改极坐标与参数方程互化训练教案资料
第36讲 极坐标与参数方程-教案
一.自我诊断 知己知彼1. 若圆M 的方程为，则圆M 的参数方程为 ．【答案】【解析】由圆M 的方程224x y +=,可知圆心()0,0,半径为 2.所以圆M 的参数方程为:. .2．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．【答案】2【解析】由于圆M 的标准方程为：22(1)(2)4x y -+-=，所以圆心(1,2)M ， 又因为直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）消去参数t 得普通方程为3450x y --=，422=+y x )(sin 2cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x )(sin 2cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x由点到直线的距离公式得所求距离2d ==；故答案为：2．3在极坐标系中，点（2，6π）到直线θρsin ＝2的距离等于________． 【答案】1【解析】在极坐标系中，点（2，6π1），直线θρsin ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1． 4设曲线的参数方程为（是参数，），直线的极坐标方程为，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是 ．【答案】7【解析】曲线的普通方程为()()22116x a y -+-=，直线的普通方程3450x y +-=，直线l 与圆C相切，则圆心(),1a 到l 的距离345475a d d +-==⇒= 5．直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程是cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是 ． 【答案】)6,2(π【解析】由圆C的参数方程是cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）得⎩⎨⎧-=-=1s in 3c os y x θθ可得圆的标准方程为1)1()3(22=-+-y x ，圆心坐标为)1,3(，离圆心的距离33tan ,21)3(22==+=θρ，由题意6πθ=，则圆心C 的极坐标是)6,2(π．二.温故知新 夯实基础1．平面直角坐标系C 4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩θ0>a l 3cos 4sin 5ρθρθ+=C l a C l设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎪⎩⎪⎨⎧==0>,0>,''λμλλy y x x 的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x yy x θρ，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程4.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x 就是曲线的参数方程．5．常见曲线的参数方程和普通方程三.典例剖析 举一反三考点一 坐标系（一）典例剖析例1在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24sin 30ρθρθ+-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 方程相交于A ，B 两点，求||AB ．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=；（2）||AB = 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程2cos 24sin 30ρθρθ+-=， 化为2222cossin 4sin 30ρθρθρθ-+-=，即22430x y y -+-=．∴曲线C 的直角坐标方程为22(2)1y x --=．（2）将直线l的参数方程12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 方程得24100t t +-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-= 【方法点拨】（1）由极坐标与直角坐标相互转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可求出曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程并整理可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t ，运用直线的参数方程的几何意义可知，12||||AB t t =-，代入即可得出所求的结果． （二）举一反三1. 已知圆C 的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为，则直线与圆C的交点的直角坐标为 ． 【答案】)1,1(±【解析】圆C 的普通方程为()2211x y +-=，直线的普通方程为1y =，所以交点为)1,1(± 2. 将曲线22132x y +=按ϕ：变换后的曲线的参数方程为（ ） A. B. C.D.【答案】Dcos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩l sin 1ρθ=l l【解析】由变换ϕ：可得：,代入曲线22132x y +=可得： ()()2232132x y ''+=，即为： 22321,x y +=令(θ为参数)即可得出参数方程.故选：D. 3.【2017北京卷理11】在极坐标系中，点A 在圆04sin 4-cos 2-2=+θρθρρ上，点P 的坐标为（1，0），则|AP |的最小值为 . 【答案】1【解析】将极坐标方程转化成标准方程：()();12122=-+-y x 所以AP 的最小值为1.4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（1；（2）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB = （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 考点二 参数方程（一）典例剖析例1已知曲线C 的极坐标方程式2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线L 与曲线C 交于两点,A B ，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=，直线L的普通方程为x m =+；（2）1m =± 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，化为22cos ρρθ=，可得直角坐标方程：222x y x +=．直线L的参数方程是212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），消去参数t可得x m +． （2）把212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入方程：222x y x +=，化为：2220t t m m ++-=， 由0∆>，解得13m -<<．∴2122t t m m =-．∵12||||1PA PB t t ⋅==，∴221m m -=，解得1m =±0∆>．∴实数1m =±【方法点拨】（1）利用y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,222，即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数t 即可将直线的参数方程化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得到一个含t 且关于x的一元二次方程2220t t m m ++-=，然后利用参数t 的几何意义知，12||||1PA PB t t ⋅==22m m =-，并由t 的范围（利用判别式大于零求范围）求出值域即可．例2. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是4cos (0)2πρθθ=≤≤，直线l 的参数方程是3cos 6()sin 6x t t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程； （2）求曲线C 上的动点M 到直线l 的距离的范围．【答案】（1）30x +=，22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，0απ≤≤）；（2）17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）直线:3l x +=，即：30x -+=由24cos ρρθ=得：224x y x +=，即：22(2)4x y -+=0,sin 02y πθρθ≤≤∴=≥.故C 的参数方程为：22cos (0)2sin x y ααπα=+⎧≤≤⎨=⎩ （2）设点(22cos ,2sin )M αα+到直线30x +=的距离为dd ==54sin()1654sin()(0)226παπααπ--⎛⎫==--≤≤ ⎪⎝⎭51sin()166626ππππαα-≤-≤-≤-≤时,min max 117sin()1,,sin(),62622d d ππαα∴-==-=-=时时点M 到直线l 的距离的范围是17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【方法点拨】（1）消去t 可得直线l 的直角坐标方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 的极坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程，进而引入参数α可得曲线C 的参数方程；（2）先计算点M 到直线l 的距离，再利用三角函数的性质可得点M 到直线l 的距离的范围． （二）举一反三 1. 若P 为椭圆上的点，则的取值范围是 ．【答案】[]2,2- 【解析】依题意可得sin m n θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 1sin 2cos sin 2sin 223m n πθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, R θ∈, []sin 1,13πθ⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭, []2sin 2,23πθ⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭.即[]2,2m n +∈-),(n m n m +2. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程是5222=+y x ，2C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标是 ． 【答案】)1 , 3(-【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3消去参数t ，得2C的普通方程为(0)y x x =≥，代入1C 方程5222=+y x 整理得：23x =，解得x =1y =-，因此交点为1)-.3. 参数方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程为 ．【答案】212y x =-，[1,1]x ∈-【解析】由2cos 212sin θθ=-得212y x =-，又sin [1,1]θ∈-，所以[1,1]x ∈-，因此普通方程为212y x =-，[1,1]x ∈-4.（2019天津理12）设a ∈R ，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为 . 