图形几何变换

t
y
y
1 0 0 1 1
Y
2、 比例变换
比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍， 沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。
P' (4, 3) P(2, 1)
X 比例变换(Sx=2, Sy=3)
推导：
x' sx x y' sy y
则矩阵
sx 0 0
0
sy
0
0 0 1
放大时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1 , Sy=2
变换的性质
二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换 ：
yx''
aaxyxx
xx
aaxyyy
yy
bbxy
矩阵表示形式为：
x' y' 1 T2 Dx
axx
y 1 T a yx
0
axy bx
a yy
b
y
x
0 1
y 1T
性质：
• 仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性 • 平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿
Y
P r
θ
r
P’
α
X
旋转变换
Y
旋转前：
px r cos py r sin
旋转后
P r
θ
r
P’
α
X
旋转变换
p'x r cos( ) r cos( ) cos( ) r sin() sin( ) px cos( ) py sin( )
p'y r sin( ) r sin() cos( ) r cos() sin( )
平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变 换（rigid-body transformation）
P'
Y
t
ty
P
tx
X 平移变换
推导： 设:
x' x tx y' y ty
则矩阵
1 0 tx
0
1
t
y
0 0 1
tx，ty称为平移矢量 原式以矩阵表示为：
x' 1 0 tx x
y'
0
1
px sin( ) py cos( )
写成矩阵表达式为：
p'x cos sin 0 px
p'
y
sin
cos
0
p
y
1 0
0 1 1
当
p'x cos
p'
y
sin
1 0
sin cos
0
0 px
0
p
y
1 1
其逆变换
px cos sin 0 p'x
(x, y, z)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , zh , h)
xh hx , yh hy , zh hz , h 0
h=1时，点(x, y, z)的 标准齐次坐标是(x, y, z, 1)
旋转角度θ为正时，点的旋转方向：
–在右手坐标系中
Z
旋转轴 相应的旋转方向
x轴 从y轴到z轴
通用任意点旋转
– 平移物体使固定点与坐标原点重合 – 对于坐标原点旋转 – 用步骤1的反向平移将物体移回原始位置
Y
Y
Y
Y
原图
X
平移
X
旋转
X
平移 X
• 复合变换矩阵是：
1 0 x cos sin 0 1 0 x T 0 1 y sin cos 0 0 1 y
0 0 1 0
0 1 0 0 1
参数b、c变化使图形产生变化：
(1) 沿x方向错切 (b变化，c不变) (2) 沿y方向错切(b不变，c变化) (3) 两个方向错切(b变化，c变化)
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=T* P的形式
1.点的变换 2.直线的变换 3.多边形的变换 4.曲线的变换
复合变换
复合变换是指：
• 图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的 变换矩阵相乘。
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x, y)
p ' (y, x)
X
p'x 0 1 0 px (d)关于x=y对称
p'
y
1
0
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
x=-y (5)关于y=-x轴对称
P(x, y)
X P' (-y, -x)
( e) 关于x=- y对称
p'
y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(2)关于y轴对称
P' (-x, y) p(x, y)
X
p'x 1 0 0 px (b)关于y轴对称
p'y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(3)关于原点对称
P(x, y) X
(c) 关于原点对称
p'x 1 0 0 px
p'
y
5 6
7
8
9 10 11 12
4 8 12
3 7 11
2 6 10
1
5
9
voll en
rowl en
(b)逆时针旋转180° 1 2 3 4
5
6
7
8
9 10 11 12
12 11 10 9
8
7
6
5
4 3 2 1
• 任意角度的光栅旋转变换：
旋转的 象素阵列 A
光栅网格
1A 3 24
• 例子
（x，y，1）
二维变换矩阵
x a b p x
x'
y' 1 T2D • y c d
q
y
1 l m s 1
基本几何变换
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的 几何变换，常用的几何变换有：平移、旋转、缩放、 反射、错切变换
1、 平移变换
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一 个坐标位置的重定位过程。
发生畸变。
三维几何变换
前言： 三维几何变换和物体建模方法是在二维 几何变换的基础上考虑了z坐标而得到的，三维之 中的旋转变换可能选择空间的任意方向作为旋转 轴的方向，比二维旋转困难。
目前大多数三维软件是将三维旋转作围绕三个 坐标轴x、y、z的二维旋转的复合而进行处理。
基本知识：
什么是三维齐次坐标
0 0 1 0 0 1 0 0 1
二维复合比例
连续比例变换是相乘的。
sx1 0 0 sx2 0 0 sx1 sx2
0 0
0
sy1 0 0
sy2
0
0
sy1 s y2 0
0 0 1 0 0 1 0
0 1
二维复合旋转
两个连续旋转是相加的。可写为：
cos1 sin1 0 cos 2 sin 2 0
• 最邻近插值法
I4 I3 T＇
I1 I2
• 双线性插值（一阶插值）
f (1,0)
左图为双线性插值示意图
f (0,0)
f (1,1) f (x,y) 1,0
x,0 x,y
1,1
0,0
0,y f(0,1) x,1
0,1
• 光栅比例变换：
(a)Sx=1 / 2, Sy=1/ 2
( b) 原图
缩小时原图 中的相应象 素区域
例. 相对直线y=1/2*x的反射变换
Y
Y
Y
原图
X
Y
平移
X
旋转
X
Y Y
反射
X
逆向旋转 X
逆向平移 X
1 0 x cos sin 0 1 0 0 T 0 1 y sin cos 0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0 1
cos sin 0 1 0 x
•sin
0
cos 0 0 1 y
y轴 从z轴到x轴
Y
z轴 从x轴到y轴
X
三维齐次坐标变换矩阵
a b c p
T 3D
d g
e h
