函数值域求法十一种

函数值域求法十一种

尚化春

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数

x 1

y =

的值域。

解：∵0x ≠ ∴0

x 1

≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x 3y -

=的值域。

解：∵0x ≥

3x 3,0x ≤-

≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2

+-=

∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m

a x =

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数2

2

x 1x

x 1y +++=

的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程

0x )1y (x

)1y (2

=-+-

（1）当1y ≠时，R x ∈

0)1y )(1y (4)1(2

≥----=∆

解得：23y 2

1

≤

≤

（2）当y=1时，0x =，而⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡∈23,211

故函数的值域为⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡23,21

例5. 求函数)

x 2(x x y -+

=的值域。

解：两边平方整理得：0y

x )1y (2x 22

2

=++-（1）

∵R x ∈

∴0y 8)1y (42

≥-+=∆

解得：21y 21+

≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤

由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在

区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数

的值域为⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤

)x 2(x x y ≥-+

=∴

21y ,0y m in +

==∴代入方程（1）

解得：]

2,0[22

222x 4

1∈-+

=

即当

2

2

222x 4

1-+

=

时，

原函数的值域为：]21,0[+

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数6x 54

x 3++值域。

解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=

则其反函数为：

3x 5y

64y --=

，其定义域为：

53x ≠

故所求函数的值域为：⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

∞-53,

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数

1e

1

e y x

x +-=

的值域。

解：由原函数式可得：

1y 1y e

x

-+=

∵0e x

>

∴0

1

y 1

y >-+

解得：1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(-

例8. 求函数

3x s i

n x c o s y -=

的值域。

解：由原函数式可得：y 3x c o s x s i n y =-，可化为：

y 3)x (x sin 1y

2

=β++

即1y

y 3)x (x sin 2

+=

β+

∵R x ∈

∴]1,1[)x (x sin -∈β+

即1

1y y 312

≤+≤

-

解得：

42y 4

2≤

≤-

故函数的值域为⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡-42,42

6. 函数单调性法

例9. 求函数)10x 2(1x log 2

y 3

5

x ≤≤-+=-的值域。

解：令1x l o

g y ,2y 3

25

x 1-==-

则21y ,y 在[2，10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2，10]上是增函数 当x=2时，

8112l o g

2

y 3

3

m i

n =

-+=-

当x=10时，339log

2y 3

5

m ax =+=

故所求函数的值域为：⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡33,81

例10. 求函数1x 1x y --

+=

的值域。