第4章 曲线曲面

连续性，如果具有n阶导数，则称曲线n阶参数连续，记为 C
n
几何连续——判断连接点处曲线方程相对于弧长s的各阶导数连
n G 续性，如果具有n阶导数，则称曲线n阶几何连续，记为
曲线的参数连续性与参数的选择有关；而几何连续性不依赖于 参数的选取，而是反映曲线的具体几何特征。
连续性定义
在曲线曲面造型中，一般仅讨论 C 0、C 1、C 2 和 G 0、G1、G 2 连续。 当曲线具有C0连续时，表示曲线在连接点处位置矢量相同； 当曲线具有C1连续时，表示前后两个曲线段在连接点处切矢方 向相同，大小相等； 当曲线具有C2连续时，表示曲线在连接点的二阶导矢相同；
（1）G0连续 P(t)的终点与Q(t)的始点相连，满足P(1)=Q(0)。
（2）G1连续
Bezier曲线拼接 曲线在拼接点具有相同的单位切矢量，即
P(1) Q(0)
则有
P(1) 3( P3 P2 )
P3 P2 Q1 Q0
Q(0) 3(Q1 Q0 )
P(t)－ 任意拟合点的坐标，P(t)=[x(t),y(t)]；
Pi － 给定的第i个点的坐标；
BiN (t )－ 混比函数，反映第i个点对拟合点的影响，它定义为
BiN ( t )
N! t i (1 t ) N i i! ( N i )!
Bezier曲线方程 当控制点数为4时，拟合的Bezier曲线是三次多项式函数。将混合 函数按照定义计算式展开，经整理可得三次Bezier曲线计算式：
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1 1 x0 0 x1 0 x 2 0 x 3 y0 y1 y2 y3
下面以三次为例说明： x( t )
端点特征
y ( t ) t 3

t2

根据三次Bezier曲线的参数表示，有
分段多项式； – Bezier曲线：参数多项式曲线；B样条曲线：参数样条曲线
– Bezier曲线：缺乏局部性；B样条：具有局部性
最常使用的B样条曲线是三次Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ条曲线。对三次B样条曲线来说， 任意插值点的坐标值只与相邻四个控制点坐标有关；如果改动
任意某个控制点的坐标，其对曲线形状影响波及的范围只是前
后各三个小段跨度。
标轴的选取相关，不便于计算与编程等。 *参数表示 将曲线或曲面上的点的坐标表示为某参数的函数。
x x(u), y y(u), z z (u)
1.曲线曲面的数学表示形式
与曲线曲面显式和隐式表示法相比较，参数表示法具有如下 优点： 可方便的表示三维曲线，并有更多的自由度来控制曲线曲面形 状；
向为切线方向。
切矢量
切矢量
( u) dP P du
单位切矢量
s P P ( u u ) P ( u )
dP 1 d 2P dP 2 u ( u ) u 2 du 2 du du
T ( s)
dP ds dP P (u ) ( )/( ) P (u ) du du ds
Bezier曲线性质
凸包性(Convex Hull) Bezier曲线恒位于其控制顶点所形成的凸
包内 几何不变性 Bezier曲线的位置与形状仅与其特征多边形顶点
位置有关，而与坐标系的选择无关。在几何变换中，只要直接对 特征多边形的顶点变换即可，无需对曲线上的每一点变换。 全局控制性 将给出的控制点循序连接可组成一折线，Bezier
曲线的端点在u=0、u=1处，曲线上任一点的位置矢量（坐标） 可用矢量P(u)表示 P(u) [ x(u) y(u) z(u)]
切矢量
设曲线上 Q、R两点，其参数分别为 u、u+ u，位置矢量分别 为P(u)、 P(u+u )。 矢量P= P(u+u )- P(u)表示连接QR的弦长，当u0时，位置 矢量关于参数 u 的一阶导数矢量称为曲线在该点的切矢量，方
y0 y1 y2 y3
1 3 3 3 6 3 P (1) 3 2 1 0 3 3 0 0 0 1
1 P0 P0 P P 0 1 0 0 3 3 1 P2 0 P2 0 P3 P3
P(0) P0 P(1) Pn P(0) 3( P P(1) 3( P3 P2 ) 1P 0)
曲线通过给定点列的始点和终点，曲线始点和终点处的切线 方向分别与特征多边形的首、末两边重合，其大小为首末两边 长的3倍。
x( t )
y ( t ) t 3

