分块矩阵求逆

一、分4块的矩阵求逆

对于分块矩阵A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了

C D，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。

本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在：

A B | I 0

C D | 0 I

第1行左乘-CA-1并加到第2行有：

A B | I 0

0D-CA-1B | -CA-1I

第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有：

A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1-B(D-CA-1B)-1

0 D-CA-1B|-CA-1I

第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：

注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。

二、分9块的矩阵求逆

对于分9块的矩阵A=[A B C;D E F;G H K]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。

P A Q

I 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C

-DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行)

-GA-10 I | G H K| 0 0 I

A 0 0

0 E-DA-1B F-DA-1C [(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]

0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆

可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A-1=QB-1P，经过最终计算，A-1表示如下:

其中：

M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1

R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1

S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1

此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。