有 4 个元素 D ．若 S 有 3 个元素，则 S ∪T 有 5 个元素7. 若集合 {1,a,ba }={0,a 2,a +b }，则 a 2019+b 2020 的值为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． −1 D ． ±18. 若命题“存在 x 0∈R ，使 e ∣x 0−2∣∣−m ≤0”是假命题，则实数 m 的取值范围是 ( )A．(−∞,1)B．(−∞,2)C．(−1,1)D．(−∞,e)9.设整数n≥4，集合X={1,2,3,⋯,n}，令集合S={(x,y,z)∣ ∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}，若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中，则下列选项正确的是( ) A．(y,z,w)∈S，(x,y,w)∉SB．(y,z,w)∈S，(x,y,w)∈SC．(y,z,w)∉S，(x,y,w)∈SD．(y,z,w)∉S，(x,y,w)∉S10.命题“任意x∈[0,+∞)，有x3+x≥0”的否定是( )A．任意x∈(−∞,0)，有x3+x<0B．任意x∈(−∞,0)，有x3+x≥0C．存在x∈[0,+∞)，使x3+x<0D．存在x∈[0,+∞)，使x3+x≥0二、填空题（共8题）11.设命题p:k>5，b<5，命题q:一次函数y=(k−4)x+b−5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的条件；q是p的条件．（用“充分”“必要”填空）,1}含有三个元素，集合B={a2,a+b,0}，若A=B，则a+ 12.已知a,b∈R，集合A={a,bab=．13.写出∣x+y∣<2的一个必要非充分条件．14.设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的条件．15.已知A={x∣ ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}，若A中只有一个元素，则a=，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是．16.“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是．17.已知条件p:2k−1≤x≤1−k，q:−3≤x<3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为．18.如果不等式∣x−m∣≤1成立的充分不必要条件是1<x≤2，则实数m的取值范围是．三、解答题（共8题）19.对于正整数集合A={a1,a2,⋯,a n}(n∈N∗,n≥3)，如果去掉其中任意一个元素a i(i=1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．(1) 判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集（不必写过程）；(2) 请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集；(3) 当n=5时，集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，求证：集合A不是“和谐集”．20.如图，在半径为√3，圆心角为60∘的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在⊙B上，设矩形PNMQ的面积为y．(1) 按下列要求写出函数的关系式：①设PN=x,将y表示成x的函数关系式；②设∠POB=θ,将y表示成θ的函数关系式；(2) 请你选用( 1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．21.已知集合A={a1,a2,a3,⋯,a n}，其中a i∈R(1≤i≤n,n>2)，l(A)表示a i+a j(1≤i<j≤n)的所有不同值的个数．(1) 已知集合P={2,4,6,8}，Q={2,4,8,16}，分别求l(P)，l(Q)；(2) 若集合A={2,4,8,⋯,2n}，求证：l(A)=n(n−1)2．22.用量词“∀”表达下列命题：(1) 实数都能写成小数形式；(2) 凸n边形（n≥3，且n∈N）的外角和等于360∘；(3) 任意一个实数乘−1都等于它的相反数．23.已知π2<α<π，sinα=45．(1) 求sinα+cosα的值；2sinα−cosα)的值．(2) 求cos2α+sin(α+π224.若集合A={x∣ x2+px−12=0}，B{x∣ x2+qx+r=0}，A≠B，A∪B={−3,4}，A∩B={−3}，求p，q，r的值．25.已知集合A={x∣ x<a}，B={x∣ x<−1或x>0}，若A∩(∁R)B=∅，求实数a的取值范围．26.给出下面三个集合：① {x∣ y=x2+1}；② {y∣ y=x2+1}；③ {(x,y)∣ y=x2+1}．(1) 它们各自的含义是什么？(2) 它们是不是相同的集合？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】当集合 B =∅ 时，m +1≥2m −1，解得 m ≤2，此时满足 B ⊆A ；当 B ≠∅，即 m >2 时，应有 {m +1>−2,2m −1≤5, 可得 2<m ≤3．综上可得，实数 m 的取值范围是 (−∞,3]．【知识点】包含关系、子集与真子集2. 【答案】C【解析】f (x )=∣(ax −1)x ∣=∣ax 2−x ∣，若 a =0，则 f (x )=∣x ∣，此时 f (x ) 在区间 (0,+∞) 上单调递增．若 a <0，则二次函数 y =ax 2−x 的图象的对称轴 x =12a在 y 轴左侧，且 x =0 时 y =0，此时 y =ax 2−x 在区间 (0,+∞) 上单调递减且 y <0 恒成立，故 f (x )=∣ax 2−x ∣ 在区间 (0,+∞) 上单调递增，故当 a ≤0 时，f (x ) 在区间 (0,+∞) 上单调递增．若 a >0，则二次函数 y =ax 2−x 的图象的对称轴 x =12a 在 y 轴右侧，且在区间 (0,12a) 上 y <0，此时 f (x )=∣ax 2−x ∣ 在区间 (0,12a ) 上单调递增，在区间 (12a ,1a ) 上单调递减，故函数 f (x ) 不可能在区间 (0,+∞) 上单调递增．【知识点】二次函数的性质与图像、充分条件与必要条件3. 【答案】D【知识点】包含关系、子集与真子集4. 【答案】A【解析】因为 ∣a ∣>0⇔a >0 或 a <0，所以 a >0⇒∣a ∣>0．但 ∣a ∣>0≠a >0，所以 a >0 是 ∣a ∣>0 的充分不必要条件，故选A ．【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】D【解析】因为方程组 {3a 1x +2b 1y =5c 1,3a 2x +2b 2y =5c 2的解集是 {(x,y )∣ (3,4)}，所以 {9a 1+8b 1=5c 1,9a 2+8b 2=5c 2,两边都除以 5 得 {95a 1+85b 1=c 1,95a 2+85b 2=c 2,对照方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2,可得方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 的解集为 {(x,y )∣ (95,85)}．【知识点】集合的表示方法6. 【答案】A【解析】首先利用排除法：若取 S ={1,2,4}，则 T ={2,4,8}，此时 S ∪T ={1,2,4,8}，包含 4 个元素，排除选项D ；若取 S ={2,4,8}，则 T ={8,16,32}，此时 S ∪T ={2,4,8,16,32}，包含 5 个元素，排除选项C ；若取 S ={2,4,8,16}，则 T ={8,16,32,64,128}，此时 S ∪T ={2,4,8,16,32,64,128}，包含 7 个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合 S ={p 1,p 2,p 3,p 4}，且 p 1p 4p 2>p 4p 3>1，故p 4p 3=p 4p 22=p 2，所以 p 4=p 23，故 S ={1,p 2,p 22,p 23}，此时 p 25∈T ，p 2∈T ，故 p 24∈S ，矛盾，舍．若 p 1≥2，则 p 2p 1p 4p 1>p 4p 2>p 4p 3>1，故 p 4p 3=p4p 13=p 1，所以 p 4=p 14，故 S ={p 1,p 12,p 13,p 14}，此时 {p 13,p 14,p 15,p 16,p 17}⊆T ．若 q ∈T ，则qp 13∈S ，故qp 13=p 1i ，i =1,2,3,4，故 q =p 1i+3，i =1,2,3,4，即 q ∈{p 13,p 14,p 15,p 16,p 17}，故 {p 13,p 14,p 15,p 16,p 17}=T ，此时 S ∪T ={p 1,p 12,p 13,p 14,p 14,p 15,p 16,p 17}，即 S ∪T 中有 7 个元素．故A 正确．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算7. 【答案】C}={0,a2,a+b}，易知a≠0，【解析】因为{1,a,ba所以b=0，所以a2=1，即a=±1．当a=1时，{0,a2,a+b}不满足集合中元素的互异性，所以a=−1，所以a2019+b2020=(−1)2019+02020=−1．【知识点】集合相等8. 【答案】A【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断9. 【答案】B【知识点】元素和集合的关系10. 【答案】C【解析】“任意x∈[0,+∞)”的否定为“存在x∈[0,+∞)”，“x3+x≥0”的否定为“x3+x<0”，因此原命题的否定为“存在x∈[0,+∞)，使x3+x<0”，故选C．【知识点】全（特）称命题的否定二、填空题（共8题）11. 【答案】充分；必要【知识点】充分条件与必要条件12. 【答案】−1【解析】因为A=B，0∈B，所以0∈A．又a≠0，=0，则b=0，所以ba所以B={a,a2,0}．因为1∈B，所以a2=1，a=−1或1，由元素的互异性知，a=−1，所以a+b=−1．【知识点】集合相等13. 【答案】∣x+y∣<3等（答案不唯一）【解析】设所求条件为 α，则 α⇒∣x +y ∣<2，而 ∣x +y ∣<2⇒α，依据推出关系与集合包含关系写出对应的语句． ∣x +y ∣<3⇒∣x +y ∣<2，∣x +y ∣<2⇒∣x +y ∣<3，所以 ∣x +y ∣<3 是 ∣x +y ∣<2 的一个必要非充分条件．【知识点】充分条件与必要条件14. 【答案】既不充分又不必要【知识点】充分条件与必要条件15. 【答案】 0 或 1 ； (−∞,1]【解析】当 a =0 时，x =−12，所以 A ={−12}，符合题意；当 a ≠0 时，Δ=4−4a =0⇒a =1，所以 A ={−1}，符合题意．综上，a =0或1．若 A 中只有一个元素，则 a =0或1；若 A 中有两个元素，则 {a ≠0,Δ=4−4a >0, 解得 a <1 且 a ≠0．故 a 的取值范围是 (−∞,1]．【知识点】元素和集合的关系16. 