安徽省淮北市2021届新高考数学一模考试卷含解析

安徽省淮北市2021届新高考数学一模考试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量a r ，b r ，c r

满足：0,1a b c ⋅==r r r ，5a c b c -=-=r r r r ，则a b -r r 的最小值为( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

【答案】B 【解析】 【分析】

建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a b -r r

的最小值转化为用该关系式表

达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】

建立平面直角坐标系如下图所示，设()cos ,sin c θθ=r ，,OA a OB b ==u u u r r u u u r r

，且()(),0,0,A m B n ，由于

5a c b c -=-=r r r r

，所以[],4,6m n ∈.

()()cos ,sin ,cos ,sin a c m b c n θθθθ-=---=--r r r r

.所以

222222

2cos cos sin 25

2sin sin cos 25m m n n θθθθθθ⎧-++=⎨-++=⎩，即22482cos 2sin m n m n θθ+=++.

()()

a b a c b c -=---=r r r r r r =

=≥当且仅当m n =时取得最小值，此时由22

482cos 2sin m n m n θθ+=++得

()

22482sin cos 48sin

4m m πθθθ⎛

⎫=++=++ ⎪⎝

⎭，当54πθ=时，22m 有最小值为48-，

即2248m =-，2

240m +-=，解得m =所以当且仅当54

m n πθ===时a b

-r r

6=.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

2．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π

表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

【答案】A 【解析】 【分析】 计算3

13cos

sin 3322

π

ππ=+=+i e

i ，得到答案. 【详解】

根据题意cos sin ix e x i x =+，故3

13cos

sin 3322

π

ππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】

本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.

3．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β

⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论． 【详解】

解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，

反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，

∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．

故选：A. 【点睛】

本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．

4．已知向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r ，若||||a b a b +=-r r r r

，则m =（ ）

A ．12

-

B ．

12

C ．-8

D ．8

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出向量a b +r r ,a b -r r

的坐标，然后由||||a b a b +=-r r r r 可求出参数m 的值.

【详解】

由向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r

，

则()1,4a b m +=-+r r ，()3,4a b m -=-r r

||a b +r r ||a b -=r r

又||||a b a b +=-r r r r 12

m =.

故选：B 【点睛】

本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题. 5．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(

)2

0,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．10,

e ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

B ．211,e e ⎛⎫

⎪⎝

⎭ C ．222,e e ⎛⎫

⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫

⎪⎝

⎭ 【答案】D 【解析】

令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =.

在坐标系内画出函数()ln f

x x =的图象（如图所示）.

当1x >时，()ln f x x =.由ln y x =得1y x

'=

. 设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点00(,ln )A x x ，

则有000ln 1x ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩

，解得01x e a e =⎧⎪

⎨=⎪⎩. 所以当直线y ax =与函数y x ln =的图象切时1

a e

=

. 又当直线y ax =经过点()

2

B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e

=

. 结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫

⎪⎝

⎭. 即函数()()g x f x ax =-在区间()2

0,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是2

21,e e ⎛⎫

⎪⎝⎭

.选D. 点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解. 6．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤

B ．0x ∃∈R ，2

00x ≤.

C ．0x ∃∈R ，2

00x >

D ．x ∀∉R ，20x ≤.

【答案】B 【解析】 【分析】

根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】