投资学题目资料讲解

1、单一资产风险的衡量一般将投资风险定义为实际收益对预期收益的偏离，数学上可以用预期收益的方差来衡量。

公式为：σ2＝ [Ri-E(Ri)]2方差的平方根为标准差，公式为：σ＝方差或标准差越大，随机变量与数学期望的偏离越大，风险就越大。

风险溢价（Risk Premium ）是指超过无风险资产收益的预期收益，这一溢价为投资的风险提供了补偿。

其中的无风险（risk-free ）资产，是指其收益确定，从而方差为零的资产。

一般以货币市场基金或者短期国债作为无风险资产的代表品。

对资产收益的估计可用数学期望方法进行，即对每一收益率的估计都给出其实现的概率，再对各收益率及其概率加权平均。

公式为： E(Ri)= Ri式中，E(Ri)为预期收益率；Ri 为第i 个资产的收益预期；pi 为第i 个资产的预期收益可能发生的概率。

∑=-ni i i i R E R p 12)]([∑=ni i p 1∑=ni i p 1风险与收益的权衡如果证券A 可以无风险的获得回报率为10％，而证券B 以50％的概率获得20％的收益，50％的概率的收益为0，你将选择哪一种证券？对于一个风险规避的投资者，虽然证券B 的期望收益为10％，但它具有风险，而证券A 的无风险收益为10％，显然证券A 优于证券B 。

则该投资者认为“A 占优于B”，从而该投资者是风险厌恶性的。

资产组合的收益和风险衡量资产组合的预期收益E(rp)是资产组合中所有资产预期收益的加权平均，其中的权数xi 为各资产投资占总投资的比率。

公式为： E(rp)= 其中：i=1，2，···n ；x1+x2+···xn=1。

资产组合的方差不是各资产方差的简单加权平均，而是资产组合的收益与其预期收益偏离数的平方，即： σ2p=E[rp -E(rp)]2 式中，rp 为资产组合的收益率。

对n 个资产的组合，计算方差的一般公式为：σ2p= ＋（其中，i j ） 公式表明，资产组合的方差是资产各自方差与它们之间协方差的加权平均。

22A Bσσ≤()()A B E r E r ≥∑=ni i i r E x 1)(∑=ni i i x 122σ∑∑==n i nj j i j i x x x x 11),cov(1、假定投资于某股票，初始价格10元，持有期1年，现金红利为4元，预期股票价格在表所示的不同经济运行状态下有如下三种可能，求各种可能下的收益率，并求该股票的期望收益和方差。

经济状态繁荣正常运行萧条概率0.25 0.50 0.25期末价/(元/股) 15 12 72、假设由两项资产构成投资组合，x1＝0.40，σ1＝0.30，x2＝0.60，σ2＝0.20，且σ12＝0.01，计算该组合方差及两资产的相关系数,并对计算结果进行简要分析。

协方差及相关系数协方差指两个或更多的随机变量之间的相互依赖关系。

协方差被用于揭示一个由两种证券构成的资产组合中这两种证券未来可能收益率之间的相互关系。

相关系数反映两个随机变量的联系程度。

计算公式为：ρij=ρij 为资产A 与B 的相关系数，其取值为≥－1，≤＋1。

正号表示正相关，负号表示负相关；＝1时为完全正相关，＝－1时为完全负相关，＝0时不相关。

（两资产的相关系数为正，但趋近于0，从而才导致例题的组合风险低于单个的资产风险。

相关系数越大，组合的风险越大。

）相关系数与方差两资产组合的方差可由相关系数表示为：2σp=x212σ1+x222σ2+2x1x2ρ12σ1σ2由式可见，ρ12越大，σ2p 越大。

这说明，资产的相关度越高，资产组合的风险越大；或者说，选择相关度小的资产组合，可降低投资风险。

)])([(B B A A AB Er r Er r E COV --=ji ijσσσ投资组合的收益率与期望收益率（p81）项目股票基金债券基金投资组合Ρ12=-0.248经济状态收益率概率收益率概率两个基金的比重各占50%萧条-7% 33.30% 17% 33.30%正常12% 33.30% 7% 33.30%繁荣28% 33.30% -3% 33.30%期望收益率/%方差标准差(1)、求股票基金的期望收益率、方差和标准差。

(2)、求债券基金的期望收益率、方差和标准差。

(3)、求投资组合的期望收益率、方差和标准差。

投资者的效用投资学一个基本理念是风险与收益的最优匹配。

权衡收益与风险之间的关系引入投资者效用概念效用是一个主观范畴，指人们从某事或某物上所得到的主观上的满足程度。

投资效用函数(U)： %66.4343005.0223%34%22)(2=⨯⨯-====U A r E 则，，例：若σ对该投资者来说，该投资与4.66%的无风险收益率等价：确定等价收益率例题：如果某股票的期望收益率为10%，方差424.2%，假定无风险利率为4%。