【答案】34【解析】消去参数在，整理圆的方程22(2)(1)4x y -+-=；带入点到直线的距离公式，考点三 综合问题（一）典例剖析例1在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 为参数，0απ≤<），曲线C 的参数方程为 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设C 与l 交于,M N 两点（异于原点），求OM ON +的最大值. 【答案】（1）曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=；（2）【解析】（1）曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，化简得224x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=. （2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点()0,2，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠=，不妨设()12,,,2MN πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1244424OM ON sin sin sin cos ππρρθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=， OM ON +取得最大值为【方法点拨】(1)由题意可得曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，将其转化为极坐标方程即24sin ρρθ=.(2)由参数方程可知直线l 过圆C 的圆心，则2MON π∠=，设()12,,,2MN πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4OM ON πθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，由三角函数的性质可得OM ON +取得最大值为.例2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭ 或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭． 【方法点拨】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大例 3. 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为 ，（ α为参数），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.【答案】（1）2213x y +=， 80x y +-=（2）【解析】（1）由曲线1C ：得{ cos y sin αα==即：曲线1C 的普通方程为： 2213x y +=由曲线2C ：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin cos ρθθ+=即:曲线2C 的直角坐标方程为： 80x y +-=（2）由（1）知椭圆1C 与直线2C无公共点，椭圆上的点),sin Pαα到直线80x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， d的最小值为【方法点拨】（1）对于1C ，利用22cos sin 1αα+=，化简得2213x y +=，对于2C ，展开后利用极坐标与直角坐标转化公式，化简的80x y +-=.（2）直接利用点到直线距离公式，求出距离，并用辅助角公式化简，利用三角函数最值求得距离的最小值. （二）举一反三例 1. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 【答案】（1）260x y -+=，(222x y +=（2）2⎡-+⎣【解析】（1）由{26x t y t ==+，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y +=，故曲线C的普通方程为(222x y -+=；（2）据题意设点)Mθθ，则2sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是2⎡-⎣．例2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(α为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过原点O 的直线12,l l 分别与曲线C 交于除原点外的,A B 两点，若3AOB π=，求AOB 的面积的最大值.【答案】(1)4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2) .【解析】 (1)曲线C 的普通方程为(()2214x y -+-=，即2220x y y +--=，所以，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)不妨设()1,A ρθ， 2,3B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，,33ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.则14sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，224sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，AOB 的面积12112sinsin sin 232333S OA OB ππππρρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅==++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当0θ=时， AOB 的面积取最大值为例3. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是 （α为参数），以该直角坐标系的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin cos 0m θρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l 的直角坐标方程为)3y x m =-；（2）1m =±0m =或2m =.【解析】（1）()2212x y ⇒-+=故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=.直线l)3x m y x m -+⇒=-. （2）直线l的参数方程可以写为,{12x m y t =+=（t 为参数）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=可以得到2221122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=， 所以()212121PA PB t t m ==--= 2211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，解得1m =±0m =或2m =.四.分层训练 能力进阶【基础】1. 曲线⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数）的焦距是 ．【答案】6【解析】消参后化为：14522=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ，整理为1162522=+y x ，所以焦距6162522=-=c ． 2. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y tx 431（t 为参数）【答案】⑴1162522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆.⑵0434=-+y x ，它表示过（0，43）和(1, 0)的一条直线. 【解析】本题主要是考查参数方程化为普通方程，（1）对两个式子中右边的系数挪到左边，利用三角函数的平方关系式消去ϕ整理即得到；（2）可以代入消元或加减消元消去t 得普通方程.解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x两边平方相加，得ϕϕ2222s i n c o s 1625+=+y x 即1162522=+y x ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆. ⑵．∵⎩⎨⎧=-=ty t x 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431yx ⋅-=∴0434=-+y x∴它表示过（0，43）和(1, 0)的一条直线. 3.【2019北京卷理3】已知直线l 的参数方程为)(4231为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=+=，则点()0,1到直线l 的距离是A ．51 B ．52 C ．54 D ．56 【答案】D【解析】直线l 的参数方程为)(4231为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=+=，消参数得,3234+=x y 即0234=+-y x ，则点()0,1到直线l 的距离是564320422=++-=d ，故选D4. 已知直线l 的方程为2)4sin(=+πθρ，曲线C 的方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧==sin cos y x ． （1）把直线l 和曲线C 的方程分别化为直角坐标方程和普通方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． 【答案】（1）2=+y x ，122=+y x ；（2）12+=l ．【解析】（1）222cos 22sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅θθρ，根据⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，代入得：2=+y x 根据1cos sin 22=+θθ，消参后的方程是：122=+y x ．（2）直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径，即222==d ，那么最大距离就是12+=l5. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为χ轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+==tm x t y 2222（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |=14，试求实数m 的值． 【答案】（Ⅰ）2240x y x +-=，y x m =-；（Ⅱ）1或3．【解析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ化为直角坐标方程为：0422=-+x y x 直线l 的直角坐标方程为：m x y -=（5分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R =2，圆心到直线l 的距离22)214(222=-=d ，∴ 1222202=-⇒=--m m ∴ 31==m m 或解法二：把22x t my t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）代人方程2x 042=-+x y得222)40t m t m m -+-=∵ m m t t m t t 42(222121-=--=+），∴ 21221214)(t t t t t t AB -+=-= ∴ []14)442(222=---=m m m （）∴ 31==m m 或【巩固】1.【2018北京卷理7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线x -my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】点P 的轨迹为x ²+y ²=1，则点P 到直线的距离可转化为圆上任意一点到直线的距离。
【教案】极坐标与参数方程的教学设计
(2)求|AC|－|BD|.
