第三章_可测函数的知识要点与复习自测

第三章 可测函数的知识要点与复习自测

一、可测函数的定义的知识要点：

◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。

◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。

◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过

对值域区间作不交区间分解（即2101

[0,]{[,)}[,]22

m m m m k k k m -=++∞=⋃⋃+∞），再借助逆象集

导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即

2101

[0()][()][()]22

m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=⋃≤<⋃≥，

并能根据这样的分解将非负可测函数()f x 具体表示成一列单调递增非负简单函数列{()m x ϕ}的极限，即()lim ()m m f x x ϕ→∞

=，其中

1

,[()]0,1,,21222(),[()]m m m m

m k k k x E x f x k m x m x E x f x m ϕ⎧+∈≤<=-⎪=⎨⎪∈≥⎩

。

◇ 掌握一般可测函数的定义及等价条件，并能根据定义及等价条件证明一些具体实函数的可测性（比如：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；1R 上的区间上的单调函数等），并能正确说明可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数；

◇ 能根据可测函数的定义及等价定义中所涉及的逆象集的可测性证明1R 上的区间，开集，闭集，Borel 集在可测函数下的逆象集仍为可测集。

复习自测题：

1、证明：

（1）设n

E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负简单函数，(,)p G f E 表示()f x 在E 上的下方图形，则(,)p G f E 为1

n R

+上的可测集，并给出(,)p mG f E 的一个计算公式； （2）设n

E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负可测函数，(,)p G f E 表示()f x 在E 上的下方图形，则(,)p G f E 为1

n R

+上的可测集，并给出(,)p mG f E 的一个计算公式。

2、证明：可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数。

3、（1）设n

E R ⊂，1,()0,\E n

x E x x R E

χ∈⎧=⎨∈⎩（n

x R ∈）为E 的示性函数，证明：()E x χ为n R 上的可测函数⇔E 为n R 中的可测集；

（2）利用（1）据理说明：设n

E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负简单函数（或非负可测函数），11(,)n p G f E E R R +⊂⨯⊂表示()f x 在E 上的下方图形，则

()(

)(,)11,,(,)(,)0,,\(,)p

p G

f E p x y G f E x y x y E R G f E χ∈⎧⎪=⎨∈⨯⎪⎩，()1

,x y E R ∈⨯， 为11

n E R R +⨯⊂上的可测函数。

4、设n

E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的可测函数，证明： （1）对1R 上的任意区间I ，1()f I -为n

R 上的可测集；

（2）对1R 上的开集G 和闭集F ，1()f G -和1()f F -为n

R 上的可测集； （3）对1

R 上的G δ型集G 和F σ型集F ，1()f G -和1()f F -为n

R 上的可测集； （4）对1

R 上的Borel 集G ，1()f G -为n

R 上的可测集。

5、（1）设n

E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的实函数，证明：()f x 为E 上的可测函数⇔

对任意,a b R ∈，a b <，()E x a f x b ⎡≤<⎤⎣⎦和()E x f x ⎡

=+∞⎤⎣⎦都是n

R 中的可测集； 提示：

1()()()1()().k E x a f x E x a f x E x f x E x a k f x a k E x f x ∞=⎡≤⎤=⎡≤<+∞⎤⋃⎡=+∞⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎛⎫

=⎡+-≤<+⎤⎡=+∞⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ （2）设n

E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的几乎处处有限的实函数，证明：()f x 为E 上

的可测函数⇔对任意,a b R ∈，a b <，()E x a f x b ⎡≤<⎤⎣⎦是n

R 中的可测集。

6、证明：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；1

R 上的区间上的单调函数都是可测函数。

7、设n

E R ⊂为可测集，且mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数， （1）证明：对任意0ε>，存在可测子集E E ε⊂，使得()f x 在E ε上有界，且

()\m E E εε<；

（2）利用（1）和可测集与闭集的关系进一步证明：对任意0ε>，存在闭子集E E ε⊂，使得()f x 在E ε上有界，且()\m E E εε<。

提示：1

()()k E x f x E x f x k ∞

=⎡⎤⎡⎤=+∞=>⎣⎦⎣⎦ ，()E x f x k ⎡⎤>⎣⎦单调递减。

二、可测函数的基本性质的知识要点：

◇ 掌握可测函数的基本性质，并能熟练地利用性质来判断一些函数的可测性； ◇ 掌握一般几乎处处有限的可测函数与简单函数列的极限关系，并体会此关系在讨论可测函数与连续函数之间关系（Lusin 定理）中的作用。

利用可测函数的定义和等价条件

◇ 归纳判断函数可测性的常用方法

利用可测函数的基本性质

复习自测题：

1、利用可测函数的子集性和并集性证明：

（1）设()f x 定义在(,)a b 上，若对任意的0ε>，()f x 为[,]a b εε+-上可测函数，则()f x 必为(,)a b 上的可测函数；

（2）设n

E R ⊂为可测集，()f x 为E 上的可测函数，则

(),[()0]()sgn ()0,[()0](),[()0]f x x E x f x f x f x x E x f x f x x E x f x ⎧∈>⎪

=∈=⎨⎪-∈<⎩

，

为E 上的可测可测函数；

2、利用可测函数列的极限性证明：