函数奇偶性与单调性

一、函数的奇偶性奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,则称函数()y f x =为偶函数；()()f x f x =--,则称函数()y x =为奇函数.性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言;(2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,若,x D ∈则x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分)(3)若0D ∈,则()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分)(4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;若0c =则()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数⇔()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集) (5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 图像关于原点对称； 函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 图像关于y 轴对称.(6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D =则在D 上有:(7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为奇函数⇔偶次项系数全为0； 多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为偶函数⇔奇次项系数全为0.二、函数的单调性单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 若()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 若()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间.性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数()f x 在整个定义域上单调,则称()f x 为单调函数. (2)函数单调性二个等价形式：①()()()121200f x f x x x -><⇔-在D 上单调递增(递减);②()()()()121200x x f x f x --><⇔⎡⎤⎣⎦()f x 在D 上单调递增(递减).(3)若()f x 在R 上单调递增,则()()f a f b a b >⇔>;若()f x 在R 上单调递减,则________. (4)设12,,x x D ∈则()()()()1212(0)x x f x f x f x --><⇔⎡⎤⎣⎦在D 上是增(减)函数.(5)单调性与奇偶性:若奇函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递增(减);若偶函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),则()f x 在区间[],b a --上单调递减(增);(6)复合函数单调性:两个单调函数()f x 与()g x 复合,不论复合结果是()f g x ⎡⎤⎣⎦还是()g f x ⎡⎤⎣⎦,有如下性质:若()f x 与()g x 单调性相同,同增或同减,则复合结果为增;若()f x 与()g x 单调性相反,一个增一个减,则复合结果为减;以上性质可记为一句口诀:“同增异减”.单调区间的书写要求:若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都是单调增（减）函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间AB 上是增（减）函数.例如1()f x x=在区间(,0)-∞上是减函数,在区间(0,)+∞上也是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数.事实上,若取1211x x =-<=,有(1)11(1)f f -=-<<.一、函数的奇偶性题型一 判断并证明函数的奇偶性 方法:(1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式; (2)图象法:观察图像是否符合奇、偶函数的对称性. 说明：(1)分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关,要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用;(2)判断函数的奇偶性,首先要考查定义域是否对称; (3)若判断函数不具备奇偶性,只需举出一个反例即可;(4)函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数. 例1.判断下列函数的奇偶性:(1)x xx x f ++=1)(2； (2)()(1f x x =-(2)()0f x = (4) ()⎩⎨⎧≤+>+-=)0()0(22x x x x x x x f(5)()2212-+-=x x x f(6)已知函数)(x f 满足:),)(()(2)()(R y x y f x f y x f y x f ∈=-++,且0)0(≠f ,则函数)(x f 的奇偶性为________.题型二 利用奇偶性求函数式或函数值 例2.完成下列各题:1.