【答案】 ∃x 0∈R ，使得 x 02+2x 0+1≤0【解析】“∀x ∈R ，x 2+2x +1>0”的否定是：“∃x 0∈R ，使得 x 02+2x 0+1≤0”．【知识点】全（特）称命题的否定17. 【答案】 (−∞,−2]【解析】因为条件 p ：2k −1≤x ≤1−k ，q ：−3≤x <3，且 p 是 q 的必要条件，所以 {2k −1≤3,3≤1−k, 解得 k ≤−2，则实数 k 的取值范围是 (−∞,−2]．【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 {m∣ 1≤m ≤2}【解析】由 ∣x −m ∣≤1，得 m −1≤x ≤m +1，由不等式 ∣x −m ∣≤1 成立的充分不必要条件是 1<x ≤2 可得 {1≥m −1,2≤m +1, 解得 1≤m ≤2．故实数 m 的取值范围是 {m∣ 1≤m ≤2}．【知识点】充分条件与必要条件三、解答题（共8题） 19. 【答案】(1) 集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”．(2) 集合{1,3,5,7,9,11,13}．证明如下：因为3+5+7+9=11+13．1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+9+11=3+5+13，1+3+5+11=7+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，所以集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”．(3) 不妨设a1<a2<a3<a4<a5，将集合{a1,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5=a3+a4, ⋯⋯①或a5=a1+a3+a4, ⋯⋯②将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5=a3+a4, ⋯⋯③或a5=a2+a3+a4, ⋯⋯④由①③，得a1=a2，矛盾，由①④，得a1=−a2，矛盾，由②③，得a1=−a2，矛盾，由②④，得a1=a2，矛盾，故当n=5时，集合A一定不是“和谐集”．【知识点】数列创新题20. 【答案】(1) ①因为QM=PN=x，所以MN=ON−OM=√3−x2√3，所以y=MN⋅PN=x⋅√3−x2−√33x2(0<x<32)．②当∠POB=θ时，QM=PN=√3sinθ，则OM=sinθ，又ON=√3cosθ，所以MN=ON−OM=√3cosθ−sinθ，所以y=MN⋅PN=3sinθcosθ−√3sin2θ(0<θ<π3)．(2) 由②得，y=√3sin(2θ+π6)−√32，当θ=π6时，y取得最大值为√32【知识点】三角函数模型的应用21. 【答案】(1) 由 2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得 l (P )=5，由 2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得 l (Q )=6． (2) 因为 a i +a j (1≤i <j ≤n ) 共有 (n −1)+(n −2)+(n −3)+⋯+4+3+2+1=n (n−1)2个值，所以 l (A )≤n (n−1)2．又集合 A ={2,4,8,⋯,2n }，不妨设 a m =2m ，m =1,2,⋯,n ．a i +a j ，a k +a l （1≤i <j ≤n ，1≤k <l ≤n ），当 j ≠l 时，不妨设 j <l ，则 a i +a j <2a j =2j+1≤a l <a k +a l ，即 a i +a j ≠a k +a l ，当 j =l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ，因此当且仅当 i =k ，j =l 时，a i +a j =a k +a l ．即所有 a i +a j (1≤i <j ≤n ) 的值两两不同，因此 l (A )=n (n−1)2．【知识点】交、并、补集运算22. 【答案】(1) ∀x ∈R ，x 能写成小数形式．(2) ∀x ∈{x∣ x 是凸n 边形,n ≥3,且n ∈N}，x 的外角和等于 360∘． (3) ∀x ∈R ，有 x ⋅(−1)=−x ．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断23. 【答案】(1)111．(2) −2225．【知识点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系24. 【答案】 p =−1，q =6，r =9．【解析】因为 A ∪B ={−3} , 所以 (−3)2−3p −12=0，p =−1，所以 A ={x∣ x 2−x −12=0}={x∣ x =−3或x =4}，又因为 A ≠B ，A ∪B ={−3,4}，所以 B ={−3} ,所以 {(−3)2+q (−3)+r =0,q 2−4r =0,所以 q =6，r =9．综上，p =−1，q =6，r =9．【知识点】交、并、补集运算25. 【答案】因为B={x∣ x<−1或x>0}，所以∁RB={x∣ −1≤x≤0}，所以要使A∩(∁RB)=∅，结合数轴分析（如图），可得a≤−1．【知识点】包含关系、子集与真子集26. 【答案】(1) 集合① {x∣ y=x2+1}的代表元素是x，满足条件y=x2+1中的x∈R，故{x∣ y=x2+1}=R．集合② {y∣ y=x2+1}的代表元素是y，满足条件y=x2+1中y的取值范围是y≥1，故{y∣ y=x2+1}={y∣ y≥1}．集合③ {(x,y)∣ y=x2+1}的代表元素是(x,y)，可以认为是满足y=x2+1的有序数对(x,y)的集合；也可以认为是平面直角坐标系内的点(x,y)构成的集合，且这些点的坐标满足y=x2+ 1．(2) 由（1）可知集合①是实数集，集合②是大于或等于1的实数集，集合③是二次函数图象上的点构成的点集，故它们是互不相同的集合．【知识点】集合相等、集合的表示方法11。

人教A版新教材高一数学必修一知识点总结第一章集合与常用逻辑用语

人教A版新教材高一数学必修一知识点总结第一章集合与常用逻辑用语定子集的补集。

③能使用图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。

1.1 集合的概念考点知识1.1.1 集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.1.1.2元素的三个特性与集合的相等元素的三性集合的相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.例如,集合与集合是相等的.1.1.3元素与集合关系的判断元素与集合的关系常用数集及表示符号1.1.4 集合的表达方法列举法:把集合中的元素一一列举出来并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.它的一般形式为,其中的表示集合中的代表元素,指的是元素的取值范围;则是表示这个集合中元素的共同特征,其中“”将代表元素与其特征分隔开来.1.2 集合间的基本关系考点知识1.2.1 子集与图图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.子集的概念1.2.2 集合相等、真子集与空集的概念集合相等如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,我们就说集合等于集合,记作,读作等于.真子集如果,且,就说集合是集合的真子集,记作.(1)用图形语言——图表示为如图；(2)空集是任何非空集合的真子集,即,且.空集(1)定义:不含任何元素的集合叫做空集；(2)用符号表示为:；(3)规定:空集是任何集合的子集.1.2.3 元素与集合、集合与集合间关系的判断(1)集合与集合之间的关系符号有:、、、、、、；(2)符号“”与“”“”“”的区别:“”及“”是表示元素与集合之间的关系;而“”“”“”等是表示集合之间的关系；(3)与的区别:一般地,表示一个元素,而表示只有一个元素的一个集合,因此有等.不能写成等.1.2.4 有限集合子集、真子集的确定(1)当一个集合的元素个数较少时,我们可以写出它的全部子集,当然也就知道其子集个数了.(2)当一个集合的元素个数较多时,一一写出子集不太现实,对于其子集的个数有如下结论:①含有个元素的集合有个子集；②含有个元素的集合有个真子集；③含有个元素的集合有个非空子集；④含有个元素的集合有个非空真子集；1.2.5 集合关系中的参数取值问题由确定集合中参数的取值范围是子集概念的重要应用,常与方程(组)、不等式(组)综合考查.一般借助数轴解决此类问题,要注意数形结合思想和分类讨论思想的应用.1.3 集合的基本运算考点知识1.3.2 并集1.3.2 交集(1)交集的三种语言文字语言由集合和集合的公共元素所组成的集合叫做与的交集,记作符号语言且图形语言(2)常用运算性质:.(3)不同情形的图如下图所示①②③且④有公共元素,但互不包含⑤1.3.3 全集与补集全集与补集的三种语言表示:1.3.4交、并、补混合运算1.3.5集合的关系与运算重要性质1.4 充分条件与必要条件考点知识1.4.1 充分条件、必要条件(1)推出当命题“如果,则”经过推理证明判断定是真命题时,我们就说由可以推出,记作,读作“推出”.(2)充分条件,必要条件如果可以推出,则称是的充分条件,是的必要条件.1.4.2 充分条件、必要条件的判定对于充分条件和必要条件,要能够正确地理解和判断.(1)从概念的角度去理解①若,则称是的充分条件,是的必要条件.②若,且,则称是的充分不必要条件.③若,且,则称是的必要不充分条件.④若,且,则称是的既不充分也不必要条件.⑤若,又有,记作,则称是的充分必要条件,即是的充要条件(2)从集合的角度去理解若以集合的形式出现,以集合的形式出现,即,则①若,则是的充分条件.②若,则是的必要条件.③若且,即,则是的充分不必要条件.④若且,即,则是的必要不充分条件.⑤若且,则是的既不充分也不必要条件.（6）且，则是的充分必要条件,即是的充要条件1.4.3 充要条件(1)“若,则”为真命题,即,∴是的充分条件,是是必要条件,另一方面,,∴是的必要条件,是的充分条件.如果既有,又有,记作,此时称是的充分必要条件,即是的充要条件,同时也是的充要条件,也就是说与互为充要条件.1.4.4 充要条件的证明证明是的充要条件，既要证明命题“”为真，又要证明“”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．1.5 全称量词与存在量词考点知识1.5.1 全称量词、全称量词命题短语“所有”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.一般地,设是某集合的所有元素都具有的性质,那么全称量词命题就是形如“对中的任意一个,成立”的命题,用符号简记为.1.5.2 存在量词、存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.一般地,设是某集合的有些元素具有的某种性质,那么存在量词命题就是形如“存在中的元素,成立”的命题,用符号简记为.1.5.3 全称量词命题、存在量词命题的真假(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合中的每个元素验证成立;但要判定全称量词命题是假命题,却只要能举出集合中的一个,使得不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合中,能找到一个,使成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.15.4 全称量词命题、存在量词命题的否定通常,用符号“”表示“不成立”.(1)对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:,它的否定:.也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:,它的否定:. 也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.。

