估计水塔用水量
水塔用水量的估计-插值教材
重庆大学学生实验报告实验课程名称数学实验开课实验室DS1421学院年级专业班学生姓名学号开课时间2013 至2014 学年第 2 学期数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院DS1421实验时间：2014年5月28日y=1/(1+x2)y=sin xy=cos10x（3）分析：由图可以看出，函数y=1/(1+x2)使用三次样条插值效果最好，函数y=sinx使用拉格朗日插值效果最好，y=cos10x使用分段线性插值效果最好，可见，三种插值方法各有各自最适用的函数。
2.轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。
首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。
（1）程序：x=linspace(0,8.534,13);y=[0 0.914 5.060 7.772 8.717 9.083 9.144 9.083 8.992 8.687 7.376 2.073 0];x0=0:0.001:8.534;y1=interp1(x,y,x0);figure,plot(x,y,'k*',x0,y1,'-r')S=trapz(y1)*0.001（2）结果：S = 54.6894（3）分析：甲板横向最大相间为8.534米，然后等间距地测得纵向高度,共有11个值，所以应该是吧8.534米分成12分，对应的值为纵向高度；以左边零点位坐标原点，建立坐标系。
线性插值得到图形，再用数值积分可求面积。
3.火车行驶的路程、速度数据如表7.2，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。
表7.2t(分) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20v(km/h) 10 18 25 29 32 20 11 5 2 0（1）程序：x=0:2:20;y=[0 10 18 25 29 32 20 11 5 2 0];x0=0:0.001:20;y1=interp1(x,y,x0,'spline');plot(x,y,'k*',x0,y1,'r')S=trapz(y1)*0.001（2）结果：S = 304（3）分析：用线性插值的方法作出火车行驶的v-t关系图，则火车行驶的路程为图形的面积，用数值积分的方法可以求出。
估计水塔的水流new
估计水塔的水流量New表1 水塔中水位原始数据>> t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900...7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032...12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037...19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908];>> h=[9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686...8.525 8.388 8.220 0 0 10.820 10.500...10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662...8.433 8.220 0 10.820 10.591 10.354 10.180];>> D=17.4;>> V=pi/4*D^2*hV =1.0e+003 *Columns 1 through 92.3011 2.2540 2.2133 2.1698 2.1358 2.0959 2.0654 2.0271 1.9946Columns 10 through 181.9546 0 02.5729 2.4968 2.4278 2.36272.2954 2.2373Columns 19 through 272.1829 2.1213 2.0597 2.0053 1.9546 0 2.5729 2.5184 2.4620Column 282.4207表2 水塔中水的体积>> t1=t(1:10);>> t2=t(13:23);>> t3=t(25:28);>> V1=V(1:10);>> V2=V(13:23);>> V3=V(25:28);>> v=-[gradient(V1,t1),gradient(V2,t2),gradient(V3,t3)]v =Columns 1 through 951.1204 47.6090 41.5072 38.2242 36.4474 34.6895 33.8858 34.9411 36.9837Columns 10 through 1838.4487 70.5862 72.5251 72.7683 65.3094 61.7918 60.9942 57.2190 55.7095Columns 19 through 2557.2190 58.3251 57.5553 59.0599 54.6395 48.1906 44.8752表3 水塔中水流速度（近似为用水速度）>> t=[t1 t2 t3];>> ti=0:0.01:25.908;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline');>> plot(t,v,'+',ti,vi,'g')0510********>> ti=0:0.01:24;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline');>> I=trapz(ti,vi)I =1.2560e+003稳定性分析：>> ti=0.2:0.01:24.2;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline');>> I=trapz(ti,vi)I =1.2565e+003>> ti=0.4:0.01:24.4;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline');>> I=trapz(ti,vi)I =1.2567e+003>> ti=1:0.01:25;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I=trapz(ti,vi)I =1.2572e+003检验：第一段用水量>> ti=0:0.01:8.967;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I1=trapz(ti,vi)I1 =345.2792第二段用水量>> ti=10.954:0.01:20.839; >> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> T2=trapz(ti,vi)T2 =618.3992第三段用水量>> ti=22.958:0.01:25.908; >> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I3=trapz(ti,vi)I3 =152.0959水泵第一次充水时用水量>> ti=8.967:0.01:10.954; >> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I=trapz(ti,vi)I =107.6730水泵第二次充水时用水量>> ti=20.839:0.01:22.958; >> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I=trapz(ti,vi)I =123.9158。
《数值分析》水塔问题
