图形几何变换
几何变换的认识和基本原理
几何变换的认识和基本原理几何变换是指通过对平面上的点、线、面进行位置、形状或尺寸上的改变，从而得到一个新的图形。
在计算机图形学和计算机视觉等领域，几何变换是非常重要的基础知识。
本文将介绍几何变换的认识和基本原理。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离。
平移变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x + dx, y + dy]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，(dx, dy)是平移的距离，(x', y')是平移后得到的新点的坐标。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点按照一定的角度旋转。
旋转变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，θ是旋转的角度，(x', y')是旋转后得到的新点的坐标。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例因子放大或缩小。
缩放变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [s*x, s*y]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，s是缩放的比例因子，(x', y')是缩放后得到的新点的坐标。
四、对称变换对称变换是指将一个图形关于某一直线或某一点进行对称。
对称变换可以分为关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
不同类型的对称变换具体的公式略有不同，但原理都是将图形上的点映射到其关于对称轴的对称位置。
五、仿射变换仿射变换是指将一个图形通过平移、旋转和缩放等基本变换来进行综合变换。
仿射变换可以用以下矩阵表示：[x', y'] = [a*x + b*y + c, d*x + e*y + f]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵中的参数，(x, y)是原始图形上的一个点，(x', y')是变换后得到的新点的坐标。
图形的几何变换
图形的几何变换图形的几何变换是指对于一个图形，在平面上或空间中进行比例、旋转、平移、对称等操作后，得到的新图形。
这种操作可以改变图形的大小、方向、位置等特征，广泛运用于数学、物理、美术、计算机图形等领域。
以下从不同变换类型的角度分析图形的几何变换。
一、比例变换比例变换是指将一个图形沿着某个中心点或轴线进行等比例伸缩的变换。
其结果通常是一个形状相似但大小不同的新图形。
比例变换可以分为放大和缩小两种情况，当比例因子大于1时，为放大；比例因子小于1时，为缩小。
比例变换常见的应用包括模型制作、图形的等比例缩放等。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形沿着某个轴心或轴线进行旋转的变换。
旋转变换可分为顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，其结果是一个相似但方向不同的新图形。
旋转变换的角度通常用弧度制表示，旋转角度为正时为逆时针旋转，为负时为顺时针旋转，常见的应用包括风车的运动、建筑设计的转角变换等。
三、平移变换平移变换又叫做移动变换，是指将一个图形沿着某个方向进行平移的变换。
平移变换可以将图形整体沿着平移向量的方向进行移动，其结果是一个与原图形相同但位置不同的新图形。
平移变换常见的应用包括机器人的运动、物体的位移等。
平移变换也可以看作是比例变换的特殊情况，比例因子为1，即不改变图形的大小。
四、对称变换对称变换是指将一个图形沿着某个轴线进行翻折的操作。
对称变换可以分为对称、反对称和正交对称三种类型。
对称变换的结果通常是一个与原图形相等但位置镜像对称的新图形。
对称变换在分形几何、美术设计等领域都有着广泛的应用。
五、仿射变换仿射变换是指图形在平面上或空间中进行非等比例伸缩、旋转、平移和投影等操作时的变换。
仿射变换的结果通常是一个与原图形相似但有略微变形的新图形。
仿射变换包括平移变换、旋转变换、比例变换和剪切变换等。
其应用领域包括医学图像处理、计算机图形学等。
总结图形的几何变换在现代科技和艺术中有着广泛的应用。
比例变换常用于造型、模型制作和图形的等比例缩放；旋转变换常用于旋转花纹、风车运动、建筑转角的变化等；平移变换常用于运动控制、物体的位移等；对称变换常用于几何分形、美术设计等领域；仿射变换则是结合了以上变换操作的高级变换，其应用范围更加广泛。
几何第06章 图形变换
第40课时 图形的变换（一）【知识梳理】1、轴对称及轴对称图形的联系：轴对称及轴对称图形可以相互转化. 区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系，而轴对称图形一个图形自 身的性质；轴对称只有一条对称轴，轴对称图形可能有几条对称轴．2、通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段 被对称轴垂直平分的性质．3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简 单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．4、探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆） 的轴对称性及其相关性质．