考点三、极坐标方程与参数方程的综合应用
典例3、[2015·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C1： (t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 cosθ.
重点：体会不同方程的作用，掌握方程的互化.
难点：利用极坐标与参数方程解决实际问题.
教学策略选择与设计
引导学生探索、发现、解决问题
教学资源准备
多媒体、投影辅助教学
教学过程设计
一、重点知识整合：
1.直角坐标与极坐标的互化公式
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位。设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是_______________
t的几何意义是|t|为直线上的点P到点P0(x0，y0)的距离，即|t|＝|PP0|。
直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|
二、热点考向探究：
考点一、极坐标方程及其应用
典例1：已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
极坐标是（ρ，θ）则________________,_______________
2 .几种常见曲线的参数方程
(1)圆的参数方程
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是____________
(2)椭圆的参数方程
椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的参数方程是_______________
极坐标与参数方程复习教案
极坐标与参数方程复习教案教案：极坐标与参数方程的复习（1200字以上）一、教学目标：1.复习极坐标及参数方程的基本概念和表示法。
2.复习极坐标与参数方程之间的转换关系。
3.复习极坐标和参数方程表示的图形特征。
4.进一步理解和掌握极坐标和参数方程在解决几何问题中的应用。
二、教学内容：1.极坐标表示法的复习1.极坐标系的定义和坐标表示2.极坐标与直角坐标之间的转换关系3.极坐标方程的表示和解析几何意义4.极坐标方程的图形特征2.参数方程表示法的复习1.参数方程的定义和表示方法2.参数方程的图形特征和解析几何意义3.参数方程与直角坐标之间的转换关系3.极坐标与参数方程的相互转换1.极坐标转换为参数方程2.参数方程转换为极坐标4.极坐标和参数方程在几何问题中的应用1.利用极坐标方程和参数方程求曲线的方程2.利用极坐标和参数方程求曲线的长度、面积等几何量3.利用极坐标和参数方程解决几何问题的应用实例三、教学重点和难点：1.极坐标与直角坐标系之间的转换关系及其应用。
2.参数方程与直角坐标系之间的转换关系及其应用。
3.极坐标和参数方程在解决几何问题中的应用实例。
四、教学方法：1.讲授结合演示：通过讲解和示例演示，引导学生理解极坐标与参数方程的基本概念和表示法。
2.练习巩固：通过给予学生一定数量和难度的练习题，巩固学生对极坐标和参数方程的掌握程度。
3.解题指导：针对应用题和难题，给予学生相应的解题指导，帮助学生理解问题的解题思路和方法。
五、教学流程：1.复习极坐标的基本概念和表示法。
2.复习参数方程的基本概念和表示法。
3.复习极坐标与参数方程的相互转换关系。
4.复习极坐标和参数方程表示的图形特征。
5.进一步理解和掌握极坐标和参数方程在解决几何问题中的应用。
6.练习巩固和解题指导。
六、教学资源准备：1.教材教辅资料：教材、习题册、参考书等。
2.多媒体设备：电脑、投影仪等。
3.白板、黑板、彩色粉笔等。
七、教学评价方式：1.观察学生学习的积极程度和参与度。
参数方程与极坐标教学案
参数方程与极坐标教学案一、引言参数方程与极坐标是高中数学教学中的重要内容，它们在解决几何问题和计算问题中具有广泛的应用。
本教学案主要介绍参数方程与极坐标的概念、性质和应用，旨在帮助学生深入理解和掌握这两种坐标系的特点和使用方法。
二、参数方程的概念与性质1.1 参数方程的定义参数方程是以参数为自变量，通过参数与变量之间的对应关系描述曲线的一种坐标系表示方法。
1.2 参数方程的性质（1）参数方程可以表示平面曲线上的任意一点。
（2）参数方程描述的曲线不一定是函数图像。
（3）参数方程能够简化一些复杂的曲线方程的求解过程。
三、参数方程与几何图形2.1 直线的参数方程（1）斜率存在时的参数方程：设直线的斜率为k，过点P(x₁, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₁ + ty = y₁ + kt其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。
（2）斜率不存在时的参数方程：设直线垂直于x轴，交点为(x₀, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₀y = y₁ + t其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。
2.2 曲线的参数方程（1）椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别为椭圆的两个半轴长度。
（2）抛物线的参数方程：抛物线的参数方程可以表示为：x = at²y = 2at其中a为抛物线的参数和焦点到准线的距离。
四、极坐标的概念与性质3.1 极坐标的定义极坐标是以极径和极角为坐标的一种表示方法，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
3.2 极坐标的性质（1）极坐标中的极径和极角是有序对，唯一确定一点的。
（2）同一点在极坐标和直角坐标系中的表示不同。
五、极坐标的转化与应用4.1 直角坐标转极坐标已知点P(x, y)，其极坐标就可以表示为：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)4.2 极坐标转直角坐标已知点P(r, θ)，其直角坐标可以表示为：x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)六、参数方程与极坐标的应用5.1 参数方程在运动学中的应用通过用参数方程描述物体的运动轨迹，可以更方便地计算物体的位置、速度和加速度等运动学问题。
极坐标与参数方程教学设计
极坐标与参数方程教学设计教学目标:1.了解极坐标和参数方程的概念和特点。
2.掌握极坐标和参数方程的转换关系。
3.能够利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形。
教学内容:1.极坐标的引入极坐标是一种用极径和极角表示平面上点的坐标系统。
极坐标中，每个点由它到极点的距离和与极轴的夹角确定。
极点是坐标轴的原点，极轴是一条从极点到无穷远处的射线。
极径通常用正数表示，极角用角度或弧度表示。
2.参数方程的引入参数方程是一种用参数表示物体的坐标方程。
在参数方程中，坐标值都是由参数决定的表达式，用来描述一个曲线或曲面的运动或变化。