淮海工学院计算机工程学院实验报告书课程名：《数值分析》题目：水塔问题班级：学号：姓名：一、课程设计目的：1．训练学生灵活应用所学数值分析知识，独立完成问题分析，结合数值分析理论知识，编写程序求解指定问题。
2．初步掌握解决实际问题过程中的对问题的分析、系统设计、程序编码、测试等基本方法和技能；3．提高综合运用所学的理论知识和方法独立分析和解决问题的能力；4.训练用数值分析的思想方法和编程应用技能模拟解决实际问题，巩固、深化学生的理论知识，提高学生对数值分析的认知水平和编程水平，并在此过程中培养他们严谨的科学态度和良好的工作作风二、课程设计任务与要求：课程设计题目：计算水塔的水流量【问题描述】某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供，水塔高12.2米，直径17.4米。
水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每天水泵工作两次，现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率。
按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。
可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率，原始数据表是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录。
试建立合适的数学模型，推算任意时刻的用水率、一天的总用水量。
进一步：可自己增加一些新的计算功能。
【问题假设】1.水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响。
2.水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度。
3.水塔为标准的圆柱体。
体积V=PI*D*D*h/4 其中D为底面直径，h为水位高。
4.水泵第一次供水时间段为[8.967,10.954]，第二次供水时间段为[20.839,22.958]。
【实验数据】原始数据（单位：时刻（小时），水塔中水位（米））【实现提示】由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度。
案例6 估计水塔水流量
f ( t )dt 335329 （加仑） f ( t )dt 336480 （加仑）
25.5 1.5
相差只约1%
[0，24]区间内检验
第一次充水 前总用水量 第一次充水后， 第二次充水前 总用水量 第一次充水 期间用水量 第二次充水 期间用水量
V1= 606125-514872=91253(加仑）
充水时间约为2.1189小时
3. 由Vi—ti关系产生水流量 fi—ti的关系
注：亦可以由Vi—ti关系拟合 V(t)，再求微商得到 f(t)
关于水流量 fi
Vi 1 Vi f i f (t i ) t i 1 t i V i V i 1 与 f i f (t i ) t i t i 1
水体积的误差为0.5% 用样条逼近的用水量其误差可用抽样计算得5.1%
一天 总量 误差
2 2 2 2 SV [ SV0 SV8.9678 SV p SV10.9542 SV20.8392
1
2 2 2 2 SV p SV 22.9581 SV23.88 SV[ 23.88 , 24 ] ]1 2
水泵工作的时间为32284秒（8.9678 小时）； 水泵结束时间为39435秒（10.9542小时）； 充水时间约为1.9864小时
水泵工作的时间为75021秒（20.8392 小时），水 位26.97英尺 第 二 次 充 水 水泵结束时间为82649秒（22.9581小时）, 补充水位35.50英尺
水流量值（表3）
时
（小时）
间
水 流 量
（加仑/小时）
时
（小时）
间
水流量
（加仑/小时）
时
水塔流量估计的数学建模
水塔流量估计的数学建模1. 引言水塔是现代城市供水系统中至关重要的组成部分，其作用是通过储存水源来保障城市居民日常用水，并且在有紧急情况时提供应急用水。
为了更好地保障全社会的用水需求，并降低供水系统建设和运营成本，对水塔的流量进行准确的估计和预测具有重要意义。
本文将探讨如何利用数学建模的方法对水塔流量进行估计和预测。
2. 水塔流量的影响因素水塔流量的大小受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：2.1 水塔容积水塔的容积越大，其流量也就越大。
因此，在进行水塔流量估计时，首先需要考虑其容积。
2.2 外部水压水塔的流量受到外部水压的影响。
如果外部水压较大，则水塔的流量也将较大。
2.3 水泵功率水泵功率的大小直接影响到水塔的流量大小。
水泵功率越大，水塔的流量也就越大。
2.4 关阀状态水塔流量还受到管道关阀状态的影响。
如果关阀状态较大，则水塔流量也将减小。
3. 水塔流量的数学建模方法水塔流量的数学建模方法主要包括以下几个步骤：3.1 收集数据收集水塔流量的相关数据，并对其进行初步的整理和分析。
3.2 设计建模方程根据已收集到的数据，设计合适的建模方程。
建模方程需要考虑到水塔容积、外部水压、水泵功率、关阀状态等多种因素。
3.3 参数估计利用已有的数据对建模方程中的参数进行估计。
参数估计是非常重要的一步，其准确性直接影响到模型的准确性和可靠性。
3.4 模型检验和优化使用已有的数据来对所建立的模型进行检验和优化。
检验过程中需要对模型的精度、准确性、鲁棒性等进行评估，如果出现问题，需要进行适当的调整。
4. 案例分析为了说明水塔流量估计的数学建模方法，我们以某市几座水塔为例进行分析。
4.1 收集数据在该市的几座水塔中，我们选取了其中一座水塔进行了数据的收集，主要包括该水塔的容积、水泵功率、外部水压等基本信息。
4.2 设计建模方程根据收集到的数据，我们设计了一个基础的建模方程，其中各项参数分别为：Q为流量，V为水塔容积，P为外部水压，H为水泵的扬程，K为关阀系数。
水塔水流量的估计
水塔水流量的估计一．实验问题某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一次，每次约2h。
水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升到约10.8m时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量纪录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1 水位测量纪录二．问题分析根据以上数据的形式和以往经验，适合采用线性拟合的方式进行数据处理。
对第1、2、3未供水时段可直接进行用五次多项式进行拟合。
对第1、2供水时段分别在两端各取两个点用前后时刻的流速拟合得到。
结果可以用分段函数表示分为5段，分别是第一未供水时段，第一供水时段，第二未供水时段，第二供水时段，第三未供水时段。
得出流速之后再乘以水塔横截面积即得任何时刻与水塔流出水流量的关系，即流速与时间的关系。
对流速进行分段积分并求和，即得一天的总水流量。
三．程序的设计与求解方法1.数据的单位转换水塔的横截面积为A=（17.4）^2*pi/4=237.0661(平方米)。
2.拟合水位——时间函数（1）对第1未供水时段的数据进行拟合。
t=[0 0.92 1.84 2.90 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91]h=[ 9.68 9.48 9.31 9.13 8.98 8.81 8.69 8.52 8.39 8.22 10.82 10.50 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 10.59 10.35 10.18] f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5); tm1=0:0.1:9.0; y1=polyval(f1,tm1); plot(tm1,y1)01234567898.28.48.68.899.29.49.69.8（2）对第2未供水时段的数据进行拟合。
