2020中考数学冲刺专题12 新定义(原卷版)

2020中考数学冲刺专题12新定义

【考点1】明确条件、原理、方法得出结论

【例1】（2019•房山区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和C e ，给出如下定义：若C e 上存在点A ，

使得30APC ∠=︒，则称P 为C e 的半角关联点． 当O e 的半径为1时，

（1）在点1

(2

D ，1)2-，(2,0)

E ，

F 中，O e 的半角关联点是 ；

（2）直线:2l y =-交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点(,)P m n 是O e 的半角关联点，求m 的取值范围．

【变式1-1】（2018•平谷区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和M e ，给出如下定义：若M e 上存

在两个点A ，B ，使2AB PM =，则称点P 为M e 的“美好点”．

（1）当M e 半径为2，点M 和点O 重合时，1点1(2,0)P -，2(1,1)P ，3(2,2)P 中，O e 的“美好点”是 ；2点P 为直线y x b =+上一动点，点P 为O e 的“美好点”，求b 的取值范围；

（2）点M 为直线y x =上一动点，以2为半径作M e ，点P 为直线4y =上一动点，点P 为M e 的“美好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围．

【考点2】运用类比、归纳、分类讨论等解决问题

【例2】（2018•东城区二模）研究发现，抛物线214

y x =上的点到点(0,1)F 的距离与到直线:1l y =-的距离

相等．如图1所示，若点P 是抛物线2

14

y x =

上任意一点，PH l ⊥于点H ，则PF PH =． 基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =

的关联距离；当24d 剟

时，称点M 为抛物线21

4

y x =的关联点． （1）在点1(2,0)M ，2(1,2)M ，3(4,5)M ，4(0,4)M -中，抛物线2

14

y x =的关联点是 ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(,1)A t ，点(1,3)C t + ①若4t =，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线2

14

y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线2

14

y x =

的关联点，则t 的取值范围是 ．

【变式2-1】（2019•东城区一模）在平面直角坐标系xOy 中，对于P 、Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P 、Q 两点为“等距点”，如图中的P 、Q 两点即为“等距点”

．

（1）已知点A 的坐标为(3,1)-

①在点(0,3)E 、(3,3)F -、(2,5)G -中，点A 的“等距点”是 ；

②若点B 在直线6y x =+上，且A 、B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为 ； （2）直线:3(0)l y kx k =->与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．

①若11(1,)T t -、22(4,)T t 是直线l 上的两点，且1T 、2T 为“等距点”，求k 的值；

②当1k =时，半径为r 的O e 上存在一点M ，线段CD 上存在一点N ，使得M 、N 两点为“等距点”，直接写出r 的取值范围．

1．（2019•门头沟区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的动点P 和图形N ，给出如下定义：如果Q 为图形N

上一个动点，P ，Q 两点间距离的最大值为max d ，P ，Q 两点间距离的最小值为min d ，我们把max min d d +的值叫点P 和图形N 间的“和距离”，记作(,)d P N ． （1）如图1，正方形ABCD 的中心为点O ，(3,3)A ． ①点O 到线段AB 的“和距离” (,)d O AB = ；

②设该正方形与y 轴交于点E 和F ，点P 在线段EF 上，(,)7d P ABCD =，求点P 的坐标．

（2）如图2，在（1）的条件下，过C ，D 两点作射线CD ，连接AC ，点M 是射线CD 上的一个动点，如

果(,)6d M AC <+M 点横坐标t 取值范围．

2．（2019•海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 和N ，给出如下定义：若在图形M 上存在一点A ，图形N 上存在两点B ，C ，使得ABC ∆是以BC 为斜边且2BC =的等腰直角三角形，则称图形M 与图形N 具有关系(,)M N ϕ．

（1）若图形X 为一个点，图形Y 为直线y x =，图形X 与图形Y 具有关系(,)X Y ϕ，则点1P ，2(1,1)P ，3(2,2)P -中可以是图形X 的是 ；

（2）已知点(2,0)P ，点(0,2)Q ，记线段PQ 为图形X ．

①当图形Y 为直线y x =时，判断图形X 与图形Y 是否既具有关系(,)X Y ϕ又具有关系(,)Y X ϕ，如果是，请分别求出图形X 与图形Y 中所有点A 的坐标；如果不是，请说明理由；

②当图形Y 为以(,0)T t 为半径的T e 时，若图形X 与图形Y 具有关系(,)X Y ϕ，求t 的取值范围．

3．（2019•西城区二模）对于平面内的MAN ∠及其内部的一点P ，设点P 到直线AM ，AN 的距离分别为1d ，2d ，称

12d d 和21

d

d 这两个数中较大的一个为点P 关于MAN ∠的“偏率”．在平面直角坐标系xOy 中， （1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点． ①若点P 的坐标为(1,5)，则点P 关于MON ∠的“偏率”为 ；

②若第一象限内点(,)Q a b 关于MON ∠的“偏率”为1，则a ，b 满足的关系为 ；

（2）已知点(4,0)A ，(2B

，，连接OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）．若点C 关于AOB ∠的“偏率”为2，求点C 的坐标；

（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为(,4)t ，T e 是以点T 为圆心，半径为1的圆．若T e 上的所有点都在第一象限，且关于EOF ∠

t 的取值范围．

4．（2019•东城区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形P 和直线AB ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为直线AB 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P 和直线AB 之间的“确定距离”，记作(,)d P AB ． 已知(2,0)A ，(0,2)B ． （1）求d （点O ，直线)AB ；

（2）T e 的圆心为(,0)T t ，半径为1，若(,)1d T AB e …，直接写出t 的取值范围；