3.极坐标和参数方程的转换方法(1)极坐标转参数方程:已知点P的极坐标(r,θ)，则其对应的参数方程为x = rcosθ，y = rsinθ。
(2)参数方程转极坐标:已知参数方程x = f(t)，y = g(t)，则其对应的极坐标为r =√(f(t)²+g(t)²)，θ = tan^(-1)(g(t)/f(t))。
4.极坐标和参数方程的应用利用极坐标和参数方程可以描述和绘制很多有趣的图形，如圆、椭圆、心形线等。
教学步骤:步骤一:导入1.引出极坐标和参数方程的概念和特点。
2.通过示例和图示介绍极坐标和参数方程的基本表示方法。
步骤二:极坐标和参数方程的转换关系1.介绍极坐标和参数方程的转换关系，包括极坐标转参数方程和参数方程转极坐标的方法。
2.通过示例演示转换过程，让学生理解和掌握转换的思路和方法。
步骤三:极坐标和参数方程的绘制1.引导学生利用极坐标和参数方程描述和绘制简单的图形，如圆、椭圆、心形线等。
2.通过实例演示和练习让学生掌握绘制图形的方法和技巧。
步骤四:综合应用1.引导学生利用极坐标和参数方程解决实际问题，如天文学中的行星运动、工程中的曲线绘制等。
2.通过实例和讨论，激发学生的兴趣和创造力，培养学生的实际应用能力。
步骤五:总结和拓展1.对极坐标和参数方程的知识进行总结归纳。
极坐标与参数方程教案
、教学过程设计一、复习、检查函数与方程重点知识二、梳理本节课重要知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一、教学过程设计 一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程点M 直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠极径为, r为, r,为的直线○θ○θ点,垂点,平＜0；当点。
极坐标与参数方程教案
极坐标与参数方程教案目标：通过本节课的学习，学生能够理解和应用极坐标和参数方程的原理，能够将直角坐标系下的函数转换为极坐标或参数方程，并能够使用极坐标和参数方程解决问题。
一、引入（10分钟）1.通过引诱学生思考问题，引出极坐标和参数方程的概念。
提问：如果我们要描述一个物体在平面上运动的轨迹，可以使用直角坐标系的方程来表示。
那么是否还有其他方式来表示这个轨迹呢？2.引入极坐标的概念，定义极坐标的含义。
讲解：极坐标是一种描述平面上点位置的方式，使用极径和极角来表示点的坐标。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与坐标轴正半轴的夹角。
二、极坐标（20分钟）1.转换方式讲解：将直角坐标系转换为极坐标可以通过以下公式进行：x = rcosθ，y = rsinθ这样，一个在直角坐标系上的点(x,y)就可以用极坐标(r,θ)来表示。
2.根据已知的极坐标点，求直角坐标示例：已知一个点的极坐标为(r,θ)，求出对应的(x,y)坐标。
练习：学生进行练习题，验证是否掌握了极坐标与直角坐标之间的转换。
三、参数方程（20分钟）1.参数方程的概念讲解：参数方程是一种描述曲线的方式，使用参数的形式来表示坐标点的位置。
通过给出参数的范围，可以描绘出整个曲线。
2.转换方式讲解：将直角坐标系转换为参数方程可以通过以下形式进行：x=f(t)，y=g(t)这样，一个在直角坐标系上的点(x,y)就可以用参数t来表示。
3.根据已知的参数方程，求直角坐标示例：已知一个点的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，求出对应的(x,y)坐标。
练习：学生进行练习题，验证是否掌握了参数方程与直角坐标之间的转换。
四、综合运用（30分钟）1.根据已知的直角坐标系方程，转换为极坐标或参数方程示例：将直角坐标系方程y=x²转换为极坐标和参数方程。
2.根据已知的极坐标或参数方程，转换为直角坐标系方程示例：将极坐标方程r = 2cosθ转换为直角坐标系方程。
改极坐标与参数方程互化训练
极坐标与参数方程例1、在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛62π,到直线的距离π1=6-θρ)sin( 例2、圆锥曲线的焦点坐标是为参数)t (ty t x ⎪⎩⎪⎨⎧2==2例3、直线相交的弦长为与圆θ2=ρ1=θρ2cos cos例4、直线3x-4y-1=0被曲线所截得弦长为为参数)(sin y cos x θ⎩⎨⎧θ2+1=θ2= 例5、直线l ：)(,sin y cos :C )t (,sin t y cos t x 为参数，与圆为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=⎩⎨⎧α=α+1=x 的位置关系不可能的是 例6、若圆C 的极坐标方程为，π0=13-θρ4-ρ2-)cos(则圆心的直角坐标是 例7、已知1C 的极坐标方程是m )cos(=3+θρπ曲线2C 的方程是，为参数)(,sin y cos ,θ⎩⎨⎧θ2=θ2+2=x 若两曲线有公共点，则实数m 的取值范围是 例8、已知直线l ：x+y-2=0与圆C ：，为参数)(,sin y cos θ⎪⎩⎪⎨⎧θ2+1=θ2+1=x 则它们的公共点个数是例9、已知直线l ：y=x 与圆C ：θ4=ρcos 相交于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆的面积为例10、曲线1C 的参数方程为)(,sin y cos x 为参数θ⎩⎨⎧θ3=θ3=，曲线2C 的极坐标是3=θρ+θρsin cos ，曲线1C 与2C 交于A,B 两点，则AB 的长为例11、在极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线)sin (cos θ3+θρ=6的距离的最小值为 例12、已知直线的极坐标方程为22=4+θρ)sin(π，则极点到直线的距离为 例13、直线1=θρ2cos 与圆θ2=ρcos 的相交弦长为例14、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线6=θπ的距离是 例15、在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θ=θρ22sin cos 与1=θρcos ，曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为例16、在极坐标系中，点),(62π到直线2-=θρsin 的距离是 例17、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线22=4+θρ)sin(:l π的距离为 例18、在极坐标系中，直线l 的方程是4=θρcos ，则点),(32π到的直线的距离是 例19、已知曲线C 的极坐标方程为,cos θ2=ρ设点M 为曲线C 上任一点。
第13章 极坐标与参数方程(文)教案
．
2 9 2 2 x (t t 2) 4 16 4 (t为参数) 消去 t 得双曲线方程： x 2 y 2 4 ， 解析： 9 9 y 2 9 (t 2 t 2 2)， 16
所以离心率为
5 ． 2