第5章_水塔用水量的估计
x
插值要求在每一个观测点处满足yi=f(xi)
2013-6-27 河北大学
Hebei University
5.1 引例
机床加工
X=0 3
5
7 9
11 12 13 14 15 1.8 1.2 1 1.6
4 Y=0 1.2 1.7 2 2.1 2 2 0 0
2013-6-27
5
河北大学
10
15
Hebei University
被插值节点 插值节点
xi处的插 值结果
2013-6-27
河北大学
Hebei University
5.2 插值基本原理
例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度， 测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31， 30，22，25，27，24。试估计1/10小时的温度值 hours=1:12 temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:.1:12; t=interp1(hours,temps,h); plot(hours,temps,’+’,h,t); title(‘线性插值下的温度曲线’) xlabel(‘Hour’), ylabel(‘Degrees Celsius’)
x=-5:10/2:5; y=1./(1+x.^2); x1=-5:0.1:5; y1=Langrage(x,y,x1); plot(x1,y1,'b--','linewidth',2) hold on x=-5:10/4:5; y=1./(1+x.^2); y2=Langrage(x,y,x1); plot(x1,y2,'r-','linewidth',2) x=-5:10/6:5; y=1./(1+x.^2); y3=Langrage(x,y,x1); plot(x1,y3,'k:','linewidth',2)
[VIP专享]实验六 水塔用水量的估计
![[VIP专享]实验六 水塔用水量的估计](https://img.taocdn.com/s3/m/86e1438455270722182ef77d.png)
n=5; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y2=lagr1(x0,y0,x); hold on,plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause, hold off
n=7; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,
2006年经省农业厅，南平市政府19批41准年，毛南泽平东农在校《与改建造阳我农们业的工学程习学》校一合文署中办，学把，这强句强原联指合治，学实态行度一的套话班古子为，今两用个，校从区哲的学管的理高体度制做，了从新而的使分学析校，的深办化学了规对模实，事办求学是实的力理都解有，长并足为的其发提历展出史，了的逐一经步个验发经教展典训成的告为注诉有释我着，们广指：泛出什发：么展“时空‘候间实坚和事持良’实好就事发是求展客是前观，景存党的在和闽着国北的家唯一的一切事一事业所物就集，会文第‘顺理一是利、个’发农问就展工题是；商，客什实贸实观么事为事事时求一求物候是体是的背是，地内离一面看部实个向待联事老全我系求话国们，是题招的即，，生学规党实和校律和事就。性国求业职，家是的业‘的一，教求事一语办育’业、，学明就就实出规显是会事自模不我遭求东最同们遇是汉大于去挫地班、高研折看固师等究。待所资教”同学著力育。时校《量和毛，、汉最中泽只学书雄学东有生河厚教对坚和间、育中持学献办，国实校王学不社事当传质同会求前》量点、是工。和就中，作书办在国党以中学于革和及称声职命人存赞誉业的民在刘高教分的的德的育析事问“综所无业题修合有不才学性工贯能好国作穿顺古家和着利，级任实前实重何事进事点事求，求中情是一是专都的旦。和必精背”省须神离其级靠。实意文自因事思明己而求是学完他是根校成才就据。。能必实而找然事这到遭求些中到索成国挫真绩革折理的命甚。取的至得规倒是律退得，。益制实于定事学出求校适是党合是政中马领国克导国思的情主坚的义强路世领线界导方观，针的得政根益策本于，要全指求体导，党中是员国马干革克部命思和走主教向义职胜的工利精的，髓辛实。勤事工求作是和是共中同国努革力命的实结践果经，验但的最高主度要总的结一和条概是括得，益中于国学革校命始和终建坚设持的实经事验求表是明的，原实则事，求可是以是说胜，利坚之持本实，事只求要是坚原持则实是事我求们是学，校我各们项党事就业会健永康远、立稳于定不和败谐之发地展。的重要保证。
MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题Word版
估计水塔的水流量自动化12K2 许杨旸摘要：在估计某地区的用水速度和日总用水量的时候，在已知某时间t下的水位h，以及水塔直径，求出t时刻的水体积，由于没有具体函数，故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度，再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。
最终，通过数值积分方法求出日用水总量I。
符号及含义：t：时刻；h：水位高度；D：水塔直径；V：水体积；dV：水流速度；I：日用水总量。
一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。
现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。
水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。
表2给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。
表2 水塔中水位原始数据二、求解问题1、水塔中的水体积计算求解的问题的关键是求解出用水的速度，即单位时间内的用水体积，由于水塔可以近似成圆柱体，所以水塔的体积V可近似成：V=π4D2ℎ式中D为水塔直径D=17.4m，h为水位高度。
其中，在三个无法得到水位的时刻，其水位高度用一个负数表示，即该时刻水位为负值，显然现实当中无法出现这样的情况，现在我们用-1表示其水位。
现在开始计算水塔的体积:输入t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 ...7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 ...12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 ...19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908];h=[9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686 ...8.525 8.388 8.220 -1 -1 10.820 10.500 ...10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 ...8.433 8.220 -1 10.820 10.591 10.354 10.180];D=17.4；V=pi/4*D^2*h;最终求得V= [2.3011 2.2540 2.2133 2.16982.1358 2.0959 2.0654 2.0271 1.9946 1.9546-0.2378 -0.2378 2.5729 2.4968 2.42782.3627 2.2954 2.2373 2.1829 2.1213 2.0597 2.0053 1.9546 -0.2378 2.5729 2.5184 2.4620 2.4207]。