5、欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物 体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计． 【例题精讲】1、观察下列一组图形，根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状？2、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值是 ．3、如图，P 在∠AOB 内，点M 、N 分别是点P 关于 AO 、BO 的对称点，MN 分别交OA 、OB 于E 、F.⑴ 若PEF 的周长是20cm ，求MN 的长.⑵若∠AOB=30°试判断△MNO 的形状，并说明理由4、将一张矩形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可得到 条折痕．如果对折n 次，可以得到 条折痕．5、做一做:用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.FE NMA OB PC 'ABCD6、已知如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=5cm ，CD=6cm ，∠DCB=60º，∠ ABC=90º，等边三角形MNP （N为不动点）的边长为a cm ，边MN和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l上，NC=8 cm ,将直角梯形ABCD 向左翻折180º，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去． (1)、将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形MNP 的边长a≥2cm ，这时两图形重叠部分的面积是多少？(2)、将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积就等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形MNP 的边长a 至少应为多少？(3)、将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积的一半，这时等边三角形MNP 的边长a 应为多少？【当堂检测】1．下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的有几条对称轴．2．小明的运动衣号在镜子中的像是 ，则小明的运动衣号码是 ( ) A. B. C. D3．在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形 ；理由是 ：5．如图，ΔABC 中，DE 是边AC 的垂直平分线AC=6cm ， ΔABD 的周长为13cm ，则ΔABC 的周长为______cm. 6．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在点C '的位置，则C B '与BC 之间的数量关系是 ．A B PM N ② ① D C 第5题图第41课时 图形的变换（二）【知识梳理】 一、图形的平移1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的 图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平 面图形在同一平面内的变换．（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的 距离，这两个要素是图形平移 的依据．（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形 相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图 形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点 都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具 有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等， 对应角相等． 注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的 特征．（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图 形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 二、图形的旋转1、图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；2、中心对称图形:____________________________________3、平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形； 【例题精讲】1. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，把这个三角形 在平面内绕点C 顺时针旋转90°，那么点A 移动所走过的路 线长是 cm ．2. 将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放．