【例 2】 若直线 y x b与曲线
2 x y 4 0( 2 x 3)
x sin cos 3．参数方程为 ，化为普通方程为_______________． (为参数） y sin2
解 析 ： 由 x sin cos 得 ： x 2 1 2 sin 2 ， 所 以 x 2 y 1 0 ，
4 cos ( 0,0 ) ，则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为
2
解析：我们通过联立解方程组
．
cos 3 ( 0, 0 ) 2 4 cos
2 3 解得 ，即两曲线的交点为 (2 3, 6 ) ． 6
（2008 江苏） 在平面直角坐标系 xOy 中， 【例 2】
为
x2 y 2 1 上的一个动 解题要点： 点 P (x，y ) 是椭圆 3 凡 是 形 如 a sin b cos 的 点 ， 则 S x y 的 最 大 值 式 子 ， 都 可 以 化 为 a 2 b 2 sin( 0 ) ， 从 而
2
sin 2 cos ，即： x 2 y 2 y 2 x ，所
5
3 ,
，则 P 点的直角坐标__________，曲线的极坐标方程 4
．
4 sin 化成直角坐标方程为
解析： (
6 6 , , 1) 2 2
极坐标与全参数方程教案设计
极坐标与参数方程【教课目的】1、知识目标：（ 1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转变一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转变2、能力目标：经过对公式的应用，提升学生剖析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培育他们的创新精神和思想谨慎性．3、感情目标：培育学生数形联合是思想方法．【教课重点】1、极坐标的与一般坐标的转变2、参数方程和一般方程的转变3、几何证明的整体思路【教课难点】极坐标意义和直角坐标的转变【考点剖析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考取为两者选一考，一般是 5 分的比较简单的题，知知趣对照较独立，与其余章节联系不大，简单拿分．依据不一样的几何问题能够成立不同的坐标系，坐标系选用的适合与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们地点关系的数据确定．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题假如我们引入一个参数就能够使问题简单下手解答，计算简易．高考出现的题目常常是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与一般方程间的互相转变，并用极坐标方程、参数方程研究相关的距离问题，交点问题和地点关系的判断．【基本重点】一、极坐标和参数方程：1. 极坐标系的观点：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位( 往常取弧度 ) 及其正方向 ( 往常取逆时针方向) ，这样就成立了一个极坐标系．2．点 M的极坐标：设 M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离OM叫做点 M的极径，记为；以极轴Ｏ x 为始边，射线 OM为终边的∠ XOM叫做点 M的极角，记为．有序数对(, ) 叫做点1适用标准文案M 的极坐标 ，记为 M (,).极坐标( , ) 与 ( ,2k )(k Z) 表示同一个点．极点O 的坐标为 (0, )(R) .2x 2 y 2 , xcos ,3．极坐标与直角坐标的互化：ysin ,tany( x 0)x4．圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r ；在极坐标系中， 以 C(a,0) (a>0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是2acos ；在极坐标系中， 以 C(a,) (a>0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 2asin ；25．参数方程的观点： 在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t的函数x f (t ),而且关于 t的每一个同意值， 由这个方程所确定的点M(x,y) 都在这条曲 yg(t ),线上，那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程 ，联系变数 x,y 的变数 t叫做参变数 ，简称参数 ．相关于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程 ．6． 圆 (x a) 2( y b) 2 r 2 的参数方程可表示为x a rcos ,( 为参数) .yb rsin .椭圆x2y 2x acos ,1(a>b>0) 的参数方程可表示为y bsin . ( 为参数).a 2b 2抛物线 y 22px 的参数方程可表示为x 2pt 2,( t 为参数 ) .y 2pt.经过点 M O (x o , y o ) ，倾斜角为的直线 l的参数方程可表示为xx o tcos , （ t 为参y y o tsin .数）．出色文档适用标准文案【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用例 1、（1）点M的极坐标(5,2) 化为直角坐标为（） B 3A．(5,5 3) B ．(5,5 3) C ．(5,5 3) D ．(5,5 3) 22222222（ 2）点 M的直角坐标为(3,1) 化为极坐标为（） B． 5 )B ．7)C．( 2,11 )D．(2,)A(2,(2,66 66评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．变式：（ 1）点2， 2 的极坐标为．12A(1,) ，半径为1的圆的极坐标方程是___________．（）在极坐标系中，圆心在4评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．例 2、（1）曲线的极坐标方程4sin化成直角坐标方程为（）22222222A.x +(y+2)+(y-2)=4 C.(x-2)+y =4D.(x+2)+y =4【分析】将ρ = x2y2， sin θ =y2代入ρ =4sin θ，得x2+y2=4y，2yx即 x2+(y-2) 2=4. ∴应选 B.（ 2）⊙ O1和⊙ O2的极坐标方程分别为=4cos , =-4sin.把⊙ O1和⊙ O2的极坐标方程化为直角坐标方程；求经过⊙ O1，⊙ O2交点的直线的直角坐标方程.出色文档【分析】以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，成立平面直角坐标系，两坐标系中取同样的长度单位 . （ 1） x= cos ,y= sin , 由 =4cos , 得2=4 cos .所以 x2+y2=4x. 