MCM-1991年A题估计水塔的水流量
MCM-1991年A题：估计水塔的水流量逼近观察数据的一维样条模型在实际工作中，我们常会碰到这样一种情况：我们需要或希望了解某一性质或特征的运动规律，但是由于测量仪器设备的落后或缺乏等原因无法直接得到它，而只能代之以观察到较易得到的在特定时刻或距离上的一些数据，一般来说，虽然这些观察数据不可避免地会带有观察误差，它们还是反映了该性质或特征的主要规律，剩下的问题就是如何建立一个合理的模型，对这些观察数据进行拟合逼近，恢复出原有的规律。
这类问题是一类很典型的对已知数据进行数值拟合来建模的模型问题。
对这类问题，建模的关键在于提出合理的假设，设计出较好的拟合方法，尽量减少因方法不当带来的误差。
在这一讲里，我们就AMCM-91A题进行讨论，详细讲解解这类问题的样条模型。
内容是这样安排的。
在第1节，我们提出问题并作出合理的假设，在第2节，我们介绍建模必备的数学理论，即三次样条函数的概念与基本性质，最后，在第3节，我们给出问题的详细解答，并比较该题当年获优秀论文奖的三种解答的优点。
一、问题与假设在这一节里，我们先叙述AMCM-91A题，然后根据解题需要给出合理的假设。
AMCM-91A题：估计水塔的水流量[1]美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量。
但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5%以内．更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔的水位与水泵工作时的用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。
试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量f(t) ，并估计一天的总用水量．表８－１给出了某个真实小镇某一天的真实数据．表8－1给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水塔中水位的测量值，例如，3316秒后，水塔中的水位达到31.10英尺．水塔是一个垂直圆形柱体，高为40英尺，直径为57英尺．通常当水塔的水位降至约27.00英尺时水泵开始向水塔充水，而当水塔的水位升至约35.5０英尺时水泵停止工作．我们很容易想到应通过对所给数据进行数值拟合来建模．在讨论具体的建模方法以前，我们先给出一些合理的假设． （１）影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求．因为附表只给出了某一天（实际是近26小时）水塔的水位数据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体说明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求．（２）水塔中水的水位不影响水流量的大小．据物理学的Torricelli 定律，水塔最大水流量是与水位的高度的平方根成正比的．针对表8－1所给的数据，最大高度是35.50英尺,最小高度是27.00英尺,所以两个高度的最大水流量之比是15.100.27/50.35 ,接近于1,所以我们假定水位不影响水流量,类似地,我们假定气候条件、条件变化等也不直接影响水流量.(3)水泵工作起止时间由水塔的水位决定.我们总是假定水位大约27.00英尺时,水泵就开始工作,直到水位升至大约35.50英尺时停止工作,每次充水时间约为两小时.水泵工作性能、效率总是一定的,不因使用次数多少而变化,水泵工作时不需要维修,也不中途停止工作.当然,水泵充水的水流量远大于水塔的水流量,以保证人们对水的需求. (4)表8-1中水位数据取得的时间准确在1秒以内.(5)水塔的水流量与水泵状态独立,并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小.(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近.这时,在每一个数据点,水流量的两阶导数是连续的,因为水的消耗是基于社区公众一天的活动,如洗澡、做饭、洗衣服等,每一个使用者的要求与整个社会的要求相比是微不足道的,而整个社会的需求是不可能同时增加或减少的,由于水的消耗的自然性,可以设想水流量曲线是一条连续光滑的曲线. 二 三次样条函数的基本理论在这一节里,我们介绍对观察数据进行数值拟合逼近的一种有效的数学理论——三次样条函数的基本理论[2].熟悉这部分数学理论后,我们就能对何以说样条插值逼近比高次多项式拟合要优越有一个清楚的认识.如果读者已具备这方面的知识,可以跳过这一节直接进入第三节问题的解答部分.1.三次样条函数的力学背景在工程和数学应用中常有这第一类数据处理问题:在平面上给定了一组有序的离散点列,要求一条光滑的曲线把这些点按次序连接起来,这叫做插值(拟合是一种更广泛意义上的逼近方法).在过去很长的一段时间内,工程技术人员为了得到这条光滑的曲线,常常是用一条富有弹性的均匀细木条(或是有机玻璃条),让它们依次经过这些点,并用“压铁”在若干点处压住，然后沿这条细木条画出一条光滑的曲线，形象地称之为“样条曲线”. 在力学上，如果把细木条看成为弹性细梁，压铁看成是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就可模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线.如果用A 表示细梁的刚度系数，M 表示弯矩，在建立坐标系后，由于“样条”是均匀细木条，在两个相邻压铁之间无任何外力，所以M 是x 的线性函数，A 为常数，由力学知识可得 Ak(x)=M(x) (1) 其中k(x)为“样条曲线”y=y(x)的曲率．由数学知识，对一条光滑曲线，k(x)=y"/(1+y ′2)3/2．一般来说，上述样条曲线所适合的微分方程（１）是非线性的，它的解是无法用初等函数表示的，但在通常称为“小挠度”的情况下，即细梁弯曲不大，|y ′|<<1时，可以忽略y ′的影响，从而得到近似的方程Ay"(x)=M(x),由M 的线性，就有y (4)(x)≡0,即“样条曲线”是分段三次多项式，且曲线的函数值、一阶导数、二阶导数都是连续的，而三阶导数是间断的．这就是三次样条函数的力学背景． ２．三次插值样条函数定义 设在区间［a,b ］上给定一个分割∏：a=x 0<x 1<…<x n-1<x n =b,定义在［a,b ］上的一个函数S(x)如果满足下列条件：①在每个小区间［x i-1,x i ］(ｉ=1,2, …，n)内S(x)是三次多项式； ②在整个区间［a,b ］上，S(x)为二阶连续可导函数，也就是说，在每个节点x i (i=1,2,…,n-1)处， S (k)(x i -0)=S (k)(x i +0),k=0,1,2 (2)则称S(x)为三次样条函数．对定义在区间［a,b ］上的函数f(x),如果存在三次样条函数S(x)，使得在节点处还满足S(x i )=f(x i )(i=0,1, …，n),就称S(x)为插值于f(x)的三次样条函数． 对给定的一组有序数组y i (i=0,1, …，n),如果三次样条函数S(x)满足S(x i )=y i (i=0,1, …，n),就称S(x)为插值于｛y i ｝的三次样条函数．现在，如果对函数f(x)，我们并不知道其解析表达式，而只知道其在节点处的值f i =f(x i ) (i=0,1, …，n),如何估计f(x)?一个很自然的方法就是求插值于｛f i ｝的三次样条函数S(x),以S(x)作为对f(x)的逼近．那么，如何求出S(x)?