(1) 将图2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点11P A C 是与AB 的交点，求证：112CP AP 2＝； (2)将图2中△11A B C 绕点C 顺时针 旋转30°到△22A B C （如图3），点 22P A C 是与AB 的交点．线段112CP PP 与 之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段1CP 绕点C 顺时针旋转60°到3CP （图4），连结32P P ，求证：32P P ⊥AB.A G(O)EC B F ①3．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕O 点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=x ，△GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的516？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由.4．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）， 量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示）（图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． （1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ﹦DH（图4） （图5） （图6）【当堂检测】1．下列说法正确的是（ ）A ．旋转后的图形的位置一定改变B ．旋转后的图形的位置一定不变C ．旋转后的图形的位置可能不变D ．旋转后的图形的位置和形状都发生变化 2．下列关于旋转和平移的说法错误的是（ ）A ．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离B ．旋转和平移都只能改变图形的位置C ．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化D ．旋转和平移的定义是相同的3．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o 后不变的字是_____，在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过180后能与原图形重合的是____． 4．△ABC 是等腰直角三角形，如图，A B=A C ，∠BAC ＝90°，D 是BC 上一点，△ACD 经过旋转到达△ABE 的 位置，则其旋转角的度数为（ ） A ．90° B ．120° C ．60° D ．45°5．以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、 菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．3个6．如图的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（ ）7.有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ） A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．②④ 8．如图，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△A B C '''，则A 点的对应点A′的坐标是（ ） A ．（－3，－2）B ．（2，2） C ．（3，0）D ．（2，1）第8题图 A B CD E第42课时 视图与投影【知识梳理】1、主视图、左视图、俯视图2、主俯长相等，主左高平齐，俯左宽相等 【例题精讲】1. 下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ）A 、三角形B 、正方形C 、任意四边形D 、正八边形 2. 用一张正多边形的纸片，在某一点处镶嵌（即无缝隙的围成一周），可实施 的方案有哪6种？每一种方案中需要的纸片各是几张？3.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为____．4. 用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③5. 为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．注：两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于一种，例如：图①、图②只算一种．6．下图是某几何体的展开图．（1）这个几何体的名称是 ；（2）画出这个几何体的三视图；（3）求这个几何体的体积．（ 取3.14）7．东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm ， 东东的身高是156cm ，在同一时刻爸爸的影长是 88cm ，那么东东的影长是 cm.8．如图（1）是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图（2）所示的位 置依次翻到第1格、第2格、第3格， 这时小正方体朝上一面的字是（ ）A ．奥B ．运C ．圣D ．火① ② ③ ④ ⑤第1个图案 第2个图案 第3个图案 20 10 迎 接 奥 运 圣 火 图1迎 接奥 12 3 图2【当堂检测】1.