即 x2+y2 -4x=0 为⊙ O1的直角坐标方程. 同理 x2+y2+4y=0 为⊙ O2的直角坐标方程.（ 2）由x 2y 24x0,解得x10,或x22,即⊙ O，⊙ O 交于点（ 0， 0）和（ 2， -2 ） .22y0,y2 2.12x y4y0,1过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.变式 1：极坐标ρ=cos() 表示的曲线是（）4A. 双曲线B. 椭圆C. 抛物线D. 圆【分析】原极坐标方程化为ρ=1(cosθ+sinθ)2 2 =ρcosθ+ρsinθ，2∴一般方程为 2 (x2+y2)=x+y，表示圆.应选D.变式 2：在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（）A．cos2B．sin2．4sin()D．4sin()C33【分析】A4sin 的一般方程为x2( y 2)2 4 ，cos2的一般方程为 x 2 圆x2( y 2)2 4 与直线x 2明显相切．例 3、在极坐标系中，已知两点P（ 5，5），Q(1,) ，求线段PQ的长度；44变式 1、在极坐标系中，直线ρsin( θ + π)=2 被圆ρ =4 截得的弦长为．4变式 2、在极坐标系中，点 1,0 到直线cos sin 2 的距离为．例 4、极坐标方程分别为2 cos 和 sin 的两个圆的圆心距为 ____________ ；变式 1、把极坐标方程cos() 1 化为直角坐标方程是．6变式 2、在极坐标系中，圆心在 ( 2,) 且过极点的圆的方程为 _.变式 3A(3,0) 且与极轴垂直的直线交曲线4 cos 于 A 、B 两点，、在极坐标系中，若过点则 | AB | __________．题型二：参数方程的互化和应用x 1 2t（t4x ky 1垂直，则常数 k = .例 1、若直线2为参数）与直线y3tx 1 t（ t 为参数），直线 l 2 的方程为 y=3x+4 则 l 1 与 l 2 的变式 1、设直线 l 1 的参数方程为1 3ty距离为 _______变式 2、l 1 :x 1 (t 为参数 )与直线 l 2 : 2x 4 y 5 订交于点 B ，又点 A(1,2) ，已知直线3ty 2 4t则 AB _______________ 。
极坐标与参数方程教学设计
极坐标与参数⽅程教学设计极坐标与参数⽅程题型和⽅法归纳教学⽬标：知识与技能：通过本节课教学，使学⽣掌握极坐标与参数⽅程中⼏种常见题型的解法，体会恰当应⽤极坐标与参数⽅程解题的优越性。
过程与⽅法：通过本节课的学习，逐步提⾼学⽣逻辑思维能⼒、运算能⼒、语⾔表达能⼒和发散思维能⼒。
情感及价值观：培养学⽣良好的思维品质、严谨的求学态度．教学重点：化归与转化思想的运⽤教学难点：理解极坐标与参数⽅程在解决弦长、最值、距离之积等问题的应⽤教学⽅法：对⽐教学法，归纳讨论法教学过程：题型⼀：极坐标（⽅程）与直⾓坐标（⽅程）的相互转化，参数⽅程与普通⽅程相互转化，极坐标⽅程与参数⽅程相互转化。
⽅法如下：{222cos sin tan (0x y x y yx x ραραρρθ==?=+??=≠+??或(1)极坐标⽅程直⾓坐标⽅程221θθ=→←消参（代⼊法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数⽅程(2)参数⽅程直⾓坐标⽅程→??→←??←??(3)参数⽅程直⾓坐标⽅程(普通⽅程)极坐标⽅程1、已知直线l的参数⽅程为112x t y ?=+?=（t 为参数）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建⽴极坐标系，曲线C的⽅程为2sin cos 0θθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）写出直线l 与曲线C 交点的⼀个极坐标.题型⼆：三个常⽤的参数⽅程及其应⽤（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数⽅程是： cos sin ()x a r y b r θθθ=+??=+?为参数（2）椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数⽅程是：cos ,()sin x a y b θθθ=??=?为参数（3）过定点00(,)P x y 倾斜⾓为α的直线l 的标准参数⽅程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+??=+?为参数对（3）注意： P 点所对应的参数为00t =，记直线l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为12,t t ，则①12AB t t =-,②1212121212,0,0t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=?-?1212PA PA t t t t ?=?=?2. 以直⾓坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度，已知直线l的参数⽅程是,(3.x t y ?=?=为参数）曲线ｃ的极坐标⽅程为2cos =2sin ρθθ。
参数方程、极坐标含教案
参数方程、极坐标一、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数) ② 2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式 ⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 二、知识点(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化 例 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)例 在方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化 例 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( )A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4例 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆三、能力训练 (一)选择题1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线 B.一条垂直于x 轴的直线 C.一个圆 D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心 3.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( ) BA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线 4.