我们将利用f i 及一阶、二阶导数来建立求S(x)的表示式及连续性方程． (１)Ｍ连续性方程与S(x)的表示式记S(x)在节点x i 处的函数值、一阶导数和二阶导数分别为 S(x i )=f i ,S ′(x i )=m i ,,S"(x i )=M i , (i=0,1, …，n) (3)由于S(x)是分片三次多项式，在每个小区间[x i-1,x i ]上，S(x)的二阶导数是线性函数，记h i =x i -x i-1表示小区间长度，有S 〃(x)=M i-1i 1i ii i h x x M h x x --+-, (x i-1≤x ≤x i ) (4) 将（4）式积分一次，得S ＇(x)=-M i-1i 1i21i i 2i C h )x x (Mi h 2)x x (+-+-- , (x i-1≤x ≤x i ) (5)再将（5）式积分一次，有 S(x)=M i-1,C x C h 63)x x (Mi h 63)x x (i 2i 1i 1i i i ++-+-- (x i-1≤x ≤x i )(6)由插值条件（3），S （x i ）=f i ,S(x i-1)=f i-1,代入（6）式，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=---=-----1i i i i i i 1i i i 1i i 21i i i 1i f i 1x )6M h h f (x )6M h h f (C 6)M M (h hi f C i 而由（5）式，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=++---=-+++++--2h M 6)M M (h h f f )0x ('S 2h M 6)M M (h hi f f )0x ('S 1i ii 1i 1i 1i i 1i i i i 1i i i 1i i i (7)但由一阶导数连续，S ＇(x i -0)=S’(x i +0)(i=1,…,n-1),由（7）式就得到n-1个等式 μi M i-1+2M i +λi M i+1=d i , (i=1,…,n-1) (8) 其中λi=1i i 1i h h h +++,μi =i1i ih h h ++di=)h f f h f f (h h 6i1i i 1i i 1i 1i i -+++---+ (i=1,…,n-1)。
数学建模估计水塔的流量用数学软件求解拟合问题
算法设计与编程
1. 拟合第1、2时段的水位，并导出流量
2. 拟合供水时段的流量
3. 估计一天总用水量
4. 流量及总用水量的检验
1. 拟合第1时段的水位，并导出流量 设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第1时段各 时刻的流量可如下得： 1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式的系数 2）a1=polyder（c1）； % a1输出多项式（系数为c1）导数的系数
m 3 103 L
MATLAB(llgjz)
4. 流量及总用水量的检验
计算出的各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检验．用水量y1可用第1时段水位测 量记录中下降高度968-822=146来检验，类似地，y2用1082-822=260检验． 供水时段流量的一种检验方法如下：供水时段的用水量加上水位上升值 260是该时段泵入 的水量，除以时段长度得到水泵的功率（单位时间泵入的水量），而两个供水时段水泵的 功率应大致相等．第1、2时段水泵的功率可计算如下： p1=(y12+260)/2； %第1供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2输出第2供水时段 各时刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） 计算结果：p1=154.5 ，p2=140.1
用非线性最小二乘拟合c(t)-用lsqcurvefit
1. 用M文件curvefun3.m定义函数
function f=curvefun3(x,tdata) d=300 f=(x(1)\d)*exp(-x(2)*tdata) % x(1)=v; x(2)=k
水塔流量估计的数学建模
水塔流量估计的数学建模水塔是城市供水系统中的重要组成部分，它们储存着大量的水资源，为城市居民提供生活用水。
在城市供水系统中，水塔的流量是一个非常重要的参数，它直接影响着供水系统的运行效率和水资源的利用率。
因此，如何准确地估计水塔的流量是一个非常重要的问题。
水塔的流量估计可以通过数学建模来实现。
首先，我们需要了解水塔的基本结构和工作原理。
水塔通常由水箱、进水管、出水管、溢流管等组成。
当水箱内的水位下降时，进水管会自动打开，将外部的水源引入水箱中，同时出水管会自动关闭，防止水箱内的水流失。
当水箱内的水位上升到一定高度时，溢流管会自动打开，将多余的水流出水箱，以保持水箱内的水位稳定。
在水塔的运行过程中，我们可以通过测量进水管和出水管的水流速度来估计水塔的流量。
根据流量的定义，流量等于单位时间内通过某一截面的液体体积。
因此，我们可以通过测量进水管和出水管的截面积和水流速度来计算水塔的流量。
具体地，假设进水管的截面积为A1，出水管的截面积为A2，进水管的水流速度为v1，出水管的水流速度为v2，则水塔的流量Q可以表示为：Q = A1v1 - A2v2其中，A1v1表示进水管的流量，A2v2表示出水管的流量。
由于进水管和出水管的截面积和水流速度可能会随着时间的变化而发生变化，因此我们需要不断地对它们进行测量和调整，以保证水塔的流量估计的准确性。
除了测量进水管和出水管的水流速度外，我们还可以通过其他的方法来估计水塔的流量。
例如，我们可以通过测量水塔内部的水位变化来估计水塔的流量。
具体地，我们可以安装水位传感器在水塔内部，通过测量水位的变化来计算水塔的流量。
这种方法的优点是不需要对进水管和出水管进行测量，但是需要安装水位传感器，成本较高。
水塔流量估计的数学建模是一个非常重要的问题。
通过测量进水管和出水管的水流速度或者测量水塔内部的水位变化，我们可以准确地估计水塔的流量，从而保证城市供水系统的正常运行。
AMCM91问题-A估计水塔的水流量
AMCM 91问题-A 估计水塔的水流量美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量，但许多社区并没有测量流人或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5％以内。
更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L 时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位只，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中的水位与水泵工作时的用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。
试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量f(t)，并估计一天的总用水量。
表9lA-1给出了某个真实小镇某一天的真实数据。
AMCM91问题-B 通讯网络的极小生成树 两个通讯站间通讯线路的费用与线路的长度成正比。
通过引入若干个“虚设站”并构造一个新的Steiner 树就可以降低由一组站生成Nf 自统的极小生成树所需的费用。
用这种方法可降低费用多达)231%(4.13-。
而且为构造一个有n 个站的网络的费用最低的Steiner 树绝不需要多于(n-2)个虚设站。
下面是两个简单的例子。
对于局部网络而言，有必要用直折线距离或“棋盘”距离来代替欧氏直线距离。
假定你希望设计一个有9个站的局部网络的最低造价生成树。
这9个站的直角坐标是：限定你只能用直线，而且所有的虚设站必须位于格点上(即其坐标是整数)。
每条直线段的造价是其长度值。
① 求该网络的一个极小费用树。
② 假定每个站的费用为w d•23，其中d ＝通讯站助度，若w=1.2，求极小费用树。