如图所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我 们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸 上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是 ( ) A ．16个 B ．32个 C ．48个 D ．64个2．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（ ）3.如图甲，正方形被划分成16个全等的 三角形，将其中若干个三角形涂黑，且 满足下列条件：（1）涂黑部分的面积是原正方形面积 的一半；（2）涂黑部分成轴对称图形．如图乙是一种涂法，请在图1～3中 分别设计另外三种涂法．（在所设计 的图案中，若涂黑部分全等，则认为 是同一种涂法，如图乙与图丙）4．现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1， 并且平行四边形纸片的每个顶点与小正 方形的顶点重合（如图1、图2、图3）．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线， 沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部 分，并把这两部分重新拼成符合下列要 求的几何图形．要求：(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁 剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．图1 矩形（非正方形） 图2 正方形 图3 有一个角是135°的三角形 正方体 长方体 圆柱 圆锥 A B C D。
计算机图形学第五章图形变换
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
几何变换
CBACHBA几何变换几何变换几何变换是把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法。
对称、平移、旋转变换是几何变换中的差不多变换。
对称变换：如果把一个图形变到它关于直线l 的轴对称图形，如此的变换叫做关于直线l 的对称变换，又称反射变换，直线l 称为对称轴，我们常选用线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的底边上的高作为对称轴来解题。
已知：⊿ABC 中，∠A<60°，试在⊿ABC 的边AB 、AC 上分别找一点P 、Q ，使BQ+QP+PC 最小。
在⊿ABC 中，AH 是高，已知∠BAC = 45°,BH = 2,CH = 3求⊿ABC 的面积。
旋转变换：把图形绕定点O 转动角度α得到图形的变换称为旋转变换，点O 称为旋转中心，α叫做旋转角，若α＝180°，这种专门的旋转变换叫做中心对称变换，这时旋转中心叫做对称中心。
旋转性质有：（1）在旋OCBADFNE BA F CBEADM N转变换下两点之间的距离不变。
（2）在旋转变换下两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角；设O 是正三角形ABC 内一点，已知∠AOB = 115°，∠BOC = 125°，求以OA ，OB ，OC 为边构成的三角形的各角。
设E 、F 各为正方形ABCD 的边BC 和DC 上的点， ∠EAF = 45°,AN ⊥EF 于N 。
求证：（1）AN=AD ；（2）EF AB S S AEF ABCD :2:=∆正方形平移变换：把几何图形沿某一确定的方向移动一定的距离的变换。
例：已知：四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是AB 分别是AB 、CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M ，N两点求证：∠AME =∠BNE练习：1、设P 是等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比是OCBAO BCDA5：6：7，则求以PA ，PB ，PC 的长为边构成的三角形的三个内角之比（从小到大）。
几何形的变换
几何形的变换几何形的变换是指通过平移、旋转、翻转和放缩等操作，使得原有的几何形状发生变化。
这些变换可以用来探索几何美学、解决几何问题以及创造出各种奇妙的图案。
一、平移变换平移变换是指将几何形状沿着一个方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变。
在平面几何中，平移只有一个参数，即平移向量的大小和方向。
平移变换可以用于构造对称图形，移动点的位置以及改变空间内的物体位置。
例如，我们可以通过平移变换在平面上构造一个正方形。
首先，选择一个点作为正方形的顶点，将这个点平移到正方形的另一个顶点位置，然后将这个新位置的点再次平移，如此重复直到构成正方形的四个顶点。
二、旋转变换旋转变换是指绕一个固定点按照一定的角度将几何形状旋转。
旋转变换可以是顺时针或逆时针方向，可以是一个完整的圆周旋转，也可以是一个部分角度的旋转。
旋转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及在计算机图形学中进行三维模型的旋转操作。
例如，在制作花纹图案时，可以通过旋转一个花朵的形状重复堆叠得到整个图案。
三、翻转变换翻转变换是指将几何形状绕一个固定的线对称翻转，使得形状按照对称轴左右对称。
翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种形式。
翻转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及进行三维模型的对称操作。
例如，在制作字母、数字或者其他具有对称特点的图形时，可以通过水平或垂直翻转得到完整的图形。
四、放缩变换放缩变换是指按照一定的比例因子调整几何形状的大小。
放缩变换可以是增大或缩小形状的尺寸，比例因子可以是一个常数或者一个向量。
放缩变换常用于调整图像的大小、制作图形的透视效果以及在几何问题中进行比例关系的推导。
例如，在绘制地图时，可以通过放缩变换将地球的三维形状映射到平面上，从而得到精确的地理信息。
综上所述，几何形的变换是通过平移、旋转、翻转和放缩等操作使得形状发生变化的过程。
这些变换可以应用于各个领域，包括几何美学、几何问题的解决以及计算机图形学等。
通过灵活运用几何形的变换，我们能够创造出丰富多样的图案和形状，带来视觉上的享受和数学上的挑战。
初二数学几何图形变换练习题
初二数学几何图形变换练习题在初中数学学习中，几何图形变换是一个重要的内容。
通过对图形进行平移、旋转、反射和放缩等操作，可以帮助我们加深对几何图形性质的理解。
下面将给出一些初二数学几何图形变换的练习题，希望能够帮助同学们巩固与拓展相关知识。
题目一：平移1. ABCD为一个平行四边形，EF是平行四边形的一条对角线。
（1）将平行四边形ABCD沿向量→→→→e向右平移3个单位得到平行四边形A1B1C1D1，连接DD1，证明A1D1∥EF。
（2）将平行四边形ABCD沿向量→→−→−→a向左平移4个单位得到平行四边形A2B2C2D2。
若A1A2的向量表示为→→−→−→b，则求向量→→−→−→b。
题目二：旋转2. 将正方形ABCD顺时针旋转90°得到正方形A1B1C1D1，连接CC1并延长，证明A1C1⊥CC1。
3. 将正方形ABCD顺时针旋转45°得到正方形A2B2C2D2，连接A2C2，若AC的长度为a，则求A2C2的长度。
题目三：反射4. 已知顶点是A(1,-3)的三角形ABC关于x轴反射得到三角形A1B1C1，连接AA1并延长，若直线AA1与x轴交于点D，求点D的坐标。
5. 直线y=x与直线y=2x关于直线y=-x反射，分别得到直线L1和L2。
若L1与L2的交点为P，则求P的坐标。
题目四：放缩6. 图中三角形ABC经过放缩得到三角形A1B1C1，若放缩比例为k，求A1B1 : BC的比值。
解答：题目一：平移1.（1）设向量→→→→AD=a，向量→→→→AC=b，由平移的性质知AA1=a+3，DD1=b+3。
根据平行四边形的性质，有AD=BC，AC=BD。
故A1D1∥EF得证。
（2）设向量→→−→−→a=〈x，y〉，则向量→→−→−→b=〈x-4，y〉。
根据平行四边形的性质，有AB=A1B1，AD=A1D1。
故向量→→−→−→a=AB-AD=〈x，y〉=A1B1-A1D1=向量→→−→−→b=〈-√2，0〉。
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
几何图形的相关性质和变换方法
几何图形的相关性质和变换方法一、几何图形的性质1.点、线、面的基本性质–点：没有长度、宽度和高度，只有位置。
–线：由无数个点连成，有长度和方向。
–面：由无数个线段围成，有面积和边界。
2.角度和弧度的概念–角度：用来度量两条射线之间的夹角，单位为度、弧度。
–弧度：以圆的半径为长度单位，用来度量角的大小。
3.平行线、相交线、异面直线等基本概念–平行线：在同一平面内，永不相交的直线。
–相交线：在同一平面内，只有一个交点的直线。
–异面直线：不在同一平面内的直线。
4.三角形、四边形、圆等基本图形的性质–三角形：由三条边和三个角组成，具有稳定性。
–四边形：由四条边和四个角组成，具有不稳定性。
–圆：平面上所有到定点距离相等的点的集合。
5.几何图形的对称性–对称轴：将图形平分的直线。
–对称点：关于对称轴或对称中心对称的点。
–对称图形：通过某条对称轴或某个对称中心对称的图形。
二、几何图形的变换方法•定义：在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动。
•特点：图形的大小、形状和方向不变，位置发生变化。
•定义：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度。
•特点：图形的大小、形状不变，方向发生变化。
•定义：在平面内，将一个图形沿着某条直线对折，使得对折后的两部分完全重合。
•特点：图形的大小、形状不变，位置发生变化。
4.相似变换–定义：在平面内，将一个图形的每个点按照某个比例关系进行变换，使得变换后的图形与原图形形状相同，但大小不同。
–特点：图形的形状不变，大小发生变化。
5.投影变换–定义：将平面内的图形通过某个方向（如垂直方向）投影到另一个平面或直线上的变换。
–特点：图形的大小、形状不变，但部分或全部信息发生变化。
6.组合变换–定义：将多种几何变换方法结合使用，对一个图形进行变换。
–特点：图形的大小、形状、位置发生变化。
通过掌握以上几何图形的性质和变换方法，可以更好地理解和解决各类几何问题，提高解题能力。
几何变换思想-
在推导平行四边形、三角形和梯形得面积公式时,包括在计算组 合图形得面积时,都用到了变换思想。如三角形面积公式得推导, 是把任意两个完全相同三角形拼成一个平行四边形,再利用三角 形和平行四边形得关系,求出三角形得面积公式。这实际上是把 任意一个三角形旋转180度,再沿着一条边平移,就组合成了一个 平行四边形。也就是说,把任意一个三角形经过旋转和平移变换, 就变换成了平行四边形。梯形面积公式得推导也是利用了这个原 理。我国古代数学家刘徽利用出入相补原理求三角形和梯形得面 积,实际上也利用到了旋转变换、