新教材人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语知识点考点易错点及解题方法提炼汇总

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 ............................................................................................................ - 1 -1.2集合间的基本关系................................................................................................. - 6 -1.3集合的基本运算...................................................................................................... - 12 -第一课时并集、交集........................................................................................ - 12 -第二课时全集、补集........................................................................................ - 17 -1.4充分条件与必要条件.............................................................................................. - 21 -1.4.1充分条件与必要条件................................................................................ - 21 -1.4.2充要条件 ................................................................................................... - 25 -1.5全称量词与存在量词.............................................................................................. - 28 -1.1集合的概念知识点一集合的概念(1)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；(2)所有的正方形；(3)某班所有的“帅哥”．上述问题中的元素可否看成一个“集合”？知识梳理(1)一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)．(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系设方程x2－3x＋2＝0的所有实根构成集合A.1是否在集合A里面？2是否在里面？0是否在里面？知识梳理(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作a ∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作a∉A.(2)常见的数集及表示符号知识点三集合的表示我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？知识梳理(1)列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}．(2)描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合用描述法可表为{x∈R|x2－3x ＋2＝0}．知识点四相等集合A＝{方程x2－3x＋2＝0的实数根}B＝{1,2}C＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}A、B、C可否说为相等集合？知识梳理只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．解题方法探究探究一集合的概念[例1]下列对象中可以构成集合的是()A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析]B × 小橘子到底以多重算小，标准不明确C √ 中学生标准明确，故可构成集合 D×“著名”的标准不明确[答案] C判断一个“全体”是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．探究二元素与集合的关系 [例2] 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． [解析] 由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x ＞0，且x ≠3，故0≤x ＜3.又x ∈N ，故x ＝0,1,2.当x ＝0时，63－0＝2∈N ；当x ＝1时，63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0,1,2.[答案] 0,1,2探究三集合的表示[例3] 教材给出了奇数集合{x ∈Z |x ＝2k ＋1，k ∈Z }． (1)用这样的方法表示偶数集．(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．(3)当x ∈Z ，y ∈Z 点(x ，y )称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？ [解析] (1)偶数集{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }． (2){x ∈Z |x ＝3k ＋1，k ∈Z }(3){(x ，y )|x ＞0，y ＞0，x ∈Z ，y ∈Z }1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}．2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．探究四集合元素的特性及应用[例4]已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．[解析]因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上可知，a＝0，或a＝1.利用集合中元素的互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验；(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．易错点归纳一、“天下谁人不识君”——集合中描述法的认识1．两步认识描述法表示的集合(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)．2．四个集合的区别(1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的自变量x 的取值范围，且x 的取值范围是R ，因此A ＝R .(2)B ＝{y |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的函数值y 的取值范围，而y 的取值范围是y ＝x 2＋1≥1，因此，B ＝{y |y ≥1}．(3)C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}表示满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )组成的集合，因此C 表示函数y ＝x 2＋1的图象上的点组成的集合．(4)P ＝{y ＝x 2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y ＝x 2＋1.[典例] 1.已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，定义集合A ，B 间的运算A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则集合A *B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{2,3}C ．{1,3}D ．{2}[解析] x ＝1∈A,1∉B ； x ＝2∈A,2∈B ； x ＝3∈A,2∉B ； ∴A *B ＝{1,3}． [答案] C2．二次函数y ＝x 2－1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________． [解析] 点可看作由⎩⎨⎧y ＝x 2－1y ＝3组成的解集可用描述法．令y ＝3得：x 2－1＝3，所以x ＝－2或x ＝2.所以在y ＝x 2－1的图象上且纵坐标为3的点的集合为：{(－2,3)，(2,3)}．[答案] {(－2,3)，(2,3)}或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y ＝x 2－1y ＝3 二、集合相等的误区——都是元素惹的“祸”[典例] 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，B ＝{a 2，a ＋b,0}，若A ＝B ，则a 2 018＋b 2 018的值为________．[解析]因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝(a 2，a ＋b,0)，又因为a≠0,1≠0，所以ba＝0，所以b＝0，所以{a,0,1}＝{a2，a,0}，所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，A＝{1,0,1}不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1，即集合A＝{－1,0,1}，此时a＝－1，b＝0，故a2 018＋b2 018 ＝(－1)2 018＋02 018＝1＋0＝1.[答案] 1纠错心得解答根据集合相等求字母的值的问题时，首先要认真审题明确集合中元素有哪些，找准“突破口”；其次要注意解出字母的值之后，检验元素的互异性．如本例中通过审题找到ba＝0这一突破口，求出a＝±1后，检验a＝1时不满足互异性舍去.1.2集合间的基本关系知识点一子集的定义A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；A与B之间有什么关系？