③ 试推广本问题。
本题是由马里兰州沙里斯勃菜州立大学数学科学系B.A.Fusaro(他也是MCM 的Director)提供的，他是受启发于Cipra.Barry A ．．Euclidean geometry alive and well in the computerage ．SIAM New5，v.24(1991)，no.1，16-17，19．。
估计水塔的水流量
估计水塔的水流量1、问题提出：某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。
现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。
水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。
表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。
表1 水塔中水位原始数据2、问题分析：日用水量用水速度每个时刻水塔中水的体积3、模型假设：影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求；水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小；水泵充水速度水塔的水流量与水泵状态独立；恒定，且远大于水塔的水流速度；水流量曲线是一条连续光滑的曲线；表1数据是准确的；4、模型的建立与求解：（1）、水塔中水的体积其中， ，（r 为底面半径,d 为水面高度）（2）在Matlab 命令窗口直接运行(不包括未知三点)>>t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.958,23.880,24.986,25.908];>>v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954.6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005.3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7]; >> scatter(t,v)得到水塔中水体积的散点图 0510********19002000210022002300240025002600（3）在Matlab 中编写脚本文件（不包括未知三点）采用数值微分的一阶微商的两点公式（末位处近似为sd(n)=sd(n-1))t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.958,23.880,24.986,25.908];v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954.6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005d r V 2π=.3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7];for i=1:9sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(10)=sd(9);for i=11:20sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(21)=sd(20);for i=22:24sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(25)=sd(24);scatter(t,sd)hold onplot(t,sd)得到水塔中水流速度的散点图及光滑图0510********（4）预测水塔中的未知流速[1]在Matlab中运行脚本文件（不包括未知三点）：采用数值微分的一阶微商的两点公式（末位处近似为sd(n)=sd(n-1))t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12. 032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22 .958,23.880,24.986,25.908];v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954. 6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005 .3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7];for i=1:9sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(10)=sd(9);for i=11:20sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(21)=sd(20);for i=22:24sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(25)=sd(24);sd得到速度（不包括未知三点）sd =Columns 1 through 951.1401 44.1432 39.3309 36.8764 36.0434 33.0803 34.6293 35.2495 38.4986Columns 10 through 1838.4986 70.5937 74.8373 70.6840 60.7949 63.0836 58.9382 55.7466 55.6962Columns 19 through 2559.0022 57.6136 57.6136 59.1106 50.9946 44.7939 44.7939 [2]采用拉格朗日插值法估计未知三点的速度:在Matlab命令窗口直接运行>> x0=[7.928,8.967];>> y0=[38.4968,38.4968];>> lglr3(x0,y0,9.981)ans =38.4968>> x0=[8.967,9.981];>> y0=[38.4968,38.4968];>> lglr3(x0,y0,10.925)ans =38.4968>> x0=[19.959,20.839];>> y0=[57.6136,57.6136];>> lglr3(x0,y0,22.015)ans =57.6136[3]在Matalb中运行脚本文件t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,9.981,10.9 25,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.015,22.958,23.880,24.986,25.908];sd=[51.1401,44.1432,39.3309,36.8764,36.0434,33.0803,34.6293,35.2495,3 8.4986,38.4968,38.4968,38.4986,70.5937,74.8373,70.6840,60.7949,63.083 6,58.9382,55.7466,55.6962,59.0022,57.6136,57.6136,57.6136,59.1106,50. 9946,44.7939,44.7939];scatter(t,sd)hold onplot(t,sd)得到水塔中水流速度的散点图及光滑图（new）757065605550454035300510********(4)a、通过曲线拟合，拟合出上述函数（f1）b、通过数值积分（梯形，辛普森）求出用水量(f2)5、模型检验：应该另外测试一批数据检验模型(f1,f2)6、模型分析：（1） 4.（3）中末位处近似为sd(n)=sd(n-1)可以改进，比如先采用数值微分求1----(n-1)的速度，再采用拉格朗日插值法求末位n的速度；（2）拉格朗日插值可以改用其他更为精确的插值法（3）数值微分法可以采用其他的更为精确的方法（而不是一阶微商的两点公式）（4） 4.（4）中的两部暂时不会（5）模型假设处可能有一些瑕疵7、附录：。
