高中数学-导数及其应用测试题
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高中数学-导数及其应用测试题
(时间：120分钟)
一、填空题
1．(·哈师大附中检测)设函数f(x)＝ax ln x(a∈R，a≠0)，若f′(e)＝2，则f(e)的值为________．
解析f′(x)＝a ln x＋a，故f′(e)＝2a＝2，得a＝1，
故f(x)＝x ln x，f(e)＝e.
答案 e
2．(·扬州模拟)曲线y＝x2＋ln x在点(1,1)处的切线方程为________．
解析y′＝2x＋1
x，故y′|x＝1＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－
1)，化简整理得3x－y－2＝0. 答案3x－y－2＝0
3．若函数f(x)＝x2＋a
x＋1
在x＝1处取极值，则a＝______.
解析由f′(x)＝2x(x＋1)－(x2＋a)
(x＋1)2
＝
x2＋2x－a
(x＋1)2
＝0，
∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值，
∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.
答案 3
4．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________．解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
解得x＝
3
3或－
3
3(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
答案－23 9
5．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．
解析f′(x)＝3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
①x＝0时，－1≤0恒成立，即m∈R；
②x≠0时，有m≤
1
3x2在R上恒成立，
∵
1
3x2＞0，∴m≤0，
综上m≤0.
答案(－∞，0]
6．(·无锡模拟)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则y′，y的变化情况如下表；
c ＝－2或c＝2.
答案－2或2
7．(·南通、扬州、泰州、宿迁四市调研)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y＝3x－42，则b的值为________．
解析由函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数可得a＝0.设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x30＋bx0＝3x0－42，又f′(x)＝3x2＋b，所以f′(x0)＝3x20＋b＝3，联立解得x0＝2，b＝－3.
答案－3
8．(·石家庄模拟)若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3
x (x ＞0)，则h ′(x )＝
(x ＋3)(x －1)
x 2
.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]． 答案 (－∞，4]
9．(·苏州模拟)函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为________．
解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x .因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＞e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )＞g (0)，解得x ＞0. 答案 {x |x ＞0}
10．(·湖北卷改编)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．
解析 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0；设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0
，当l 过坐标原点时，1x 0
＝1＋ln x 0x 0
⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，