平面向量与复数提升卷单元检测-新人教A版高考文科数学单元测试题

单元检测五 平面向量与复数(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足i z ＝3＋4i ，则|z |等于( ) A ．1B ．2C.5D ．5 答案 D解析 因为z ＝3＋4ii ＝－(3＋4i)i ＝4－3i ，所以|z |＝42＋(－3)2＝5.2．若z 1＝(1＋i)2，z 2＝1－i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 B解析 ∵z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ， ∴z 1z 2＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋2i2＝－1＋i.3．设平面向量m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，若m ∥n ，则|m ＋n |等于( ) A.5B.10C.2D ．3 5 答案 A解析 由m ∥n ，m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，得b ＝－4，故n ＝(2，－4)，所以m ＋n ＝(1，－2)，故|m ＋n |＝5，故选A.4.如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－4CB →，则( )A ．c ＝12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝－13a ＋43b答案 D解析 c ＝OB →＋BC →＝OB →＋13AB →＝OB →＋13(OB →－OA →)＝43OB →－13OA →＝43b －13a .故选D.5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 因为a ⊥b ，所以x －3＝0，解得x ＝3，所以a ＝(3，1)，a －3b ＝(0，4)，则cos 〈a －3b ，b 〉＝(a －3b )·b |a －3b |·|b |＝－434×2＝－32，所以向量a －3b 与b 的夹角为5π6，故选D.6.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →＝λAC →＋μAE →，则λ－μ等于( )A ．1B ．3C ．－1D ．－3答案 D解析 E 为DC 的中点，故AE →＝12(AC →＋AD →)，所以AD →＝－AC →＋2AE →，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.7．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(x ，4)则“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ∥b ，则x 2＝4，解得x ＝±2，当且仅当x ＝－2时，向量a 与b 反向，所以“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的充要条件，故选C.8．在△ABC 中，边BC 的垂直平分线交BC 于点Q ，交AC 于点P ，若|A B →|＝1，|AC →|＝2，则AP →·BC →的值为( )A ．3B.32C.3D.32答案 B解析 由题知QP ⊥BC ，所以QP →·BC →＝0，则AP →·BC →＝(AQ →＋QP →)·BC →＝AQ →·BC →＋QP →·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(A C →2－AB →2)＝32，故选B.9．已知a ＝(2，cos x )，b ＝(sin x ，－1)，当x ＝θ时，函数f (x )＝a ·b 取得最大值，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C ．－210D ．－7210 答案 D解析 f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝15，cos φ＝25，θ－φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z ，所以sin θ＝cos φ＝25，cos θ＝－sin φ＝－15，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－45，cos2θ＝1－2sin 2θ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin2θ＋cos2θ)＝－7210，故选D.10.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BE →·CE →＝2，BF →·CF →＝－1，则BA →·CA →等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 BE →·CE →＝ED →2－BD →2＝4FD →2－BD →2＝2，BF →·CF →＝FD →2－BD →2＝－1，所以FD →2＝1，BD →2＝2，因此BA →·CA →＝AD →2－BD →2＝9FD →2－BD →2＝7，故选C.11．(2018·西宁检测)定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．6B ．－8或8C ．－8D ．8答案 D 解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－610＝－35，且θ∈[0，π]，则sin θ＝45，则|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝10×45＝8，故选D.12．在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，则mn ＋m 的最小值为( )A ．63B ．23C ．6D ．2 答案 D解析 由已知易得，AM →＝23AB →＋13AC →，∴AM →＝23m AP →＋13n AQ →.又M ，P ，Q 三点共线， ∴23m ＋13n＝1， ∴m ＝2n3n －1，易知3n －1>0.mn ＋m ＝m (n ＋1)＝2n3n －1·(n ＋1) ＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3n －1)＋43n －1＋5≥2， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号． ∴mn ＋m 的最小值为2.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是________． 答案 －1解析 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1，2a )． 又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.14．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7.若O 为△ABC 的外接圆的圆心，则AO →·BC →＝________. 答案 12解析 取BC 的中点D ，由O 为△ABC 的外接圆的圆心得OD ⊥BC ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12.15．欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2i 3e π，z 2＝i 2e π，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在第________象限． 答案 四解析 因为z 1＝2i 3e π＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝1＋3i ，z 2＝i2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i ＝(1＋3i )(－i )i (－i )＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限．16．已知点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0.设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝______.答案 16解析 设E 为AB 的中点，连接OE ，延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，因为点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，所以OA →＋OB →＋OD →＝0，则点O 是△ABD 的重心，则E ，O ，C ，D 共线，OD ∶OE ＝2∶1，所以OC ∶OE ＝1∶2，则CE ∶OE ＝3∶2，则S 1＝13S △BCE ＝16S △ABC ，所以S 1S 2＝16.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，c ＝(1，1)． (1)求向量a 与b 的夹角的大小； (2)若c ∥(a ＋k b )，求实数k 的值． 解 (1)设向量a 与b 的夹角为α， 则cos α＝a ·b |a |·|b |＝－3－210·5＝－22，又α∈[0，π]，所以α＝3π4，即向量a 与b 的夹角的大小为3π4.(2)a ＋k b ＝(－3＋k ，1－2k )，因为c ∥(a ＋k b )，所以1－2k ＋3－k ＝0， 解得k ＝43，即实数k 的值为43.18．(12分)已知a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，O 为坐标原点． (1)若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； (2)设OA →＝a ，OB →＝b ，求△OAB 的面积． 解 (1)∵a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，∴m a ＋b ＝(3m ＋2，－2m ＋1)，a －2b ＝(－1，－4)， 令(m a ＋b )·(a －2b )<0， 即－3m －2＋8m －4<0，解得m <65，∵当m ＝－12时，m a ＋b ＝－12a ＋b ，a －2b 与m a ＋b 方向相反，夹角为平角，不合题意．∴m ≠－12，∴若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，65. (2)设∠AOB ＝θ，△OAB 面积为S ， 则S ＝12|a |·|b |sin θ，∵sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2， ∴4S 2＝|a |2|b |2·sin 2θ ＝|a |2|b |2－(a ·b )2＝65－16＝49. ∴S ＝72.19．(13分)如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足AP →＝λPB →.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA →|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →取值范围． 解 (1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)，∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →. (2)∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝6，AP →＝λPB →(λ>0)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →， ∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB →＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＝错误!·(错误!－错误!)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ－λ1＋λOA →·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ>0，∴3－131＋λ∈(－10，3)．∴OP →·AB →的取值范围是(－10，3)．20．(13分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值； (2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12.又0<B <π2，所以B ＝π3，则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C .又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1.又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.。