能说A比B小吗？知识梳理(1)Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．(2)子集一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．(3)一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A ＝B .也就是说，若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B .知识点二真子集如果A ⊆B ，那么A 与B 有可能相等吗？知识梳理如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，就称集合A 是集合B 的真子集(proper subset)，记作A B (或B A )．例如，A ⊆B ，但a ∈B ，且a ∉A ，所以集合A 是集合B 的真子集．知识点三空集的定义方程x 2＋1＝0的解集是什么？知识梳理空集及表示一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．是任何非空集合的真子集．知识点四子集的性质A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，C ＝{1,2,3,4,5}，A 、B 、C 之间有什么关系？知识梳理 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ； (2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . (3)对于集合A 、B 、C ，如果A B ，且BC ，那么A C .解题方法探究探究一集合关系的判断 [例1] 已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n 2－13，n ∈Z，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝p 2＋16，p ∈Z.试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z. 关于集合N ：①当n 是偶数时，令n ＝2m (m ∈Z )，则N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m －13，m ∈Z； ②当n 是奇数时，令n ＝2m ＋1(m ∈Z )，则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2m ＋12－13，m ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z . 从而，得M N .关于集合P ：①当p ＝2m (m ∈Z )时，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z ； ②当p ＝2m －1(m ∈Z )时， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2m －12＋16，m ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m －13，m ∈Z . 从而，得N ＝P .综上，知M N ＝P .判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．(3)数形结合法利用数轴或Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．探究二子集、真子集及个数问题[例2][教材P8例1探究](1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件A C B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．[答案] B(2)写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？[解析]子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，∅共8个．真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，∅共7个．(3)若集合A中有5个元素，不具体写出子集．可猜到有多少个子集吗？[解析]25＝32个．1．元素个数与集合子集个数的关系(1)探究.集合A中元素的个数集合A集合A子集个数n∅0 1{a}1 2{a，b}2 4{a，b，c}38{a，b，c，d}416(2)①A的子集的个数有2n个．②A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．③A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个．2．求给定集合的子集的两个关注点(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．探究三由集合间的关系求参数的取值范围[例3]设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系．(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．[解析](1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝15时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B A.(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅时，a≠0，集合B＝{1 a}，由B⊆A得1a＝3或1a＝5，所以a＝13或a＝15.综上所述，实数a的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.根据集合的包含关系求参数的两种方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．易错点归纳一、相逢又相识——∈、⊆、及0、{0}、∅、{∅}的区别与联系1．元素与集合、集合与集合的关系．“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}．“⊆或”是两个集合之间的包含关系．2．0、{0}、∅、{∅}的关系(1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；∅为不含任何元素的集合；{∅}为含有一个元素∅的集合，此时∅作为集合{∅}的一个元素．(2)联系：0∈{0},0∉∅，0∉{∅}，∅⊆{0}，∅{0}，∅⊆{∅}，∅{∅}．[典例] 已知集合A ＝{1,3，x 2}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得集合B 是A 的子集？若存在，求出A ，B ，若不存在，说明理由．[解析] 因为B ⊆A ，所以当x ＋2＝3，即x ＝1时，A ＝{1,3,1}不满足互异性，所以x ＝1(舍)．当x ＋2＝x 2，即x ＝2或x ＝－1，若x ＝2时，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,4}，满足B ⊆A ；若x ＝－1时，A ＝{1,3,1}不满足互异性．综上，存在x ＝2使得B ⊆A . 此时，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,4}．二、∅的呐喊——勿忘我[典例] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 当B ＝∅时，B ⊆A 显然成立，此时有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，即⎩⎨⎧m ≥－3m ≤4，m ＞2，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为{m |m ≤4}． [答案] {m |m ≤4}纠错心得空集是任何集合的子集，忽视这一点会导致漏解，产生错误结论．对于形如{x|a＜x＜b}一类的集合，当a≥b时，它表示空集，解题中要十分注意．1.3集合的基本运算第一课时并集、交集知识点一并集对于A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？知识梳理(1)定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B 的并集(union set)，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，如图，可用Venn图表示．(2)性质①A∪B＝B∪A；②A∪A＝A；③A∪∅＝∅∪A＝A；④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.知识点二交集A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；集合A，B与集合C之间有什么关系？知识梳理(1)定义一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，可用Venn图表示．(2)性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B.解题方法探究探究一并集概念及简单应用[例1](1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0＜x≤1}，则M∪N＝()A．{x|0≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≤1}[解析]M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．[答案] A(2)点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．[答案] A求集合并集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．探究二交集概念及简单应用[例2](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}[解析]由题意知A∩B＝{0,2}．[答案] A(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}[解析]由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．[答案] C(3)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B ＝________.[解析]借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}．[答案]R{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}求集合交集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．