第二,注意图形变换与其它几何知识得联系 小学几何中得很多平面图形都是轴对称图形,如长
方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、 菱形、圆等。一方面要在学习轴对称时加强对这些图形 得对称轴和轴对称得有关性质得认识,另一方面要在学 习轴对称时加强对这些图形得概念和性质时进一步体会 它们得轴对称特点。
学段
内容和目标
第一 结合生活实例,感知平移、旋转和轴对称现象 学段
在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方 向平移后得图形
认识轴对称图形,在方格纸上画出一个简单轴对称 图形
学段
内容和目标
第二 学段
认识图形得平移和旋转,体会图形得相似
确定轴对称图形得对称轴, 在方格纸上画出一 个图形得轴对称图形 在方格纸上画出一个简单图形平移或旋转90° 后得图形;在方格纸上画出一个简单图形按一定 比例放大或缩小后得图形
案例4 、案例5
第三,对教学要求和解题方法得准确把握 如前所述,课程标准对图形变换得内容和教
学要求有比较清晰得描述,尤其是要把握好两个 学段得内容,教学要求和解题方法。
首先像直观判断题,例如,一个平面内有若干图形,要 判断哪些图形经过平移可以互相重合,对于小学生来说 很难用任何一对对应点得连线平行且相等来判断,只能 通过直观感受判断,也就是说直观感受原图形在没有任 何转动得情况下,通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够 与另一个图形重合,借住方格纸可以帮助我们理解其中 得道理。如在方格纸上原图形中点A(2,3),经过平移后 它得对应点为A(8,10)。那么原图形可以通过先向右平 移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移 6格,得到平移后得图形。
平面与立体的几何变换
平面与立体的几何变换几何变换是指通过一系列操作使得几何图形在平面或者立体空间中发生形状上的变化。
平面与立体的几何变换在数学和计算机图形学中有着广泛的应用。
本文将介绍平面与立体的几何变换的基本概念、常见的变换方式，并探讨其在实际中的应用。
一、平面几何变换1. 平移变换平移变换是指将平面上的图形沿着某个方向进行平行移动的操作。
平移变换可以通过将图形上的每一个点的坐标分别加上相应的平移量来实现。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
在二维平面坐标系中，平移变换可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)为原始图形上的点的坐标，(x', y')为变换后图形上的点的坐标，dx和dy分别为平移的距离。
2. 旋转变换旋转变换是指将平面上的图形绕指定的旋转中心进行旋转的操作。
旋转变换可以通过将图形上的每一个点绕旋转中心按照一定的角度进行旋转来实现。
在二维平面坐标系中，旋转变换可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，(x, y)为原始图形上的点的坐标，(x', y')为变换后图形上的点的坐标，θ为旋转角度。
3. 缩放变换缩放变换是指将平面上的图形按照一定的比例进行放大或缩小的操作。
缩放变换可以通过将图形上每一个点的坐标按照一定的比例进行扩大或缩小来实现。
在二维平面坐标系中，缩放变换可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，(x, y)为原始图形上的点的坐标，(x', y')为变换后图形上的点的坐标，sx和sy分别为沿x轴和y轴的缩放比例。
二、立体几何变换1. 平移变换立体空间中的平移变换与平面几何中的平移变换类似，只是需要将图形的每一个点的三维坐标分别加上相应的平移量。
2. 旋转变换立体空间中的旋转变换与平面几何中的旋转变换类似，只是需要将图形的每一个点的三维坐标按照一定的角度绕旋转中心进行旋转。
几何变换基本图形
几何变换基本图形1.“K 字形”应用：①已知450角⇒构造等腰直角三角形⇒“一线三直角”⇒全等②已知300角⇒构造直角三角形⇒“一线三直角”⇒相似③已知tan k α=⇒构造直角三角形⇒“一线三直角”⇒相似2.母子型相似“一线三直角” “一线三等角” B 如图，△ABD 整体旋转900△ABC∽△ACD∽△CBD CD 2=AD ·BD AC 2=AD ·AB BC 2= BD ·ABCD=AC BCABg B△ABC∽△ACD AC 2=AD ·AB3.半角模型4.定边对定角⇒隐圆（辅助圆）① 若AB若AB 定长，∠ACB=α，则点C 在⊙O（△ABC 的外接圆）上运动。
5. 已知中点的处理策略：几何法：①垂直平分线（等腰三角形+中点）②直角三角形斜边中线（直角三角形+中点）⇒可寻找线段数量关系。
③中位线（中点+中点） ④倍长中线⇒构造全等。
代数法：中点坐标公式：A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ，则中点P (122x x +,122y y +)△ADC≌△BFCB F⊥AB △DCE≌△FCE BE 2+AD 2=DE 2 ①等腰直角三角形（正方形）+450角⇒△ADC 整体旋转900.②同弧所对圆周角=12圆心角 ③等腰三角形+直角三角形=找半角或倍角的三角函数值。