设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数,又当0>x 时2()23f x x x =--,试求)(x f 的解析式.3.设函数()f x 是定义域R 上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x <≤时,()f x x =,求(7.5)f 的值.4.设()f x 在R 上是偶函数,在区间(,0)-∞上递增,且有22(21)(321)f a a f a a ++<-+,求a 的取值范围.5.已知函数53()4f x ax bx =++,若(2)0f -=,求(2)f 的值.6.若函数()f x 是偶函数,则=--+)211()21(f f ________. 7.已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且()()11f xg x x +=-,试求()()f x g x 与的表达式.题型三 逆用函数奇偶性求参数的值例3.1.若函数43()(2)(22)f x x m n x m n x mn =+-++-+为偶函数,求实数,m n 的值。

2.若函数()ln(f x x =是R 上的奇函数,则实数k =________.3.已知函数()121xf x a =-+,若()f x 为奇函数,求实数a 的取值。

题型四 奇偶函数的图象关系及其运用1.若奇函数)(x f 在区间]7,3[上是增函数且最小值为5,则)(x f 在区间[7,3]--上是( ) A.增函数且最小值为5-; B.增函数且最大值为5-;2.已知函数)(x f 在)2,0(上是增函数,又函数)2(+x f 是偶函数,则( )A.57(1)()()22f f f <<;B.75()(1)()22f f f <<;C.75()()(1)22f f f <<;D.57()(1)()22f f f <<3.设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(,0)-∞上是增函,已知12120,0,()()x x f x f x ><<,那么一定有( )A.120x x +<;B.120x x +>;C.12()()f x f x ->-;D.12()()0f x f x --<4.定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 为增函数;偶函数)(x g 在区间),0[+∞上的图象与)(x f 的图象重合,设0>>b a ,给出下列不等式:①)()()()(b g a g a f b f -->--; ②)()()()(b g a g a f b f --<--; ③)()()()(a g b g b f a f -->--; ④)()()()(a g b g b f a f --<-- 其中正确的不等式个数为( ) A.1；B.2；C.3；D.45.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()f x 在(0,)+∞上是增函数,又(2)0f =,则不等式()0f x ≤的解集是________.6.设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数,且(1)0f =,则不等式()0xf x >的解集为( ) A.(1,0)(1,)-+∞B.(,1)(0,1)-∞-；C.(,1)(1,)-∞-+∞D.(1,0)(0,1)-7.设(),()f x g x 都是R 上的奇函数,{|()0}(4,10),{|()0}(2,5)x f x x g x >=>=,则集合{|()()0}x f x g x >=( ) A.(2,10)B.(10,2)(2,10)--C.(4,5)D.(5,4)(4,5)--8.设()x f y =的定义域是R ,对于任意y x ,都有()()()0,>+=+x y f x f y x f 时()()12,0-=<f x f ,讨论①()x f y =的奇、偶性并加以证明;②()x f y =在R 上的单调性并加以证明;③求在[]6,6-上的最值.二、函数的单调性题型一 判断并证明函数的单调性例1.用定义法证明函数()()21,1x f x x +=-+∞+在上是减函数. 证明:原函数可变形为()111f x x =++,设()1212,1,x x x x ∈-+∞<且,则()()12f x f x -=12111111x x +--++()()211211x x x x -=++21210x x x x >∴->121,10,20x x x >-∴+>+>()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>∴()()21,1x f x x +=-+∞+在上是减函数. 题型二 求函数的单调性区间 准确画出函数的图象是求函数单调区间的重要方法之一,特别是以下几种函数:1.对号函数,俗称“双勾函数”(或者“耐克函数”)(0)ay x a x=+>2.“V 函数”y a x h k =-+(类似二次函数抛物线)3.双曲线型函数ax by cx d-=- 4.()y f x = 5.()y f x =等例2.求下列函数的单调区间6(1)y x x =+1(2)122y x =+- 2(3)23y x x =--题型三 复合函数的单调性的求法 复合函数的单调性的求法可分以下几步: 1.求复合函数的定义域;2.将复合函数分解为两个基本函数,即(),()y f u u g x ==3.分别求两个基本函数的单调性,利用“同增异减”原理求得原函数的单调性.例3.(1)求函数22log (23)y x x =+-的单调区间;(2)求函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调区间.题型四 已知函数的单调性,求参数的取值范围 处理该题型的基本方法是:主要方法是利用图像,结合函数的性质求解;也可利用函数的单调性定义法求解.例4.