探究三集合交、并集运算及应用[例3]已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a(a＞0)}．(1)若A∪B＝B，求a的取值范围．(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．[解析](1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，观察数轴可知，⎩⎨⎧2≥a ，4≤3a ，所以43≤a ≤2. (2)A ∩B ＝∅有两类情况：B 在A 的左边和B 在A 的右边，如图．观察数轴可知，a ≥4或3a ≤2，又a ＞0，所以0＜a ≤23或a ≥4.由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项(1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论；(2)要有数形结合思想的意识，借助于数轴会更方便直观； (3)对于A ∩B ＝A 的情况要考虑到A 是否为∅的情况．易错点归纳一、并集元素个数何其多(1)“或”的理解：“x ∈A 或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：①x ∈A 但x ∉B ；②x ∈B 但x ∉A ；③x ∈A 且x ∈B .(2)一般地，对任意两个有限集合A ，B ，有card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．[典例] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学可得(26－6－x )＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x )＋x ＝36，解得x ＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． [答案] 8二、“有”与“无”，“虚”与“实”的对立与统一——集合交、并运算的端点值的选用[典例] 集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，画出数轴如图所示．由图可知，若A ∩B ＝∅，则 ⎩⎨⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2. (2)由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .则a ＋3＜－1或a ＞5，即a ＜－4或a ＞5.纠错心得由于A 中含端点a 、a ＋3，而B 中不含端点－1及5.根据A ∩B ＝∅的含义，a ＝－1，a ＋3＝5时，也成立．而A ⊆B 时，则不能取“＝”．对于是否取端点．可单独验证．第二课时全集、补集知识点一全集与补集(1)方程(x－2)(x2－3)＝0，在有理数范围内的解是什么？在实数集内的解是什么？(2)集合{2}与集合{3，－3}之间有什么关系？知识梳理(1)全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universe set)，通常记作U.(2)补集对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A ＝{x|x∈U，且x∉A}，可用Venn图表示．知识点二补集的性质A∩∁U A＝________，A∪∁U A＝________.知识梳理(1)A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.(2)∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U.解题方法探究探究一补集的运算[例1](1)已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则∁U A＝()A．{x|－2＜x＜2}B．{x|x＜－2，或x＞2}C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥2}[解析]依题意，画出数轴，如图所示：观察数轴可知，∁U A＝{x|－2≤x≤2}．[答案] C(2)已知全集U ，M ，N 是U 的非空子集，且∁U M ⊇N ，则必有( ) A ．M ⊆∁U N B ．M ∁U N C ．∁U M ＝∁U ND ．M ⊆N[解析] 依据题意画出Venn 图，观察可知，M ⊆∁U N . [答案] A(3)已知全集为U ，集合A ＝{1,3,5,7}，∁U A ＝{2,4,6}，∁U B ＝{1,4,6}，求集合B . [解析] 因为A ＝{1,3,5,7}，∁U A ＝{2,4,6}，所以U ＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B ＝{1,4,6}，所以B ＝{2,3,5,7}．求集合补集的两种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn 图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．探究二集合交、并、补的综合运算[例2] (1)(2019·长沙高一检测)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}[解析] 因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{1,3,4,6,7}，所以∁U B ＝{2,5,8}．又A ＝{2,3,5,6}，所以A ∩(∁U B )＝{2,5}． [答案] A(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．[解析] 将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．因为A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∁U B ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}，又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52，所以(∁U B )∪P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜52，所以(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜52，＝{x |0＜x ＜2}．解决集合交、并、补综合运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．探究三根据补集的运算求参数的值或范围[例3] 设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . [解析] 因为∁U A ＝{5}，所以5∈U 但5∉A ，所以m 2－m －1＝5，解得m ＝3或m ＝－2. 当m ＝3时，|3－2m |＝3≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}，满足∁U A ＝{5}；当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}，不符合题意舍去．综上，可知m ＝3.由集合的补集求参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解；(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素为无限个时，一般利用数轴分析法求解．易错点归纳一、“柳暗花明，正难则反”——补集思想的应用“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .补集的思想作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路．今后我们要有意识地去体会并运用补集思想，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．[典例] 已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，B ＝{x |x ＜0，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．[解析] 当A ＝∅时不符合题意，∴A ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}U ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1，或m ≥32. 若A ∩B ＝∅，则方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，解得m ≥32.x 1x 2＝2m ＋6≥0，因为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≥32关于U 的补集为∁U M ＝{m |m ≤－1}，所以实数m的取值范围为m≤－1.二、找全集，认子集，求补集——求补集的程序与条件[典例]设全集S＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁S A＝{5}，求实数a 的值．[解析]由题意得a2＋2a－3＝5，即a2＋2a－8＝0，∴a＝－4或a＝2，当a＝2时，|2a－1|＝3∈S，符合题意，当a＝－4时，|2a－1|＝9∉S，不符合题意，故a＝2.纠错心得求一个集合A的子集，首先A是全集的子集，如本题当a＝－4时A＝{9,2}不是S的子集，故求出a值还需检验．1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．知识梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇒q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．(2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．解题方法探究探究一充分条件、必要条件的判定[例1]指出下列“若p，则q”的命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则P A＝PB.[解析](1)这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．q 是p的必要条件．(2)这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件．p是q的充分条件．(3)这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．q是p的必要条件．(4)这是线段垂直平分线的性质p⇒q.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中p与q的条件关系，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题．