A tan2α=22tan 1tan αα- tanαD Btan 12α A 记：tan150=2-tan750=2+6.“手拉手模型”（本质旋转）7.角平分线处理策略： ① 角平分线+平行=等腰角平分线+等腰=平行 ②角平分线+垂直=等腰三角形 ③角平分线，作两条垂线段④ 角平分线，作对称或翻折8.垂直处理策略：②几何法： 构造“K 型图”⇒ 构造双垂直 ⇒ 横平竖直 △ACE≌△BCD∠BAC＝∠DEC BC DCAC EC=BC ACDC EC= △BCD∽△ACE两个等腰直角三角形 EC 两个顶角相等的等腰三角形 ∠ACB＝∠DCE=α △ACE≌△BCDAC=BC, DC=EC∵∠ACB＝∠DCEBC DCAC EC= ∴△BCD∽△ACE9、等腰三角形存在性问题（两定一动）已知两点，定一边，利用“两圆一线”模型分类讨论， ①定点为圆心，定边为半径； ②定边为中垂线。
几何图形的对称性与变换
几何图形的对称性与变换是几何学中的重要概念，它们在数学、艺术、工程设计等多个领域都有着广泛的应用。
对称性是指物体或图形在某种变换下保持不变的性质，而变换则是指图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。
一、对称性对称性是几何图形的一种基本属性，它反映了图形在某种对称变换下的不变性。
对称性可以分为两种基本类型：轴对称和中心对称。
1. 轴对称：如果一个几何图形关于一条直线（对称轴）对称，即在直线两侧的部分能够通过这条直线对折而完全重合，那么这个图形具有轴对称性。
轴对称的图形在日常生活中非常常见，如蝴蝶、叶子等。
轴对称的性质在数学上有助于简化一些问题的求解，如计算图形的面积或周长等。
2. 中心对称：如果一个几何图形关于一个点（对称中心）对称，即图形上的每一点与对称中心连接形成的线段都被该点平分，那么这个图形具有中心对称性。
中心对称的图形如圆形、正方形等，它们在视觉上呈现出一种平衡和稳定感。
中心对称的性质在数学上也有着广泛的应用，如计算图形的旋转、平移等变换后的位置。
对称性不仅存在于二维平面图形中，还存在于三维立体图形中。
在三维空间中，几何图形的对称性可以表现为面对称、线对称和旋转对称等多种形式。
这些对称性质在工程设计、建筑设计等领域中具有重要的应用价值，可以帮助设计师创造出美观且结构稳定的作品。
二、变换变换是指几何图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。
常见的变换包括平移、旋转、缩放等。
1. 平移：平移是指图形在空间中沿某一方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的操作。
平移是一种简单的变换，它不会改变图形的任何内在属性，只是改变了图形在空间中的位置。
平移在数学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，如在动画制作中通过平移实现物体的运动效果。
2. 旋转：旋转是指图形在空间中以某一点为中心，沿某一方向旋转一定的角度，而形状和大小保持不变的操作。
旋转变换可以改变图形的方向，但不会改变图形的大小和形状。
在日常生活中，许多物体都具有旋转对称性，如轮子、表盘等。
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例. 相对直线y=1/2*x的反射变换
Y
Y
Y
原图
X
Y
平移
X
旋转
X
Y Y
反射
X
逆向旋转 X
逆向平移 X
1 0 x cos sin 0 1 0 0 T 0 1 y sin cos 0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0 1
cos sin 0 1 0 x
•sin
0
cos 0 0 1 y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x, y)
p ' (y, x)
X
p'x 0 1 0 px (d)关于x=y对称
p'
y
1
0
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
x=-y (5)关于y=-x轴对称
P(x, y)
X P' (-y, -x)
( e) 关于x=- y对称
px sin( ) py cos( )
写成矩阵表达式为：
p'x cos sin 0 px
p'
y
sin
cos
0
p
y
1 0
0 1 1
当
p'x cos
p'
y
sin
1 0
sin cos
0
0 px
0
p
y
1 1
其逆变换
px cos sin 0 p'x
•sin
0
cos 0
0 1
取 45o，s1 1，s2 2
2
B'
3/2 A'
A
B
1/2
C'
C
O 1/2 1 3/2 2
X
针对固定方向的拉伸
坐标系之间的变换
问题：
y y' p( xp , yp) x '
θ
y0
O'
O
x0
x
坐标系间的变换
分析：
y
y'
p,也即p' x'
py
Op
* y
p*
px
O' ( x0 , y0 )
• 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变 换 的组合形式。
复合变换具有形式： P' T P (Tn LT3 T2 T1) P Tn LT3 T2 T1P (n 1)
二维复合平移
两个连续平移是加性的。
1 0
0 1
t t
x1
01
y1
0 1
tx2 1
t
y2
0
0 1
tx1
tx2
t y1 t y2
p'
y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(2)关于y轴对称
P' (-x, y) p(x, y)
X
p'x 1 0 0 px (b)关于y轴对称
p'y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(3)关于原点对称