水塔流量问题(专业教学)
本科生课程设计报告
实习课程数值分析
学院名称管理科学学院
专业名称
学生姓名
学生学号
指导教师
实验地点
实验成绩
二〇一六年六月二〇一六年六月
估计水塔的水流量
摘要
水塔流量的估计是一个较为经典的数学建模问题，本问题最大的困难在于不知泵启动时水位的变化和向外水流的速度.解决该问题，先确定近似流速，利用中点数值求导公式计算出每个时间点出的流速，再利用插值与拟合计算出流速与时间的函数，对0到24小时积分可得总用水量，这是第一种方法.第二种方法，水泵没有开动时利用高度差计算用水量，水泵开动时利用积分，这样计算出的结果较为准确，2种方法比较，可得出误差.
关键词：中点数值求导；插值与拟合；积分
目录
第1章前言 (1)
1.1 内容及要求 (1)
1.2 研究思路及结构安排 (2)
第2章模型建立与求解 (3)
2.1模型假设 (3)
2.2确定近似流速 (3)
2.3 确定水泵启动时的流量及总流量曲线 (4)
2.4确定总用水量 (4)
第3章算法步骤 (6)
3.1 中点数值求导函数步骤及流程图 (6)
3.2 三次样条插值函数步骤及流程图 (7)
第4章算法实现 (7)
4.1 程序总体结构 (7)
4.2 源程序清单 (8)
4.3 程序运行 (12)
第5章误差分析 (15)
第6章模型的评价和改进 (16)
6.1 优点 (16)
6.2 缺点 (16)
6.3 模型的改进方向 (16)
参考文献 (16)。
估计水塔水流量的求解模型要点
估计水塔水流量的求解模型摘要由所给的题目可知，本问题是一个关于如何计算居民用水的问题，由题目给出的表格，可知不同时刻的水位，根据所要求的不同时刻水位的不同入手，此计算问题就可以转化为插值或拟合问题。
这里主要考虑采用插值的方法，可以利用MATLAB软件进行插值和曲线拟合计算并解决一些具体的实际问题。
根据题目建立模型并采用插值的方法进行求解，推算出任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
关键词：用水规律与水泵的工作功率原始数据用水规律与水泵的工作功率一、问题重述1.1基本情况某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 已知水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
1.2 所要解决的问题现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率。
按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。
可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率。
表1是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有4个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录(表中用符号//表示)。
所要解决的问题就是，要估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1水位测量记录（符号//表示水泵启动）二、问题背景1991年的美国大学生数学建模竞赛A题(AMCM1991A),由于它是水库调度、自来水管理、公共场所的人流量估计等问题的代表,因此有许多文献对其进行了研究,但一般都是采用差分与拟合的方法。
而由于居民何时用水是无法准确的预报的,可能引起的水位的变化是随机事件,因此,可以以水容量作为随机变量,建立一个随机数学模型,不仅可以给出了水塔流量函数,同时还可以讨论水容量函数的数学期望。
水塔流量估计
水塔流量的估计一.问题的提出某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。
水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m 是正圆 柱。
按照设计,水塔水位降至约8.2m 时,水泵自动 启动,水位升到约为10.8m 时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动)，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。
表1：水位测量记录（时刻：h ，水位：cm ）时刻 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 水位 968 948 931 913 898 881 896 852 839 822 时刻 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位 // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91水位866843822////105910351011二、问题分析流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。
这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。
二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。
数学建模基础 12.4估计水塔的水流量
(**)
2
对于第一型插值问题，取 λ 0=1，μ n=1,
6 y1 y0 d0 ( y0 ' ), h1 h1
yn yn1 6 dn ( yn ' ) hn hn
对于第二型插值问题，取λ 0=0，μ n=0
d0 2 y0 ' ' ,
dn 2 yn ' '
对于第三型插值问题，利用周期性，可导出
10619
13937 17921
2994
2947 2892
43318
46636 49953
3445
3350 3260
79154
82649 85968
水泵工作
水泵工作 3475
21240
25223 28543
2850
2797 2752
53936
57254 60574
3167
3087 3012
89953
三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题（ i＝１，２，３）．可以证明第 i 型插值问题的解是存在且唯 一的。他们对应如下的三对角方程组： 2 λ 0 μ1 2 λ 1 . . . . . . . . . μ n-1 2 λ μ
n
n-1
M0 M1 . . = . Mn-1 Mn
d0 d1 . . . dn-1 dn
, M i+1
三次样条函数的构造
S”(x) M i
构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用 的方法：三弯矩插值法 记Mi = S″(xi), f(xi)= fi= yi ,考虑它在任一区间[xi,xi+1]上的 形式.根据三次样条的定义可知 ,S(x)的二阶导数S″(x)在每一个 子区间[xi,xi+1] ( i=0,1,2,,n-1)上都是线性函数. 于是在[xi,xi+1] 上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成
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估计水塔流量实验报告
姓名:祁华东
学号：110714220
班级：11级测绘工程（2）班
指导老师：刘利斌
估计水塔流量实验报告
一．问题的提出
某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.