只有p⇒q，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果p⇒q，p是q的不充分条件，q是p的不必要条件．探究二充分条件、必要条件与集合的关系[例2]指出下列各组题中，p是q的什么条件．(1)p：x＜1，q：x≤2；(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；(3)p：0＜x＜5，q：0＜x≤3.[解析](1)∵{x|x＜1}{x|x≤2}即p⇒q但q⇒p.p是q的充分不必要条件．(x，y)|x＞0，y＞0{(x，y)|xy＞0}(2)p：{}p⇒q但q⇒p.p 是q 的充分不必要条件．(3)p ：{x |0＜x ＜5}{x |0＜x ≤3}p ⇒q 但q ⇒p . ∴p 是q 的必要不充分条件．若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件．②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件．③若A ⊆B 且B ⃘A ，即A B ，则p 是q 的充分不必要条件．④若B ⊆A 且A ⃘B ，即B A ，则p 是q 的必要不充分条件．⑤若A ⃘B 且B ⃘A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．探究三由充分，必要条件求参数[例3] 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎨⎧ 1－m ≥－2，1＋m ＜10，或⎩⎨⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}.将条件关系转化为集合的包含关系．从而建立参数的不等式(组)求解.易错点归纳一、“充分”与“必要”的孪生兄弟关系对于一个命题“若p则q”，研究p与q的条件关系时．一要明确所问：“p是q的什么条件”还是“q是p的什么条件”．二要明确推导关系，即原命题的真假，对于同一个推理形式“p⇒q”而言，“p 是q”的充分条件，同时“q是p”的必要条件．二者是同一个问题、相伴孪生．就命题而言，如果将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题．结论原命题逆命题p与q的关系真假p是q的充分不必要条件q是p 的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件即：(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的既不充分也不必要条件．[典例]p是r的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件．s是r的必要条件，也是q的充分条件．判断p是q的什么条件，p是s的什么条件．[解析]由题意得，p、q、r、s之间的关系．如图：p是q的充分不必要条件．p是s的充分不必要条件．二、混淆“充分条件”“必要条件”[典例]若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分不必要条件．求m的范围．[解析]由题意得{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}．如图：∴m≤1.纠错心得本题将条件关系转化为集合的真包含关系．借助数轴，易去掉m＝1或者将包含关系弄错．1.4.2充要条件知识点充要条件若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；原命题与逆命题的真假如何？知识梳理充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．解题方法探究探究一充要条件的判断[例1]已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，在下列各结论中正确的为()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．A．③B．①②C．①②③D．①②③④[解析]首先我们应搞清楚Δ＝b2－4ac≥0是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)有实根的充要条件．利用该结论可知：上述①②③是正确的．同时当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两相等的实根，故④也是正确的．[答案] D当p是q的充要条件正确时，p是q的充分条件及p是q的必要条件将都是正确的，故上述结论③正确时，结论①②也正确．应该指出的是：p是q的充分条件包含了两种可能：p是q的充分不必要条件与p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包含了两种可能：p是q的必要不充分条件与p是q的充要条件．其实结论④可进一步明确成：Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分不必要条件．探究二证明充要条件[例2][教材P22例4拓展]已知⊙O的半径为r，圆心O到点P的距离为d.求证d＝r是点P在⊙O上的充要条件．[证明](充分性)根据圆的定义，当d＞r，P在圆外．d＜r时，P在圆内．故当d＝r时，点P在圆上必要性：若P在⊙O上，则满足P到⊙O的距离d＝r.证明充要条件，即证明条件的充分性和必要性．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．探究三利用充要条件求参数[例3]求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．[解析]当a＝0时，方程为2x＋1＝0，∴x＝－1 2为一负根．当a＜0时，∵Δ＝4－4a＞0，且x1x2＝1a＜0，x1＋x2＝－3a＞0，为一正根、一负根．当a＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a≥0，x1＋x2＝－a2＜0，x1x2＝1a＞0，得0＜a≤1.综上：a≤1.充要条件是一种等价转化，解决问题的关键就是找清原问题的充要条件．易错点归纳一、识得庐山真面目——转化与化归思想的应用数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，转化的唯一原则就是“等价”，而“等价”就是“寻找充要条件”的关系．[典例]设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．[解析]因为A＝{x|－1＜x＜3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以A B，所以m＋1＞3，即m＞2.[答案]m＞2二、转化不等价致错[典例] 设集合A ＝{x |2≤x ≤6}，B ＝{x |2m ≤x ≤m ＋3}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] ①当B ≠∅时，则有⎩⎨⎧ 2m ≤m ＋3，2m ≥2，m ＋3≤6，解得1≤m ≤3；②当B ＝∅时，2m ＞m ＋3，解得m ＞3.综合①②，得m ≥1，故实数m 的取值范围是{m |m ≥1}．[答案] {m |m ≥1}纠错心得此题求解时只求了一种情况，当B ≠∅时，1≤m ≤3，而实际与B ⊆A 等价的有B ≠∅与B ＝∅两种情况.1.5全称量词与存在量词1．5.1 全称量词与存在量词 1．5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定知识点一全称量词与全称量词命题语句(1)“x ＞3”；语句(2)“对所有的x ∈R ，x ＞3”，两者有什么区别？知识梳理 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier)，并用符合“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题(universal proposition)．常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．(2)通常，将含有变量x 的语句用p (x )，q (x )，r (x )，…表示，变量x 的取值范围用M 表示．那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )．知识点二存在量词与存在量词命题语句(1)“2x ＋1＝3”；语句(2)“存在一个x ∈R ，使2x ＋1＝3”，两者有什么区别？知识梳理 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier)，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题(existential proposition)．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．。

新教材人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语习题课件(精选配套习题,含解析)

A．1
B．2
C．3
D．4
解析：方程 x2－5x＋6＝0 的解为 x＝2 或 x＝3，x2－x－2＝0 的解为 x＝2 或 x＝－1，所以集合 M 中含有 3 个元素．
4．设x∈N，且1x∈N，则x的值可能是( B )
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
解析：∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而 10 无意义，排除A、D，故选B.
——能力提升—— 14．若11－＋aa∈A，且集合 A 中只含有一个元素 a，则 a 的值为 ______－__1_±__2___.
解析：由题意，得11－＋aa＝a， ∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1± 2.
15．已知数集 A 满足条件：若 a∈A，则1－1 a∈A(a≠1)，如果 a＝2，试求出 A 中的所有元素．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
8．有下列说法：
①集合 N 中最小的数为 1；②若－a∈N，则 a∈N；③若 a∈
N，b∈N，则 a＋b 的最小值为 2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( A )
A．0
解析：深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
10．设直线 y＝2x＋3 上的点集为 P，点(2,7)与点集 P 的关系为(2,7)___∈__ P(填“∈”或“∉”)．
解析：直线 y＝2x＋3 上的点的横坐标 x 和纵坐标 y 满足关系： y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当 x＝2 时，y ＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.
(2)不能．理由：若－5 为集合 A 中的元素，则 a－3＝－5 或 2a－1＝－5.