如果某投资者A 的风险厌恶指数为3，而另一投资者B 的风险厌恶指数为2。

请问这两个投资者该如何进行投资（资产）选择？ 解：根据投资者效用公式：对投资者A 来说，如果他投资了该股票，则效用值为： UA=10-（0.005×3×424.2）=3.64% 对于投资者B 来说，其投资的效用值为： UB=10-（0.005×2×424.2）=5.76%2005.0)(σA r E U-=两种风险资产组合的可行集若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为两种资产完全正相关的可行集（ρ12 ＝1） 完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。

证明：由资产组合的计算公式可得11222222211221212222211221212121211112222211112111212221()(1)()(1)2(1)p pp p r w r w r w w w w w w w w w w r w w r w r w w w w w σσσσσσσσρσσσσσρ=++++==-+-+-＋＝＝由于＋，则＋＝p 11112111121p 111p 221122()(1)()(1)10p p p w w w r w w r w r w r r w r r r r σσσσσσσσσ+-=-==＝＋当＝时，＝，当＝时，＝，所以，其可行集连接两点（，）和（，）的直线。

1111212121112212121221212221212()(1)()/()()(1)(()/())(1()/())p p ppp p pw w w w r w r w rr r r r r rr σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=+-=-=+-=-+----=-+-- 则－ 从而－－故命题成立，证毕。

两种资产完全负相关的可行集（ρ12 ＝-1）完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。

证明：2222p 11112111211121111221p 1221p 111121221p 1121112()(1)2(1)|(1)|()(1)0()(1)()(1)p w w w w w w w r w w r w r w w w w w w w w w σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ+--=--=-==+≥--+≤--+=－＋当时,当时，=当时，=2112111121()(1)()p p w w w w w f σσσσσσσ≥+=--=当时，则可以得到，从而221212121212221212()(1)p p p p p r r r r r r r r σσσσσσσσσσσσσσσ=-++--=++++＋＋＋2112112111212221212,()(1)()p p p p w w w w r r r r r r σσσσσσσσσσσσσ≤+=----=-++++同理可证当时，则命题成立，证毕。

两种资产不完全相关的可行集（1＞ρ12 ＞-1）完全资产组合是指在该组合中既包括了风险资产又包括了无风险资产所形成的组合。

无风险资产是指其收益率是确定的，从而其资产的最终价值也不存在任何不确定性。

换言之，无风险资产的预期收益率与其实际收益率不存在任何偏离，也即其方差（标准差）为零。

资本配置是根据风险与收益相匹配的原则，将全部资产投资于风险资产和无风险资产中，并决定这两类资产在一个完全资产组合中的比例（权重）。

资本配置线（Capital Allocation Line, CAL ）如果一个资产组合由风险资产和无风险资产构成，那么，这个资产组合的预期收益率和风险之间存在着线性关系。

111122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1p p p r w w r w r w w w w w w w w ρσσσσσρρσσσρ>>-=-+-+-+->>-当1时＋＝尤其当＝时＝这是一条二次曲线，事实上，当1时，可行集都是二次曲线。

f()()()S P f p s E(R )-R E R R R R δδ=+E(RP)C ALRf有一基金，投资于风险资产组合，其期望收益率为18%，标准差为28%。

同期短期国债债利率为8%。

1、如果你是投资者，将自己的资产组合70%投入到该基金中，另外30%投入到货币市场的短期国库券基金，则你的资产组合的期望收益率与标准差各是多少？2、假设该基金风险资产组合包括以下几种比率的投资资产：股票A 为25%；股票B为32%；股票C为43%。

那么你包括短期国库券头寸在内的总投资中各部分投资比例各是多少？3、假如你决定将占总投资预算为ｘ的投资额投入该基金，目标是获得16%的期望收益率。

(1)、X为多少？(2)、你在三种股票上和短期国库券基金方面的投资比例各是多少？(3)、你的资产组合风险为多大？4、如果你的风险厌恶程度为3.5，那么：(1)、应将占总投资的多少（x）投入到该基金中？(2) 、你的最佳资产组合的期望收益率与风险各是多少？市场组合与资本市场线市场组合:(Market Porfolio)即把所有个人投资者的资产组合加总，此时借和贷互相抵消，加总的风险资产组合价值等于整个经济中全部财富的价值，这就是市场资产组合M 。

资本市场线:(Capital Market Line ，CML)是在以预期收益和标准差为坐标的图中，表示风险资产的有效组合与一种无风险资产再组合的有效组合线。

是最优资本配置线(CAL)与风险资产有效边界的切线描述了在市场均衡时有效资产组合的期望收益和风险之间的关系资本配置线与资本市场线对比f ()()()m P f p m E(R )-R E R R R R δδ=+CALE(RP) 0 δ(RP)Rf市场中（部分）风险资产CM LE(RP)δ(RP)R f 市场中全部风险资产证券市场线(Security Market Line, SML)即预期收益－贝塔关系线，将这一关系表示在以预期收益和β值为坐标的平面上，即构成一条以Rf 为起点的射线，该射线即为证券市场线。