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) C A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1, -3π),r=25.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A.3π B.32πC.3π或32π D. 3π或35π6．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π7．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 8．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πD ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π9．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ10、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆 11、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关，不确定(二)填空题12.直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为 ；13.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .14、曲线的θθρcos 3sin -=直角坐标方程为_ 15、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
(极坐标与参数方程)教学案( 2 )
高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 2 )极坐标与直角坐标的互化一、课前自主预习1.极坐标与直角坐标的互化公式:____________________________________________ 注意点:1. 将点的直角坐标化为极坐标时，取0ρ≥，0θ≤<π2.2. 互化公式的三个前提条件（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；（3）两种坐标系的单位长度相同. 3. （1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标________________；（2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标_____________________.二、课堂合作探究例1.(1)已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标, 求它们的极坐标(0ρ≥，0θ≤<π2).例2.在极坐标系中,已知两点(6,)6A π，2(6,)3B π.求线段AB 中点的极坐标.(3,)6A π(2,)2B π(1,)2C π-3(,)24D π(3,A (1B (5,0)C (0,2)D -B变题：在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -，判断P N M ,,三点是否在一条直线上.三、课堂练习1. 取直角坐标系的原点为极点，x 轴为正半轴为极轴，则点)3,1(--M 的极坐标为2．已知三点(5,)2A π，5(8,)6B π，7(3,)6C π，则ABC ∆形状为3. 在极坐标系中，极轴上的点P 和)4,24(πA 的距离为5，则点P 的极坐标为4. 点()22-，的极坐标为5.若(3,)3A π，(4)6B π-，，则||AB =_______，AOB S ∆=_______（其中O 是极点）.高二数学解析几何作业 ( 2 )1、已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标.2、已知点的直角坐标, 求它们的极坐标(0ρ≥，0θ≤<π2).DA_______________B_______________C_______________D_____________3、在极坐标系中,已知两点(6,)3A π，5(6,)6B π.求线段AB 中点的极坐标4、在极坐标系中，极轴上的点P 和3)4A π的距离为5，则点P 的极坐标为5、若(3,)6A π，(4)3B π-，，则||AB =_______，AOB S ∆=_______（其中O 是极点）.6、已知三点(5,)2A π，5(8,)6B π，7(3,)6C π，判断ABC ∆形状7、已知点(5,)2Q π,分别按下列条件求出点P 的极坐标 （1）P 是点Q 关于极点O 的对称点 __________（2）P 是点Q 关于极轴的对称点_____________（3）P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点________（4）P 是点Q 关于直线4πθ=的对称点______8、点P(2,4)作两条互相垂直的直线l １，l ２，若l １交x 轴于A 点，l 2 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．5(3,)6A π3(2,)2B π(4,)2C π-35(,)24D π(A -B (2,0)C。
改极坐标与参数方程互化训练
极坐标与参数方程例1、在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛62π,到直线的距离π1=6-θρ)sin( 例2、圆锥曲线的焦点坐标是为参数)t (ty t x ⎪⎩⎪⎨⎧2==2例3、直线相交的弦长为与圆θ2=ρ1=θρ2cos cos例4、直线3x-4y-1=0被曲线所截得弦长为为参数)(sin y cos x θ⎩⎨⎧θ2+1=θ2= 例5、直线l ：)(,sin y cos :C )t (,sin t y cos t x 为参数，与圆为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=⎩⎨⎧α=α+1=x 的位置关系不可能的是例6、若圆C 的极坐标方程为，π0=13-θρ4-ρ2-)cos(则圆心的直角坐标是 例7、已知1C 的极坐标方程是m )cos(=3+θρπ曲线2C 的方程是，为参数)(,sin y cos ,θ⎩⎨⎧θ2=θ2+2=x 若两曲线有公共点，则实数m 的取值范围是 例8、已知直线l ：x+y-2=0与圆C ：，为参数)(,sin y cos θ⎪⎩⎪⎨⎧θ2+1=θ2+1=x 则它们的公共点个数是例9、已知直线l ：y=x 与圆C ：θ4=ρcos 相交于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆的面积为例10、曲线1C 的参数方程为)(,sin y cos x 为参数θ⎩⎨⎧θ3=θ3=，曲线2C 的极坐标是3=θρ+θρsin cos ，曲线1C 与2C 交于A,B 两点，则AB 