(1)已知2()21f x x ax =++在[)3,+∞单调递增,求a 的范围________; (2)已知12ax y x +=+在[)2,-+∞单调递增,求a 的范围________; (3)已知log (2)a y ax =-在[]0,1上是减函数,则a 的范围是________; (4)已知()f x =是(),-∞+∞上的增函数,那么a 的取值范围是________; (5)已知函数()(1)1f x a a =≠-,若()f x 在区间(]0,1上是减函数,则实数a 的取值范围为________; (6)设函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上是增函数,则,a b 的范围分别为________.题型五 单调性的应用 单调性的应用主要分为三个方面:1.比较大小;2.求值域;3.解不等式. 例5(1)已知定义域为R 的函数()f x 在()8,+∞上为减函数,且满足(8)y f x =+为偶函数,则( ).(6)(7)A f f > .(6)(9)B f f > .(7)(9)C f f > .(7)(10)D f f >(2)比较232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小________.(3)比较11333124log ,log ,log 233a b c ===的大小________. 例6.(1)求6()f x x x=+在[]1,5上的值域________;(2)求2()22f x x x =-+在[]1,4-上的值域________. 例7.(1)()f x 定义域为()0,+∞,且对于一切0,0x y >>,都有()()()xf f x f y y =-,当1x >时,()0f x >(i)求(1)f (ii)判断()f x 单调性并证明;(iii)若(6)1f =,解不等式1(5)()2f x f x+-<(2)已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.(i)_______,_______a b ==;(ii)若对于任意t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围.(一)函数奇偶性1.判断下列函数的奇偶性.()()()111x xf xx-=-(非奇非偶) ()()212f x xx=+(非奇非偶)()3()()314f x x x=+(奇函数) ()4()f x=奇函数)()()5f x=非奇非偶) ()6()f x=既奇又偶)()()7|3||3|f x x x=++-(偶函数) ()()8f x=奇函数)2.若函数()y f x=是奇函数,则下列各点中,函数()y f x=图像上的点是()D()()(),A a f a()()(),B a f a-()()(),C a f a---()()(),D a f a--3.设()1331f x ax bx=++,且()20f=,那么()2f-=2.4.设()f x是偶函数,那么(1f f-=0.5.若函数()121xf x a=+-为奇函数,则a=12.6.若函数()y f x=(()f x不恒等于0)与()y f x=-的图像关于原点对称,则考察()f x的奇偶性,可得()f x是偶函数.7.若函数()()()22112f x m x m x n=-+-++为奇且不是偶函数,则m=1-,n=2-.8.已知奇函数(),y f x=则其图像与x轴可能有几个交点？所有交点的横坐标之和是多少？其图像与直线y ax=可能有几个交点？所有交点的横坐标之和是多少？若在0x=处有定义,则有奇数个交点,若没有定义,则有偶数个交点,所有横坐标之和是09.设函数()f x的定义域为R,且()()(),f x y f x f y+=-则()f x是()B()C 偶函数 ()D 既非奇函数又非偶函数10.若函数2xy =可以表示成一个奇函数()f x 与一个偶函数的和,则奇函数()f x 可以是222x x--.11.函数()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且()()1,1f xg x x +=-求()f x 和()g x 解析式. ()()()()2211,1,1,111xf x x xg x x x x x =≠≠-=≠≠---且且 12.函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()1,f x x =+求()f x 的解析式.()1,0,0,0,1,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩13.设()f x 是任意一个函数,且定义域关于原点对称,则函数()()()12G x f x f x =--⎡⎤⎣⎦的奇偶性为奇函数.14.已知函数()f x 对一切,x y R ∈都有()()().f x y f x f y +=+求证:()f x 是奇函数. 提示:先推出()00,f =再证()()()00f x f x f +-==(二)函数单调性1.函数()11ky k x-=≠在(),0-∞和()0,+∞都单调递增,则实数k 的取值范围是()1,+∞. 2.讨论函数()()2120,f x x x=++∞在上的单调性,并证明.()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递减3.函数()f x x bx a+=-在[1,)+∞上是增函数的一个充分不必要条件是()D()()()()1,31,11,12,2A a bB a bC a bD a b <>>->>>-<-<4.已知函数()()314,1,1a x a x f x x a x -+≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩在R 上单调递减,求实数a 的取值范围.1[0,)3a ∈5.