新人教A版新教材学高中数学必修第一册集合与常用逻辑用语章末复习课讲义

集合的并、交、补运算【例１】已知全集U＝{0,１,２,３,４,５,6}，集合A＝{x∈N|１＜x≤４}，B＝{x∈R|x２—３x＋２＝0}．（１）用列举法表示集合A与B；（２）求A∩B及∁U（A∪B）．[解] （１）由题知，A＝{２,３,４}，B＝{x∈R|（x—１）（x—２）＝0}＝{１,２}．（２）由题知，A∩B＝{２}，A∪B＝{１,２,３,４}，所以∁U（A∪B）＝{0,５,6}．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.１．已知全集U＝{１,２,３,４}，集合A＝{１,２}，B＝{２,３}，则∁U（A∪B）＝（）Ａ．{１,３,４} Ｂ．{３,４}Ｃ．{３} Ｄ．{４}D[∵A＝{１,２}，B＝{２,３}，∴A∪B＝{１,２,３}，∴∁U（A∪B）＝{４}．]集合关系和运算中的参数问题【例２】已知集合A＝{x|0≤x≤２}，B＝{x|a≤x≤a＋３}．（１）若（∁R A）∪B＝R，求a的取值范围；（２）是否存在a使（∁R A）∪B＝R且A∩B＝∅？[解] （１）A＝{x|0≤x≤２}，∴∁R A＝{x|x<0或x>２}．∵（∁R A）∪B＝R，∴错误!∴—１≤a≤0．（２）由（１）知（∁R A）∪B＝R时，—１≤a≤0，而２≤a＋３≤３，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在．根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为A B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.２．已知集合A＝{x|—３≤x＜２}，B＝{x|２k—１≤x≤２k＋１}，且B⊆A，求实数k的取值范围.[解] 由于B⊆A，在数轴上表示A，B，如图，可得错误!解得错误!所以k的取值范围是错误!.充分条件与必要条件【例３】已知a≥错误!，y＝—a２x２＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤１}，均有y≤１成立的充要条件是c≤错误!.[解] 因为a≥错误!，所以函数y＝—a２x２＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝错误!＝错误!，且0＜错误!≤１，当x＝错误!时，y＝错误!＋c.先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤１}，均有y≤１，即错误!＋c≤１，所以c≤错误!.再证充分性：因为c≤错误!，当x＝错误!时，y的最大值为错误!＋c≤错误!＋错误!＝１，所以对于任意x∈{x|0≤x≤１}，y＝—a２x２＋ax＋c≤１，即y≤１．即充分性成立．利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.３．若p：x２＋x—6＝0是q：ax＋１＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．—错误!或错误![p：x２＋x—6＝0，即x＝２或x＝—３．q：ax＋１＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝—错误!.由题意知p q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有—错误!＝２或—错误!＝—３，解得a＝—错误!或a＝错误!.综上可知，a＝—错误!或a＝错误!.]全称量词与存在量词【例４】（１）下列语句不是全称量词命题的是（）Ａ．任何一个实数乘以零都等于零Ｂ．自然数都是正整数Ｃ．高一（一）班绝大多数同学是团员Ｄ．每一个实数都有大小（２）命题p：“∀x∈R，x２＞0”，则（）Ａ．p是假命题；﹁p：∃x∈R，x２＜0Ｂ．p是假命题；￢p：∃x∈R，x２≤0Ｃ．p是真命题；￢p：∀x∈R，x２＜0Ｄ．p是真命题；￢p：∀x∈R，x２≤0（１）C（２）B [（１）A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一（一）班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选Ｃ．（２）由于0２＞0不成立，故“∀x∈R，x２＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x２＞0”的否定是“∃x∈R，x２≤0”，故选Ｂ．]“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系１一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p x的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.２与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.４．下列命题不是存在量词命题的是（）Ａ．有些实数没有平方根Ｂ．能被５整除的数也能被２整除Ｃ．在实数范围内，有些一元二次方程无解Ｄ．有一个m使２—m与|m|—３异号B[选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]５．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．存在一个能被7整除的数不是奇数[原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]。

高中数学新人教A版必修第一册课件：第1章集合与常用逻辑用语 1

【对点练习】❷ (1)(2021·全国高考甲卷文科)设集合M＝{1，3，5，
7，9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝
A．{7，9}
B．{5，7，9}
(B )
C．{3，5，7，9}
D．{1，3，5，7，9}
(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则
集合B＝
[解析] (1)①因为A∩B＝∅， a≥－1，
所以a＋3≤5，解得－1≤a≤2. ②因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以a>5或a＋3<－1，即a的取值范围为a>5或a<－4.
(2)①由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1，2}． ②∵M∩N＝M， ∴M⊆N， ∵M＝{2}，∴2∈N， ∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.
解得13<t≤2.
综上可知，实数 t 的取值范围是{t|t≤2}．
(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2. ∴A＝{0，2}． ①∵A∩B＝B，∴B⊆A，B＝∅，{0}，{2}，{0，2}．当B＝∅时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；
当 B＝{0}时，aΔ2＝－4aa＝＝00，， ∴a＝0；
【对点练习】❸ (1)已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}． ①若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； ②若A∪B＝B，求实数a的取值范围． (2)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}， ①当m＝2时，求M∩N，M∪N； ②当M∩N＝M时，求实数m的值．
(B)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末复习与总结课件新人教A版必修第一册

[例6] 已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，集合B＝{x|－1＜x＜m＋1}． (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值． [解] (1)由题A B，所以m＋1＞3，即m＞2.
所以实数m的取值范围为{m|m＞2}． (2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件，所以A＝B. 所以m＋1＝3，即m＝2.即实数m的值为2.
[例5] (2020·天津高考)设a∈R ，则“a>1”是“a2>a”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的
充分不必要条件，故选A.
[答案] A
充分条件与必要条件的探求及应用
集合间的关系
[例4] (1)集合M＝
yy＝x＋8 1，x∈N
，y∈N
的非空子集的个数是
A．3
B．7
()
C．15
D．31
(2)已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围
是
()
A．{a|0＜a＜4}
B．{a|－8＜a＜4}
C．{a|a≥4}
D．{a|a＞4}
[解析]
(2)命题“对任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x∈A，2x∉B”，故选D.
[答案] (1)ABD (2)D
二、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的
素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运

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因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故结论②不正确；
因为所有的整数被5除所得余数只能为0,1,2,3,4，所以Z＝ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故结论③正确；
设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，若a－b∈[0]，则a－b ＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]，所以k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，故结论④正确．
思路探究：由M∩P＝{x|5<x≤8}，求得－3≤a≤5.(1)充要条件即－ 3≤a≤5.(2)寻找充分但不必要条件，a可取满足－3≤a≤5的任意一个值．(3)寻找必要但不充分条件，此时a的取值集合应真包含{a|－3≤a≤5}．
解析：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，
因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，
方法二：由新定义的运算，得 A⊙B＝{1,2,5,6,7}，则(A⊙B)⊙B＝ {1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．
归纳提升：在集合的新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算．解题时，要抓住两点：
(1)分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中．
④“整数a，b属于同一‘类’”的条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的序号是___③_④___.