水塔是一个高12.2m ，直径17.4m 的正圆柱．按照设计，水塔水位降至约8.2m 时，水泵自动启动，水位升到约10.8m 时水泵停止工作．
表 1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量．
表1 水位测量记录
（符号//表示水泵启动）
二．问题分析
流量是单位时间流出水的体积，由于水塔是圆柱形，横截面积是时刻(h)
水位(cm)
0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 时刻(h)
水位(cm)
9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻(h)
水位(cm)
19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 866 843 822 // // 1059 1035 1018
一个常数，在水泵不工作时，流量可以通过水位随时间的变化率求出。
先用表中数据拟合水位—时间函数，求导后即可获得流量。
三．流量估计
1.拟合水位—时间函数
从测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段），和3个水泵不工作时段（以下称第1时段t=0到t=8.97，第2次时段t=10.95到t=20.84和第3时段t=23以后）。
对第1、2时段的测量数据直接分别作多项式拟合，得到水位函数。
为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般在3~6。
由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出较好的拟合。
（1）拟合第1时段水位—时间函数
在matlab中输入以下命令：
x=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97];
y=[968 948 931 913 898 881 869 852 839 822];
A1=polyfit(x,y,5)
z1=polyval(A1,x);
plot(x,y,'k+',x,z1,'r')
得到运算结果为：
A1=
﹣0.0024 0.0556 ﹣0.5293 2.8554 ﹣23.8296 967.9638
即第1时段的水位—时间函数为：
y=﹣0.0024*x5+0.0556*x4－0.5293*x3+2.8554*x2－23.8296*x+967.9638。
对应图形如图1所示
0123456789820840
860
880
900
920
940
960
980
data 1data 2
图1
（2）拟合第2时段水位—时间函数
在MATLAB 中输入以下命令：
x=[10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,19.04,19.96,20.84]; y=[1082,1050,1021,994,965,941,918,892,866,843,822];
A2=polyfit(x,y,5)
z2=polyval(A2,x);
plot(x,y,'*',x,z2,'r')
得到运算结果为：
A2 =
0.0025 ﹣0.2031 6.5627 ﹣103.4293 764.7074 ﹣974.7321
即第2时段的水位—时间函数为：
y=0.0025*x 5－0.2031*x 4+6.5627*x 3－103.4293*x 2+764.7074*x －974.7321
对应图形如图2所示
10121416182022
800850
900
950
1000
1050
1100data 1
data 2
图 2
2.确定流量—时间函数
对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段内。
（1）对第1时段的水位—时间函数求导
在MATAB 中输入以下命令：
B1=polyder(A1) %输出多项式(系数为A1）导数的系数
S1=-polyval(B1,x); %输出多项式（系数为B1）在x 点的函数值, 即 x 时刻的流量。
（对S1取负后结果变为正值） plot(x,S1) %作出拟合流量—时间曲线的图形
运行结果为：
B1 =
﹣0.0120 0.2224 ﹣1.5878 5.7108 ﹣23.8296
对应的函数表达式为：
y ’=﹣0.0120*x 4+0.224*x 3－1.5878*x 2+5.7108*x －23.8296
流量—时间函数图形如图3所示
0123456789
1415
16
17
18
19
20
21
22
23
24
图3
（2）对第2时段的水位—时间函数求导
在MATAB 中输入以下命令：
B2=polyder(A2) %输出多项式(系数为A2）导数的系数
S2=-polyval(B2,x); %输出多项式（系数为B2）在x 点的函数值, 即x 时刻的流量。
（对S2取负后结果变为正值） plot(x,S2) %作出拟合流量—时间曲线的图形
运行结果为：
B2 =
0.0123 -0.8123 19.6881 -206.8586 764.7074
对应的流量—时间函数表达式为：
y ’=0.0123*x 4－0.8123*x 3+19.6881*x 2－206.8586*x+746.7074
流量—时间函数图形如图4所示
10121416182022
2324
25
26
27
28
29
30
31
图4
四．心得体会
初次接触接触matlab ，对函数还不熟悉，但通过本次试验我才了解到数学软件的强大功能，集计算与绘图于一体，而且算法比C 语言简单。
刚开始对函数不熟悉，总是把求多项式系数的函数polyfit 误写为ployfit ，以至于算法不能运行而耽误大量时间。
随着对软件的不断深入，我觉得matlab 软件还是很有意思的，但软件界面全部是英文，对于我们初学者还是比较困难的，必须要查阅相关书籍才能解决问题，我体会到在面对问题时要学会自己去寻找方法解决。
同时，
通过学习matlab软件，使我懂得了无论做什么事情都要严谨，因为即使是很小的疏忽都会影响最终的结果与成败。