已知函数()2af x x x =+在[2,)+∞上单调递增,求实数a 的取值范围.(,16]a ∈-∞6.若函数()1a f x x x+=+在(0,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是[3,)+∞7.若二次函数()211f x x x =++、()22f x ax bx c =++使()()12f x f x -在[]0,1上单调递减且在[]0,1上的最大值为2,最大值为1,写出一个满足条件的()2f x .()2221f x x x =+-8.试写出一个不是分段函数形式的函数解析式,使该函数在区间()2,1--和()0,1上单调递减,且在区间9.若奇函数()y f x =在区间()0,+∞上是增函数,且满足()0f π-=,()1求出一个满足条件的函数()y f x =的图像;()2求不等式()0xf x <的解集.例如:(),00,0,0x x y f x x x x ππ->⎧⎪===⎨⎪+<⎩,()(),00,x ππ∈-10.设函数()f x 的定义域为R +,且有:①112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,②对任意正实数,x y ,都有()()(),f x y f x f y ⋅=+③()f x 为减函数.(1)求:()()()11,,1,2,448f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2312)--答案(2)求证:当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≤;略(3)求证:当,x y R +∈时,都有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;略(4)解不等式:()()3 2.f x f x -+-≥-[1,0)-11.设()f x 是定义在R 上的函数,对任意实数,m n ,都有()()()f m f n f m n ⋅=+,且当0x <时,()()1,00f x f >≠ (1)求()0f 的值;1(2)求证:()f x 是R 上的减函数;(3)如果对任意实数,x y ,()()()22f x f y f axy ⋅≤恒成立,求实数a 的取值范围.[]2,2-(三)综合题1.若定义域为R 的偶函数()f x 的一个单调递增区间是()2,6,则函数()2f x -的一个单调递增区间是()4,8.2.已知奇函数()f x 在R 上单调递减,且有1223310,0,0,x x x x x x +>+>+>则以下结论不正确的是()D .()()()()()()12230 0A f x f x B f x f x +<+< ()()()()()()()1312300C f x f x D f x f x f x +<++>3.已知函数()3f x x x =--,且123,,x x x 均为实数,1223310,0,0x x x x x x +>+>+>,则()()()123f x f x f x ++(A)一定大于零;(B)一定小于零;(C)一定等于零;(D)可能大于零,也可能小于零4.定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在[]0,2上递减,且()()1f m f m -<,则实数m 的取值范围为1[1,)2-5.若奇函数()f x 在()0,+∞上单调递增,且()10,f =则不等式()()0f x f x x --<的解集为()()1,00,1-6.已知()f x 在R 上是偶函数,且在(),0-∞上为减函数,则不等式()()3f x f ≤的解集为[]3,3-7.若奇函数()f x 是定义在()1,1-上的减函数,且()()2110f a f a -+-<,则实数a 的取值范围是 ()0,1.8.设()y f x =是定义在[]1,1-上的奇函数,且对任意,a b []1,1∈-在0a b +≠时,都有()()0f a f b a b+>+.若a b >,试比较()f a 和()f b 的大小.()()f a f b > 9.已知()21x a f x x bx -=++是奇函数,求函数()f x 的单调区间.()[]1,1f x -在单调递增,在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减.10.有下列命题：(1)若()f x 为奇函数,则必有()00f =;(2)若()()sin F x f x =是奇函数,则()f x 一定为奇函数;(3)若()f x 为偶函数,则()1f x -一定不是偶函数.其中真命题的人数为(A)(A)0;(B)1;(C)2;(D)3*11.判断函数的奇偶性:()1sin cos 1sin cos x x f x x x+-=++非奇非偶 *12.设()()lg 101x f x ax =++是偶,()()42312x x b g x c x -=-≤≤是奇函数,求a b c +-的值.12- *13.函数()212log 2y x x =--+的单调增区间为 12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦. *14.已知()212log 35y x ax =-+在[)1,-+∞上是减函数,求实数a 的取值范围.(]8,6--*15.若函数()[]()log 20,1a y ax x =-∈是减函数,则a 的取值范围是()1,2.16.已知函数()f x 满足()()()()()2,f x y f x y f x f y x R y R ++-=∈∈,且()01f ≠.(1)求证:()f x 是奇函数;*(2)设()()tan F x f x =,求证:方程()0F x =至少有一个实根;若方程()0F x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有n 个实根,则n 必为奇数(1)略(2)略。