P(x, y) X
(c) 关于原点对称
p'x 1 0 0 px
p'
y
y轴 从z轴到x轴
Y
z轴 从x轴到y轴
X
三维齐次坐标变换矩阵
a b c p
T 3D
d g
e h
f i
q
r
l
m
n
s
• 三维几何变换矩阵
a b c p x
p' x'
y'
z'
1
T3D
p
d h
e i
f j
q
y
r z
l
m
n
s
1
三维基本几何变换
• 三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行 的 几何变换
O
O p*x
x
坐标系变换的变换原理
可以分两步进行：
y
y'
p(xp ,yp)
y
y'
y0
p(xp , yp)
x'
θ
O'
θ
O
x'
x
(b)将x ' 轴旋转到x轴上
O
x0
x
(a)将x ' y ' 坐标系的原点平移到xy坐标系的原点
于是：
p'
x'
p
y' p
1
T
x
p
yp
1
其中： cos( ) sin( ) 0 1 0 x0
0 1 0 0 1
例. 将正方形ABCO各点沿图所示的(0,0)→(1,1)方向进 行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和变换
过程。
Y
T R( ) S (s1, s2 ) R( )
cos sin 0 s1 0 0 sin cos 0 0 s2 0
0
0 1 0 0 1
cos sin 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
二维复合比例
连续比例变换是相乘的。
sx1 0 0 sx2 0 0 sx1 sx2
0 0
0
sy1 0 0
sy2
0
0
sy1 s y2 0
0 0 1 0 0 1 0
0 1
二维复合旋转
两个连续旋转是相加的。可写为：
cos1 sin1 0 cos 2 sin 2 0
光栅变换
直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换。 • 光栅平移变换：
(a)读出(read) 象素块 的内容
( b) 复制( copy) 象素块 的内容
( c ) 擦除原象素块的内容
• 90°、180°的光栅旋转变换：
voll en (x, y)
rowl en (a)逆时针旋转90°
1 2 3 4
参数b、c变化使图形产生变化：
(1) 沿x方向错切 (b变化，c不变) (2) 沿y方向错切(b不变，c变化) (3) 两个方向错切(b变化，c变化)
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=T* P的形式
1.点的变换 2.直线的变换 3.多边形的变换 4.曲线的变换
复合变换
复合变换是指：
• 图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的 变换矩阵相乘。
T sin( )
cos( )
0 0
1
y0
0
0
1 0 0 1
y y'
p(xp,yp) x'
θ
y0
O'
O
x0
x
坐标系间的变换
坐标系转换：
xII 1 0 0 1 0 a xI
y II
0
1 0 0
1
b
y
I
1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 a xI
0 1
b
y
I
0 0 1 1
原式以矩阵表示为：
x' sx 0 0 x
y'
0
sy
0 y
1 0 0 1 1
原图
Sx=Sy>1
原图
Sx<Sy
Sx=Sy<1
(a) Sx=Sy比例
Sx>Sy
(b) Sx≠Sy比例 比例变换
3、旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为 正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。
平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变 换（rigid-body transformation）
P'
Y
t
ty
P
tx
X 平移变换
推导： 设:
x' x tx y' y ty
则矩阵
1 0 tx
0
1
t
y
0 0 1
tx，ty称为平移矢量 原式以矩阵表示为：
x' 1 0 tx x
y'
0
1
（x，y，1）
二维变换矩阵
x a b p x
x'
y' 1 T2D • y c d
q
y
1 l m s 1
基本几何变换
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的 几何变换，常用的几何变换有：平移、旋转、缩放、 反射、错切变换
1、 平移变换
平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一 个坐标位置的重定位过程。
sin1 cos1 0 sin 2 cos 2 0
0
0 1 0
0 1
cos(1 2) sin(1 2) 0
sin(1 2) cos(1 2) 0
0
0
1
R R( ) • R( ) R(1 2 )
1
2
相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF , yF)作二维几何变换，其变换过程为： (1)平移 (2)针对原点进行二维几何变换。 (3)反平移
通用任意点旋转
– 平移物体使固定点与坐标原点重合 – 对于坐标原点旋转 – 用步骤1的反向平移将物体移回原始位置
Y
Y
Y
Y
原图
X
平移
X
旋转
X
平移 X
• 复合变换矩阵是：
1 0 x cos sin 0 1 0 x T 0 1 y sin cos 0 0 1 y