的长为例11、在极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线)sin (cos θ3+θρ=6的距离的最小值为 例12、已知直线的极坐标方程为22=4+θρ)sin(π，则极点到直线的距离为例13、直线1=θρ2cos 与圆θ2=ρcos 的相交弦长为例14、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线6=θπ的距离是 例15、在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θ=θρ22sin cos 与1=θρcos ，曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为例16、在极坐标系中，点),(62π到直线2-=θρsin 的距离是 例17、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线22=4+θρ)sin(:l π的距离为 例18、在极坐标系中，直线l 的方程是4=θρcos ，则点),(32π到的直线的距离是 例19、已知曲线C 的极坐标方程为,cos θ2=ρ设点M 为曲线C 上任一点。
极坐标与参数方程专题复习学案
极坐标与参数方程一、方程的互化;C ).(222,194C .122的普通方程的参数方程，直线⑴写出曲线为参数：直线：已知曲线l t ty t x l y x ⎩⎨⎧-=+==+()交点的直角坐标；与写出：曲线：曲线其中，，为参数：中，在直角坐标系32321C 1.cos 32C ,sin 2C ,0)0,(sin cos C .2C t t t y t x xOy θρθρπθθθ==<≤≠⎩⎨⎧==二、弦长问题小结： 考点：参数方程与普通方程的互化．参数方程和普通方程互化时注意下面两点： 1、题目中要求将普通方程化为参数方程一般只针对圆的方程和椭圆方程两种形式。
它们的实质都是将所给圆的方程或椭圆方程写成两个数平方和等于1的形式，然后 根据同角三角函数关系式（sin ＋cos ＝1）进行三角换元，最后注意标明谁是参数 2、参数方程化为普通方程的关键就是消去参数，一般采用代入消参（xy 对应的参数相同） 或公式消参（xy 对应的参数不同）θ2θ2[变式]已知曲线C 的参数方程为x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π6＝4.(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积．小结：一. 求弦长的方法 1.圆：垂径定理 2.弦长定理3.极坐标的几何意义（过极点的直线） 4. 参数方程的几何意义 二.极坐标（过极点的直线）求弦长： ；也可用于求两点间的距离（非弦长） 21ρρ-=AB 三.参数方程求弦长：若A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2 ， 则 21t t AB -=。
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改极坐标与参数方程
互化训练
极坐标与参数方程例1、在极坐标系中，点⎪⎭
⎫ ⎝⎛62π,到直线的距离π1=6-θρ)sin( 例2、圆锥曲线的焦点坐标是为参数)t (t
y t x ⎪⎩⎪⎨⎧2==2
例3、直线相交的弦长为与圆θ2=ρ1=θρ2cos cos
例4、直线3x-4y-1=0被曲线所截得弦长为为参数)(sin y cos x θ⎩
⎨⎧θ2+1=θ2= 例5、直线l ：)(,sin y cos :C )t (,sin t y cos t x 为参数，与圆为参数θ⎩⎨⎧θ
=θ=⎩⎨⎧α=α+1=x 的位置关系不可能的是
例6、若圆C 的极坐标方程为，π0=13
-θρ4-ρ2-)cos(则圆心的直角坐标是 例7、已知1C 的极坐标方程是m )cos(=3+θρπ曲线2C 的方程是
，
为参数)(,sin y cos ,θ⎩⎨⎧θ
2=θ2+2=x 若两曲线有公共点，则实数m 的取值范围是 例8、已知直线l ：x+y-2=0与圆C ：，为参数)(,sin y cos θ⎪⎩
⎪⎨⎧θ2+1=θ2+1=x 则它们的公共点个数是
例9、已知直线l ：y=x 与圆C ：θ4=ρcos 相交于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆的面积为
例10、曲线1C 的参数方程为)(,sin y cos x 为参数θ⎩⎨⎧θ
3=θ3=，曲线2C 的极坐标是3=θρ+θρsin cos ，曲线1C 与2C 交于A,B 两点，则AB 的长为
例11、在极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线)sin (cos θ3+θρ=6的距离的最小值为
例12、已知直线的极坐标方程为2
2=4+θρ)sin(π，则极点到直线的距离为 例13、直线1=θρ2cos 与圆θ2=ρcos 的相交弦长为
例14、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线6
=θπ的距离是 例15、在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θ=θρ22sin cos 与
1=θρcos ，曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为
例16、在极坐标系中，点),(6
2π到直线2-=θρsin 的距离是 例17、在极坐标系中，圆θ4=ρcos 的圆心到直线22=4
+θρ)sin(:l π的距离为 例18、在极坐标系中，直线l 的方程是4=θρcos ，则点),(3
2π到的直线的距离是
例19、已知曲线C 的极坐标方程为,cos θ2=ρ设点M 为曲线C 上任一点。
点 N 为直线l ：3x-4y+12=12上任意一点，则M 、N 两点间的距离的最小值是 例20、直线y=x 与极坐标方程为θ4=ρcos 的圆相交于A 、B,则AB 的长为
例21，直线l:)(sin n y cos m :C )x sin(为参数平分曲线πθ⎩
⎨⎧θ2+=θ2+=2=4+ρx ,则n m += 例22、已知直线的极坐标方程为)R (∈ρ4
=θ，π,它与曲线)(sin y cos x 为参数α⎩
⎨⎧α2+2=α2+1=相较于A 和B,则AB 的长为 23、截的的弦长为
被圆为参数直线θ4=ρ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧21-21=32-1=cos )t (t y t :x l
24、曲线C 的极坐标方程为,2=ρ直线l 的参数方程为)t (t
y t x 为参数⎩⎨⎧3==，则被C 截得的弦长为
25、参数方程，所表示的曲线为参数)(sin y cos x α⎩⎨⎧α
+2=α=C 与极坐标方程0=ρ+θρ2sin
所表示的曲线P 的交点个数为
26、直线x+y-k=0(k>o)与曲线)(sin y cos x 为参数θ⎩⎨⎧θ
2=θ4=仅有一个公共点，则=k 27、在极坐标系中，点),(A 2-4π
引圆θ4=ρsin 的一条切线，则切线长为。