两个向量的数量积说课稿

《两个向量的数量积》说课稿

各位评委：您们好！

我叫李健，来自川师成都学院。今天我说课的课题是高二下册第九章第2节《两个向量的数量积》（第一课时），现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。恳请在座的各位评委批评指正。

一、教材分析

本节课是人教B版选修2-1第三章第节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础。

二、教学目标

介于本节课的重要地位和课程标准的要求，根据学生实际学习水平和思维特点，我确立本节课的教学目标如下：

知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；（2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；（3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

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过程与方法：（1）经历空间向量数量积知识的形成过程（2）体会低维与高维相互转化的思维过程（3）发展联想、类比、探究的能力、培养数学表达和交流能力（4）培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想

情感、态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神

三、教学重难点分析

根据教材内容和学生观察、形象思维能力强，而空间想象能力不足的特点，我制定了以下重难点

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用

教学难点：（1）两个向量的数量积的几何意义（2）如何把立体几何问题转化为向量计算问题

四、教法与学法分析 教法：

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：1、情景教学法、问题教学法 2、讨论探究法、分层教学法 3、启发式教学法。

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学法：

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： 1、自主探究法 2、交流合作法 3、总结归纳法 四、教学过程： 1复习引入

（1）空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量

注：空间的一个平移就是一个向量；向量一般用有向线段表示同向等长的有向

线段表示同一或相等的向量；空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

（2）空间向量的运算

`

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

b a +=+=;b a -=-=;)(R a ∈=λλ

（3） 平面向量共线定理

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .

要注意其中对向量a

的非零要求

（4）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b

（5）空间直

线的向量参数表示式：

t +=a

或)(t -+=t t +-=)1(， （6）中点公式．)(2

1

OB OA OP +=

（7）空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++

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2、新课讲解

（1）空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ， 作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量

a 与

b 的夹角，记作,a b <>；

规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>； 若,2

a b π

<>=

，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.

（2）向量的模：

[

设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （3）向量的数量积：

已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即

a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，

作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅． （4）空间向量数量积的性质：

||cos ,a e a a e ⋅=<>． 0a b a b ⊥⇔⋅=．

2||a a a =⋅．

（5）空间向量数量积运算律：

|

()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．

a b b a ⋅=⋅（交换律）．

()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．

3、讲解范例：

例1 用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理

已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且

,l m l n ⊥⊥

求证：l α⊥．

证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线

g ，

》

在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g ， ∵,m n 相交，

∴向量,m n 不平行，由共面定理可知， 存在唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+， ∴l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅，又∵0,0l m l n ⋅=⋅=， ∴0l g ⋅=，∴l g ⊥，∴l g ⊥，

所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥．

例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．

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证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ⋅=+⋅-