思路探究：由整数集Z中“类”的定义可得出，[0]表示5的倍数组成的集合，[1]＝{5n＋1|n∈Z}，[2]＝{5n＋2|n∈Z}等，然后结合题目逐一判断．
解析：因为2 019＝5×403＋4，所以2 019∉[1]，故结论①不正确；
即a的取值范围为{a|－3≤a≤5}．
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a ＝0，故a＝0是所求的一个充分但不必要条件．(答案不唯一)
归纳提升：分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类问题的结论得到整个问题的解答．分类与整合就是化整为零，各个击破，再积零为整的数学思想．
①“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”，其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”．
②“存在一个实数x，使得|x|≤0”的否定为“对所有的实数x，都有 |x|>0”，其中，把存在量词“存在一个”变为全称量词“所有的”．
4．条件关系判定的常用结论
条件 p 与结论 q 的关系 p⇒q，且 q p q⇒p，且 p q
(2)因为集合 A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以 A∪B＝{x|1≤x≤4}．若非空集合 D＝{x|4－a<x<a}，且 D⊆(A∪B)，
4－a<a，
则有4－a≥1， a≤4，
解得 2<a≤3，
即实数 a 的取值范围为 2<a≤3.
归纳提升：解决集合与方程、不等式综合的参数问题时，要特别注意两点：
2．集合描述法的两种形式
(1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出来，其一般形式为{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合， P(x)是集合中元素x的共同属性，竖线不可省略，如大于1且小于4的实数构成的集合可以表示为{x∈R|1<x<4}．在不会产生误解的情况下，x的取值集合可以省略不写，如在实数集R中取值，“∈R”常省略不写，于是上述集合可表示为 {x|1<x<4}．
归纳提升：已知条件p，结论q对应的集合分别为A，B.用集合观点来理解充要条件，有如下三类：一是两个集合相等，那么p， q互为充要条件；二是两个集合有包含关系，若A B，则p是q 的必要不充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；三是两个集合没有包含关系，那么p是q的既不充分也不必要条件．
专题四
思想方法归纳
典例剖析
1．数形结合思想已知典集例合7 A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5或x>1}，C＝{x|m－ 1<x<m＋1，m∈R}．
(1)若A∩C＝∅，求实数m的取值范围； (2)若(A∩B)⊆C，求实数m的取值范围．
思路探究：借助于数轴把集合表示出来，找出满足条件的m的取值范围．
若 3∈C，则 9－3m＋1＝0，即 m＝130，此时方程为 x2－130x＋1＝0， ∴x＝3 或 x＝13，即 C＝{3，13}⊆/ A，∴m≠130. 综上可知，a＝4 或 a＝2，－2<m≤2.
2．集合与不等式的联系
典例 2 已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋ 1，m∈A}． (1)求图中阴影部分表示的集合C；
p⇒q，且 q⇒p，即 p⇔q p q，且 q p
结论 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件
p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件
专题一
集合与方程、不等式的联系源自典例剖析1．集合与方程的联系
已知典集例合1A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}， C＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m 的值或取值范围．
互异性
不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的
对象归入同一集合时只能算集合的一个元素
无序性
构成集合的元素间无先后顺序之分
示例
集合A＝{1,2,3}，则1∈A,4∉A
集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－ x，即x≠0且x≠2
集合{1,0}和{0,1} 是同一个集合
第一章
章末整合
知识结构·理脉络要点梳理·晰精华素养突破·提技能真题精练·悟考情
1．集合中元素的三个特性
特征
含义
作为一个集合的元素，必须是确定的，不能
确定性
确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合
的元素也就确定了
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是
(1)不要忽略集合中元素的互异性，即求出参数后应满足集合中的元素是互异的，尤其要注意含参数的方程的解的集合．
(2)空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，当题设中隐含有空集参与的集合关系与运算时，其特殊性容易被忽略，如解决有关 A⊆B，A∩B＝∅，A∪B＝B 等集合问题时，应先考虑空集的情况．
解析：(1)如图1所示．∵A∩C＝∅，且A＝{x|－4<x<2}，C＝{x|m－1<x<m＋1}， ∴m＋1≤－4或m－1≥2，解得m≤－5或m≥3. 故实数m的取值范围是{m|m≤－5或m≥3}．
(2)∵A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5 或 x>1}， ∴A∩B＝{x|1<x<2}．又(A∩B)⊆C，如图 2 所示， ∴mm－＋11≤≥12，，解得 1≤m≤2. 故实数 m 的取值范围是{m|1≤m≤2}．
命题q：x≠2或y≠6，对应集合为B＝{(x，y)|x≠2或x≠6}，
命题¬p：x＋y＝8，对应集合为∁UA＝{(x，y)|x＋y＝8}，命题¬q：x＝2 且 y＝6，对应集合为∁UB＝{(x，y)|x＝2 且 y＝6}＝ {(2,6)}，显然∁UB ∁UA，所以 A B，即 p 是 q 的充分不必要条件．
归纳提升：数形结合的思想是充分运用“数”的严谨和“形” 的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法．数形结合的思想通过 “以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的性质，有利于达到优化解题的目的．在解答有关集合的交、并、补运算以及抽象集合问题时，一般要借助数轴或Venn图求解，这都体现了数形结合的思想．
思路探究：在 C⊆A 中含有 C＝∅这种情况，所以在解题时要考虑集合 C 为空集的情况，避免漏解．
解析：由题意可知 A＝{1,3}． ∵A∪B＝A，∴B⊆A， ∴a－1＝3 或 a－1＝1， ∴a＝4 或 a＝2. 又 A∩C＝C，∴C⊆A，若 C＝∅，则 Δ＝m2－4<0，即－2<m<2；若 1∈C，则 12－m＋1＝0，即 m＝2，此时 C＝{1}，A∩C＝C，符合题意；
(2)若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D⊆(A∪B)，求实数a的取值范围．
解析：(1)因为A＝{x|1≤x≤3}，
B＝{x|x＝m＋1，m∈A}，
所以B＝{x|2≤x≤4}，
由图可得，C＝A∩(∁UB)，因为B＝{x|2≤x≤4}，则∁UB＝{x|x>4或x<2}，而A＝{x|1≤x≤3}，则C＝A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．
当3a＋ 2 1<－4，即 a<－3 时， C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}；当－4≤3a＋ 2 1<5，即－3≤a<3 时， C∩(A∪B)＝{x|3a＋ 2 1<x<5}；
当3a＋2 1≥5，即 a≥3 时，C∩(A∪B)＝∅. 综上可知，当 a<－3 时，C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}；当－3≤a<3 时，C∩(A∪B)＝{x|3a2＋1<x<5}；当 a≥3 时，C∩(A∪B)＝∅.
(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件就是另求一个集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的一个真子集．易知当a≤5时，未必有M∩P＝{x|5<x≤8}，但是 M∩P＝{x|5<x≤8}时，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一个a的取值集合．(答案不唯一)