f i
q
r
l
m
n
s
• 三维几何变换矩阵
a b c p x
p' x'
y'
z'
1
T3D
p
d h
e i
f j
q
y
r z
l
m
n
s
1
三维基本几何变换
• 三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行 的 几何变换
p'x 0 1 0 px
p'
y
1
0
0
p
y
1 0 0 1 1
5、错切变换
错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物 体的变形处理。
Y
Y
Y
X (a) 原图
X
(b) 沿x方向错切
错切变换
X (c) 沿y方向错切
其变换矩阵为：
p'x 1 b 0 px
p'
y
c
1
0
p
y
1 0 0 1 1
• 下面均是假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后的 点为p'(x',y',z')。
Z
Y
(x,y,z) (x ', y', z ')
基本概念
二维几何变换
齐次坐标
• 齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。 –齐次坐标的不唯一性 设二维坐标为（x,y）,则其次坐标为（hx，hy，h）， h为任意数。
• 标准化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。 所 以当h=1时，（hx，hy，h）标准化齐次坐标为
T sin( )
cos( )
0 0
1
y0
0
0
1 0 0 1
y y'
p(xp,yp) x'
θ
y0
O'
O
x0
x
坐标系间的变换
坐标系转换：
xII 1 0 0 1 0 a xI
y II
0
1 0 0
1
b
y
I
1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 a xI
0 1
b
y
I
0 0 1 1
原式以矩阵表示为：
x' sx 0 0 x
y'
0
sy
0 y
1 0 0 1 1
原图
Sx=Sy>1
原图
Sx<Sy
Sx=Sy<1
(a) Sx=Sy比例
Sx>Sy
(b) Sx≠Sy比例 比例变换
3、旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为 正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。
sin1 cos1 0 sin 2 cos 2 0
0
0 1 0
0 1
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cos(1 2) sin(1 2) 0
sin(1 2) cos(1 2) 0
0
0
1
R R( ) • R( ) R(1 2 )
1
2
相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF , yF)作二维几何变换，其变换过程为： (1)平移 (2)针对原点进行二维几何变换。 (3)反平移
O
O p*x
x
坐标系变换的变换原理
可以分两步进行：
y
y'
p(xp ,yp)
y
y'
y0
p(xp , yp)
x'
θ
O'
θ
O
x'
x
(b)将x ' 轴旋转到x轴上
O
x0
x
(a)将x ' y ' 坐标系的原点平移到xy坐标系的原点
于是：
p'
x'
p
y' p
1
T
x
p
yp
1
其中： cos( ) sin( ) 0 1 0 x0
(x,y)
通用固定点缩放
– 平移物体使固定点与坐标原点重合 – 对于坐标原点缩放 – 用步骤1的反向平移将物体移回原始位置
• 复合变换矩阵是：
1 0 x S 0 0 1 0 x T 0 1 y 0 S 0 0 1 y
0 0 1 0 0 1 0 0 1
相对任意方向的二维几何变换
如：对某任意一直线段作反射变换，其变换 的过程是： (1)平移变换 (2)旋转变换 (3)针对坐标轴进行二维几何变换； (4)反向旋转 (5)逆向平移
光栅变换
直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换。 • 光栅平移变换：
(a)读出(read) 象素块 的内容
( b) 复制( copy) 象素块 的内容
( c ) 擦除原象素块的内容
• 90°、180°的光栅旋转变换：
voll en (x, y)
rowl en (a)逆时针旋转90°
1 2 3 4
0 1 0 0 1
例. 将正方形ABCO各点沿图所示的(0,0)→(1,1)方向进 行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和变换
过程。
Y
T R( ) S (s1, s2 ) R( )
cos sin 0 s1 0 0 sin cos 0 0 s2 0
0
0 1 0 0 1
cos sin 0
py
sin
cos
0
p'
y
1 0
0 1 1
4 、对称变换
对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像 。
Y
Y
Y
X ( a) 关于x轴对称
X ( b) 关于y轴对称
X (c) 关于原点对称
Y
(1)关于x轴对称
P(x, y)
X P' (x, -y)
p'x 1 0 0 px (a)关于x轴对称
图形几何变换
几何变换
• 内容 二维变换 三维变换
几何变换（定义）
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过 平移、比例、旋转等变换后产生新的图形， 是 图形在方向、尺寸和形状方面的变换。
提出问题
• 如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换
Y Y
X X
•如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换
•sin
0
cos 0
0 1
取 45o，s1 1，s2 2
2
B'
3/2 A'
A
B
1/2
C'
C
O 1/2 1 3/2 2
X
针对固定方向的拉伸
坐标系之间的变换
问题：
y y' p( xp , yp) x '
θ
y0
O'
O
x0
x
坐标系间的变换
分析：
y
y'
p,也即p' x'
py
Op
* y
p*
px
O' ( x0 , y0 )
• 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变 换 的组合形式。
复合变换具有形式： P' T P (Tn LT3 T2 T1) P Tn LT3 T2 T1P (n 1)
二维复合平移
两个连续平移是加性的。
1 0
0 1
t t
x1
01
y1
0 1
tx2 1
t
y2
0
0 1
tx1
tx2
t y1 t y2
射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换 总可以表示为这五种变换的复合。
二维几何变换还具有如下一些性质：
• 直线的中点不变性； • 平行直线不变性； • 相交不变性； • 仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长
度的不变性；
• 比例变化可改变图形的大小和形状； • 错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形