t2
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1
参数表示的曲线曲面与坐标系选择无关；
在参数表达式中使用切矢量来代替非参数方程中的斜率，便于 处理斜率为无穷大情况；
易于用矢量和矩阵表示几何量，从而便于计算机计算与编程。
2.参数曲线定义及切矢量、主法矢和曲率
一条用参数表示的三维曲线是一个有界的、连续的点集，可表 示为
x x(u), y y(u), z z(u) 0 u1
P (1) 6( P3 2 P2 P1 )
由连接点两边各两个顶点所构 成的平行四边形对角线须平行且 相等，位于同一平面。
三 B样条曲线
B样条的概念是由Schoenberg（舍恩伯格）于40年代提出；
B样条方法是在保留Bezier方法的优点同时，克服其由于整体不
具有局部性质的缺点，以及解决在描述复杂形状时带来的连接 问题下提出来的; B样条曲线具有与Bezier曲线相类似的功能，它的特点在于多项 式的次数可不受控制点数目的限制，能独立选择次数并具有局 部构形性。
数模式则称为拟合函数或逼近函数。
应用领域
一 曲线、曲面的参数表示
1.曲线曲面的数学表示形式
在数学上，曲线曲面常采用显式、隐式和参数几种表示形式。 *显式表示
y f ( x)
显式表示不能表示封闭或多值曲线，如圆等。 *隐式表示
F ( x, y, z ) 0
可以表示多值曲线，如抛物线、椭圆等，但仍存在曲线与坐
的形状。因此，给出的离散点又称为控制点。 Bezier 曲线适宜
用于象汽车车身等自由形状的构形设计。
Bezier曲线拟合实例
Bezier曲线方程 对于给定的N+1个点，可定义n次Bezier曲线，拟合计算式为：
P ( t ) Pi BiN ( t )
i 0 N
t－ 参变量，取值范围为0~1；
P ( t ) Pi BiN ( t )
i 0 N
BiN ( t )
N! t i (1 t ) N i i! ( N i )!
3! t 0 (1 t ) 3 t 3 3t 2 3t 1 0!3! 3! B13 ( t ) t 1 (1 t ) 2 3t 3 6t 2 3t 1!2! 3! B23 ( t ) t 2 (1 t )1 3t 3 3t 2 2!1! 3! B33 ( t ) t 3 (1 t ) 0 t 3 3!0! B03 ( t )
（3）G2连续
满足 P (1) Q(0)
Q(0) 为得到分段之间 6(Q2 2Q1 Q0 )G1光滑过渡 ，在衔接点处应使前段的最后 P3 2 P2 P1 Q2 2Q1 Q 0 ( P3 P2 ) ( P1 P2 ) (Q2 Q两个控制点和后段最先两个控 1 ) (Q0 Q1 ) 制点同在一条直线上。
B样条曲线方程 三次B样条插值点坐标的计算式是：
x( t )
y ( t ) t 3

t2
1 3 3 1 3 6 3 t 1 6 3 0 3 4 1 1

1 x i 2 x 0 i 1 0 x i 0 x i 1
yi 2 y i 1 yi yi 1
所以以弧长为参数的切矢量为单位切矢量。
主法矢与曲率
主法矢
( s ) T ( s) P N ( s) ( s) P( s) T
主法矢总是指向曲线凹入的方向。
曲率
( s ) lim T ( s ) T k ( s) p s 0 s
曲率表示切向量沿曲线的变化率，它描述了曲线在某点的 弯曲程度。曲率越大，曲线在此点弯曲地越厉害。曲率的倒数 称为曲率半径。 曲率的计算：
2 2 2 2 dT d P d x d y d z ( s) k( s) T ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ds ds2 ds ds ds
３.曲线段间连续性定义
在实际应用中，曲线常常以分段形式定义，或由多段曲线拼合 而成。关于各曲线段在连接点处的连续性有两种判断标准：参 数连续和几何连续。 参数连续——判断连接点处曲线方程相对于参数u的各阶导数
t－ 参变量，变化范围为0~1； ( xi 2 , yi 2 ),( xi 1 , yi 1 ),－ 相邻四个控制点的坐标值。
B样条曲线方程
B样条曲线与Bezier曲线的差别
– Bezier曲线的次数等于控制顶点数减1，B样条曲线的次数 与控制顶点无关；
– Bezier曲线的基函数是多项式函数，B样条曲线的基函数是
曲线与曲面
在CAD中经常要处理复杂的自由形状曲线和曲
面，特别是在汽车、航空航天、船舶、轻工等
领域的CAD中，自由曲线和曲面设计是一个重 要问题。CAD技术采取的基本做法是： 给出一系列离散点的空间坐标； 将上述离散点分段，并选择某个函数模式计
算每一小段内任意点的坐标。
上述计算过程又称为拟合或逼近，所选择的函
B样条曲线拟合的图例
x( t )
y ( t ) t 3

t2
1 3 3 1 3 6 3 t 1 6 3 0 3 4 1 1

1 x i 2 x 0 i 1 0 x i 0 x i 1
G0的含义同C0；G1表示曲线在连接点切矢方向相同，但大小可
能不同；G2表示曲线在连接点处具有相同的曲率．
二 Bezier曲线
Bezier是法国雷诺汽车公司Bezier先生于1962年提出的一种曲线
曲面构造方法。
Bezier 曲线不通过给定的中间离散点，但是设计人员可以容易 地通过改变这些离散点的位置来控制和改变拟合的 Bezier曲线
x( t )
y ( t ) t 3

t2
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1

1 x0 x 0 1 0 x 2 0 x 3
y0 y1 y2 y3
Bezier曲线性质 零次Bezier曲线就是一个顶点P0；一次Bezier曲线就是连接两 个顶点P0与P1的直线；二次Bezier曲线是以P0和P2为端点的抛 物线。

1 x0 x 0 1 0 x 2 0 x 3
y0 y1 y2 y3
x ( t )
y ( t ) 3 t 2

1 3 3 3 6 3 2t 1 0 3 3 0 0 0 1

1 x0 x 0 1 0 x 2 0 x 3
曲线光滑地随着该折线的变化而变化。通过改动控制点的配置，
控制Bezier曲线的变化趋势。对Bezier曲线，改变一个控制点的 位置，将影响整条曲线的形状，所以总控制点数目不宜过多。
Bezier曲线拼接 Bezier 曲线函数也是多项式，其次数为段内控制点数目减 1 。当 控制点数目较多时，宜分段拟合。两条三次 Bezier 曲线 P(t) ， Q(t)，进行拼接：